【文档说明】中学生标准学术能力诊断性测试2021届高三下学期3月测试（一卷）理科数学答案.pdf，共(8)页，433.019 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-191393c0bdad59c4b531fc272e14e384.html

以下为本文档部分文字说明：

第1页共8页中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试理科数学试卷（一卷）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1234567891011

12CDDBBBCBAAAB二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13．13i55−+14．π0,3,5π,π615．221716．()()0,13,a∈+∞三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第

17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．解：（1）1(2)nnnaSSn−=−≥,1nnnSaS−∴−=，则()21(1)2nSnn−=−≥，即2*()nS

nn=∈N……………3分()22(1)212nannnn∴=−−=−≥……………5分经检验11a=适合，21nan∴=−……………6分（2）易知0nb>,2142nnbn−=,()2+1+142+1nnbn=，4241422

(1)1nnbnnbnn+∴==++……………8分当211nn>+时，21n>+，第2页共8页所以当13n≤<时，1nnbb+>，当3n≥时，1nnbb+<……………10分又23132,281bb==，所以当3n=时，nb有最小值3281……………12分18．解：（1）证明：设

平面PAD平面PBCl=,//ADBC,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,//BC∴平面PAD，又BC⊂平面PBC,//BCl∴……………2分π2PBC∠=,PBBC∴⊥,PBl∴⊥……………4分又因为平面PAD⊥平面PBC,PB∴⊥平面PA

D，可得PBPA⊥，得证．……………6分（2）解：连结BD，在△BCD中，易得3BD=,BDBC∴⊥，又PBBC⊥,PBD∴∠为二面角PBCA−−的平面角……………8分以D为原点，分别以,DADB的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角

坐标系，(2,0,0)A∴,(0,3,0)B,(1,3,0)C−，,,BCBDBCPDBDPDD⊥⊥=,BC∴⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面ABCD……………9分可设(0,,)Pyz．由2PAPC=可得：222222(02)4(01)4(3)4

yzyz−++=++−+，化简可得：223833120yyz−++=…①由（1）知PBPA⊥,(2,,)(0,3,)0yzyz∴−⋅−=，化简得2230yyz−+=…②解方程①②可得435y=,235z=……………11分25sin5zPBDPB∴∠==，则5cos5PBD∠=…………

…12分19．解：（1）甲是无放回地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}，第3页共8页{P∴没有抽到黑球}471401635210CC===……………1分{P抽到一个黑球}173103410512102CCC

===……………2分所以甲至多抽到一个黑球的概率为：112623+=……………5分（2）解法一：乙是有放回地抽取，抽到白球得10分，抽到黑球得20分，所以抽取4次{4个白球，3个白球1个黑球，2个白球2个黑球，1个白球3个黑球，4个黑球}，对应的X取值有{40,50,60,70

,80}；而每次抽到白球、黑球的概率分别为710,310，设4次取球取得黑球次数为r，则r的可能取值0,1,2,3,4……………6分4473(4010)1010rrrPXrC−∴=+=，

即可得分布列如下：X4050607080P100002401411610000100002646756100008110000……………10分()24012641167564050607080521000

0100001000010004681010000EX∴=×+×+×+×+×=……………12分解法二：设4次取球取得黑球数为Y，则4010XY=+，且34,10YB……………8分3401

0401045210EXEY=+=+××=……………12分20．解：第4页共8页（1）椭圆的右焦点(2,0)F，设AB所在的直线的方程为(2)ykx=−（0k≠），且1122(,),(,)AxyBxy,……………1分联立方程组22(2),1,5ykx

xy=−+=可得：2222(51)20(205)0kxkxk+−+−=……………3分则21222051kxxk+=+,212220551kxxk−=+，点N的坐标为222102,5151kkkk−++，ON∴所在的直线的方程为15yxk=−……………5分椭圆C在,AB

处的切线方程分别为1115xxyy+=,2215xxyy+=，联立方程组11221,51,5xxyyxxyy+=+=解得点M的坐标为2112122112215(),yyxxxyxyxyxy−−−−,

51,22Mk−，所以点M的坐标满足直线ON的方程15yxk=−，故,,OMN三点共线……………7分（2）由（1）可知，2212225(1)151kABkxxk+=+−=+……………8分221511222kFMkk+=+−=…………

…9分222221021125151kkFNkkk+=+−=++……………10分25152ABFMkFNk⋅+∴=≥，当且仅当1k=时，等号成立……………12分第5页共8页21．解：（1）()ln(1)fxxax=+−,1()1fxax′=−+……………1分①当0a≤时，1()0

1fxax′=−≥+在(0,)x∈+∞时恒成立，()ln(1)fxxax∴=+−在(0,)+∞上递增，()(0)0fxf∴>=，不符合题意，……………2分②当01a<<时，11()0011fxaxxa′=

−≥⇔<≤−+，()ln(1)fxxax∴=+−在10,1a−上递增，在11,+a−∞上递减，11(0)0ffa−>=，当x→+∞时，()fx→−∞，满足题意……………4分③当1a≥时，1()01fxax′=−<+在(0,)

x∈+∞时恒成立，()ln(1)fxxax∴=+−在(0,)+∞上递减，()(0)0fxf∴<=，不符合题意．……………6分综上所述，a的取值范围是(0,1)．（2）由（1）知01a<<,00ln(1)xax+∴=，要证明0121xa>−，只要证明0002ln(1)

2xxx+>+……………7分设2()ln(1)2xgxxx=+−+,0x>，22214()01(2)(1)(2)xgxxxxx′=−=≥++++，2()ln(1)(0)02xgxxgx=+−>=+，即012

1xa>−……………9分第6页共8页另一方面：证法一：要证明10e1ax<−，只要证明01ln(1)xa+<，即证明000ln(+1)ln(1)xxx<+……………10分()0ln10x+>，即证()00ln1xx

+<，设()ln(1)hxxx=+−,0x>，则11()012hxxx′=−<+，所以当0x>时，()(0)0hxh<=，即10e1ax<−……………12分证法二：因为在()fx在11,a−+∞上递减，且11e11aa−>−,011

xa>−，要证明10e1ax<−，只要证明10()e1afxf>−，即证11e0aaaa−+<……………10分设21()exxxϕ+=,1x>,2(1)()0exxxϕ−−′=<，212()(1)1eexxxϕϕ+∴=<=<，所

以当1x>时，2e1xx>+，即当01a<<时，121e1aa>+，10e1ax∴<−……………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题．作答如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：（1）曲线2C的普通方程为

2214yx+=……………2分第7页共8页（2）由曲线1C的参数方程为()22242,121,1kxkkyk=++−=+（k为参数），得曲线1C的普通方程为2224xy−+=（），它是一个以2,0C（）为圆心，半径等于2的圆，…………

…4分曲线2C的极坐标方程为223cos2sinρθθ=+−．22(3cos2sin)4ρθθ∴+−=，可得2244xy+=……………6分则曲线2C的参数方程为：cos,2sin,xyββ==（β为

参数），A是曲线1C上的点，B是曲线2C上的点，maxmax2ABBC∴=+……………8分设cos,2sinBββ（），则222=cos24sin=3cos4cos8BCββββ−+−−+（）2228=3cos33β−++，当

2cos=3β−时，max28221==33BC,max22123AB∴=+……………10分23．解：（1）()1fxxaxbcxaxbcabcabc=−+++≥−−−+=++=++=……………2分()22221111112362362362

36=1abcabc∴++++≥×+×+×，2222361abc∴++≥，即222236abc++的最小值为1……………5分（2）222232324222bbbaabbaba+

+=++≥++……………7分第8页共8页2223222ccbbccb∴++≥++,2223222aaccaac++≥++，因此222222aabbbbccccaa++++++++23222

abcabcabc++++≥++++×2333=2222+>……………10分