【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第一册 第三章　习题课——抛物线方程及其性质的综合应用含解析【高考】JJJJJJ.doc，共(9)页，761.000 KB，由小赞的店铺上传

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1习题课——抛物线方程及其性质的综合应用课后训练巩固提升A组1.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=()A.16B.12C.10D.8解析:由题意知p=

6,故|AB|=x1+x2+p=12.答案:B2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于P,Q两点,与y轴交于点A,若,O为坐标原点,则△OPQ的面积为()A.B.C.2D.4解析:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),其准

线方程为x=-1,过点Q作QN垂直于直线x=-1,与y轴交于点M.∵,∴F为AQ的中点,∴|QM|=2|OF|=2.∵|QM|=xQ,∴xQ=2.∴yQ=2,∴直线PQ的方程为y-0=(x-1),即y=2(x-1).由解得x=2

或x=,∴|PQ|=x1+x2+p=.又点O到直线PQ的距离d=,∴△OPQ的面积为S=|PQ|·d=.2答案:B3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.B.[-

2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析:准线x=-2,Q(-2,0),设l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0<k≤1.综上,k的取值范围是[-1,1].答

案:C4.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于()A.2B.C.2D.解析:设直线方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-4(k+2)x+4=0.∵直线与抛物线交于A,B两点,

∴Δ=16(k+2)2-16k2>0,即k>-1.又=2,∴k=2或k=-1(舍).∴|AB|=|x1-x2|==2.答案:C5.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是

()3A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-)∪(,+∞)解析:由题意可知t≠0.由已知可得直线AB的方程为y=x-1,联立直线与抛物线方程,得消元整理,得2x2-x+1=0,由于直线与抛物线无公共点,即方程2x2-x+1=0无解,故有Δ=-8<

0,解得t>或t<-.答案:D6.若直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=.解析:当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消去y得k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意,Δ=16(k-2)2-16k2=0,解得k=1.答案:0或17.已知抛

物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为.解析:设抛物线方程为y2=kx,与y=x联立方程组,消去y,得x2-kx=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x

2=k.∵P(2,2)为AB的中点,∴=2.∴k=4.∴y2=4x.答案:y2=4x8.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是抛物线C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的面积等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=4x1,=4x2,∴(y1+y2

)(y1-y2)=4(x1-x2).∵x1≠x2,∴=1.4∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.将其代入y2=4x,得A(0,0),B(4,4).∴|AB|=4.又F(1,0)到y=x的距离为,∴S△ABF=×4=2.答案:29.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在

x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点的横坐标为2,求k的值.解:(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,其准线方程为x=-,因为P(4,m)到焦点的距离等于P到其准线

的距离,所以4+=6,所以p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)由消去y,得k2x2-(4k+8)x+4=0.因为直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A,B,所以有k≠0,Δ=64(k+1)>0,解得k>-1,且

k≠0.又=2,解得k=2或k=-1(舍去),所以k的值为2.10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB;(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.(1)证明:如图所示,

由消去x得,ky2+y-k=0.5设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1·y2=-1,y1+y2=-.∵A,B在抛物线y2=-x上,∴=-x1,=-x2,∴=x1x2.∵kOA·kOB==-1,∴OA⊥OB.(2)解设直线与x轴交于点N,显然k

≠0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|·|y1-y2|,∴S△OAB=×1×.∵S△OAB=,∴,解得k=±.B组1.已知

直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于()A.B.C.D.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由得k2x2+(4k2-8)

x+4k2=0,∴x1x2=4.①∵|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+=x2+2,且|FA|=2|FB|,∴x1=2x2+2.②6由①②得x2=1,∴B(1,2),代入y=k(x+2),得k=.答案:D

2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A,B两点,若∈(0,1),则=()A.B.C.D.解析:因为抛物线的焦点为F,所以过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y=x+,与抛物线方程联立

得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p,所以,故选C.答案:C3.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过抛物线C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则k等于()A.B.C.D.2解析:由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0

),则过焦点且斜率为k的直线的方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立,消去y化简得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4+,x1x2=4,所

以y1+y2=k(x1+x2)-4k=,y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-16.因为=0,所以(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0(*),将上面各个量代入(*),化简得k2

-4k+4=0,所以k=2,故选D.答案:D74.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交抛物线C于点M(M在x轴的上方),l为抛物线C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.3解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方

程为x=-1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=(x-1).联立方程组解得∵点M在x轴的上方,∴M(3,2).∵MN⊥l,∴N(-1,2),∴|NF|==4,|MF|=|MN|==4.∴△MNF是边长为4

的等边三角形.∴点M到直线NF的距离为2.故选C.答案:C5.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是.8解析:=4x1,=4x2,则=4(x1+x2),若过

点P(4,0)的直线垂直于x轴,则直线方程为x=4,此时x1+x2=8,=32.若过点P(4,0)的直线存在斜率,则设直线方程为y=k(x-4),由得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0,则x1+x2=8

+>8,此时>32,因此的最小值为32.答案:326.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是.解析:设点Q的坐标为.由|PQ|≥|a|,得|PQ|2≥a2,即≥a2,整理,得+16-8a)≥

0.∵≥0,∴+16-8a≥0.即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2,∴a≤2.答案:(-∞,2]7.若抛物线y2=x上存在P,Q两点,并且P,Q关于直线y-1=k(x-1)对称,求k的取值范围.解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则⇒(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,9∴∴

y1+y2=-k.∴-1=k[(y1+y2)2-2y1y2-2],∴-k-2=k[k2-2y1(-k-y1)-2],∴2k+2k2y1+k3-k+2=0,∴Δ=4k4-8k(k3-k+2)>0,∴k(-k3+2k-4)>0,∴k(k3-2k+4)<0,∴k(k+2)

(k2-2k+2)<0,∴k∈(-2,0).8.在平面直角坐标系xOy中,设点F(1,0),直线l:x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹方程;(2)记Q的轨迹为曲线E,过点F作两条互相垂直的直线交

曲线E的弦为AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN过定点(3,0).(1)解因为点F(1,0),直线l:x=-1,所以点R是线段FP的中点,由此及RQ⊥FP知,RQ是线段FP的垂直平分线.因为|PQ|是点Q到直线l的距离,而|PQ|=|QF|

,所以动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=4x(x>0).(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),直线AB:x=my+1(m≠0),则消去x得y2-4my-4=0.于是有yM==2m

,xM=m·yM+1=2m2+1,即M(2m2+1,2m).同理,N.因此,直线MN的斜率kMN=,方程为y-2m=(x-2m2-1),即mx+(1-m2)y-3m=0.显然,不论m为何值,(3,0)均满足方程,所以直线MN过定点(3,0).