【文档说明】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三上学期期末考试数学（文）答案.docx，共(19)页，1.534 MB，由小赞的店铺上传

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哈师大附中高三上学期期末文科数学试题一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2320Axxx=+−，()2|log210Bxx=−，则ABI=（）A．21,3−B

．2,13C．1,12D．12,232．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底.描金工作分

为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹.现甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间（单位：h）如下：原料时间工序原料A原料B原料C上漆91610描绘花纹15814则完成这三件原料的描金工作最少需要（）A．43hB．

46hC．47hD．49h3．已知函数42()fxxx=−，则错误的是（）A．()fx的图象关于y轴对称B．方程()0fx=的解的个数为2C．()fx在(1,)+上单调递增D．()fx的最小值为14−4．若将函数

3sin2yx=的图像向右平移12个单位，则平移后的函数的对称中心为（）A．(),026kkZ−B．(),026kkZ+C．(),0212kkZ−D．(),0212kkZ+5．已知()1,2A，()3,4B，()2

,2C−，()3,5D−，则向量CDuuur在ABuuur上的投影为（）A．225B．2105C．2D．106．已知0x，0y，且31155xy+=，则34xy+的最小值是（）A．5B．6C．285D．2457．已知等差数列na的前n项和为nS，若981S=，713a=，若3

S，1716SS−，kS成等比数列，则k=（）A．11B．13C．15D．178．双曲线C：22221xyab−=（a＞0，b＞0），其中2ab=，则双曲线C的离心率为（）A．63B．62C．2D．229．

如图，在正三棱柱ABC一A1B1C1中，AB=A1A=2，M､N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）A．52B．5C．25D．3510．已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，

AB⊥平面BCD，1ABBCCD===，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32B．32C．3D．311．下列结论中不正确的是（）A．“24x”是“2x−”的必要不充分条件B．“x为无理数”是“2x为无理数”的必要不充分条件C．若a、bR，则“2

20ab+”是“a、b不全为0”的充要条件D．在ABC中，“222ABACBC+=”是“ABC为直角三角形”的充要条件12．已知关于x的不等式3221exaxxaxx+++在()0,+上恒成立，则

实数a的取值范围为（）A．(,e−B．1,e2−−C．(,e1−−D．(,e2−−二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设复数1z，2z满足122zz==，且1222zzi+

=−，其中i为虚数单位，则12zz−=________.14．当ab时，化简2()ab−=_______.15．已知非零向量,abrr满足23abba−=−rrrr，且5ba=rr，求ar与br的夹角.__________.16.已知圆()()22:215Cxy−+−=及点()0

,2B，设P，Q分别是直线:20lxy++=和圆C上的动点，则PBPQ+uuruuur的最小值为__________.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()2242co

scoscosacabCacBbcA++=++.（1）求b的值；（2）若满足coscosaAbB=，c＝3，求ABC的面积.18．(本小题满分12分)已知函数()22sincos2sin1fxxxx=−+.（1）求4f的值；（2）求()fx的最小正周期；（3）求()fx在区

间,02−上的最小值.19．(本小题满分12分)已知数列na的前n项和nS满足123nnaS+=+，且13a=.（1）求数列na的通项公式；（2）已知数列nb满足nnbna=，求数列nb的前n项和nT.20．

(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD､侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求三棱锥A-PCD的体积.21．(本小题满分

12分)椭圆2212xy+=的左、右焦点为1F、2F，经过1F作倾斜角为60的直线l与椭圆相交于AB，两点．求（1）线段AB的长；（2）2ABF的面积．22．(本小题满分12分)函数()lnfxxxkx=−.

（1）讨论()fx的单调性；（2）当(1,)x+时，若()ln(1)1fxkxkxx−−−恒成立，求实数k的取值范围．参考答案1．D【分析】解不等式确定集合,AB后，再由交集定义计算．【详解】22320{|1}3Axxxxx=+−=−，()21|log210{|

0211}{|1}2Bxxxxxx=−=−=，∴12{|}23ABxx=．故选：D．2．B【分析】经分析，找到乙工匠空闲时间最短的方案即可得解.【详解】由题意，甲按A，C，B的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，所需时间最短，最短时间为91514846+++=h.故选：B.3．

B【分析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A，令()0fx=，求出方程的解的个数，判断B，令2tx=，2211()()24gtttt=−=−−，从而判断C，D即可．【详解】42()fxxx=−定义域为R，显然关于原点

对称，又()()4242()fxxxxx−=−−−=−()fx=，所以()yfx=是偶函数，关于y轴对称，故选项A正确.令()0fx=即2(1)(1)0xxx+−=，解得：0x=，1，1−，函数()fx有3个零点，故B错误；令2tx=，2211()()24gtttt=−=−−，1x时，函数2tx

=，2()gttt=−都为递增函数，故()fx在(1,)+递增，故C正确；由12t=时，()gt取得最小值14−，故()fx的最小值是14−，故D正确．故选：B．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的

奇偶性、函数的最值，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己

已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.4．D【分析】求出平移后的解析式3sin26yx=−，令2,6xkk−=Z即可得出对称中心.【详解】将函数3sin2yx=的图像向右平移12个单位，可得3sin2

3sin2126yxx=−=−，令2,6xkk−=Z，则可得,212kxkZ=+，则平移后的函数的对称中心为(),0212kkZ+.故选：D.5．C【分析】根据向量数量积的坐标表示求数量积，

由向量CD在AB上的投影为||cosCD即可求投影.【详解】由题意知：(1,3),(2,2)CDAB=−=，而||||cos(1)2324CDABCDAB==−+=，又||22AB=，而向量CD在AB上的投影为4||cos222CD==，故

选：C6．A【分析】由()31343455xyxyxy+=++展开后，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为0x，0y，且31155xy+=，则()311312131234349413255555xyxyxyxyxyyxyx+=++=++++=

，当且仅当312xyyx=，即112xy==时，等号成立.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要

求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．A【分析】先

根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的前n项和公式求出nS，再由3S，1716SS−，kS成等比数列，列出式子求解即可.【详解】解：由95981Sa==，解得：59a=，又713a=，75275aad

−==−，1541aad=−=，2nSn=，3S，1716SS−，kS成等比数列，()223171617kSSSSa=−=，即22933k=，解得：11k=.故选：A．8．B【分析】根据2ab=以及222cab=+可得3=cb，再根据离心率公式

可得结果.【详解】因为2ab=，22233cabbb=+==，所以3622cbeab===.故选：B.【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的关键是找到,,abc的等量关系，由2ab=，222cab=+可得所要的等量关系.9．

D【分析】取AC的中点O，OB，OC分别为x，y轴，过点O，作平行1AA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线成角即可.【详解】取AC的中点O，OB，OC分别为x，y轴，过点O，作平行1AA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：()0,1,0A−，()3,0,0B，()3,

0,1M，()0,1,0C，()10,1,2C，()13,0,2B，31,,222N，()3,1,1AM=，31,,222CN=−，设直线AM与CN所成角为，则3132223cos531311444−+==++++.故选：D10．C【分析】根据题意将

四面体ABCD还原为正方体，求出该正方体的外接球的表面积，即为四面体的外接球的表面积.【详解】如图所示，可将四面体ABCD还原为正方体，则四面体的外接球即为正方体的外接球因此球O的半径32R=，表面积243SR==故选：C.11．D【分析】解不等式24x，利用集

合的包含关系可判断A选项的正误；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项的正误；利用充分条件、必要条件的定义可判断C、D选项的正误.【详解】对于A选项，解不等式24x，可得2x−或2x，2xx−2xx−或2x，所以，

“24x”是“2x−”的必要不充分条件，A选项正确；对于B选项，充分性：取2x=，则x为无理数，但2x为有理数，即充分性不成立；必要性：若2x为无理数，则x是无理数，必要性成立.所以，“x为无理数”是“2x为无理数”的必要

不充分条件，B选项正确；对于C选项，充分性：因为220ab+，若0ab==，则220ab+=，所以，0ab==不成立，所以，a、b不全为0，充分性成立；必要性：若a、b不全为0，则220ab+，必要性成立.因此，“220ab+”是“a、b不全为0”的充要条件，C选项正确；对于

D选项，充分性：若222ABACBC+=，则BAC为直角，所以，ABC为直角三角形，充分性成立；必要性：若ABC为直角三角形，则“BAC为直角”或“ABC是直角”或“ACB为直角”，所以，“222ABACBC+=”或“22

2ABBCAC+=”或“222ACBCAB+=”，即必要性不成立.因此，“222ABACBC+=”是“ABC为直角三角形”的充分不必要条件，D选项错误.故选：D12．【分析】B将题设不等式化为2e1xxaxx−+，利

用导数求出()2e1xxgxxx=−+的最小值，即可得出实数a的取值范围.【详解】依题意，()0,x+，故()22321ee1xxxxxaxxxx+−=−++，令()2e1xxgxxx=−+，故()minagx，而()()()()()2222222e11e1111xxxxxgxx

xxxx−−+=−=−+++令()0gx¢=，故1x=，故当()0,1x时，()0gx¢<，当()1,+x时，()0gx¢>，故()11e2ag=−，即实数a的取值范围为1,e2−−故

选：B．13．23【分析】令1,(,)zabiaRbR=+，2,(,)zcdicRdR=+，根据复数的相等可求得2acbd+=−，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】设1,(,)zabiaRbR=+，2,(,)zcdicRdR=+，12()3zzacbdii+=+++=+，

31acbd+=+=，又12||=||=2zz，所以224ab+=，224cd+=，222222()()2()4acbdacbdacbd+++=+++++=，2acbd+=−，12()()zza

cbdi−=−+−()22()()82acbdacbd=−+−=−+8423=+=.故答案为：23.14．ba−【分析】根据−ab的正负，结合2()abab−=−得到结果.【详解】因为2()abab−=−，且0ab−，所以2()ababb

a−=−=−，故答案为：ba−.15.3【分析】根据题意，设a与b的夹角为，由23abba−=−，整理变形可得252aab=，由5ba=，由数量积的计算公式可得222255122cos255aaababaa====

，结合0,，即可求解.【详解】设a与b的夹角为，0,，若23abba−=−，则()()2223abba−=−，展开可得：22224469aabbbaba−+=−+，即252aab=，又因为5ba=，所以222255122cos

255aaababaa====，因为0,，所以3=.【点睛】关键点点睛：将23abba−=−两边平方整理变形可得252aab=，结合5ba=，结合数量积的计算公式cosabab=即可求解.16．25【分析】先

求得点B关于直线:20lxy++=的对称点为(),Bxy,再根据PBPB=，由PBPQ+的最小值为BCr−求解.【详解】如图所示：设点B关于直线:20lxy++=的对称点为(),Bxy,则2202221xyyx+++=−=，解得42xy=−=−，则()4,2B−−，因

为PBPB=，所以PBPQ+的最小值为()()224222525BCr−=−−+−−−=故答案为：2517．（1）2b=；（2）374或5.【分析】（1）利用余弦定理以及已知条件可得24b=，即可得出结果；（2）利用正

弦定理以及正弦二倍角公式可得sin2sin2AB=，进一步得到22AB=或者22πAB+=，分两种情况讨论，利用余弦定理求角，利用三角形面积公式求解即可得出结果.【详解】（1）由余弦定理可得2cos2cos2cosabCacBbc

A++222222222222abcacbbcaabc=+−++−++−=++，又()2242coscoscosacabCacBbcA++=++，所以可得24b=.由于0b，所以2b=.（2）已知coscosaAbB=，由正弦定理可得sincossincosAABB=，由正弦

二倍角公式可得sin2sin2AB=，∵2(02π)A，，2(02π)B，，(0π)AB+，，22(02π)AB+，，所以22AB=或者22πAB+=，当22AB=时，AB=，2ab==，2221cos28abcCab+−==−，37sin8C=，13

7sin24ABCSabC==△；当22πAB+=时，π2AB+=，π2C=，225acb=−=，152ABCSab==△.综上：ABC的面积为374或5.18．（1）1；（2）；（3）2−.【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式

，从而求得4f的值（2）由（1）得，利用正弦函数的周期性，得出结论；（3）由（1）得，利用正弦函数的单调性，得出结论；【详解】（1）()22sincos2sin1sin2cos2fxxxxxx=−+=+π2sin24

x=+∴πππ2sin1424f=+=或直接求2ππππ2sincos2sin114444f=−+=.（2）由（1）得，所以()fx的最小正周期为2π2ππ2T===（3）由（1）得

，∵π02x−，∴3πππ2444x−+，∴π2sin21,42x+−当ππ242x+=−，即3π8x=−时，()fx取得最小值为2−.【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解析式得到()π2sin24f

xx=+，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题19．（1）3nna=；（2）1213344nnnT+−=+.【分析】（1）根据所给的递推关系，结合1(2,)nnnSSannN−−=、等比数列的定义进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解

】（1）∵123nnaS+=+，∴2n时，123nnaS−=+，∴112()2nnnnnaaSSa+−=−=−，∴()132nnaan+=，又∵21239aS=+=，∴213aa=，∴na是以3为首项，3为公比的等比数列，∴1333nnna−==；（2）由（1）知

，3nna=，所以3nnbn=，∴213233nnTn=+++①，∴231313233nnTn+=+++②，由①−②得：231233333nnnTn+−=++++−()11313132331322nnnnTnn++−−=−=−−−1

213344nnnT+−=+20．（1）证明见解析；（2）13.【分析】（1）推导出PO⊥AD，利用侧面PAD⊥底面ABCD，能证明PO⊥平面ABCD；（2）由APCDPACDVV−−=，利用等积法能求出三棱锥APCD−的体积.【详解】（1）∵侧棱PA=PD=2，

O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD底面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．（2）∵PO⊥平面ACD，PO=1，1112122ACDSABAD===△，∴三棱锥APCD−的体积1111

1333APCDPACDACDVVSPO−−====△.21．（1）827；（2）467.【分析】（1）求出椭圆的左焦点1(1,0)F−，根据点斜率式可得AB的方程，直线方程与椭圆方程消去y，利用

根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB的长；（2）利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合（1）的结论，再利用三角形面积公式可得答案.【详解】椭圆方程为2212xy+=，焦点分别为1(1,0)F−，2(1,0)F，直线AB过左焦点1

F倾斜角为60，直线AB的方程为3(1)yx=+，将AB方程与椭圆方程消去y，得271240xx++=设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，可得12127xx+=−，1247xx=21212442||()4777xx−=−−=因此，1282||13||

7ABxx=+−=．(2）2F（1，0)到直线AB的距离为：23331d==+..214627ABFSABd==【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式2121lkxx=+−；（2）利用12211lyyk=+−；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可

.22．（1）()fx在()10,ke−上单调递减；在1(,)ke−+上单调递增；（2）(,1−−．【分析】（1）求导后，利用导数符号可得结果；（2）将()ln(1)1fxkxkxx−−−恒成立转化为()()1ln10xkxx−−−−在()1,+上恒成立，再构造函数利用导数求解

即可.【详解】（1）()fx的定义域为()0,+．()ln1fxxk=+−，令()0fx=，1kxe−=.由()0fx′，得1()0,kxe−，故()fx在1(0,)ke−上单调递减；由()0fx′，得1(,)kxe−+，故()fx在1(,)ke−+上单调递

增．综上，()fx在()10,ke−上单调递减；在1(,)ke−+上单调递增．（2）∵()ln(1)1fxkxkxx−−−，∴lnln(1)1kxxkkx−−−−，即lnln11kxxx+−，当1x时，()ln(1)1fxkxkxx−−−恒成立等价于()()1ln10xkxx−

−−−.设()()()1ln1gxxkxx=−−−−，则()()1ln11gxxxkx=+−−−1lnkxx−−=+.由于1x，ln0x，当10k−−，即1k−时，()0gx，则()ygx=在()1,+

上单调递增，()()10gxg=恒成立．当10k−−时，即1k−时，设()()hxgx=，则211()0khxxx+=+.则()ygx=为()1,+上的单调递增函数，又()110gk=−−，则()gx在()1,+上存在0x，使

得()00gx=，当0(1,)xx时，()gx单调递减；当0(,)xx+时，g()gx单调递增．则()()010gxg=，不合题意，舍去．综上所述，实数k的取值范围是(,1−−．【点睛】结论点睛：本题考查

不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()kfx在[,]ab上恒成立，则max()kfx；②若()kfx在[,]ab上恒成立，则min()kfx；③若()kfx在[,]ab上有解，则min()kfx；④若()kfx在[,]ab上有解，则max()kfx；