【文档说明】福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.222 MB，由小赞的店铺上传

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福州市八县（市）协作校2022-2023学年第二学期期中联考高二数学试卷完卷时间：120分钟满分150分命题：福清融城中学王强林江平一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.1.直线2023y=的倾斜角为（）A.180B.0C.90D.45【答案】B【解析】【分析】求出直线2023y=的斜率即可得倾斜角.【详解】因为直线2023y=的斜率为0，故其倾斜角为0.故选：B2.已知等差数列na满足21534,44aa

aa=+=−，则数列na的前4项和4S为（）A.30B.20C.16D.12【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为d，则由题设可得关于基本量的方程组，求出其解后可求4S.【详解】设等差数列的公差为d，则()111144

424adaadad+=++=+−，故12,6da=−=，故()443462122S=+−=，故选：D.3.已知函数()214ln2fxxx=−，则其单调增区间是（）A.0,2B.()0,+C.(0,2D.()2,+【答

案】D【解析】【分析】求出()fx的定义域和导数()fx，解不等式()0fx结合定义域即可求解.【详解】由()214ln2fxxx=−，函数定义域为()0,+，求导244()xfxxxx−=−

=，令()0fx，得2x或<2x−（舍去）,所以()fx单调增区间是()2,+故选：D.4.我国即将进入3航母时代，辽宁舰、山东舰、福建舰，航母编队的要求是每艘航母配1-2艘核潜艇，船厂现有4艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种

数为（）A.36B.72C.12D.24【答案】A【解析】【分析】可将4艘核潜艇先分组再分配的方法求解.【详解】先将4艘核潜艇分成3组，每组至少1艘核潜艇，再将这3组核潜艇分配给辽宁舰、山东舰、福建舰，每个航母配1组核潜艇，则得不同的组建

方法种数为2113421322CCCA36A=.故选：A5.函数()2lnfxxx=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出()2lnfxxx=+的单调性即可判断.【详解】函数()fx的定义域为(,0)(0,)−+，()221xfxxx+=+=，令

()0fx=得2x=−，当,()0x+时，()0fx¢>，()fx单调递增；当(,2)x−−时，()0fx¢>，()fx单调递增；当(2,0)x−时，()0fx，()fx单调递减；则函数()fx在(,2)−−和(0,)+上单调递增，在

(2,0)−单调递减.只有D选项满足.故选：D6.在所有不超过9且与9互质的正整数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为质数的概率是（）A.15B.14C.13D.12【答案】C【解析】【分析】列出所有不超过9且与9互质的正整数，算出其中两数之和仍为质数的有几组，再用古典概型的方法计算所求概

率.【详解】所有不超过9且与9互质的正整数有1，2，4，5，7，8共6个，其中两数之和仍为质数的有1与2，1与4，2与5，4与7，5与8这5组，故所求概率为2651C3P==.故选：C7.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称

为塹堵，在塹堵111ABCABC-中，若12ABBCAA===，若P为线段1BA中点，则点P到平面11ABC的距离为（）A.12B.2C.22D.2【答案】C【解析】【分析】利用等积法可求B到平面11AB

C的距离，故可求点P到平面11ABC的距离.【详解】因为ABC为直角三角形，且ABBC=，故ABBC⊥，而1AA⊥平面ABC，BC平面ABC，故1AABC⊥，同理1AAAC⊥，1BBBC⊥.而11,,AAABAAAAB=平面1ABB，故BC⊥平面1ABB，故

11111142223323CABBABBVBCS−===△，又2222ACABBC=+=，故18423AC=+=，而14422BC=+=，故2221111BCBAAC+=，所以111ABBC⊥，故111111122422233

233BABCABCVdSdd−====△，其中d为B到平面11ABC的距离，故2d=，而P为线段1BA中点，故P到平面11ABC的距离为22，故选：C.8.设1ln3ln4,,34eabc===，则a，b，c的大小顺序为（）A.abcB.acb

C.cabD.cba【答案】A【解析】【分析】构造函数，求导得出函数的单调性，即可得出判断.【详解】因为ln3ln4,,34lneeabc===，令lnxyx=，0x，则221ln11lnxxxxyxx−−==，令0y，0ex，0y，ex，所以lnxyx=在()0,e

上单调递增，在()e,+上单调递减，所以1ln3ln434eabc===.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于函数exy=，以下直线方程是曲

线exy=的切线方程的有（）A.1yx=+B.1yx=−C.eyx=D.1eyx=【答案】AC【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义根据斜率的值可求出切点，从而可求切线方程.【详解】设切点为00(,e)xPx，exy=，则切线的斜率0exk=，若

0e1xk==，则00x=，切点为(0,1)P，故切线方程为1yx=+，所以A正确，B错误；若0ee==xk，则01x=，切点为(1,e)P，故切线方程为ee(1)yx−=−，即eyx=，故C正确；若01eexk==，则01x=−，切点为1(1,)eP−，故

切线方程为11(1)eeyx−=+，即12eeyx=+，故D错误.故选：AC10.校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.福清融城中学准备引进5个不同颜色的自动体外除颤器（简称AED），则下面正确的是（）A.从5

个AED中随机取出3个，共有10种不同的取法B.从5个AED中选3个分别给3位教师志愿者培训使用，每人1个，共有60种选法C.把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，共有129种方法D.把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，每个地方至少放一个，共有150种方

法【答案】ABD【解析】【分析】由排列组合的方法逐一计算验证即可.【详解】从5个AED中随机取出3个，共有35C10=种不同的取法，故A正确；从5个AED中选3个分别给3位教师志愿者培训使用，每人1个，共

有35A60=种选法，故B正确；把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，则每个AED都有3种安放方法，故共有53243=种方法，故C错误；把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，

每个地方至少放一个，可先将5个AED分成3组，每组至少1个，再把这3组AED放在宿舍、教学楼、体育馆三个地方，每个地方放1组，故共有311221352153132222CCCCCC(+)A150AA=方法，故D正确.故选：ABD11已知圆()()22:122

5Cxy++−=，直线()():311530lmxmym+++−−=，则（）A.直线l与圆C相交B.直线l过定点（2，1）C.圆C被y轴截得的弦长为46D.圆C被直线l截得的弦长最短时，直线l的方程为x=1【答案】ACD【解析】【分析】

先考虑直线过定点，再判断该点在圆的内部，故可判断AB，利用弦长公式结合圆心到直线的距离可判断D的正误，在圆的方程中令0x=后可求圆C被y轴截得的弦长，故可判断B的正误.【详解】()()311530mxmym+++−−=可整理为()3530mxyxy+−++−=，

令35030xyxy+−=+−=，则12xy==，故直线l过定点()1,2，故B错误.因为()()22112225++−，故定点()1,2在圆的内部，故直线l与圆C相交，故A正确..在圆的方

程中令0x=，则()2224y−=即226y=，故圆C被y轴截得的弦长为46，故C正确.因为直线l过定点()1,2，该定点与圆心的距离为()221202d=−+=，故圆心到直线l的距离12dd=，故圆C被直线l截得的弦长为222252252221d−−=，当且

仅当12dd==时等号成立，此时定点与圆心连线的斜率为0，该连线垂直于直线l，故直线l的方程为1x=，故D正确.故选：ACD.12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹*布劳威尔.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数(

)fx，存在一个点0x，使得()00fxx=，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（）A函数()cosfxx=只有一个不动点B.若定义在R上的奇函数()fx，图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数C.函数()

ln2fxx=+只有一个不动点D.若函数()2ln1fxxxax=+−+在()0,+上存在两个不动点，则实数a满足01a【答案】ABD【解析】【分析】根据不动点函数和不动点的定义，将各选项的不动点问题转化为方程的解的问题来处理后可得正确的选项，A

CD选项中的对应的方程的解的问题需结合导数来处，而B中则需结合奇函数的性质来处理.【详解】对于A，令()cossxxx=−，因为()01s=，()2cos220s=−，故()sx在R上存在零点a，但()sin10sxx=−−，故()sx在R上为减函数，故()sx在R上仅有一个零点a，故co

saa=有且仅有一个实数解，即()fx只有一个不动点，故A正确.对于B，若0x为奇函数()fx的非零不动点，则()00fxx=，而()()000fxfxx−=−=−，所以0x−也为奇函数()fx的非零不动点，.故()f

x的非零不动点成对出现，而()00f=，故0为奇函数()fx的不动点，所以奇函数()fx不动点个数是奇数，故B正确.对于C，设()ln2txxx=+−，则()1xtxx−=，()0tx时01x；()0tx时1x；故()tx在()0,1上递增，在

()1,+上递减，而()110t=，()22ee0t−−=−，()22e4e0t=−，故()tx在()0,+有两个不同的零点,bc，故ln2,ln2bbcc+=+=，故()ln2fxx=+有两个不动点，故C错误.对于D，若函数()2ln1fxxxax=+−+在()0,+上存在两

个不动点，则2ln1xxaxx+−+=在()0,+上存在两个不同的解，故ln10xax−+=在()0,+上存在两个不同的解，设()ln1uxxax=−+，()1axuxx−=，若0a，则()0u

x，故()ux在()0,+上为增函数，ln10xax−+=在()0,+上至多一个零点，与题设矛盾；若0a，()0ux时10xa；()0ux时1xa；故()ux在10,a上递增，在1,a+

上递减，因为()ux在()0,+上存在两个不同的零点，故()max11ln0uxuaa==，故01a.此时111ea，10eeau=−，下证：当ex时，2lnxx.设()2ln,ev

xxxx=−，则()20xvxx−=，故()vx在()e,+上为减函数，故()2lnee=2e0vx−−，故2lnxx在()e,+上恒成立，故2lnxx在()e,+上恒成立，故lntt在()2e,+上恒成立，令10xax−+=，则2

1142axa++=，故当22114maxe,2axa++时，有ln110xaxxax−+−+，故01a时，()ux在()0,+上的确存在两个不同的零点，

故D正确.故选:ABD.【点睛】思路点睛：导数背景下函数的零点问题，需要结合导数的符号讨论函数的单调性，并结合零点存在定理讨论零点的存在性问题，取点如果比较复杂，则可以利用放缩法把指对数函数转为多项式函数来讨论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点P是点()

5,4,3M在坐标平面Oyz内的射影，则OP=________.【答案】5【解析】【分析】求出P的坐标后可求OP.【详解】因为点P是点()5,4,3M在坐标平面Oyz内的射影，故()0,4,3P，故01695OP=++=，故答案为：5.14.福清融城中学高二（1）班一学生由教学楼五层走到

一层去做课间操，每层均有两个楼梯，则他的走法有________种.【答案】16【解析】【分析】利用分步乘法计数原理即可求出结果.【详解】共分4步:五层到四层2种，四层到三层2种，三层到二层2种，二层到一层2种，一共4216=种.故答案为:16.15.写出一个同时满足下列三

个性质的函数()fx=_______.①若0,0xy，则()()()fxyfxfy=+；②()()=fxfx−；③当0x时，()0fx¢>【答案】()lnfxx=（答案不唯一）【解析】【分析】根据函

数性质，写出满足要求的对数函数即可.【详解】()lnfxx=，满足()()()lnfxfyxyfxy+==，()lnfxx=的定义域为()(),00,−+U，且()()lnlnfxxxfx−=−==，当0x时，()lnfxx=，()1

0fxx=恒成立.故答案为：()lnfxx=16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为12,FF，双曲线的左顶点为A，以12FF为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若3AQAP，则该双曲线的离心率的取值

范围是_________.【答案】6(1,]2【解析】【分析】以12FF为直径的圆的方程为222xyc+=，不妨设双曲线的这条渐近线方程为byxa=，联立可得P，Q两点坐标，再由3AQAP可得该双曲线的离心率的取值范围.【详解】依题意可得，以12FF为直径的圆的方程为222xyc+=，不妨设

双曲线的这条渐近线方程为byxa=，由222byxaxyc=+=，得：xayb==或xayb=−=−，所以(,),(,)QabPab−−，双曲线的左顶点为A，则(,0)Aa−，所以2222()4AQaabab=++=+，22()A

Paabb=−++=，因为3AQAP，所以2243abb+，化简得222ab，所以2222()aca−，所以22232aec=，所以62e，又1e，所以6(1,]2e.故答案为：6(1,]2四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.17.已知112nx+展开式中前三项系数成等差数列.（1）求n的值；（2）求()21112nxx+−的展开式中2x的系数.【答案】（1）8（2）0【解析】【分析】（1）分别求出展开式中前三项的系数后结合等差数列

可求8n=.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中2x的系数.【小问1详解】112nx+的前三项分别为012012C,C,C222nnnxxx，它们的系数分别

为()11,,28nnn−，其中2n而前三项系数成等差数列，故()118nnn−=+，解得8n=.【小问2详解】()()822111112122nxxxxx+−=+−+，的112nx+展开式的通项公式为18C,0,1,2,,82rrrxTr+==

，令0r=，则11T=；令1r=，则1128C42xTx==；令2r=，则22238C72xTx==；故()21112nxx+−展开式中2x的系数为1124710−+=.18.如图，圆O是ABC的外接圆，CE⊥平面ABC，AB是圆O的直径，30

CAB=，2CEBD=，且2CEAB==.（1）求证：平面ACE⊥平面BCED；（2）若2MEDM=，求平面ACM与平面ACE夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）255【解析】【分析】（1）利用线面垂直证明BC⊥平面ACE，再通过面面垂直即可证明结论；（2）建立空间直角

坐标系，表达出各点坐标，得出面ACM与面ACE的法向量，即可求出两个面夹角的余弦值.【小问1详解】由题意及图证明如下，在圆O中，AB直径，∴90,ACBACBC=⊥，∵CE⊥平面ABC,AC平面ABC,BC平面

ABC,∴ECBC⊥，ACCE⊥，为,ACECCAC=平面ACE,EC面ACE，∴BC⊥平面ACE,又BC平面BCDE,∴平面AEC⊥平面BCED.【小问2详解】由题意及（1）得，在ABCDE−中，,,ACBCACCEBCCE⊥⊥⊥

在ABC中，2CEAB==，30CAB=，∴131,322BCABACAB====，∵2CEBD=，∴112BDCE==建立空间直角坐标系如下图所示，∵2MEDM=，∴()()()()()24313,0,0,0,1,0,0,0,0,0

,1,1,0,0,2,0,,,,,03322ABCDEMO，则()()240,1,0,3,0,0,0,,33CBCACM===，在面ACE中，其一个法向量为()0,1,0CB=，在面AC

M中，设其一个法向量为(),,nxyz=，则00nCAnCM==，即3024033xyz=+=，解得：012xzy==−，∴当2y=时，()0,2,1n=−，设面ACE与面ACM所成角为，()222012

025cos5010021CBnCBn++===++++−19.已知数列na的前n项和nS，满足0na，且21,,3nnnaSa成等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若nb为等比数列，且0nb，24664bbb==，求数列nnab

的前n项和nT.【答案】（1）3nan=（2）()13326nnTn+=−+【解析】【分析】（1）根据11,1,2nnnSnaSSn−==−可得13nnaa−−=，故可求数列na的通项；（2

）根据错位相减法可求()13326nnTn+=−+.【小问1详解】因为21,,3nnnaSa成等差数列，故2123nnnSaa=+，故2111123nnnSaa−−−=+，所以()2211123nnnnnaaaaa−−=−+−，整理得到：()()()2

211111133nnnnnnnnaaaaaaaa−−−−+=−=−+，而10nnaa−+，故13nnaa−−=，所以na为等差数列，又2111112,03aaaa=+，故13a=，故()3313nann=+−=.【小问2详解】因nb为等比数列且24664bb

b==，故2364b=，而30b，故38b=，故等比数列的公比q满足36488q==，故2q=，故3322nnnbb−==，故32nnnabn=，所以2326232nnTn=+++，故2312326232nnTn+=+++，为故2132323

232nnnTn+−=+++−，()1112632332612nnnnn++−=−=−−−，所以()13326nnTn+=−+.20.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽

车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量()Rx（单位：辆）与x的关系会近似地满足()1(1)(392)2Rxxxx=+−（其中Nx且6x），该款汽车第x月的进货单价()Wx（单位：元）与x的近似关系是()

1500002000Wxx=+.（1）由前x个月的总需量()Rx，求出第x月的需求量()gx（单位：辆）与x的函数关系式；（2）该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润()fx最大，最大月利润为多少元？【答案】（1）()23

40gxxx=−+，（Nx且16x≤≤）（2）这个汽车4S店在2023年的第5个月的月利润()fx最大，最大月利润为31250000元【解析】【分析】（1）根据当26x，且Nx时()()(1)

gxRxRx=−−，再验证()1g满足()gx即可求解；（2）依题意可得()fx的表达式，用导数判断其单调性即可求解.【小问1详解】当1x=时，()(1)371gR==，当26x，且Nx时，()211()(1)(1)(392)(1)(412)34022gxRxRxxxxxxxxx=−−=+

−−−−=−+，当1x=时，符合上式，故()2340gxxx=−+，（Nx且16x≤≤）.【小问2详解】依题意，这个汽车4S店在2023年的第x个月的月利润()2[185000(1500002000)](340)fxxxx=−+

−+3260001850001400000xxx=−+（Nx且16x≤≤），()2180003700001400000fxxx=−+，令()0fx=，得：5x=或1409x=（舍去），当[1,5]x时，()0fx¢>，()fx单调

递增，当[5,6]x时，()0fx，()fx单调递减，所以当5x=时，()fx取得极大值，也是最大值为()31250005f=.故这个汽车4S店在2023年的第5个月的月利润()fx最大，最大月利润为31250000元.21.已知抛物线2:2(0)Eypxp=，过焦点且斜率为1的

直线交E于M，N两点，且8MN=.（1）求E的标准方程；（2）已知点Q是E上一点，且点Q的纵坐标为2，直线l不经过点Q，且与E交于A，B两点，若2QAQBkk=−，证明：直线AB过定点.【答案】（1）24yx=（2）证明见解析【解析】【

分析】（1）由题可得直线方程为2pyx=−，代入抛物线，设()()1122,,,MxyNxy，利用抛物线定义即可求解.（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线,QAQB的斜率之

积，由题意可得参数之间的关系，进而求出所求直线恒过定点.【小问1详解】由题知,02pF，则直线方程为2pyx=−，代入22(0)ypxp=得22304pxpx−+=，设()()1122,,,MxyNxy，则123xxp

+=，因为8MN=，所以1248xxpp++==，即2p=，所以抛物线方程为24yx=.【小问2详解】由（1）知抛物线方程为24yx=，因为点Q的纵坐标为2，所以()1,2Q，设直线l的方程为xmyb=+，设()()

3344,,,AxyBxy，联立直线l与抛物线24xmybyx=+=，整理可得2440ymyb−−=，则23434Δ1616044mbyymyyb=++==−，①又2QAQBkk=−，即343422

211yyxx−−=−−−，整理得()()()223434212222460myymbmyybb++−−++−+=，将①代入可得224344bbmm−+=+，即()()22221bm−=+，所以221bm−=+或2

21bm−=−−，即23bm=+或21bm=−+，所以直线l的方程为23xmym=++或21xmym=-+，因为直线l不过()1,2Q，所以直线l的方程为23xmym=++，即()32xmy−=+，所以直

线l恒过点()3,2−，即直线AB过定点()3,2−.【点睛】方法点睛：直线与抛物线位置关系问题，从以下几个角度分析：（1）抛物线定义的应用；（2）解设直线方程，尽量不要考虑斜率是否存在；（3）通过含参的方程，消去一个，转化为交点直线系方程；（4）数形结合思想的应用.22.已知函数()(),lnf

xxgxx==.（1）令()()()hxafxgx=−，讨论()hx的极值；（2）若0x时，()()10afxgx−+恒成立，求正实数a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）1a.【解析】【分析】（1）求出()hx的导数，讨论其符号后可得()hx的极值.（2）()()10afxgx−+恒

成立等价于()ln10axx−+恒成立，设()()ln1sxaxx=−+，求出其导数后就1a、01a分类讨论导数的符号后可求参数的取值范围.【小问1详解】()lnhxaxx=−，则()1axhxx−=，若0a，则()0hx，此时()hx无极值；若0a

，由()0hx得10xa；由()0hx得1xa；则()hx在10,a上为减函数，在1,a+上为增函数，故()hx在1xa=处取极小值且极小值为11ln1lnaa−=+，综上，当

0a时，()hx无极值；当0a时，()hx有极小值为1lna+，无极大值.【小问2详解】0x时，()()10afxgx−+恒成立等价于()ln10axx−+恒成立，设()()ln1sxaxx=−+，则()

()11111axaxasxxx+−+−==++，若1a，则()0sx，则()sx为()0,+上的增函数，故()()00sxs=，故()ln10axx−+恒成立.若01a，则当10axa−时，()0sx，故()sx在10,aa−

上为减函数，而()00s=，故当10,axa−时，()()00sxs=成立，这与题设矛盾，故1a.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com