【文档说明】福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.839 MB，由小赞的店铺上传

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福州市八县（市）协作校2022—2023学年第二学期期末联考高二数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的．1.已知集合240Axx=−Z，1,2B=，则AB=（）A.0,1,2B.2,1,0,1,2−−C.2,1,1,2−−D.1,0,1,2−【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，再根据并集的运算求解即可.【详解】2402

22,1,0,1,2Axxxx=−=−=−−ZZ，因为1,2B=，所以AB=2,1,0,1,2−−.故选:B.2.若复数z满足()1i2z+=，则复数z的虚部为（）A.-IB.iC.-1D.1【答案】C【解析】【分析】设i(,R)zabab=+

，根据条件，利用复数的运算法则即可求出结果.【详解】设i(,R)zabab=+，因为()1i2z+=，所以(i)(1+i)=()i2ababab+−++=，故20abab−=+=，得到1,1ab==−，故选为：C.3.已知2cosins0+=，则tan2=（）A.22B

.22−C.2D.24【答案】A【解析】【分析】首先求tan，再代入二倍角的正切公式，即可求解.【详解】因为2cosins0+=，所以tan2=−，()222tan22tan2221tan12−===−−−.故选：A4.南宋数学家杨辉所著的《详解

九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．若“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列na，则（）A.655aa−=B.1045a=C.212nnnaaa+++=D.11nnaan+−

=+【答案】D【解析】【分析】由题意，根据等差数列求和公式，写出通项公式，可得答案.【详解】由题意可得：11a=，2123a=+=，31236a=++=，L，()11232nnnan+=++++=L，对于A，()()65616515

622aa++−=−=，故A错误；对于B，()1010110552a+==，故B错误；对于C，()()()221233322nnnnnnaann+++++=+=++，()()211222322nnnann+++==++，故C错误；对于D，()()()1121122nnnnnanan+

+++=−=+−，故D错误.故选：D.5.已知p：6ab+，q：9ab，则p是q的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】分别取4ab==−与1,9ab=−=即可求解.【详解】取4ab==−，满足6ab+，但9ab不成立，

故充分性不成立；取1,9ab=−=，满足9ab，但6ab+不成立，故必要性不成立.所以p是q的既不充分也不必要条件.故选:D.6.已知四边形ABCD是平行四边形，2AEEB=，若EC与BD交于点O，且14EOABED=+，则=（）A.14B.38C.12D.34【答案】A【

解析】【分析】结合图形，利用平面向量基本定理的推论，即可求解.【详解】由题意可知，3ABEB=，所以134EOEBED=+，因为,,OBD三点共线，所以1314+=，得14=.故选：A7.设点1F、2F分别是椭

圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点，点M、N在C上（M位于第一象限）且点M、N关于原点对称，若12MNFF=，223NFMF=，则C的离心率为（）A.108B.104C.58D.558【答案】B【解析】【分析】分析可知，四边形12MFNF为矩形，设2MFt=，则(

)130MFtt=，利用椭圆定义可得出2a与t的等量关系，利用勾股定理可得出2c与t的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，O为12FF、MN中点，则四边形12MFNF为平行四边形，则1223MFNFMF==，又因

为12MNFF=，则四边形12MFNF为矩形，设2MFt=，则()130MFtt=，所以，1224aMFMFt=+=，由勾股定理可得222212122910cFFMFMFttt==+=+=，所以，该椭圆的离心率为21010244cteat===.故选：B.8.已知1cos2a=，12

sin2b=，78c=，则（）A.cbaB.cabC.bacD.acb【答案】C【解析】【分析】分别构造函数()21cos1,012fxxxx=+−与()tan,01hxxxx=−，利用导数求单调性即可比较大小.【详解】设()21cos1,012fxxxx=+−，

则()sinfxxx=−+.的令()()sin,01gxfxxxx==−+，则()1cos0gxx=−,所以函数()gx在()0,1上单调递增，所以()()00gxg=,即()0fx¢>,所以()fx在()0,1上单调递增,所以

()()00fxf=,所以21111cos102222f=+−,即17cos28，即ac.设()tan,01hxxxx=−,所以()2221sin10coscosxhxxx=−=,所以()h

x在()0,1上单调递增,所以()()00hxh=,所以102h,即11tan022−,即112sincos22,即ba.综上所述，bac.故选:C.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从

而比较出代数式的大小.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A.若ab，则22acbcB.若ab，cd，则acb

d−−C.若14a，21b−，则06ab−D.若1a，则1aa+的最小值是2【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性质，对ABC三个选项逐一分析判断即可判断出正误；选项D，利用基本不等式即可判

断出正误.【详解】选项A，当0c=，22acbc=，故选项A错误；选项B，因为ab，cd，所以cd−−，由不等式性质知，acbd−−，故选项B正确；选项C，14a，21b−，所以12b−−，由不等式性质知，

06ab−，故选项C正确；选项D，因为1a，1122aaaa+=，当且仅当1a=时取等号，所以等号取不到，选项D错误.故选：BC.10.已知圆O：224xy+=和圆M：224240xyxy+−++=相交于A，B两点，点C是圆M上的动点，定点P的坐标为()5,3，则下列说法正确的

是（）A.圆M的圆心为()2,1，半径为1B.直线AB的方程为240xy−−=C.线段AB的长为455D.PC的最大值为6【答案】BCD【解析】【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径即可判断选项A的正误；联立两圆的方程求得AB的方程可判断选项B的正误；由点到直线的距离公式及垂径定

理求得AB的长判断选项C的正误，利用圆上动点到定点距离最大值为定点到圆心距离和半径和，可判断出选项D的正误.【详解】选项A，因为圆M的标准方程为22(2)(1)1xy−++=，所以圆心圆心为()2,1M−，半径为1，故选项A错误；选项B，

因为圆O：224xy+=和圆M：224240xyxy+−++=相交于A，B两点，两圆相减得到4280xy−−=，即240xy−−=，故选B正确；选项C，由选项B知，圆心(0,0)O到直线AB的距离为45d=，所以221645224

55ABRd=−=−=，故选项C正确；选项D，因为()2,1M−,()5,3P，所以9165PM=+=，又圆M的半径为1，故PC的最大值为516PMr+=+=，故选项D正确.为故选项：BCD.11.已知0，函数

()πcos6fxx=+，下列选项正确的有（）A.若()fx的最小正周期2T=，则π=B.当2=时，函数()fx的图像向右平移π6个单位长度后得到cos2yx=的图像C.若()fx在区间()0,

π上只有一个零点，则的取值范围是14,33D.若()fx在区间ππ,32上单调递增，则的取值范围是5,62【答案】AC【解析】【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A

正确；利用三角函数的图像变换，可判定B错误，由()fx在区间()0,π上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定C正确；根据()fx在区间ππ,32上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当0k=时，不等式有解，可判定D错误；【详解】选项A，由余弦函数图像与性质，可得2π

2T==，又0，所以得π=，所以选项A正确；选项B，当2=时，可得()πcos26fxx=+，将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度后得πππcos2cos2cos2666yxxx=−+=−，所以选项B

错误；选项C，若()fx在区间()0,π上只有一个零点，由πππ,Z62xkk+=+，得到解得ππ3,Zkxk+=，所以π0π34ππ3，得到1433，所以C正确

,选项C，若()fx在区间ππ,32上单调递增，则πππ2π36,Zππ2π2π26kkk++++，解得51164,Z23kkk++，又因为0，所以只有当0k=时，此不等式有

解，即51123，所以D错误；故选：AC．12.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E、F分别为AB、BC的中点，则（）A.异面直线1DD与1BF所成角的余弦值为255B.过点1D、E、F的平面截正方体1111ABCDABCD−所得的截面周长为2132+C.当三棱锥1BBEF−

的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为62πD.点P为正方形1111DCBA内一点，当//DP平面1BEF时，DP的最小值为322【答案】ABD【解析】【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A选项；作出截面，求出截面周长，可判断B选项；将三

棱锥1BBEF−补成长方体1BEIFBSQT−，计算出长方体1BEIFBSQT−的外接球半径，结合球体体积公式可判断C选项；分别取AD、11AD、11CD的中点X、W、U，连接DW、DU、UW、1AX、

XF，证明出平面//DWU平面1BEF，分析可知，当PWU时，//DP平面1BEF，计算出DUW△三边边长，求出DP的最小值，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为11//BBDD，所以，异面直线1DD与1BF所成角为1BBF，因为

1BBBF⊥，则222211215BFBBBF=+=+=，111225cos55BBBBFBF===，故异面直线1DD与1BF所成角的余弦值为255，A对；对于B选项，延长EF分别交直线DA、DC于点M、N，连接1DM交1AA于点G，连接1DH交1CC于点H，连接

EG、FH，故过点1D、E、F的平面截正方体1111ABCDABCD−所得的截面为五边形1DGEFH，因为//BCAD，则1AMAEBFBE==，则1AMBF==，因为1//AGDD，则1113MGAMAGMDMDDD===，则1123GDMD=，11233AGDD==，因为1DDAD⊥，3

DMAMAD=+=，12DD=，则2222113213MDMDDD=+=+=，故11221333GDMD==，同理可得12133HD=，因为23AG=，1AE=，AGAE⊥，则2222213133EGAGAE=+=+=，同理可得133F

H=，又因为22112EFBEBF=+=+=，因此，五边形1DGEFH的周长为1121313222213233GDHDEGFHEF++++=++=+，B对；对于C选项，因为1BB⊥平面BEF，BEBF⊥，将三棱锥1BBEF−补成长方

体1BEIFBSQT−，如下图所示：其中1BEBF==，12BB=，则长方体1BEIFBSQT−的外接球直径为222121146RBEBFBB=++=++=，故62R=，因此，三棱锥1BBEF−的外接球O的体积为33446ππ6π332VR===，C错；

对于D选项，分别取AD、11AD、11CD的中点X、W、U，连接DW、DU、UW、1AX、XF，因为//ABCD且ABCD=，点X、F分别为AD、BC的中点，所以，//AXBF且AXBF=，故四边形ABFX为平行四边形，则//XFAB且

XFAB=，又因为11//ABAB且11ABAB=，所以，11//XFAB且11XFAB=，故四边形11ABFX为平行四边形，所以，11//AXBF且11AXBF=，因为11//ADAD且11ADAD=，X、W分别为AD、11AD的中点，所

以，1//DXAW且1DXAW=，故四边形1AWDX为平行四边形，则1//DWAX，所以，1//DWBF，又因为DW平面1BEF，1BF平面1BEF，所以，//DW平面1BEF，同理可证//DU平面1BEF，因为DWDUD=，DW、DU平面DWU，所以，平面//DWU平

面1BEF，因为WU平面1111DCBA，且P平面1111DCBA，则当PWU时，DP平面DWU，则有//DP平面1BEF，因为222211215DWDDDW=+=+=，同理可得5DU=，2WU=，当DPWU⊥时，即当点P为WU的中点时，DP的长取最小值，此时，222232522DPD

WWP=−=−=，D对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球

的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点

间的距离公式可求得球的半径.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.平潭城关中学校团委准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，

则恰好选中一名男生和一名女生的概率为______．【答案】35##06【解析】【分析】基本事件总数25C10n==，两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数11326CCm==，由此能求出两人恰

好是一名男生和一名女生的概率．【详解】从3名男生和2名女生中随机选取两人，基本事件总数25C10n==，.两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数11326CCm==，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是63105mpn===．故答案为:35．14.请写出一

个同时满足下列3个条件的函数()()fxxR：()fx=______．①()()fxfx−=；②()()1fxfx=+；③()fx在1,12上单调递增；【答案】sinπx−（答案不唯一）【解析】【分析】取()sinπfxx=−，利用正弦型函数的基本性质

逐项验证①②③，可得结果.【详解】取()sinπfxx=−，则该函数的定义域为R，对于①，()()()sinπsinπfxxxfx−=−−=−=，①满足；对于②，()()()()1sinπ1sinππsinπfxxxxfx+=−+=−+=−=，②满足；对于③，当112x

时，πππ2x，则()sinπfxx=−，所以，函数()sinπfxx=−在1,12上单调递增，③满足.故答案为：sinπx−（答案不唯一）.15.已知向量a，b的夹角为π3，且1a=，2b=，则向量2ab+在向量a上的投影向量为______．（用a表示）【答案】

3a【解析】【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.【详解】因为向量a，b的夹角为π3，且1a=，2b=，所以11212ab==，向量2ab+在向量a上的投影向量为()22221231abaaaabaaaaaa+++===.故答案为:3a.16.已知函数()e2ln2xfxaxax

x=+−存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是______．【答案】e,2−【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意()0fx=存在唯一的变号正实根，即()()021exxax−=−存在唯一的变号正实根，当0a符合题意，当0a

时参变分离可得e0xax−=没有除1之外的正实根，构造函数()exgxx=，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出a的取值范围.【详解】函数()fx的定义域为()0,+，且()()()()22e1e12122xxxxaxafxaxxxx−−−=+−=−()()21e2xx

axx−−=，依题意可得()=0fx存在唯一的变号正实根，即()()021exxax−=−存在唯一的变号正实根，当0a时，e20xax−，方程只有唯一变号正实根1，符合题意，当0a，方程e20xax−=，即e20xax

−=没有除1之外的正实根，令()exgxx=，则()()21exxgxx−=，所以当01x时，()0gx，当1x时，()0gx，即()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min1egxg==，所以02ea，解得e02a此时，当01x时

，()0fx，此时函数()fx单调递减，当1x时，()0fx¢>，此时函数()fx单调递增，.则函数()fx存在唯一的极值点，合乎题意.综上可得e,2a−.故答案为：e,2−.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数

的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17.已知数列na满足12a=，()*121Nnnaan+=+．（1）证明数

列1na+是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）求数列na落入区间()2,2024的所有项的和．【答案】（1）证明见解析，1321nna−=−（2）3057【解析】【分析】（1）由已知可得()1121nnaa++=+，利用等比数列的定义证明结论，从而可求出na

的通项公式，（2）解不等式123212024n−−，即得n的范围，再利用分组求和求解.【小问1详解】由121nnaa+=+，可知，()1121nnaa++=+，得1121nnaa++=+，且113a+=，所以数列1na+是首项为3，公比为2的等比数列，所

以1132nna−+=，即1321nna−=−；【小问2详解】由题意22024na，即123212024n−−，解得：112675n−，即110n，故na落入区间()2,2024的项为

2345678910,,,,,,,,aaaaaaaaa，所以其和2345678910Saaaaaaaaa=++++++++123493(22222)19=+++++−()92123912−=−−3057=.18.为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提

升，平潭某旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了500名游客，根据这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100五组，得到如图所

示的频率分布直方图．（1）求直方图中x的值和第80百分位数；（2）为了解部分游客给餐饮服务工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的游客中用分层抽样的方法随机选取30人作进一步调查，求应选取评分在)

60,70的游客人数；（3）若游客的“认可系数”（100=认可程度平均分认可系数）不低于0.85．餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改根据你所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，井说明理由．【答案】（1）0.01x=，第80百分位数为9

2；（2）10；（3）“餐饮服务工作”需要进一步整改，理由见解析；【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出x的值，再根据百分位数的计算规则计算可得；（2）首先求出三组的比例，再按照分层抽样计算可得；（3）求出平均数，

即可判断.【小问1详解】由图可知：()100.0150.020.030.0251x++++=，解得0.01x=.因为)50,90内的频率为0.10.150.20.30.750.8+++=，所以第80百分位数位于区间90,100

内，设为m，所以()0.75900.0250.8m+−=，解得92m=，所以第80百分位数为92.【小问2详解】低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.22:3:4=，则应选取评分在)60,70的学生人数为：33010234=++（人）；【小问3详解

】由图可知，认可程度平均分为：550.1650.15750.2850.3950.2579.5x=++++=0.8510085=，所以“餐饮服务工作”需要进一步整改.19.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且()sin2sinABC−=．（1）证明：2222abc=

+；（2）若2π3A=，6a=，2BMMC=，求AM的长度．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理即可得证；（2）在ABC中，由（1）结

合余弦定理求出,bc，再在ABM中，利用余弦定理即可得解.【小问1详解】由()()sin2sin2sinABCAB−==+，得sincoscossin2sincos2cossinABABABAB−=+，则sincos3co

ssin0ABAB+=，由正弦定理和余弦定理得：2222223022acbbcaabacbc+−+−+=，化简得2222abc=+；【小问2详解】如图：在ABC中，222222cos36abcbcAbcbc=+−=++=，又因为2222ab

c=+，所以2222236bcbcbc+=++=，所以23bc==，所以π6BC==，由2BMMC=，得22433BMBCa===，在ABM中，2222cosAMABBMABBMB=+−π12162234cos46=+−=，所以2AM=.20.

如图，三棱台111ABCABC-中，1124ABBCBC===，D是AC的中点，E是棱BC上的动点．（1）若1AB∥平面1DEC，确定E的位置.（2）已知1CC⊥平面ABC，且1ABBC⊥．设直线1BC与平面1DEC

所成的角为，试在（1）的条件下，求sin的最大值．【答案】（1）见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据线线平行可得四边形11ADCA为平行四边形，进而可得1//AA平面1DEC,又得平面11ABBA//平面1DEC，由面面平行

的性质即可得线线平行，即可求解；（2）根据线线垂直可得线面垂直，即可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得222sin6420aa=++，结合不等式即可求解.【小问1详解】连接1,DCDE,由三棱台111ABCABC-中，1124,ABBCBCD===是AC的中点可得1111//,

ACADACAD=,所以四边形11ADCA为平行四边形，故11//AADC,1AA平面1DEC,1DC平面1DEC,故1//AA平面1DEC,又1AB//平面1DEC，且11,ABAA平面11ABBA，11ABAAA=，所以平面11AB

BA//平面1DEC，又平面11ABBA平面ABCAB=,平面ABC平面1DECDE=,故//DEAB,由于D是AC的中点,故E是BC的中点，故点E在边BC的中点处，1AB//平面1DEC;【小问2详解】因为1CC⊥平面ABC，AB平面ABC,所

以1CCAB⊥,又1,ABBC⊥11111,CCBCCCCBC=，平面11BCCB,故AB⊥平面11BCCB,由于BC平面11BCCB,所以ABCB⊥,由（1）知：E在边BC的中点，D是AC的中点

,所以//EDAB,进而DEBC⊥，连接1BE,由1111//,,BCECBCEC=所以四边形11BCCE为平行四边形，故11//CCBE,由于1CC⊥平面ABC，因此1BE⊥平面ABC，故1,,EDECEB两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系；设1BEa=，则(

)()()()()()110,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,,0,0,EBCDCaBa−，故1(0,2,0),(2,0,)EDECa==，设平面1DEC的法向量为(),,mxyz=，则1020EDmyECmxaz===+=，取xa=，则(),0,

2ma=−，又()14,0,BCa=，故1122212222221sincos,3644166420220BCmaBCmBCmaaaaaa=====+++++，当且仅当2264aa=，即22a=时取等号，所以sin的最大值为13.21.如图，正

六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．（1）建立适当的平面直角坐标系，求的方程；（2）过点A的直线l与交于P，Q两点，()1APAQ=−，若点M满足PMMQ=，证明：点M在一条定直线上

．【答案】（1）221412xy−=（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，建立平面直角坐标系，利用双曲线渐近线方程以及焦距的定义，结合其标准方程，可得答案；（2）由题意，设出直线方程，联立直线与双曲线，写出韦达定理，利用向量数乘的坐标表示

，建立方程，解得动点坐标，可得答案.【小问1详解】如图，连接,,ADCFBE交于点O，以点O为坐标原点，OD方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则4OAODOE===，()()4,0,4,0AD−，即4c=，30OEH=，cos3023EHOE==o，()2,23E，BE

直线方程：3yx=，3ba=，则3ba=，222abc+=，则22316aa+=，解得24a=，212b=，双曲线22:1412xy−=.【小问2详解】的由题意，直线l的斜率存在，则其方程可设为()4ykx=+，联立可得()2241

412ykxxy=+−=，消去y可得：()22223816120kxkxk−−−−=，230k−，()()422644161230kkk=++−，化简得210k+，设()()1122,,,PxyQxy，则212283kxxk+=−，212216123kxxk+

=−−，()114,APxy=+uuur，()224,AQxy=+uuur，APAQ=uuuruuurQ，1244xx+=+，12yy=，设()00,Mxy，()0101,PMxxyy=−−uuur，()2020,MQxxyy=−−uuur，PMMQ=uuuruuurQ，

0120xxxx−=−，则01122044xxxxxx−+==+−，()()()()12020144xxxxxx+−=+−，1201200212014444xxxxxxxxxxxx−+−=−+−，()()1201202480xxxxxx+−+−=，()2200221612824

8033kkxxkk−−+−−=−−，()()22200322448830kxkxk−−+−−−=，222200043430kkxkxxk−−+−−+=，解得01x=−，由APAQ=，PMMQ=，则,,,APQM在同一直

线上，即()002ykxk=+=，故M在直线=1x−上.【点睛】圆锥曲线与直线问题解题关键思想为：设而不求，联立直线方程与圆锥曲线方程并化简整理一元二次方程，写出韦达定理，结合题目中的其他等量关系，联立方程即

可.22.已知函数()lnbfxaxxx=+−，其中a、bR．（1）若0b=，讨论函数()fx的单调性；（2）已知1x、2x是函数()fx的两个零点，且12xx，证明：()()211211xaxbxax−−．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）若0b=，求得(

)11axfxaxx−=−=，分0a和0a两种情况，结合导数的符号，即可求得函数()fx的单调区间；（2）根据题意得到21121221lnlnxxbaxxxxxx−=−−，要证()()211211xaxbxax−−，

转化为11ln1ttt−−，令()()1ln11ptttt=−+，求得()0pt，得出函数()pt的单调性，得出1ln1tt−，再设()ln1qttt=−+，求得()0qt，得到ln1tt−，即可求解.【小问1详解】解：若0

b=，即()()ln0fxaxxx=−，可得()11axfxaxx−=−=，①若0a，则()0fx，即()fx的减区间为()0,+，无增区间；②若0a，令()0fx¢>得1xa，令()0fx可得10xa，此时，函数

()fx的减区间为10,a，增区间为1,a+.综上所述，当0a时，函数()fx的减区间为()0,+，无增区间；当0a时，函数()fx的减区间为10,a，增区间为1,a

+.【小问2详解】证明：由题意知1x、2x是()fx的两个零点，且12xx，即111ln0baxxx+−=，222ln0baxxx+−=，所以()12211211lnln0axxbxxxx−+−+−=，即21121221lnlnxxbax

xxxxx−=−−，要证：()()211211xaxbxax−−，只需证：122121axxxbaxxx−−，即证：21212121lnlnxxxxxxxx−−−−−，即证：1222111ln1xxxxxx−−，令211xtx=，即证：11ln1ttt−

−，令()()1ln11ptttt=−+，可得()221110tptttt−=−=，即()pt在()1,+上单调递增，则()()10ptp=，即1ln1tt−，设()()ln11qtttt=−+，有()110qtt=−，所以()qt在()1,+上单调递减，

则()()10qtq=，即ln1tt−.综上可得：()()211211xaxbxax−−.【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问

题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com