【文档说明】四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（文）试题 含解析.docx，共(17)页，1.020 MB，由小赞的店铺上传

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绵阳南山中学2023年春季高2021级半期考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在极坐标系中，点π2,4M关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是（）A.π22,4−

B.π2,4−C.π22,4−D.π2,4−【答案】D【解析】【分析】点关于极轴所在的直线对称的点，其中极径不变，角可变为相应的负角.【详解】点π2,4M关于极轴所在的直线对称

的点，其中极径不变，角可变为π4−，即点的极坐标为π2,4−.故选：D.2.复数z满足26izz+=−（i是虚数单位），则z的虚部为（）A－1B.1C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】可先设izab=+，

利用复数相等计算a，b.【详解】设izab=+，由26izz+=−得()i2i6iabab++−=−，化简得：3i6iab−=−，故1b=.故选：B.3.已知命题p：若1ab=，则lglg0ab+=；命题q：若=，则sinsin=．则下列是真命题的是（

）A.pqB.()()pqC.pqD.()pq【答案】C【解析】.【分析】举出反例得到命题p为假命题，再推导出命题q为真命题，从而得到答案.【详解】不妨设1ab==−，满足1ab=，但此时lg,lgab无意义，故命题p为假命题，当=时，sinsin=，故

命题q为真命题，故pq为假命题，q为假命题，故()()pq为假命题，pq为真命题，()pq为假命题.故选：C4.将221xy+=上所有点经过伸缩变换：132xxyy==后得到的曲线方程为（）A.22941xy+=B.22419xy+=C

.22194xy+=D.22914yx+=【答案】D【解析】【分析】由变换：132xxyy==变形得到32xxyy==，再代入221xy+=，化简即可.【详解】由132xxyy==得32xxyy==，代入221xy+=得()22312yx

+=，化简得()()22914yx+=，即22914yx+=.故选：D5.已知a，bR，则命题“若0a=且0b=，则220ab+=”的否命题是（）A.若220ab+，则0a且0bB.若220ab+，则0a或0bC.若0a

且0b，则220ab+D.若0a或0b，则220ab+【答案】D【解析】【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”，直接写出它的否命题即可.【详解】命题“若0a=且0b=，则22

0ab+=”的否命题为若0a或0b，则220ab+，故D正确；故选：D.6.命题:15pxxx，245xx−，则命题p的否定是（）A.15xxx，245xx−B.15xxx，245xx−C.15xxx

，245xx−D.15xxx，245xx−【答案】B【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题15xxx，245xx−是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即15xxx

，245xx−，故选：B7.为了办好纪念“五四”青年节的主题黑板报，文科1班的同学准备利用数学知识设计黑板报主体标志图案.其中某位同学利用函数图像的对称性选用了坐标原点两侧的部分图像设计了如图的标志图案草稿图，那么该同学所选的函数最可能是（）A.()

1sin2fxxx=−B.()21cos2=+fxxxC.()1sin2=−fxxxD.()3sinfxxx=【答案】C【解析】【分析】观察图象分析其奇偶性及单调性即可.【详解】由图像可知其关于原点中心对称

，应选用奇函数，对于B选项，()()()()2211coscos22fxxxxxfx−=−+−=+=，且定义域关于原点对称，则其是偶函数,故排除B，对于D选项()()()()33sinsinfxxxxxfx−=−−==，且定义域关于对称，则其是偶函数，故排除D；对于A选项，关注y轴右侧()1cos

2fxx=−，可知()fx在π0,3单调递增，故排除A，所以选C．故选：C8.“以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求sin0.05的近似值，我们可以先构造函数sinyx=，由于0.05与0比较接近，所以求出0x

=处的切线方程为yx=，再把0.05x=代入切线方程，故有sin0.050.05，类比．．上述方式，则11000e（）A.1.001B.1.005C.1.015D.1.025【答案】A【解析】【分析】求出函数()exfx=在点0x=

处的切线方程，再代入11000x=求出结果.【详解】设()exfx=，可得()exfx=，()01f=，()01f=，由于11000与0比较接近，所以求出曲线exy=在点0x=处的切线为()1ygxx==+，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，11000111e1

1.001100010001000fg==+=．故选：A.9.关于x的不等式eln0xx−的解集是（）A.()0,1B.(),e−C.()e,+D.()0,e【答案】D【解析】【分析】构造()elnfxxx=

−，求出定义域，由导函数得到单调性，结合()e0f=，求出不等式解集.【详解】()elnfxxx=−的定义域为()0,+，由()2e10fxxx=−−，知()elnfxxx=−在()0,+单调递减，又()e0f=

，所以不等式()0fx的解集是()0,e．故选：D10.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入()Rx元与年产量x的关系是3400,0390()90090090,390xxxRxx−+=，则当总利润最

大时，每年生产产品的单位数是（）A.150B.200C.250D.300【答案】D【解析】【分析】利用分段函数模型表示出总利润()Px元与年产量x的关系，利用导数求解总利润()Px最大时，年产量x的值即可.【详解】解：设总利润为()Px元，则330020000,0390()

9009009010020000,390xxxPxxx−+−=−−，则2300,0390()300100,390xxPxx−+=−令()0Px=，得300x=，当0300x

时，()0Px，函数()Px单调递增，当300390x时，()0Px，函数()Px单调递减，故当0390x时，函数()Px在300x=时有极大值，则(300)40000P=当390x时，()0Px，函数()Px单调递减，故当390x时，函数()(39

0)(300)PxPP，综上，当300x=时，()Px取极大值，也是最大值.故选：D.11.函数()fx定义域为()0,+，其导函数为()fx，若()0,x+，()()1xfxfx+，且()12f=，则不等式()1xfxx−的解集为（

）A.()1,2B.()2,+C.()0,1D.()1,+【答案】D【解析】【分析】观察条件构造函数()()()0gxxfxxx=−，判定其单调性，然后转化待解不等式为()()1gxg，解之即可.【详解】令()

()()0gxxfxxx=−，则()()()10gxfxxfx=+−故()gx在()0,+单调递减，又因为()()11111gf=−=，所以不等式()1xfxx−等价于()()1gxg，故1x．故选：D．12.若直线

yaxb=+是函数()1lnfxxx=−图像的切线，则ab+的最小值为（）A.－1B.－2C.－eD.e【答案】A【解析】【分析】设出切点坐标，根据切线斜率以及切点在函数()fx图像上及直线上列出方程，表示ab+，再利用导数求其最小值.【详解】设切点1,lnmmm−

，由题可知()211fxxx=+，∴切线斜率为211mm+∵yaxb=+为切线，∴2111lnammmmabm=+−=+，211ln1abmmm+=−+−，令1tm=，则0t，故2ln1abttt+=−−+−令()()2ln10htt

ttt=−−+−，则()()()211121tthtttt+−=−+−=，由()0ht=解得1t=，当01x时，()0ht；当1x时，()0ht；所以()ht在()0,1单调递减，在()1,+单调递增，∴()()min11hxh==−.故选：A.二、填空题：本大题

共4小题，每小题5分，共20分．13.写出“实数x、y满足条件0xy+”的一个充分不必要条件：_______（答案不唯一）【答案】0x=，2y=（此题答案不唯一）【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义填空即可【详解】根据充分不必要条件的定义，只需找出一组满足不等式的值即可，不妨令0x=

，2y=，而0xy+不能推出该组值，故符合要求.（答案不唯一）故答案：0x=，2y=.14.已知直线AB是函数()yfx=图像的一条割线（如图所示），()fx是函数()fx的导函数，若()23af=，()25bf=，()()53cff=−，则关于a，b，c排序正确的是_____

__．【答案】a<c<b【解析】【分析】利用导数的几何意义及两点斜率公式，结合图象判定即可.【详解】由图象知()fx在()0,+上单调递增，又过点()()3,3f和点()()5,5f的直线的斜率为()()5353ff−−，由导数的几何意义，知()3f为曲线()yfx=在(

)()3,3f处的切线方程的斜率，()5f为曲线()yfx=在()()5,5f处的切线方程的斜率，如图，得()()()()533553ffff−−．故答案为：a<c<b15.若()lnfxx=与()23gxxxa++=两个函数的图象有一条与直线y

x=平行的公共切线，则=a_______．【答案】0为【解析】【分析】设公切线与()gx相切于()11,Axy，与()fx相切于()22,Bxy，根据公切线斜率为1以及点在函数图像上列出方程求解.【详解】()1fxx

=，()23gxx=+，如图所示，设公切线与()gx相切于()11,Axy，与()fx相切于()22,Bxy，则有以下关系：1221112212313lnkxxyxxayx==+==++=求

得122110xxy=−==，故公切线方程为1yx=−，所以1112y=−−=−即()()21312a−+−+=−，0a=.故答案为：0.16.已知关于x的不等式()1exkx+恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是_______．【答案】211e,

e23【解析】【分析】()1ykx=+表示经过()1,0−的直线，数形结合可知，2个整数解恰好是0x=和1x=，列不等式求解即可.【详解】当0k=时，不等式0ex无解，不满足题意；当0k时，不等式()1exkx+有

无数个不同的整数解，不满足题意；当0k时，()1ykx=+表示经过()1,0−的直线，作图分析可知，2个整数解恰好是0x=和1x=，故只需满足以下条件：()()()01201e11e21ekkk+++，解得211ee23k．则k的取值范围是211e,e23

.故答案为：211e,e23三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤．17.已知集合25Axx=−，121Bxmxm=+−，且B．（1）若xB都有

xA，求m的取值范围；（2）若xA且xB，求m的取值范围．【答案】（1）2,3（2）2,4【解析】【分析】（1）依题意可得BA，即可得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得AB，由B得到2m，则只需15m+，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】∵

xB都有xA，∴BA，又由题知B，所以12112215mmmm+−+−−，解得23m，故m的取值范围是2,3.【小问2详解】由于xA且xB，则AB，因为B，所以121mm+−，所

以2m，当2m时，一定有13m+，要想满足AB，则要满足15m+，解得4m，故AB时，24m，故m的取值范围是2,4.18.已知函数()()32111132fxxaxax=+−−+．（1）若函数()fx的单调递

减区间为2,13−，求实数a的值；（2）若函数()fx在()2,3单调递减，求实数a的取值范围．【答案】（1）23a=（2）3a−【解析】【分析】（1）根据函数()fx的单调递减区间为2,13−，得出122,13xx=−=是()0fx=两个根，求出实数a的值并验证成立

；（2）由函数()fx在()2,3单调递减，得出()0fx对()2,3x恒成立，再求解实数a取值范围．【小问1详解】()()()()211fxxaxaxax=+−−=+−，∵函数()fx的单调递减区间为2,13−，所以

122,13xx=−=是()0fx=的两个根，所以23a−=−，解得23a=.经检验当23a=时，由()0fx，解得213x−，所以函数()fx的单调递减区间为2,13−.所以23a=.【小问2详解】的∵()fx在()2,3单调递减∴()0fx

对()2,3x恒成立，即()()10xax+−，ax−恒成立∴3a−.19.在平面直角标系xOy中，曲线M的参数方程为cos1sin1xy=+=+（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为πsin224+=．（1）求曲线M的普通方程；（2）若Q为曲线M上一动点，求Q到l距离的取值范围．【答案】（1）()()22111xy−+−=（2）21,21−+【解

析】【分析】（1）利用22cossin1+=求得M的普通方程；（2）将直线l的极坐标方程化为普通方程，设点()cos1,sin1Q++，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点Q到直线l距离的范围．【小问1详解】由题意可知：cos1sin1xy=−=−，由2

2cossin1+=可得()()22111xy−+−=，所以M的普通方程为()()22111xy−+−=；【小问2详解】直线l可化简为cossin4+=，将cossinxy==可得l的直角坐标方程为40xy+−=，

设()cos1,sin1Q++，则22π2sin2cos1sin144211d+−+++−==+πsin1,14+−，π2sin222,224+−−+，∴21,21d−+．20.已知命题p：复数()26izmmm=

+−−（其中mR）．复数z在复平面内对应的点在第四象限．命题q：函数4lnyxx=−在定义域的子集),+m中存在极值．（1）若pq是真命题，p是真命题，求实数m的取值范围．（2）设命题r：()21,9mkk−，

已知“若r，则p”为真命题，求实数k的取值范围．【答案】（1）)3,4（2）1,13【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义得到不等式组，求出实数m的取值范围，根据4lnyxx=−单调性和极值情况得到04m，再根据p为假

命题，命题q为真命题，求出答案；（2）由题意得到“若p，则r”为真命题，故pr，比较端点值得到不等式组，求出答案.【小问1详解】命题p为真命题，则2060mmm−−，解得03m；命题q为真命题：4104yxx=−==，∴()0,4x，0y，4lnyxx=−单调递

减，()4,x+，0y，4lnyxx=−单调递增，∴2lnyxx=−在4x=处取极小值，所以04m；由p是真命题，可得p为假命题，又pq是真命题，所以命题q为真命题，∴0m或3m与04m取交集，得到)3,4m；【小问2详解】∵若r，则p”真命题，∴“若p，则r

”为真命题，故pr，为∴21093kk−，解得113k，故实数k的取值范围是1,1321.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为sina=（0a），Q为l上一点，以线段OQ为腰作等腰直角OPQ△，使OPOQ⊥

（其中O、P、Q呈逆时针排列）．（1）当点Q在l上运动时，求动点P运动轨迹1C的直角坐标方程；（2）当32a=时，若直线()π6=R与曲线C：4cos=交于点A（不同于原点），与曲线1C交于点B，求AB的值．

【答案】（1）xa=（2）231−【解析】【分析】（1）设(),P，利用,PQ极坐标中极径相等，极角相差π2的关系表示Q点的极坐标并代入直线l的极坐标方程，即可求解；（2）根据极径的几何意义直接求解即可.【小

问1详解】设(),P，则π,2Q+，因为Q为l上一点，所以πsin2a+=，展开得cos=a，化为直角坐标方程得xa=.所以动点P运动轨迹1C的直角坐标方程为xa=.【小问2详解】曲线C：4cos=中

令π6=，解得π4cos236A==，因32a=，所以曲线1C：3cos2=，令π6=，解得1B=，为所以231ABAB=−=−．22.已知函数()()()ln11fxxaxaa=+−++R．（1）讨论函数()fx的极值情况；（2）证明：当1a时，()e

0xfx−．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分1a与1a两种情况，得到函数单调性和极值情况；（2）转化为证明eln2xx+，构造()elnxhxx=−，二次求导，结合隐零点和基本不等式证明出结论.【小问

1详解】函数()()()ln11fxxaxaa=+−++R，定义域为()0,+，()()1111axfxaxx+−=+−=①当1a时，()0fx¢>，()fx单调递增，没有极值；②当1a时，由()0fx=，得11xa=−

，当10,1xa−时，()0fx¢>，()fx单调递增；当1,1xa+−时，()0fx，()fx单调递减；∴()()1ln11fxfaaa==−−−极小，无极大值综上讨论得：①当1a时，()fx无极值；②当1a时，()fx有极小值()ln1aa

−−，无极大值．【小问2详解】当1a时，要证()e0xfx−，即证()exfx，只需证eln2xx+；令()elnxhxx=−，则()1exhxx=−，令()1exmxx=−，则()21e0xmxx=+，∴()hx在()0,+单调递增，而1e202

h=−，()1e10h=−，故方程1e0xx−=有唯一解0x，即001e0xx−=，∴001exx=，则00exx−=，∴00lnxx−=，且()00,xx时，()0hx，()hx在()00,x单调递减；()0,xx+时，()0

hx，()hx在()0,x+单调递增；∴()()000001eln2xhxhxxxx=−=+，∴eln2xx+，故当1a时，()e0xfx−.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定

理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.获得更多资源请扫码加入享学资

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