【文档说明】江苏省淮安市高中校协作体2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(21)页，986.919 KB，由小赞的店铺上传

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淮安市高中校协作体2021～2022学年度第二学期期中考试高二数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.已知空间向量(1,2,3)a

=−，则向量a在坐标平面xOz上的投影向量是（）A.(0,1,2)−B.(1,2,0)−C.(0,2,3)D.(1,0,3)−【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.【详解】根据空间中点的坐

标确定方法知，空间中点(1,2,3)A=−在坐标平面xOz上的投影坐标，纵坐标为0，横坐标与竖坐标不变．所以空间向量(1,2,3)a=−在坐标平面xOz上的投影向量是：(1,0,3)−，故选：D.2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若1cos,2mn=−u

rr，则l与α所成的角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A【解析】【分析】由1cos,2mn=−urr知直线l和平面α的法向量所夹锐角为60°，根据直线l和平面α的位置关系，即可得出答案.【详解】由已知得直线l和平面α的法向量所夹锐角为60°，

因此l与α所成的角为30°.故选：A.【点睛】本题考查线面角.属于基础题.找到向量m，n的夹角与l与α所成角的关系是解本题的关键.3.已知两平面的法向量分别为)0(()10011mn==，，，，，，则两平面所成的二面角为

（）A.45°B.135°C.45°或135°D.90°【答案】C【解析】【分析】直接利用空间向量的夹角公式公式，求解二面角的大小即可．【详解】12cos,==212mnmnmn=〈〉，即45mn=〈,〉.

∴两平面所成二面角为45或18045135=－.故选：C.4.411(12)xx++展开式中2x的系数为（）A.10B.24C.32D.56【答案】D【解析】【分析】先将式子411(12

)xx++化成4411(12)(12)xxx+++，再分别求两项各自的2x的系数，再相加，即可得答案.【详解】∵444111(12)1(12)(12)xxxxx++=+++，∴4(12)x+展开式中含2x的项为22241(2

)24Cxx=，41(12)xx+展开式中含2x的项33241(2)32Cxxx=，故2x的系数为243256+=.故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运

算求解能力.5.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有（）A.24种B.36种C.48种D.72种【答案】B【解析】【分析】分第一棒选A或选B，两类

求解.【详解】解：当第一棒选A时，第四棒只能选C，则有24A种选派方法；当第一棒选B时，则有242A种选派方法.由分类计数原理得，共有2224442336AAA+==种选派方法.故选：B6.如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A地出发，送

货到C地，且途经B地，要求所走路程最短，共有（）种不同的走法．A.100B.80C.60D.40【答案】D【解析】【分析】考虑小矩形的横边和直边，例如从B到C的最短距离就是从2个横边加3个直边共5条线段，不同的方法就是什么

时候走直边什么时候走横边，由组合知识可得不同的方法数，根据分步乘法计数原理可得．【详解】分两步，第一步从A到B的最短距离的走法有13434CC=，第二步从B到C的最短距离走法有235310CC=，由分步乘法计数原理得，总方

法数为41040=．故选：D．7.已知向量(2,0,1)n=为平面的法向量，点(1,2,1)A−在内，则点(1,2,2)P到平面的距离为（）A.55B.5C.25D.510【答案】B【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可【详

解】因为(1,2,1)A−，(1,2,2)P所以(2,0,1)PA=−−，因为平面的法向量(2,0,1)n=，所以点P到平面的距离|||41|5||5PAndn−−===.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研

究，设(0)abmm，，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为(mod)abm.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921(mod6)，若0122222222222222222aCCCC=++++，(mod10)ab

，则b的值可以是（）A.2019B.2020C.2021D.2022【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理化简0122222222222222222aCCCC=++++为11(101)−，展开可得到a被10除余9，由

此可得答案.详解】0122222222221122222222222(12)39aCCCC=++++=+==110111101292101011111111111111(101)1010(1)10(1)1

0(1)(1)CCCCC=−=+−+−++−+−,所以a被10除余9，2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019，故选：A.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上9.下列选项正确的是（）A.AC!mmnnm=B.11AAmmnnm−−=C.11CCCmmmnnn−+=+D.111CC1mmnnnm+++=+【答案】ACD【解

析】【分析】根据排列数和组合数公式，化简，即可求解.【【详解】A．根据排列和组合数公式，可知A显然成立；B.12A()()()1mnnnmnn−−−+=，11A(1)(2)(1)mnnnnm−−=−−−+，所以11AAmmnnn−−=，故B不成立；C.1!!CC!(

)!(1)!(1)!mmnnnnmnmmnm−+=+−−+−!11(1)!()!1nmnmmnm=+−−+−!(1)(1)!()!(1)nnmnmmnm+=−−+−(1)!!(1)!nmnm+=+−，

1(1)!C,!(1)!mnnmnm++=+−故C成立；D.11(1)!1!1CC(1)!()!1!()!1mmnnnnnnmnmmmnmm+++++===+−+−+，故D成立.故选：ACD10.如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，

下列结论正确的是（）A.BD//平面11CBDB.1ACBD⊥C.向量AD与1CBuuur的夹角为60°D.1AC⊥平面11CBD.【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法依次判断各选项的对错.【详解】解以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴

，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为1，则有A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，所以AD＝(0，1，0)，BD＝(－1，1，0)，1ACuuur＝(1，1，1)，11BD＝(－1，1，0)，

1CBuuur＝(0，－1，1)，对于选项A，由11BD＝BD可得11//BDBD，BD平面11CBD，11BD平面11CBD，所以//BD平面11CBD，A正确；对于选项B，由1ACuuur·1100B

D=−++=可得1ACBD⊥，B正确；对于选项C，由1cos,ADCB＝11ADCBADCB＝120,1802ADCB−，，故向量AD与1CBuuur的夹角为135，C错误；对于选项D，由1ACuuur·11=1100BD-

++=，1ACuuur·1=0110CB−+=，所以111ACBD^，11ACCB^，1111BDCBB＝，111,BDCB平面11CBD，所以1AC⊥平面11CBD，D正确；故选：ABD.11.关于()11ab−的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系

数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最大的【答案】AC【解析】【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知A正确，B不正确，C正确，根据项的系数的符号可知D不正确.【详解】()11ab−的

展开式中的二项式系数之和为1122048=，所以A正确；因为11n=为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正确.故选：AC【点睛】本题考查了二项展开式的

二项式系数的性质，考查了二项展开式中项的系数的最值问题，属于基础题.12.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）A.若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48

种B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C.若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种D.所有不同分派方案共34种【答案】ABC【解析】【分析】选项A，B，C均可用分类加法计数原理求解；选项D可用分

步乘法计数原理求解.【详解】选项A：若C企业最多派1名医生，则有以下两种情况：①派1名医生去C企业，剩余3名医生派到企业A或企业B中，有134232C=种；②4名医生全部派到企业A或企业B中，有4216=种.故共有321648+=种不同分派方案，故选项A正确；选项B：若每家企业至少分

派1名医生，则有以下三种情况：①派2名医生去A企业，剩余2名医生一人去B企业，一人去C企业，有214212CC=种；②派2名医生去B企业，剩余2名医生一人去A企业，一人去C企业，有214212CC=种；③派2名医生去C企业，剩余2名医生一人去A企业，一人去B企业，有214212CC=种.故共有12

121236++=种不同分派方案，故选项B正确；选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则有以下三种情况：①派医生甲去A企业，再派一名医生去A企业，剩余2名医生一人去B企业，一人去C企业，有11326CC=种不同分派方案；②派医

生甲去A企业，派2名医生去B企业，剩余1名医生去C企业，有233C=种；③派医生甲去A企业，派2名医生去C企业，剩余1名医生去B企业，有233C=种.共有63312++=种不同分派方案，故选项C正确；选项D：第一步

：派医生甲去3个企业中的任何一个，有3种；第二步：派医生乙去3个企业中的任何一个，有3种；第三步：派医生丙去3个企业中的任何一个，有3种；第四步：派医生丁去3个企业中的任何一个，有3种；由分步乘法计数原理知，

所有不同分派方案共4381=种，故选项D错误；故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答

题卡相应位置上）13.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取

零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为224534CCA,若取零，则排列数为21135333CCAA,因此一共有22421135345333CCACCAA1260+=个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的

解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.14.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心

E是BD上一点，3,BEED=以,,ABACAD为基底，则GE=__________．【答案】1131234ABACAD−−+【解析】【详解】由题意，连接AE，则3243GEAEAGABBDAM=−=+−321432ABA

DABABAC=+−−+（）（）．1131234ABACAD=−−+.故答案为1131234ABACAD−−+.15.空间直角坐标系Oxyz−中，经过点000(,,)Pxyz且法向量为(),,mABC=的平面方

程为0()Axx−+00)0(()ByyCzz−+−=，经过点000(,,)Pxyz且一个方向向量为,,0()()nvv=的直线l的方程为000xxyyzzv−−−==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为270xyz−+−=，经过()0,0,0的直线l的方

程为352xyz==−−，则直线l与平面所成角大小为________.【答案】6##30【解析】【分析】依题意可得平面法向量为()1,1,2m=−，直线方向向量()3,5,2n=−−，根据空间向量法求出

线面角的大小；【详解】解：由平面的方程为270xyz−+−=得平面法向量为()1,1,2m=−，经过()0,0,0直线l的方程为352xyz==−−得直线方向向量()3,5,2n=−−，设直线l与平面所成角是，则13(1)(5)2(2)1cos,2||||112925

2mnmnmn+−−+−===++++，又,[0,]mn，所以,3mn=，所以6=；故答案为：616.若554321543210(2)(1)(1)(1)(1)(1)xaxaxax

axaxa−=−+−+−+−+−+，则12345aaaaa++++=____________，3a=____________；（用数字作答）【答案】①.1②.10【解析】【分析】利用赋值法求得12345aaaaa++++，由二项式展开式的通项公式求得3a.【详解】由554321543210(2)

(1)(1)(1)(1)(1)xaxaxaxaxaxa−=−+−+−+−+−+，令1x=得01a=−，令2x=得012345123450,1aaaaaaaaaaa+++++=++++=.()()55211xx−=−−，所

以()2235110aC=−=.故答案为：1；10四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知在2112nxx−的展开式中，第9项为常数项.求：（1）n值；（2）

展开式中5x的系数.【答案】（1）10n=（2）1058【解析】的【详解】分析：（1）根据2112nxx−的展开式中，第9项为常数项，即可求解n的值；（2）由（1）可得展开式的通项公式，令

x的指数幂为5，求得r的值，即可得到展开式中5x项的系数.详解：（1）在根据2112nxx−的展开式中，第9项为常数项，则第9项的通项公式为88216488220922rnrnnnTCxxCx

−−−−−==，所以2200n−=，解得10n=.（2）由（1）可得展开式的通项公式52010201022110102(1)(1)2rrrrrrrrrrTCxxCx−−−−−+=−=−，令52052r−=，解得6r=，

则得到展开式中5x项的系数6101105248=C.点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式定理的通项是解答的关键，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1CrnrrrnTab−+=；（可以考查某

一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．18.用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？（1）偶数不相邻；（2）1和2之间恰有一个奇数，没有偶数；（3

）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.【答案】（1）1440（2）720（3）840【解析】【分析】（1）不相邻问题插空法（2）先考虑1*2和2*1的情况，再将它们看作一个整体，与其它元素全排列（3）先选3个位置排偶数，再在剩

下的位置排奇数.【小问1详解】根据题意，分2步进行分析：①先将4个奇数排好，有44A种排法，②排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排3个偶数，有35A种排法，则有43451440AA=个符合题意的七位数；【小问2详

解】根据题意，分2步进行分析：①在1和2之间安排一个奇数，考虑1*2和2*1的情况，有223A种安排方法，②将三个数字看成一个整体，与其他4个数字全排列，有55120A=种排法，则有25253720AA=个符合题意的七位数；【小问3详解】根据题意，分2步进行分析：①

在7个数位中任选3个，将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列，有37C种排法，②剩下4个数字安排在剩下的4个数位上，有44A种排法，则有3474840CA=个符合题意的七位数.19.在二项式1()2nxx+的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②

所有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的常数项.(备注：如果

多个条件分别解答，按第一个条件计分)【答案】（1）356316Tx−=，326638Tx−=（2）212【解析】【分析】（1）选择①由01246nnnCCC++=求解；选择②：由024256nnnCCC+++=求解；选择③：由通项公式为3221C2−−+=rnrrnrnTx，令32

02rn−=求解；由9n=，得到展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项求解；（2）由展开式通项为3189219C2−−+=rrrrTx，令31802r−=求解.【小问1详解】解：选择①：因为展开式前三项的二项式系数和等于46，的所以

01246nnnCCC++=，即(1)1462nnn−++=，即2900nn+−=，即()()1090nn+−=，解得9n=或10n=−（舍去）选择②：因为所有奇数项的二项式系数和为256，所以024256nnnCCC+

++=，即12256n−=，解得9n=.选择③：通项公式为32()2211CC22nrrrnrnrrrnrnnTxxx−−−−−+==，则有3202rn−=，所以32nr=因为展开式中第7项为常数项，即6r=

，所以9n=.所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，5452359163C216Txxx−−==，453542269163C28Txxx−−==；【小问2详解】展开式通项为：9318(9)9221991CC22rrrrrrrrTxxx−−−−−+

==，令31802r−=，6r=，展开式中常数项为第7项，常数项为637921C22T−==.20.设82345678012345678(31)xaaxaxaxaxaxaxaxax−=++++++++.（1）求02468a

aaaa++++的值；（2）求12326272727272727SCCCCC=+++++除以9的余数；（3）求123482348aaaaa+++++的值.【答案】（1）71522+（2）7（3）3072【解析】【分析】（1）分别令1x=和=1x−，两式相加即可得结

果；（2）根据二项式系数和公式可得9(91)1S=−−，再按照二项式定理展开即可得结果；（3）先对函进行求导，再令1x=即可得结果.【小问1详解】（1）对于823801238(31)xaaxaxaxax−=

+++++令1x=，得：8012382aaaaa=+++++①令=1x−，得：8012384aaaaa=−+−++②①+②得：88024682()24aaaaa++++=+∴7150246822aaaaa++++=+.【小问2详解】12326272792727272727CC

CCC2181S=+++++=−=−9(91)1=−−09182727278899999999C9C9(1)C9(1)C9(1)C9(1)C(1)1=+−+−++−+−+−−08172627788999999C9C9(1)C9(1)C9(1)C(1)2=+−+−++−+−−显然，

上面括号内的数为正整数，故求S被9除的余数为7.【小问3详解】823801238(31)xaaxaxaxax−=+++++两边求导数得：7127123824(31)238xaaxaxax−=++++，令1x=，则有7123824223

8aaaa=++++，即12382383072aaaa++++=.21.如图，在棱长是2的正方体1111ABCDABCD−中，E为CD的中点.（1）求证：11EBAD⊥；（2）求异面直线1DE与1AB所成角的余弦值；（3）求点1B到平面1A

DE的距离.【答案】（1）证明见解析（2）1010（3）6【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【小问1详解】解：因为正方体1111ABCDABCD−棱长为2，故以D为坐标

原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)D，(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C，1(0,0,2)D，1(2,0,2)A，1(2,2,2)B，1(0,2,2)C.因为E为CD的中点，

所以(0,1,0)E，1(2,1,2)EB=，1(2,0,2)AD=−，所以112(2)10220EBAD=−++=，所以11EBAD⊥，即11EBAD⊥；【小问2详解】解：因为1(0,1,0)(0,0,2)(0,1,2)DE=−=−，1(2,2,

2)(2,0,0)(0,2,2)AB=−=，所以1111112410cos,10||||58DEABDEABDEAB−===−，因为异面直线1DE与1AB所成角是锐角，所以异面直线1DE与1AB所成角的余弦值是1010.【小问3详解】解：设平

面1ADE的法向量是(,,)mxyz=，则1mAD⊥，mAE⊥，即100mADmAE==，又1(0,0,2)(2,0,0)(2,0,2)AD=−=−，(0,1,0)(2,0,0)(2,1,0)AE=−=−，所以22020xzxy−+=−+=令

1x=，则2y=，1z=，所以(1,2,1)m=，又1(2,1,2)EB=，所以点1B到平面1ADE的距离1|||222|6||6EBmdm++===.22.四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，60ADC

=，2PAAD==，E为AD的中点.（1）求证：平面PCE⊥平面PAD；（2）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值；（3）求二面角APDC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64（3）77【解析】【分析】(1)根据面面垂直

的判定定理证明；(2)平面直角坐标系，利用向量方法求解；(3)求二面角的两个半平面的法向量，利用法向量夹角与二面角的平面角的关系结合向量夹角公式求解.【小问1详解】因为四边形ABCD为菱形，所以DADC=.又60ADC=，

所以ADC△为等边三角形，即有CACD=，又在ADC△中，因为E是AD中点，所以CEAD⊥.因为PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，所以CEPA⊥.又PAADA=，,PAAD平面PAD，所以CE⊥平面PAD，又CE平面PCE，所以平面PCE⊥平面PAD.【小问2详解

】取BC中点为F，则AFBC⊥，又//ADBC，所以AFAD⊥，因为PA⊥平面ABCD，所以,,PAADPAAF⊥⊥故以A为坐标原点，以AF，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz−.则各点的坐标为：(0,0,0)A，(0,0,2)P，(3,0,0)F，(3,

1,0)B−，(3,1,0)C，(0,2,0)D，(0,1,0)E.由(1)EC⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量是(3,0,0)EC=，又(3,1,2)=−PC设直线PC与平面PAD所成角是，36sinco

s,4||||3143PCECPCAFPCEC====++，直线PC与平面PAD所成角的正弦值是64.【小问3详解】设二面角APDC−−的平面角为，设平面PDC的法向量(,,)nxyz=，则,,nPCnPD⊥⊥所以0,0,nPCnPD==而(3,1

,2),(0,2,2)PCPD=−=−，则320,220xyzyz+−=−=，令1z=，则1y=，33x=，所以)3,1,13(n=，又平面PAD法向量是()3,0,0AF=，所以17coscos,7||||11133n

AFnAFnAF====++，的所以二面角APDC−−的平面角的余弦值是77.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com