【文档说明】四川省成都市列五中学2023-2024学年高三上学期10月月考 理数答案和解析.docx，共(20)页，1.052 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）高2021级数学（理科）一、选择题（每个小题都有4个选项，其中只有1个正确选项，请把正确选项直接填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共60分.）1.某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C

，D，E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】【分析】基本事件总数为25C10n==，A大学恰好被选中的基本事件为：1114CC4m==，根据古典概型概率公式即可求解.【详解】依题意，在A，B，C，D，

E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：25C10n==，A大学恰好被选中的基本事件为：1114CC4m==，所以A大学恰好被选中的概率为：25mPn==.故选：B.2.设集合U=R，集合1Mxx=，12Nxx=−，则2xx=（）A.()UMNðB.U

NMðC.()UMNðD.UMNð【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为|2xx即可.【详解】由题意可得|2MNxx=，则()|2UMNxx=ð，选项A正确；|1UMxx=ð，则|1UNM

xx=−ð，选项B错误；|11MNxx=−，则()|1UMNxx=−ð或1x，选项C错误；|1UNxx=−ð或2x，则UMN=ð|1xx或2x，选项D错误；故选：A.3.已知复数izxy=+（x，Ry）对应的点在第一象限，

z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，若4z=，则双曲线C的焦距为（）A.8B.4C.22D.2【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义和复数模的定义即可求得双曲线C的焦距.【详解】复数izxy=+（x，Ry）对应

的点在第一象限，则0,0xy，又z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，4z=，则双曲线C的焦距为22222422xyxy+=+=故选：B4.5(1)(2)xx−+展开式中3x的系数为（）A.80−B.40−

C.40D.80【答案】C【解析】【分析】应用二项式展开式分类计算即可.【详解】因为()()()5553232325550121C2C2C2kkkkxxxxxxx−=−+=−=+−+，所以含有3x的项为3232323

3355C2C2804040xxxxxx−=−=，故选：C.5.函数(31)cos()31xxxfx−=+的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性判断CD；根据特殊点判断AB.【详解】函数()fx的定义域为R，()(31)cos(

13)cos()()3113xxxxxxfxfx−−−−−−===−++，即函数()fx为奇函数，故CD错误；由(31)cos31()03131f−−==−++可知，C错误，A正确；故选：A6.将六位数“124057”重新排列后得到不同的六位

偶数的个数为（）A.152B.180C.216D.312【答案】D【解析】【分析】由题意，分末尾是2或4，末尾是0，即可得出结果.【详解】由题意，末尾是2或4，不同偶数个数为114244CCA192=，末尾是0，

不同偶数个数为55A120=，所以共有312个.故选：D7.设()5501521xaaxax+=+++，则125aaa+++=（）A.531−B.53C.52D.521−【答案】A【解析】【分析】令0x=求出0a，再令1x=求出015aaa+++，即可得解.【详解】因为()5

501521xaaxax+=+++，令0x=，可得5011a==，令1x=，可得()55015321aaa+++==+，所以512531aaa+++=−.故选：A8.执行如图所示的程序框图，若输入的,xyR，则（）A.输出的S的最小值为2−，最大值为

5B.输出的S的最小值为2−，最大值为4C.输出的S的最小值为0，最大值为5D.输出的S的最小值为0，最大值为4【答案】A【解析】【分析】作出可行域，利用线性规划与程序框图判定即可.【详解】作出不等式组001xyx

yy+−表示的可行域，由图可知，当直线3zxy=+过点()1,1时，z取得最大值4，当直线3zxy=+过点(1,1)−时，z取得最小值2−．因为45<，且,xyR，所以输出的S的最小值为2−，最大

值为5．故选：A9.某四面体的三视图如图所示（3个三角形都是直角边为1的等腰直角三角形），该四面体的外接球的表面积为（）A.3πB.4πC.6πD.12π【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原几何体，借助正方体

可求外接球的半径，从而得到面积.【详解】由题意可知，几何体是正方体一个角的三棱锥，它的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，外接球的半径为32R=，所以外接球的表面积为234π4π3π4SR===.故选：A.10.2021年是巩固脱贫攻坚成果

的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）种．A.540B.480C.360D.240【答案】A【解析】【分析】把6名工作人员分别分为(1，1，4)，(2，2，2)，(1，2，3)三种情况讨论，

然后分别计算即可求解．【详解】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：1143654322CCCA90A=种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：2223642333CCCA90A=种，把6名工作人员分为1，2，

3三组，不同的安排方式共有：12336533CCCA360=种，综上，不同的安排方式共有9090360540++=种，故选：A．11.设()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，()2xfx−=，

若对任意的,1xmm+，不等式()()2fxfxm−≥恒成立，则正数m的取值范围为（）A.m1B.1mC.01mD.01m【答案】A【解析】【分析】分析可知()2xfx=，由已知可得2xxm−对任意的,1xmm

+恒成立，解得2xm对任意的,1xmm+恒成立，可得出关于实数m的不等式，解之即可.【详解】因为函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，()2xfx−=，则当0x时，0x−，()()2xfxfx=−=，故对任意的xR，

()2xfx=，对任意的,1xmm+，不等式()()2fxfxm−≥恒成立，即222xxm−，即2xxm−对任意的,1xmm+恒成立，且m为正数，则()2xxm−，可得2xm，所以，12mm+，可得m1.故选：A.12.如图，

一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（）A.15,66B.12,33C.12,23D.11,62

【答案】A【解析】【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体111ABCDABD和三棱锥1AABD−，从而可得出答案.【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少临界情况为，水面为面1ABD，水最多的临界情况为多

面体111ABCDABD，水面为11BCD，因1111111326AABDV−==，11111111111151111326ABCDABDABCDABCDCBCDVVV−−=−=−=，所以1566V，即15,66V

.故选：A.二、填空题（请把每个小题的答案直接填写在答题卡相应位置上，每小题5分，共20分.）13.已知随机变量()23,2N，若23=+，则()D=___________.【答案】16【解析】【分析】根据正态分布可得()4D=，结合方差的性质运算

求解.【详解】因为()23,2N，则()224D==，又因为23=+，所以()()2216DD==.故答案为：16.14.已知向量(1,2)a=−，(,1)bm=r．若向量ab+与a垂直，则m=________．【答案】7【解析】的为【分析】首先求出ab+的坐

标，再根据两个向量垂直的性质得到()0aba+=，根据向量数量积的坐标运算得到方程，即可求得实数m的值．【详解】解：因为(1,2)a=−，(,1)bm=r，所以()1,3abm+=−，因为向量ab+与a垂直，所以()()1230abam+=−−+=，解得

7m=，故答案为：7．15.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为12,FF，过2F作一条直线与双曲线右支交于,AB两点，坐标原点为O，若221||,||5OAabBFa=+=，则该双曲线的离心率为_____

______.【答案】102##1102【解析】【分析】由12OAOFOF==得出12AFAF⊥，由定义结合勾股定理得出ma=，再由勾股定理得出离心率.【详解】解：如图，1212,OAOFOFcAFAF===⊥因为15BFa=，则21||||23BFBFaa=−

=，设2AFm=，则12AFma=+，则3ABma=+，由勾股定理可得22211||||||AFABBF+=，即()()()222235mamaa+++=，整理可得22560mama+−=，因为0m，解得ma=

，所以，2AFa=，13AFa=，由勾股定理可得2221212||||||AFAFFF+=，即()22292aac+=，整理可得210ca=，因此，该双曲线的离心率为102cea==.故答案为：10216.若

函数()22ln1fxxax=−+在1,10aa−上单减，则实数a的取值范围为______．【答案】11,104【解析】【分析】求出()fx的单调减区间，由1,10aa−为减区间的子集求出a的取值范围.【详解】()()244,0axafxxxxx−=−

=，当0a时，()0fx¢>，()fx在()0,+为增函数，当0a时，由()0fx得(0,]2ax，故()fx单调减区间为(0,]2a，因为()fx在1,10aa−上单减，所以10102aaa−，解得11,104a.故答案为：11,

104三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．经常

锻炼不经常锻炼总计男35女25总计100已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为12．的附：2(),()()()()nadbcknabcdabcdacbd−==+++++++.20()PKk0.10.0

50.010.0010k2.7063.8416.63510.828（1）完成上面的列联表；（2）根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．【答案】（1）列联表见

解析（2）有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关【解析】【分析】（1）根据概率计算这100名学生中经常锻炼的学生数，进而填写列联表；（2）根据独立性检验求解即可.小问1详解】解：设这100名学生中经常锻炼的学生有x人，则11002x=，解得

50x=．列联表完成如下经常锻炼不经常锻炼总计男352560女152540总计5050100【小问2详解】由（1）可知，()2100352515254.16760405050k−=，因为4.1672.706，

所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．18.为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成[3,5),[5,7),[7

,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【参考数据：若随机变量服从正态分布()2,N，则()0.6827P−+，(22)0.9545P−+，(33)0.9973P

−+．（1）求a的值；（2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布()2,N，其中近似为样本的平均数，经计算知2.39．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时

间在(7.45,14.62]内的人数；（3）现采用分层抽样方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）【答案】（1）0.12a=（2）4093（3）1【解

析】【分析】（1）由频率之和等于1，得出a；（2）计算平均数得出9.84=，再由正态分布的概率估计即可；（3）由分层抽样得出X的所有可能取值，再由超几何分布求解.【小问1详解】解：由题意得2(0.020.030.180.100.05)1a+++++=，解得0

.12a=．【小问2详解】由题意知样本的平均数为40.02260.03280.122100.182120.102140.0529.84+++++=，所以9.84=．又2.39，所以的()1(7.4514.62)(2)2PPP

=−+=−++()()11220.68270.95450.818622P−++=．则50000.81864093=，所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数约为4093．【小问3详解】[7,9),[9,11)对应的频率比

为0.24:0.36，即为2:3，所以抽取的5人中学习时间在[7,9),[9,11)内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3122132323333555CCCCC133(0),(1)

,(2)C10C5C10PXPXPX=========，所以1336()012105105EX=++=．则这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数约为1．19.如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点

，四边形OAED为矩形，且1AC=，3BC=．（1）若F为BC的中点，求证：//DF平面ACE；（2）若CE与平面OAED所成角为30，求二面角ADEC−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22211【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行和面面平行的判定

定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】连接DFOF、，在ABC中，OF、分别为ABBC、的中点，所以//OFAC，因为AC平面,ACEOF平面ACE，所以/

/OF平面ACE，在矩形OAED中，//ODAE，同理可得//OD平面ACE，又OFODO=，,OFOD平面ODF，所以平面//ODF平面ACE，因为DF平面ODF，所以//DF平面ACE；【小问2详解】过点C做CMAB⊥交AB于点M，连接ME由题可知OD⊥平面ABC，且//ODAE

，所以⊥AE平面ABC则AECM⊥，又ABAEA=，ABAE，平面OAED，所以CM⊥平面OAED，∴CE在平面OAED内射影为ME，则CEM即为CE与平面OAED所成的角，所以30CEM=在ABC中，由1122ABCMACBC=可知32CM=则3CE=，2AE=

，以C为坐标原点，ACBC、所在直线为xy、轴，过点C垂直于平面ABC为z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，()1,0,0A−，13,,222D−−，()1,0,2E−，()0,0

,2AE=，13,,022ED=−，()1,0,2CE=−，设平面ADE的法向量为()1111,,nxyz=，则1100AEnEDn==，即111013022zxy=−=，令11y=，则13x=，所以()13,1,0

n=，设平面CDE的法向量为()2222,,nxyz=，则2200CEnEDn==，即22222013022xzxy−+=−=，令21y=，则23x=，262z=，所以263,1,2n=，所以12121231222co

s,111122nnnnnn+===，因为二面角ADEC−−为锐二面角，所以二面角ADEC−−的余弦值为22211.20.已知拋物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点(1,2)P.（1）求抛物线

方程;（2）若直线l与抛物线交于,AB两点，且满足4OAOB=−，求证:直线l恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）24yx=（2）定点()2,0，证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线过点，代入即

可求出结果;（2）由题意直线方程可设为xmyn=+，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点.公众号：高中试卷君【小问1详解】由题可知，拋物线的开口向右，设拋物线方程为22ypx=，因为经过点(1,2)P，所以

42p=，解得2p=所以，抛物线的标准方程为:24yx=.【小问2详解】如图，设直线l的方程为:xmyn=+，联立方程24xmynyx=+=消y有：2440ymyn−−=由于交于,AB两点，设()()11

22,,,AxyBxy，则Δ0，即216160mn+，121244yymyyn+==−，，由()()1122OAxyOBxy==，，，.则2222121212444yyOAOBxxyyyynn=

+=+=−=−.解得:2n=，验证满足条件.所以直线l的方程为2xmy=+，即证直线l恒过定点(2,0).21.已知函数()()21ln402fxxaxxa=+−.（1）当3a=时，试讨论函数()fx的单调性；（

2）设函数()fx有两个极值点()1212,xxxx，证明：()()12ln10fxfxa+−.【答案】（1）()fx在区间()0,1，()3,+上单调递增，()fx在区间()1,3单调递减（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的符号讨论即可；（2）由函数()fx有两

个极值点可得()0fx=在()0,+上有两个根，从而求得a的取值范围，再结合韦达定理可知()()12ln8fxfxaaa+=−−，则原不等式转化为证明()1ln20aaa−+−，利用导数研究单调性进而证明即可.【小问1详解】公众号：高

中试卷君当3a=时，()213ln42fxxxx=+−定义域为()0,x+，()()()2133434xxxxfxxxxx−−−+=+−==，令()0fx=解得1x=或3，且当01x或3x时，()0fx¢>，当13x时，()0f

x，所以当01x或3x时，()fx单调递增，当13x时，()fx单调递减，综上()fx在区间()0,1，()3,+上单调递增，()fx在区间()1,3单调递减.【小问2详解】由已知()21

ln42fxxaxx=+−，可得()244axxafxxxx−+=+−=，函数()fx有两个极值点()1212,xxxx，即240xxa−+=在()0,+上有两个不等实根，令()24hxxxa=−+，只需

()()00240haha==−，故04a，又124xx+=，12xxa=，所以()()221211122211ln4ln422fxfxxaxxxaxx+=+−++−()()()2212121214lnlnln82xxaxxxxaa

a=−+++++=−−，要证()()12ln10fxfxa+−，即证ln8ln10aaaa−−−，只需证()1ln20aaa−+−，令()()1ln2maaaa=−+−，()0,4a，则()11ln1lnamaaaaa−=−++=−，令()()n

ama=，则()2110naaa=−−恒成立，所以()ma在()0,4a上单调递减，又()110m=，()12ln202m=−，由零点存在性定理得，()01,2a使得()00ma=，即001lnaa=，所以()00,aa时，()0ma，()ma单

调递增，()0,4aa时，()0ma，()ma单调递减，则()()()()0000000max00111ln2123mamaaaaaaaaa==−+−=−+−=+−，又由对勾函数知0013yaa=+−在()01,2a上单调递增，所以00111323022aa+−+−=−所以

()0ma，即()()12ln10fxfxa+−得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调

性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个：其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明.22.在平面直角

坐标系xoy中，曲线C的参数方程为112312xy=+=−（为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)M，直线l的参数方程为2xtyt=+=(t为参数，Rt)，且直线l与

曲线C交于A、B两点，求11||||MAMB+的值．【答案】（1）2213yx−=（2）223【解析】【分析】（1）根据参数方程消参即可得出直角坐标方程；（2）转化直线的参数方程与曲线C方程联立，结合韦达定理计算即可.【小问1

详解】曲线C的参数方程为112312xy=+=−(为参数），则22222211243124xy=++=−+，即2222221424123xy

−=++=+，两式相减，可得曲线C的直角坐标方程：2213yx−=【小问2详解】直线l与曲线C交于A、B两点，设A，B两点对应的参数为1t，2t，直线l的方程可转化为22222xtyt=+=，代入2213yx−=，得2

6290tt++=，则1212629tttt+=−=，则120tt、，所以()1212121111223ttMAMBtttt−++=+==．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.x

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