【文档说明】四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题 含解析.docx，共(19)页，1.697 MB，由小赞的店铺上传

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绵阳南山中学2023年春季高2021级半期考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.若43iz=−，则zz的虚部为（）A.i−B.－1C.35iD.35【答案】D【解析】【分析】直接运用复数运算法则即可.【详解】因43i

z=−，所以2243i43i5543zz+==++，所以虚部为35.故选：D.2.设()2,0,1u=−是平面的一个法向量，()1,0,2a=是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（）A.平行或直线在

平面内B.不能确定C.相交但不垂直D.垂直【答案】A【解析】【分析】判断两个向量的位置关系即可得解.【详解】因为2020ua=+−=，所以ua⊥，所以直线l与平面的位置关系是平行或直线在平面内.故选：A.3.与命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”等

价的命题是（）A.若a，b，c不成等差数列，则2acb+B.若2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列C.若2acb+，则a，b，c不成等差数列D.若a，b，c成等差数列，则2acb+【答案】C【解析】【分析】求出命题的逆否命题

即可.【详解】因为原命题与其逆否命题等价，命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题为“若2acb+，则a，b，c不成等差数列”.故选:C.4.在ABC中，“AB”是“coscosAB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合余弦函数的单调性即可判断.【详解】因为,AB是三角形的内角，且AB，所以0πBA，因为cosyx=在()0,π上单调递减，所以coscosAB，故充分性

成立；反之，cosyx=在()0,π上单调递减，0πA，0πB若coscosAB，则AB，故必要性成立，所以在ABC中，“AB”是“coscosAB”的充要条件，故选：C.5.函数sincosyxxx=+，(),x−的单调增区间是（）A.,2−−

和0,2B.,02−和0,2C.,2−−和,2ππD.,02−和,2ππ【答案】A【解析】【分析】先求出函数的导数，然后令导数大于零，利用导数求函数的单

调增区间即可.【详解】∵sincosyxxx=+，∴sincossincosyxxxxxx=+−=，令0y且(),x−，当(,0x−时，cos0x，解得2x−−，当()0,x时，cos0x，解得或02x

，所以函数的单调增区间是,2−−和0,2.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究三角函数的单调性，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.6.设()fx是可导函数，且0(1)(1)lim22xfxfx→+−=，则()1f=（）

A.4B.－1C.1D.－4【答案】A【解析】【分析】由导数的定义求解即可.【详解】()Δ0Δ0(1Δ)(1)1(1Δ)(1)1limlim122Δ2Δ2xxfxffxffxx→→+−+−===,所以()14f=.故选：A.7.已知()2,1,2a=−，()2,2,1b=，则以,ab为邻边的

平行四边形的面积为（）A.65B.652C.4D.8【答案】A【解析】【分析】首先计算两个向量的夹角的余弦值，再转化为正弦值，利用面积公式计算.【详解】解析：设向量,ab的夹角为θ，()2222123a=+−+=，2222213b=++=，于是cos=42233−+＝49．由此可

得65sin9=．所以以,ab为邻边的平行四边形的面积为1652336529S==.故选：A8.函数()πlncos(2)2fxxx=+的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用函

数的奇偶行排除选项B,D，再利用特殊值即可求解.【详解】因为函数()πlncos(2)lnsin22fxxxxx=+=−，定义域为(,0)(0,)−+，且()lnsin(2)lnsin2()fxxxxxfx−=−−−==−，所以函

数()fx为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项B,D；当(0,1)x时，ln0x，sin20x，所以()lnsin20fxxx=−，故排除选项C.故选：A.9.已知梯形CEPD如下图所示，其中8PD=，6CE=，

A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足()01AFAB=时，平面DEF⊥平面PCE，则的值为（）A.12B.23C.4

5D.35【答案】D【解析】【分析】构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，由题设标注相关点的坐标，进而求面DEF、面PCE的法向量，根据空间向量垂直的坐标表示求参数.【详解】由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的

空间直角坐标系，∴(4,4,0),(0,4,0),(4,0,2),(0,0,4),(4,0,0)CDEPF，则(4,0,2),(4,4,4)PEPC=−=−，(4(1),0,2),(4,4,2)EFDE=−−=−，若(,,)mxyz=是面DEF一个法向量，则4(1)204420

xzxyz−−=−+=，可得1(,,2)11m=−−，若(,,)nabc=是面PCE一个法向量，则4204440acabc−=+−=，可得(1,1,2)n=，∴由面DEF⊥面PCE，有14011++=−−，解得35=.

故选：D10.若函数()32231,0e,0axxxxfxx++=在22−,上的最大值为2，则实数a的取值范围是（）A.1ln2,2+B.10,ln22C.(,0−D.1,ln22−【答案】D【解析】【分

析】先利用导数求出函数()yfx=在区间2,0−上的最大值为()12f−=，再对a的符号分类讨论函数()yfx=在(0,2上的单调性，得出()22f可解出实数a的取值范围．【详解】当20x−时，()32231fxxx=++，则()()26661fxxxxx=+=+．当21x−−

时，()0fx¢>；当10x−时，()0fx．所以，函数()yfx=在=1x−处取得极大值，亦即最大值，即()()max12fxf=−=．当0a时，函数()axfxe=在(0,2上单调递增，由题意可知，()222af

e=，得2ln2a，解得1ln22a，此时，10ln22a；当0a=时，且当02x时，()12fx=合乎题意；当a<0时，函数()axfxe=在(0,2上单调递减，此时，()()2012f

f=，合乎题意．综上所述，实数a的取值范围是1,ln22−，故选：D11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马：将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知三棱锥−PABC为鳖臑，且内接于球

O，球O的半径1R=，三棱锥−PABC的底面ABC为等腰直角三角形，PA⊥平面ABC，则三棱锥−PABC的体积V的最大值为（）A14B.4327C.239D.26【答案】B【解析】【分析】将三棱锥−PABC补成为长方体，根据其结构特征结合外接球半径可设长方体的底面边长为x，高为

h，即得三棱锥−PABC的体积216Vxh=，利用导数法即可求得其最大值.【详解】如图，由题意可将三棱锥−PABC补成为长方体，且底面为正方形，即ABBC=,三棱锥−PABC的外接球即为长方体的外接球O，由球O的半径1R=，.可得长方体体对

角线2PC=,设长方体的底面边长为x，高为h，则222224,42,(0,2)xhhxx+==−，故三棱锥−PABC的体积22111326Vxhxh==，则2462442)11((2361)8Vxxxx−=−=，令464211()((236142)),(0,2)8f

xxxxxx−=−=，则323)4()(194fxxx−=，令35123,33490xxx−==，当2303x时，()0fx，()fx在23(0,)3上单调递增，当2323x时，()0fx，()fx在23(,2)3上单调递减，故()fx最大值为462323

2316()()]3332431()[218f−==，即得V的最大值为164324327=.故选：B【点睛】方法点睛：（1）根据三棱锥的几何特征，可采用割补法，即将三棱锥补为长方体；（2）求解体积的最大值，根据

表达式的特征，可采用导数法求最值.12.设定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，若()()2fxfx+，()02024f=，则不等式2022()2exfx+（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.(

)2020,+B.()0,+C.()2022,+D.()(),02020,−+【答案】B的【解析】【分析】根据()()2fxfx+的结构特征构造函数()e()2exxgxfx=−，并判断其单调性，结合()02022g=可得()2022gx的解集，即可求得答案.【详解】

设()e()2exxgxfx=−，则()()()()()ee2ee2xxxxgxfxfxfxfx=+−=+−,∵()()2fxfx+，∴()()20fxfx+−,而e0x,故()e()()20xgxf

xfx=+−,∴()gx在R上单调递增，又()02024f=，故()()0022022gf=−=，∴()2022gx的解集为(0,)+，即不等式2022()2exfx+的解集为(0,)+，故选：B【点睛】方法点睛：像此类给出一个关

于导数的不等式的问题，要能根据所给不等式的结构特征，构造恰当的函数，从而利用其单调性求得答案.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.()22041dxxx++=______．【答案】383##2123【解析】

【分析】由牛顿-莱布尼茨公式直接运算可得.【详解】()223223300113841d2|222333xxxxxxCCC++=+++=+++−=.故答案为：38314.已知()fx是函数

()fx的导函数，若2()2(2)fxxxf=−，则()2f=______．【答案】43−【解析】【分析】对函数()fx求导，令2x=，求出4(2)3f=，代入()fx，即可求出答案.【详解】因为2()2(2)fx

xxf=−，所以()22(2)fxxf=−，令2x=，则(2)42(2)ff=−，解得：4(2)3f=.所以28()3fxxx=−，所以164(2)433f=−=−.故答案为：43−.15.2()sin(23)fxx

=+的导函数()fx=______．【答案】()2sin46x+【解析】【分析】根据复合函数的求导法则以及三角函数二倍角公式，即可求得答案.【详解】由题意得()()()()2sin23cos2322sin46fxxxx

=++=+，故答案为：()2sin46x+16.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，且1AB=，2BC=，60ABC=，PA⊥平面ABCD，AEPC⊥于E．给出下列四个结论：①

ABAC⊥；②AB⊥平面PAC；③PC⊥平面ABE；④PCBE⊥，其中正确的选项是______．【答案】①②③④【解析】【分析】在ABC中，由余弦定理可求出90BAC=，再由PA⊥平面ABCD，可证出AB⊥平面PAC，再由AEPC⊥于E，线面垂直的判定定理，可证明PC⊥平面

ABE，根据线面垂直的判定，可证出PCBE⊥，因此可知正确命题的个数.【详解】对于①：已知1AB=，2BC=，60ABC=，由余弦定理可知2222cos603=+−=ACABBCABBC，所以222=ACABBC+，由勾股定理逆定理得ABAC⊥，①正确.对于

②：PA⊥平面ABCD，AB平面ABCDABPA⊥，又因ABAC⊥，PAACA=，PA平面PAC，AC平面PAC所AB⊥平面PAC所以②正确.对于③：因AB⊥平面PAC，PC平面PAC得ABPC⊥,又AEPC⊥,ABAEA=，AB平面ABE,AE平面ABE,所以

PC⊥平面ABE，③正确.对于④：由PC⊥平面ABE，BE平面ABE，得PCBE⊥，④正确.故答案为：①②③④.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.设命题p：实数x满足22320xmxm−+，命题q：实数x满足2(2)1x+．（1

）若2m=−，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若0m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）()4,1−−（2）(1,3,02−−−【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法分别求出两个命题为真时x

的范围，再根据pq为真，可得p为真或q为真，即可得解；（2）由p是q的充分不必要条件，得p对应的集合是q对应集合的子集，进而可得答案.【小问1详解】当2m=−时，p：2680xx++，即42x−−，由2(2)1x+，得31x−−，若pq为真，即423141xxxx

xx−−−−=−−，所以实数x的取值范围()4,1−−；【小问2详解】若0m，p：22320xmxm−+，即2mxm；q：31x−−，q：3x−或1x−，且p是q的充分不必要条件，则03mm−或021mm

−，即3m−或102m−，故实数m的取值范围为(1,3,02−−−．18.已知函数32()2fxxxx=−++．（1）求曲线()fx在点()()0,0f处的切线方程；（2）求经过点()1,3A的曲线()fx的切线方程．【答案】（1）20xy−+=（2）2yx=+

或21yx=+【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）切点为(),mn，可得322nmmm=−++，根据导数的几何意义求出在点(),mn处的切线方程，再根据切线过点()1,3A求出切点，即可得解.【小问1详解

】函数32()2fxxxx=−++的导数为2()321fxxx−=+，可得曲线()fx在点()()0,0f处的切线斜率为1，切点为()0,2，所以曲线()fx在点()()0,0f处的切线方程为2yx−=，即20xy−+=；【小问2详解】设切点为()

,mn，可得322nmmm=−++，由()fx的导数2()321fxxx−=+，可得切线的斜率为2321mm−+，切线的方程为()()3222321()ymmmmmxm−−++=−+−，由切线经过点()1,3，可得()()32232321(1)mmmmmm−−++=−+

−，化为2(1)0mm−=，解得0m=或1，()()02,13ff==，则切线的方程为2yx−=或()321yx−=−，即2yx=+或21yx=+．19.在四棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，//CDAB，1===ADDCCB，

2AB=，3DP=．（1）证明：BDPA⊥；（2）求PD与平面PAB所成的角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）255【解析】【分析】（1）证明BD⊥平面PAD，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关

点坐标，求出平面PAB的法向量，根据空间角的向量求法，结合同角的三角函数关系即可求得答案.【小问1详解】∵//CDAB，1===ADDCCB，2AB=，则四边形ABCD为等腰梯形，作出梯形ABCD的高DE，则21122AE−==,则梯形的高为222131()

22DE−=−=，∴2213(2)()322BD=−+=，则222ABADBD=+,可得DABD⊥，又∵PD⊥底面ABCD，BD底面ABCD，∴PDBD⊥，,,ADPDDADPD=平面PAD，∴BD⊥平面PAD，而PA平面PAD，

∴BDPA⊥．【小问2详解】以D为原点，DA为x轴正向，DB为y轴正向，DP为z轴正向，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A，()0,3,0B，()0,0,3P，则(1,0,3),(0,3,3)PAPB=

−=−,设平面PAB的一个法向量为(,,)nxyz=，则30330nPAxznPByz=−==−=，令3x=，则1,1yz==，∴平面PAB的一个法向量为()3,1,1n=，()0,0,3DP=，故3cos,5|||5|53nDPnDPnDP===设PD与平面PA

B所成的角为π,[0,]2，则525,cos55sin==，即PD与平面PAB所成角的余弦值为255．20.已知函数()(2)xfxeax=−+.（1）当1a=时，讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）()fx的减区间

为(,0)−，增区间为(0,)+；（2）1(,)e+.【解析】【分析】（1）将1a=代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()fx有两个零点，即(2)0xeax−+=有两个解，将其转化为2xeax=+有两个解，令()(

2)2xehxxx=−+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.,【详解】（1）当1a=时，()(2)xfxex=−+，'()1xfxe=−，令'()0fx，解得0x，令'()0fx，解得0x，所以

()fx的减区间为(,0)−，增区间为(0,)+；（2）若()fx有两个零点，即(2)0xeax−+=有两个解，从方程可知，2x=−不成立，即2xeax=+有两个解，令()(2)2xehxxx=−+，则有'22(2)(1)()(2)(2)xxxex

eexhxxx+−+==++，令'()0hx，解得1x−，令'()0hx，解得<2x−或2<<1x−−，所以函数()hx在(,2)−−和(2,1)−−上单调递减，在(1,)−+上单调递增，且当<2x−

时，()0hx，而2x+→−时，()hx→+，当x→+时，()hx→+，所以当2xeax=+有两个解时，有1(1)ahe−=，所以满足条件的a的取值范围是：1(,)e+.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数

求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xye=和直线(2)yax=+有两个交点，利用过点(2,0)−的曲线xye=的切线斜率，结合图形求得结果.21.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.（1）证

明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥MABC−体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）证得DM⊥平面BMC，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）当M在AB

的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BCCD⊥，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，DM平面CMD，故BCDM⊥,因为M是CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以D

MCM⊥，又BCCMC=I，,BCCM平面BMC，所以DM⊥平面BMC，而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC；【小问2详解】以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，DC的方向为y轴正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系Dxyz−.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为CD的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1DABCM，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AMABDA=−==设(),,nxyz=是平面MAB的法向量，则00nA

MnAB==即2020xyzy−++==，可取()1,0,2n=，又DA是平面MCD的一个法向量，因此25cos,525nDAnDAnDA===，0π,,nDA，得25sin,5nDA=，所以，tan,2nDA=，所

以面MAB与面MCD所成二面角的正切值是2.22已知函数ln(1)()xfxx+=．（1）判断()fx在()0,+的单调性；（2）若0x，证明：()2e1ln(1)xxx−+．【答案】（1）()fx在()0,+为减函

数；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，再判断该导数在()0,+上的正负作答.（2）等价变形要证的不等式，再利用（1）的结论，证明e1xx−即可推理作答.【小问1详解】函数

ln(1)()xfxx+=，,()0x+，求导得2ln(1)1()xxxfxx−++=，设()ln(1)1xgxxx=−++，,()0x+，则2211()0(1)1(1)xxxgxxxx+−−=−=+++，于()gx在()0,+为减函数，()()0

0gxg=，则()0fx，所以()fx在()0,+为减函数.【小问2详解】当0x时，2ln(1)(e1)ln(1)e1xxxxxxx+−+−，而lneln[(e1)1]e1e1e1xxxxxx−+==−−−

，因此原不等式等价于ln(1)ln[(e1)1]e1xxxx+−+−，由（1）知，ln(1)()xfxx+=是()0,+上的减函数，于是要证原不等式成立，只需要证明当0x时，e1xx−，.是令()e

1xhxx=−−，求导得()e10xhx=−，因此函数()hx是()0,+上的增函数，则()()00hxh=，即e1xx−，从而()(e1)xfxf−，即ln(1)ln[(e1)1]e1e1xxxxxx+

−+=−−，所以2e1)ln((1)xxx−+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com