【文档说明】中学生标准学术能力诊断性测试2021届高三下学期3月测试（新高考）数学答案.pdf，共(7)页，377.026 KB，由小赞的店铺上传

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第1页共7页中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试数学试卷参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678CDDBBBCB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给

出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9101112BDABDBCDABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．13i55−+14．3415．221716．26四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤．17．解：（1）()231cos23sincoscossin222xfxxxxx+=−=−π1sin262x=−−，……………3分π1122f∴=−……………5分（2）()π1sin262fxx=−−，由πππ2π22π,262kxkk−≤−

≤+∈Z，第2页共7页……………7分ππππ,63kxkk∴−≤≤+∈Z，所以函数()fx的单调递增区间为π0,3,5π,π6……………10分18．解：（1）1(2)nnnaSSn−=−≥,1nnnSaS−∴−=，则()21(1)2nSnn−=−≥，即2

*()nSnn=∈N……………3分()22(1)212nannnn∴=−−=−≥……………5分经检验11a=适合，21nan∴=−……………6分（2）易知0nb>,2142nnbn−=,()2+1+142+1nnbn=，4241422(1)1nnbnnbnn+

∴==++……………8分当211nn>+时，21n>+，所以当13n≤<时，1nnbb+>，当3n≥时，1nnbb+<……………10分又23132,281bb==，所以当3n=时，nb有最小值3281……………12分19．解

：（1）证明：设平面PAD平面PBCl=,//ADBC,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD，//BC∴平面PAD，又BC⊂平面PBC,//BCl∴……………2分π2PBC∠=,PBBC∴⊥,PBl∴⊥……………4分又因为平面PAD⊥平面PBC，PB∴⊥平面PAD，可得PBPA⊥，得证…

…………6分第3页共7页（2）连结BD，在△BCD中，易得3BD=,BDBC∴⊥,又PBBC⊥,PBD∴∠为二面角PBCA−−的平面角……………8分以D为原点，分别以,DADB的方向为x轴，y轴正方向建立空间直角坐标系，(2,0,0)A∴,(0,3

,0)B,(1,3,0)C−．,,BCBDBCPDBDPDD⊥⊥=,BC∴⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面ABCD……………9分可设(0,,)Pyz．由2PAPC=，可得：222222(02)4(01)4(3)4

yzyz−++=++−+，化简可得：223833120yyz−++=①由（1）知PBPA⊥,(2,,)(0,3,)0yzyz∴−⋅−=，化简得:2230yyz−+=②解方程①②可得:435y=,235z=……………11分25sin5zPBDPB∴∠

==，则5cos5PBD∠=……………12分20．解：（1）甲是无放回地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}，{P∴没有抽到黑球}471401635210CC===……………1分{P

抽到一个黑球}173103410512102CCC===……………2分所以甲至多抽到一个黑球的概率为：112623+=……………5分（2）解法一：乙是有放回地抽取，抽到白球得10分，抽到黑球得20分，所以抽取4次{4个白球，3个白球1个黑球，2个白球2个黑球，1个白球3个黑球，第4页共7页

4个黑球}，对应的X取值有{40,50,60,70,80}，而每次抽到白球、黑球的概率分别为710,310，设4次取球取得黑球次数为r，则r的可能取值0,1,2,3,4……………6分4473(4010)1010r

rrPXrC−∴=+=，即可得分布列如下：X4050607080P100002401411610000100002646756100008110000……………10分()2401264116756405060708052100001000010000100046810100

00EX∴=×+×+×+×+×=……………12分解法二：设4次取球取得黑球数为Y，则4010XY=+，且34,10YB……………8分34010401045210EXEY=+=+××=……………12分21．解：（1）椭圆的右焦点为(2,0)F，设AB所在

的直线的方程为(2)ykx=−（0k≠），且1122(,),(,)AxyBxy……………1分联立方程组22(2),1,5ykxxy=−+=可得：2222(51)20(205)0kxkxk+−+−=…………

3分则21222051kxxk+=+,212220551kxxk−=+，点N的坐标为222102,5151kkkk−++，第5页共7页ON∴所在的直线的方程为15yxk=−……………5分椭圆C在,AB处的切线方程分别为1115x

xyy+=,2215xxyy+=，联立方程组11221,51,5xxyyxxyy+=+=解得点M的坐标为2112122112215(),yyxxxyxyxyxy−−−−,51,22Mk−，所以点M的坐标满足直线

ON的方程15yxk=−，故,,OMN三点共线．……………7分（2）由（1）可知，2212225(1)151kABkxxk+=+−=+……………8分221511222kFMkk+=+−=……………9分22222102

1125151kkFNkkk+=+−=++……………10分25152ABFMkFNk⋅+∴=≥，当且仅当1k=时，等号成立……………12分22．解：（1）()ln(1)fxxax=+−,1()1fxax′=−+……………1分①

当0a≤时，1()01fxax′=−≥+在(0,)x∈+∞时恒成立，()ln(1)fxxax∴=+−在(0,)+∞上递增，所以()(0)0fxf>=，不符合题意．……………2分第6页共7页②当01a<<时，11()0011fxaxxa′=−≥⇔<≤−+，()ln(1)fxxax

∴=+−在10,1a−上递增，在11,+a−∞上递减，11(0)0ffa−>=，当x→+∞时，()fx→−∞，满足题意……………4分③当1a≥时，1()01fxax′=−<+在(0,)x∈+∞时恒成立，(

)ln(1)fxxax∴=+−在(0,)+∞上递减，()(0)0fxf∴<=，不符合题意．……………6分综上所述，a的取值范围是(0,1)．（2）（ｉ）由（1）知01a<<,00ln(1)xax+∴=，要证明0121xa>−，只要证明0002l

n(1)2xxx+>+，设2()ln(1)2xgxxx=+−+,0x>，22214()01(2)(1)(2)xgxxxxx′=−=≥++++，2()ln(1)(0)02xgxxgx=+−>=+，即0121xa>−，（ii）要证明

10e1ax<−，只要证明01ln(1)xa+<，即证明000ln(+1)ln(1)xxx<+,()0ln10x+>，即证00ln(+1)xx<……………7分设()ln(1)hxxx=+−,0x>，则1

1()012hxxx′=−<+，第7页共7页所以当0x>时，()(0)0hxh<=，即100e1ax<<−①……………9分另一方面，()fx在10,1a−上递增，在011,xa−上递减，又0(0)()0ff

x==,000axx<<，0010(ln(1))()1ln1fxfaxfaaa∴<+=<−=−−②……………12分由①②得100(ln(+1))e1(ln1)axfxaa<−−−．