【文档说明】江苏省启东中学2020-2021学年高一下学期第一次阶段测试数学答案.pdf，共(9)页，358.795 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

·1·江苏省启东中学2020~2021学年第二学期第一次阶段测试高一数学试卷参考答案命题人：总分：150分限时：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．计算cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A．62B．32C．1＋34D．54【答案】D2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．3B．23C．33D．43【答案】B3．在边长为3的等边三角形ABC中，12BM

MC，则ABBM（）A．32B．32C．-32D．12【答案】C4．若,1,2aaa是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（）A．13aB．3aC．1aD．01a【答案】B5．函数coin4ssfxxx的

最小正周期为（）A．4B．2C．D．2【答案】C6．已知4cos5，3ππ,2，则1tan21tan2（）A．12B．2C．12D．-2【答案】D·2·7．启东中学天文台是启中校园的标志性建筑．小明同学为了

估算学校天文台的高度，在学校宿舍楼AB，高为1553m，在它们之间的地面上的点M（,,BMD三点共线）处测得楼顶A，天文台顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则小明估算学校天文台的高度为（）

A．20mB．30mC．203mD．303m【答案】B8．已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且7cos8A．M为ABC内部的一点，且0aMAbMBcMC，若AMxAByAC，则xy的最大值为（）A．

12B．54C．56D．45【答案】D【详解】∵0aMAbMBcMC，∴()()aAMbMBcMCbABAMcACAM

，∴bcAMABACabcabc，又AMxAByAC，∴,bcxyabcabc，11bcxyaabcbc，由余弦定理得222222

7152cos()44abcbcAbcbcbcbc，由2()4bcbc（当且仅当bc时取等号），得222215()()()4416bcbcabc，∴14abc，∴141514xy，即xy的最大值是45

．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列各式中，值为12的是（）·3·A．2tan22.51tan22.5B．2tan15cos1

5C．33cos212－33sin212D．116sin50°＋316cos50°【答案】AC10．已知|a|＝1，b＝(3，4)，则以下结论正确的是()A．若a∥b，则|a＋b|＝6B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|C．若a∥b，则a＝)54,53(D．|a－b|的最

小值为4【答案】BD11．在△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，下列叙述正确的是（）A．若sinsinabBA，则△ABC为等腰三角形B．若coscosabBA，则△ABC为等腰三角形C．若tataa0nnAtnBC，则△ABC为钝角三角形D．若

sincosabCcB，则∠C4【答案】ACD12．如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若,,3(,0)BCCEEDDAABBF

，则（）A．3144EBEFEAB．14C．11的最大值为1D．49ECADEBEA【答案】ABD【详解】选项A．由3ABBF

，可得34ABAF所以33134444EBEAABEAAFEAAEEFEAEF，故A正

确．选项B．过B作//BGFD交AE于点G所以,AFADBCDGFBDGCEDE,由这两式可得AFBCADDGADFBCEDGDEDE·4·由,,3BCCEEDDAABBF

，则4AFFB，BCCE，1ADDE所以14，即14，故B正确．选项C．由B可得11484当且仅当,即12λμ时取得等号,故C不正确．选项D．由,,3BCCEEDDAABBF

得1EBECCBEC,11EAEDDADAAD11511114ECADECADEBEAECAD

由5559214444，当且仅当,即12λμ时取得等号所以14594ECADEBEA

，故D正确．故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在ABC中，若满足C＝π6，c＝5，xa的三角形有两个，则实数x的取值范围为______．【答案】（5，10）14．已知si

n263，则6sin2______．【答案】1915．如图，在ABC△中，13BDBC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AEABAC，则______，2的最小值是______．·5·【

答案】211616．在锐角ABC△中，22abbc，则112sintantanABA的取值范围为________．【答案】53,33【详解】22abbc，利用余弦定理可得：2222cosbcbcAbbc，即

22coscbcAbc，2coscbAb由正弦定理可得：sin2sincossinCBAB，sin()2sincossinABBAB，即sincossincossinABBAB，即sin()sinABB又ABC为锐角三角形，ABB，即2

AB，022032BB，64B，32A11sin()sin(2)12sin2sin2sin2sintantansinsinsinsinsinABBBAA

AABABABAAQ又32A，3sin12A，令3sin12tAt，则13()212ftttt，由对勾函数性质知，1()2fttt在3,12t

上单调递增，又31353222332f，112131f，512sin3i3n3s,AA四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本题1

0分）计算求值：（1）)10tan31(50sin（2）20cos5cos15cos20sin5cos15sin【答案】（1）1（2）3218．(本题12分）在平面直角坐标系中

，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||1OC，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．（1）若34x，设点D为线段OA上的动点，求||OCODuuuruuur的最小值；（2）若0,2x，向量mBC，

n＝)cos2sin,cos1(xxx，求mn的最小值及对应的x值．·6·解：（1）设D(t，0)(0≤t≤1)，由34x易知C22(,)22，∴22,22OCODt∴22222221

2222OCODtt，(0≤t≤1)，∴当t＝22时，OCOD最小为22．（2）由题意得C(cosx，sinx)，mBC

＝(cosx＋1，sinx)，则mn＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝1－2sin(2)4x．∵x∈0,2，∴4≤2x＋4≤54，∴

当2x＋4＝2，即x＝8时，sin(2)4x取最大值1，∴mn的最小值为1－2，此时x＝8．19．(本题12分）如图，在菱形ABCD中，1,22BEBCCFFD．（1）若EFxAByAD

，求32xy的值；（2）若||6,60ABBAD，求ACEF．（3）若菱形ABCD的边长为6，求AEEF的取值范围．解：（1）因为1,22BEBCCFFD，所以1

2122323EFECCFBCDCADAB，所以21,32xy，故213232132xy．（2）∵ACABAD，∴2212121()23236AC

EFABADADABADABABAD∵ABCD为菱形∴||=||6ADAB∴2211||||cos66ACEFABABBAD

11136369662，即9ACEF．（3）6cos15AEEFABADAEEF的取值范围：21,9．20．(本题12分

）在①sinsin4sinsinbAaBcAB，②2cos223sin322CC，③(3)sinsinsinabAbBcC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．·7·已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，1+3sinsin4AB，

2c，___________，求角C及△ABC的面积S．解：选①sinsin4sinsinbAaBcAB，因为sinsin4sinsinbAaBcAB，所以由正弦定理得sinsinsinsin4sinsinsinBAABCAB，即2sinsin4sinsinsinBACAB，所

以1sin2C，因为0,πC，所以π6C或5π6C．若5π6C，由1+3sinsin4AB，而π6A，π6B，从而1sinsin4AB，矛盾，舍去．故π6C，接下来求△ABC的面积S．法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得224πsinsin6

cRC，2sin4sinaRAA，2sin4sinbRBB，16sinsin4(13)abAB，111sin4(13)13222ABCSabC．法二：由（1）得3cos2C，即3coscossinsin

2ABAB，1+3sinsin4AB，13coscos4AB，1cos()coscossinsin2ABABAB，5π5π(,)66AB，π3AB或π3BA，当π3AB时，

又5π6AB，7π12A，π4B，由正弦定理得π2sinsin422πsinsin6cBbC，117π2123sin222sin22()1322122222ABCSbcA△，当π3

BA时，同理可得13ABCS，故△ABC的面积为13．选②2cos223sin322CC，因为2cos223sin322CC，所以22cos13(1cos)320CC，即22cos3cos30CC，

(2cos3)(cos3)0CC，所以3cos2C或cos3C（舍），因为0,πC，所以π6C．以下同解法同①，·8·选③(3)sinsinsinabAbBcC，由(3)sinsinsinabAbBcC及正弦定理得

223ababc，即2223abcab，由余弦定理得2223cos22abcCab，0πC，π6C，以下解法同①．21．(本题12分）已知函数21()3sin()sin()cos22f

xxxx（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且1(),42fAb，求ABC面积S的取值范围．解：22113sinsincos3sincoscos222fxxxxxxx

31πsin2cos2sin2226xxx由πππ2ππ2π22π2π22π26233ZZkxkkkxkk解得：ππππ36kxkkZ，故

函数fx的单调递增区间为πππ,π36kkkZ．（2）1()2fAQ，π1sin262A，又π02A，π5π266A，π3A，又4b，1sin32VABCSbcAc在ABC中，由正弦定理得：sinsi

ncbCB，得sinsinbCcB314cossin4sin2223cos2sin232sinsinsintnπ3aBBBBBcBBBB又ABC为锐角三角形，且π3A，故π022ππ032BB，解得ππ6

2B·9·312323tan03062283tantantanBBBB，即28c323,83VABCScABC面积S的取值范围是：23,8322．(本题12分）习近平总书记说

“一个有希望的民族不能没有英雄，一个有前途的国家不能没有先锋！”为了宣传英雄,学习英雄．启东中学准备在图书馆二楼大厅建设“英雄馆”．如图的长方形大厅ABCD中，已知AB＝23，AD＝4．点P为大厅ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且P

E＝1，PF�3．现要在长方形大厅ABCD中辟出四边形“英雄馆”AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．（1）设∠FPN＝θ，试将四边形“英雄馆”AMPN的占地面积S表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N

在AD上的位置，使得四边形“英雄馆”AMPN的占地面积S最小，并求出其最小值．解：（1）在直角△NFP中，因为PF�3，∠FPN＝θ，所以NF�3tanθ，所以S△APN�12NA•PF�12（1�3tanθ）�3．在直角△MEP中，因为PE，∠EPM��3�θ，所以ME＝tan（�3�θ），所

以S△APM�12MA•PE�12（3�3tan（�3�θ））×1．所以S＝S△APN+S△APM�32tanθ�12tan（�3�θ）�3，θ∈[0，�3]，（2）因为S�32tanθ�12tan（�3�θ）�3�32tanθ�3�苨D懢�2珠1�3苨D懢���3．令t＝1�3tanθ，由θ∈[

0，�3]，得t∈[1，4]，所以S�3�3苨2�4苨�423苨�32（t�43苨）33�32�2�苨�43苨�33�2�33．当且仅当t�233时，即tanθ�2�33时等号成立．此时，AN�233，Smin＝2�33．答：当AN�

233时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为332．