【文档说明】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题含答案.docx，共(14)页，741.993 KB，由小赞的店铺上传

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大庆铁人中学2018级高三下学期模拟考试（三）数学试题（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合1,3,Am=，

1,Bm=，若ABA=，则m=（）A．0或3B．0或3C．1或3D．1或32．已知i为虚数单位，aR，若1izai−=+为纯虚数，则a=（）A．1−B．2C．1D．123．已知向量()2,2a=，),1(xb=，若()//2aab+，则b=（）A．10B

．2C．10D．24．已知nm,是两条不重合的直线，,是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是()A．若⊥⊥mnm,，则//nB．若nmnm,//,//，则//nC.若⊥⊥⊥nmnm,,，则⊥D．若//,//m，则//m或m5.若直线210m

xym+−−=被圆226210xyxy+−++=所截弦长最短，则m=（）A．4B．2C．12−D．2−6．下列说法：①若线性回归方程为35yx=−，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数

据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程axbyˆˆˆ+=必过点(),xy；④抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样，其中错误的说法是（）A．①③B．②③④C．①②④D．①④7.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻方（3n

，*nN）是由前2n个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差

数列”为事件B，则()|PBA=（）A．34B．23C．13D．127题图8题图8．如图所示，流程图所给的程序运行结果为840S=，那么判断框中所填入的关于k的条件是（）A．5?kB．4?kC．3?kD．2?k9．甲、乙、丙、丁和戊5

名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（）A．18B．54C．36D．6410．已知过原点O的直线

与双曲线22221(0,0)xyabab−=交于､AB两点，F为双曲线的右焦点，若以AB为直径的圆过F，且3AFBF=，则该双曲线的离心率是（）A．102B．53C．173D．9411．已知函数()22sin()0,||2fxx=+

的部分图象如图所示，将()fx的图象向右平移()0aa个单位后，得到函数()gx的图象，若对于任意的xR，()24gxg，则a的值可以为（）A．12B．4C．512D．212．定义在R上的函数()fx若满足：①对任意1x、()212xxx，都有()()

()12120xxfxfx−−；②对任意x，都有()()2faxfaxb++−=，则称函数()fx为“中心捺函数”，其中点(),ab称为函数()fx的中心.已知函数()1yfx=−是以()1,0为中心的“中心捺

函数”，若满足不等式()()2222fmnfnm+−−−，当1,12m时，mmn+的取值范围为（）A．2,4B．11,82C．11,42D．1,12第I

I卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若一个空间几何体的三视图如图所示，其中，俯视图为正三角形，则其体积等于______．14．锐角三角形ABC的面积为S，内角,,AB

C的对边分别为,,abc，若()2222sin2SbcaA=+−，则A=________.13题图15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”

其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则15)217()219(=x．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：

1里=300步）________里.16．四面体ABCD的四个顶点都在球O上且4ABACBCBDCD=====，26AD=，则球O的表面积为.三、解答题(共70分，17-21每题12分，22、23选择一题作答，10分，解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．（12分）已知有限数列{}na共有30项，其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为nS．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（1）,dq的值；（2）

数列{}na中的最大项．条件①：2521=4,=30,20aSa=；条件②：320220,36,9Saa==−=−；条件③：1212448,20,160Saa===．18．（12分）如图，在四棱锥SABCD−中，底面四边形ABCD是正方形，SDDB⊥，S

BAC⊥，点E是棱SD上的点.（1）证明：SD⊥平面ABCD；（2）已知22SDAB==，点E是SD上的点，()01DEDS=，设二面角CAED−−的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若sincos=，求的值.19．（12分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0

.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛．（1）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；（2）下午的正式比赛中：①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数X的分布列与数学期望；②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概

率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？20．（12分）已知抛物线()220ypxp=上一点(),4Mm到焦点F的距离是4.（1）求抛物线的方程；（2）过点F任作直线l交抛物线于,AB两

点，交直线2x=−于点C，N是AB的中点，求CACBCNCF的值.21．（12分）已知函数1()2lnxfxexx−=−+.（1）求()fx的极值；（2）证明：)2(32)(3−−−xxxf）（.选做题：请考生在22,、23两题中任选一题作答.注意：

只能做所选定的题目，如果多做，则按照所做的第一个题目计分。22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C：221xy+=经过伸缩变换'2'xxyy==后得到曲线2C，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：s

in224+=−．（1）写出曲线2C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线2C上求一点P，使点P到直线l的距离最小．23.（10分）设函数()|2||34|fxxx=−+−.（1）解不等式()5

fxx；（2）若()fx的最小值为m，若实数a，b满足233abm+=，求证：22413ab+.大庆铁人中学2018级高三下学期模拟考试（三）数学（理）答案一、选择题123456789101112BCDACDDBBAC

C二、填空题13．8314．π315．81016．80π3三、解答题17．选择条件①：2521=4,=30,20aSa=解：（1）因为{}na的前20项成等差数列，25=4,=30aS，所以114,545302adad+=+=，解得12,2ad==.

所以20=2192=40a+.因为数列{}na后11项成公比为q的等比数列，所以212012aqa==.综上，12,2dq==.（2）{}na的前20项成等差数列，0d.所以前20项为递增数列.即：前20项的最大项为2040a=.数列{}

na的后11项成等比数列，12q=，所以后11项是递减数列.即：后11项的最大项为2040a=综上，数列{}na的最大项为第20项，其值为40.选择条件②：320220,36,9Saa==−=−解：（1）因为{}na的前20项成等差数

列，3200,36Sa==−，所以11330,1936adad+=+=−，所以122.ad==−，因为数列{}na后11项成公比为q的等比数列，2036a=−，又因为229a=−，2222014a

qa==所以12q=.综上，12,2dq=−=.（2）{}na的前20项成等差数列，0d.所以前20项为递减数列.前20项的最大项为12a=.因为12q=.i.当12q=时，20136(2030)2nnann−=−N≤≤且，所以当2030n时，0na.此时，数列

{}na的最大项为第1项，其值为2；ⅱ.当12q=−时，20136(2030)2nnann−=−−N≤≤且，后11项的最大项为2118a=.此时，数列{}na的最大项为第21项，其值为18

综上，当12q=时，数列{}na的最大项为第1项，其值为2；当12q=−时，数列{}na的最大项为第21项，其值为18.选择条件③：1212448,20,160Saa===解：（1）因为数列{}na后11项成公比为q的等比数列，21242

0,160aa==，所以324218aqa==，解得2q=.、所以212010aaq==.又因为{}na的前20项成等差数列，1148Sa==，所以2012201aad−==−−.综上，2,2dq=−=.（2）{}na的前2

0项成等差数列，0d.所以前20项为递减数列.前20项的最大项为148a=.{}na的后11项成等比数列，而2010a=，2q=，20102(2030)nnann−=N≤≤且，所以后11项为递增数列.后11项

的最大项为3010240a=综上，数列{}na的最大项为第30项，其值为10240.18．（1）因为底面四边形ABCD是正方形，所以ACBD⊥，又SBAC⊥，SBBDB=，所以AC⊥平面SBD，又AC平面ABCD，所

以平面SBD⊥平面ABCD，因为SDBD⊥，SD平面SBD，平面SBD平面ABCDBD=，所以SD⊥平面ABCD.（2）由已知及（1）可知SDAD⊥，SDCD⊥，ADCD⊥，以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直

角坐标系.因为22SDAB==，所以()0,0,0D，()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，()0,0,2S，()0,0,2E，得()2,0,2EA=−，()0,2,2EC=−，()2,2,2EB=−，设平面A

CE的法向量为(),,nxyz=，则由nEA⊥，nEC⊥得00nEAnEC==，即220220xzyz−=−=，取2z=，得()2,2,2n=.易知平面ABCD和平面ADE的一个法向量分别为()0,0,2DS=和()0

,2,0DC=.所以2242441sinBEDSBEDS===++，2222282241cosnDCnDC+===+，由sincos=，得222(01)141=++，解得22=.19．（1）0.432；（2）

①分布列见解析；期望为1.488；②“5局3胜制”更有利；比赛局数越多，对水平高的选手越有利．【详解】（1）甲恰好胜2局的概率为2230.60.40.432PC==．（2）①甲所胜局数x可取0，1，2．222(0)0.40.16PxC===，12(1)0.60.

40.40.192PxC===，2122(2)0.60.60.60.40.60.648PxCC==+=，∴甲所胜局数x的分布列为x012P0.160.1920.648()00.1610.19220.6481.488Ex=++=．②采用“3局2胜制”时，甲

获胜的概率为121220.60.40.60.60.60.648PCC=+=，采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为222223324330.60.40.60.60.40.60.60.68256PCCC=

++=．对甲而言，显然“5局3胜制”更有利，由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利，20．（1）28yx=；（2）1.【详解】解：（1）因为42pMFm=+=①，且点(4)Mm，在抛物线上，所以216pm=②.由①②得4p=，所以抛物线的方程为28yx=.（2）由题意知，直

线AB的斜率存在，且不为零，设点,,,ABNF在准线上的投影分别为1A，1B，G，H，||||(0)||||CACBaaCNCF=，所以||||||||CACBaCNCF=，∴11||||||||CACBaCGCH=.设直线AB的方程为2xmy=+，代入28yx=，得28160y

my−−=.设11()Axy，，22()Bxy，，则128yym+=，1216yy=−.在2xmy=+中，令2x=−，得4ym=−，即42Cm−−，.所以1212()()()2CCCCyyyyyyayy+−

−=−−，即22121212()()2CCCCayyyyyyyyyay−+−++=+，所以224161616816maammm−++=+，即21(1)10am−+=，∴1a=，所以||||1||||CACBCNCF

=.21．（1）解：()fx的定义域为(0,)+，12()e1xfxx−=−+，12()e1xfxx−=−+在(0,)+上单调递增，且()01f=.令()0fx，得01x，则()fx的单调递减区间为(0,1)；令()0fx，得1x，则()fx的单调递增区间为(1,)+

.1=x时，)(xf取得极小值，极小值为2，无极大值。（2）证明：设3()(2)3(2)(0),()3(1)(3)gxxxxgxxx=−−−=−−.令()0gx，得13x；令()0gx，得01x或3x.所以当1x=时，()g

x取得极大值，且极大值为2，由（1）知，min()(1)2==fxf，故当03x时，)2(32)(3−−−xxxf）（.设13()()()e2ln(2)46(3)xhxfxgxxxxx−=−=−

−−+−，122()e3(2)4xhxxx−=−−−+，设122()(),()e6(2)xpxhxpxxx−==+−−，设134()(),()e6xqxpxqxx−==−−，易知()qx在(3,)+上单调递增，则24()(3)e6027qxq=−−，则()q

x在(3,)+上单调递增，从而22()(3)609pxpe=+−，则()hx在(3,)+上单调递增，则21()(3)03hxhe=+，从而()hx在(3,)+上单调递增，所以2(

)(3)e52ln30hxh=+−，故当3x时，3()(2)3(2)fxxx−−−…，从而)2(32)(3−−−xxxf）（得证.22．（1）2cos,sin,xy==（为参数）；40xy++=；（2）点P的坐标为455,55−−．【详解】解：（1）由题意

，曲线1C的参数方程为cos,sin,xy==()为参数，经过伸缩变换2,xxyy==后，曲线2C的参数方程为2cos,sin,xy==()为参数，由πsin224+=−得：22sincos2222+=−

，化为直角坐标方程为40xy++=，所以，曲线2C的参数方程为2cos,sin,xy==()为参数，直线l的直角坐标方程为40xy++=．（2）设(2cos,sin)P，点P到直线l的距离为5sin()42cossin422d++++==，（其中，25sin5=，5co

s5=），当sin()1+=−时，即π2π2k+=−，kZ时，点P到直线l的距离d取到最小值42102−，此时，π25coscos2πsin25k=−−=−=−，kZ，π5sinsin2πcos25k=−−=−=−

，kZ，所以，点P的坐标为455,55−−．23．(1)2,3−(2)见证明（1）()234fxxx=−+−=46,2422,23446,3xxxxxx−−−+…„()5fxx当2x

时，4656xxx−−，不等式无解当423x时，24653xxx−+，不等式的解为23x综上所述，原不等式的解集为2,3−（2）由（1）易得()fx的最小值为23，于是23m=232ab+=，2222223aa

ba−+=+21384999aa=−+2134449131313a=−+…当且仅当413a=，613b=取“=”号22413ab+