【文档说明】福建省龙海市程溪中学2020-2021学年高二上学期期中考试 数学.doc，共(12)页，248.500 KB，由小赞的店铺上传

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程溪中学2020-2021学年高二数学上学期期中考试卷一．选择题（共8小题）1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝30°，C＝45°，b＝2，则c＝（）A．2B．3C．4D．2

．已知数列{an}中，前n项和Sn＝n2﹣15n，则Sn的最小值是（）A．﹣14B．C．﹣56D．﹣1123．在区间[﹣1，5]上随机取一个实数a，则使log2a∈[0，2]的概率为（）A．B．C．D．4．已知等比数列{an}中，a3＝1，a5＝2，则首项a1＝（

）A．B．C．D．05．在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则m+n＝（）A．5B．6C．7D．86．如图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，

其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（）A．1.2B．1.5C．1.6D．1.87．设回归直线方程为，则变量x增加一个单位时（）A．y大约增加3个单位B．y大约增加个单位C．y大约减少3个单位D．y大约减少个单位8．袋中共有完全相同的4只小球，编号为

1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是奇数的概率为（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）9．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．有最小值4B．有最小值C．最大值1D．a2+b2有最小值10．在△ABC中，角A，B，C所对各边分别为a，b，c，若a＝1

，b＝，A＝30°，则B＝（）A．30°B．45°C．135°D．150°11．下列命题的否定中，是全称量词且为真命题的有（）A．∃x∈R，B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2+2x+2≤0D．至少有一个实

数x，使x3+1＝012．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（）A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一个黑球”和“都是红

球”是对立事件D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件三．填空题（共4小题）13．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a＜0”的否定为．14．已知x与y之间的一组数据如表，已求得关于y与x的线性回归方程＝1.2x+a

，则a的值为．x0246y235715．已知等差数列{an}的公差不为零，若a3，a4，a6成等比数列，则a2＝．16．已知p：实数x满足x2﹣2x﹣8＞0；q：x＜m．若p是q的必要不充分条件，则m的最大值为．四．解答题（共6小题）17．已知A＝{

x|5x﹣1＞a}，B＝{x|x＞1}．（1）若A，B互为充要条件，求实数a的值．（3）已知全集为R，C＝{x|x≤2m+1}，若C⊆（∁RB），求实数m的取值范围．18．某校为于了解2020年新冠肺炎疫情“停课不停学”期间高三学生平均每天学习的时间（单位：小时），从本校随机抽取了

100名学生进行调查，根据收集的数据，得到学生每天学习时间的频率分布直方图，如图所示，若每天学习时间不超过10小时的有45人．（1）求a，b的值：（2）根据频率分布直方图，估计该校学生每天学习时间的中位数和平均数（同组中的数据用该组区间的中点值代表）．19．为了加强对国产核动力航母动力系统

的研发力量，用分层抽样方法从A，B，C三所动力研究所的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见表（单位：人）：研究所相关人数抽取人数A18xB362C54y（1）求x，y；（2）若从B，C研究所抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自C研究所的概率．2

0．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝S3，a4＝2a2﹣2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，其前n项和为Tn，证明：．21．在①a＝，②（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的角A，B，

C对边分别为a，b，c，c＝而且_______．（1）求∠C；（2）求△ABC周长的最大值．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y﹣

＝0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）如图，过定点P（2，0）的直线l交椭圆C于不同的两点A，B，连接AF并延长交椭圆C于点M，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．2020-2021学年高二数学上学期期中考试卷参考答案与

试题解析一．选择题（共11小题）1．【分析】由已知利用正弦定理即可求解．【解答】解：因为B＝30°，C＝45°，b＝2，所以由正弦定理，可得c＝＝＝4．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

2．【分析】利用二次函数的性质求得结果即可．【解答】解：∵Sn＝n2﹣15n的对称轴为n＝，且开口向上，∴当n＝7或8时Sn取最小值﹣56，故选：C．【点评】本题主要考查数列前n项和的最小值的求法，属于基础题．3．【

分析】解不等式求出a的范围，根据几何概型概率公式计算概率．【解答】解：若0≤log2a≤2，则1≤a≤4，故所求概率为，故选：B．【点评】本题考查几何概型的概率计算，属于基础题．4．【分析】由等比数列的性质求得结果即可．【解答】解：由等比数列的性质可得：

a1a5＝a32，∵a3＝1，a5＝2，∴a1＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．5．【分析】由题意知0.1×1+0.1×4+0.4m+0.4n＝2.5，解得即可．【解答】

解：由题意知0.1×1+0.1×4+0.4m+0.4n＝2.5，可得m+n＝5．故选：A．【点评】本题考查了平均数的运算，属于基础题．6．【分析】由几何概型中的面积型概率运算公式，求出阴影部分的面积即可得解．【解答】解：由几何概型中的面积型可得：＝，又S正＝22＝4，即S黑＝1.5，故选：B．【

点评】本题考查了几何概型中的面积型，属基础题．7．【分析】直接根据回归直线方程中回归系数的意义得答案．【解答】解：由回归方程可知，变量x增加一个单位时，y大约减少个单位．故选：D．【点评】本题考查线性回归方程系数的意义，是基础题．8．【分析】在编号为

1，2，3，4的小球中任取2只小球，利用列举法求出共有6种取法，取出的2只球编号之和是奇数的有4种取法，由此能求出取出的2只球编号之和是奇数的概率．【解答】解：在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，共有6种取法，分别为：{1，2}，{1，3}，{1，4}

，{2，3}，{2，4}，{3，4}，则取出的2只球编号之和是奇数的有4种取法，分别为：{1，2}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，所以取出的2只球编号之和是奇数的概率为P＝＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础

知识，考查运算求解能力，是基础题．二．多选题（共5小题）9．【分析】由条件运用基本不等式可得0＜ab≤，运用变形和化简，即可判断正确结论．【解答】解：正实数a，b满足a+b＝1，即有a+b≥2可得0＜ab≤，即有+＝≥4，即

有a＝b时，+取得最小值4，故A正确；由0＜≤，可得有最大值，故B错误；由+＝＝≤＝，可得a＝b时，+取得最大值，故C错误，由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2＝1，则a2+b2≥，当a＝b＝时，a2+b

2取得最小值，故D正确．综上可得AD正确，CB均错．故选：AD．【点评】本题考查基本不等式的运用，注意变形和等号成立的条件，考查化简运算能力，属于基础题．10．【分析】根据正弦定理＝，代入已知数据进行运算即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝，∴，∴sinB＝，∵B∈（0

，180°），∴B＝45°或135°．故选：BC．【点评】本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．11．【分析】由存在性命题和全称命题的定义，以及常用结论的应用，即可判断．【解答】解：∵B是全称命题，其否定为特称命题，故排除，

A是特称命题，其否定为：∀x∈R，≥0，即（x﹣）2≥0为真命题，C是特称命题，其否定为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，即（x﹣1）2+1＞0为真命题，D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有x3+1≠0，﹣1代入不成立，为假命题，故选：AC．【点评】本题考查存在性命题和全称

命题，以及真假判断，考查判断能力，属于基础题．12．【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，对于A，“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故

B正确；对于C，“至少一个黑球”和“都是红球”既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C正确；对于D，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事件，故D错误．故选：BC．

【点评】本题考查对立事件、互斥事件的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．填空题（共4小题）13．【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出即可．【解答

】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a＜0”的否定为“∃x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．故答案为：“∃x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．【点评】本题考查了根据全称量词命题的否定是存在量词命题的应用问题，是基础题．14．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程求

解即可．【解答】解：由题意可知＝（0+2+4+6）＝3，＝（2+3+5+7）＝，因为回归直线结果样本中心，所以：，解得a＝0.65．故答案为：0.65．【点评】本题考查回归直线方程的应用，是基本知识的考查．15．【分

析】运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得a2＝0．【解答】解：等差数列{an}公差d不为零，若a3，a4，a6成等比数列，可得a3a6＝a42，即（a2+d）（a2+4d）＝（a2+2d）2，整理可得a2d＝0，所以a2＝0，故答案为：0．【点评】本题考查等差数列的通项

公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．【分析】化简p，根据p是q的必要不充分条件，即可得出m的最大值．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，解得x＞4，或x＜﹣2．∴p：实数x满足x＞4，或x＜﹣2；q：x＜m．由p是

q的必要不充分条件，则m≤﹣2．∴m的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．四．解答题（共8小题）17．【分析】将A解出后，根据A、B、C之间的关系，确定参数的取值范围即可．【解答】答案：（1）

．即实数m的取值范围为（﹣∞，0]【点评】本题属于集合与命题的综合题，结合数轴即可解决，属于简单题．18．【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b．（2）[4，10）的频率为0.45，[10，1

2）的频率为0.25，由此能估计该校学生每天学习时间的中位数和平均数．【解答】解：（1）由题意得：，解得a＝0.05，b＝0.15．（2）[4，10）的频率为：（0.025+0.05+0.15）×2＝0

.45，[10，12）的频率为0.125×2＝0.25，∴中位数为：10+×2＝10.4，平均数为：5×0.05+7×0.1+9×0.3+11×0.25+13×0.2+15×0.1＝10.5．【点评】本题考查频率、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的

性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．【分析】（1）利用分层抽样的性质列出方程组能求出x，y．（2）记从研究所B抽取的2人为b1，b2，从研究所C抽取的3人为c1，c2，c3，利用列举法求出从研究所B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有10种，选中的2人都来自研究所C包含的

基本事件有3种，由此能求出这二人都来自C研究所的概率．【解答】解：（1）由题意可得：，解得x＝1，y＝3．（2）记从研究所B抽取的2人为b1，b2，从研究所C抽取的3人为c1，c2，c3，则从研究所B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有10种，分别为：（b1，b2），（

b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3），共10种，选中的2人都来自研究所C包含的基本事件有3种，分别为：（c1，c2

），（c1，c3），（c2，c3），∴这二人都来自C研究所的概率为p＝．【点评】本题考查频数、概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意列出d与a1的方程组，求解出d与a1，即可求得an；（2

）由（1）求得Sn与bn，再利用裂项相消法求得Tn，证明结论．【解答】解：（1）解：设等差数列{an}的公差为d，依题意得，解得：，∴an＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）证明：由（1）得：Sn＝＝n2+3n，∴bn＝＝＝＝﹣，∴Tn＝（

）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣＜．【点评】本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题．21．【分析】（1）选①，先利用正弦定理化简可得，进而得到，结合C的范围即可求得；选②，先利用正弦定理可得（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，再利用余弦定理可得，结合C的范围

即可求得；（2）由余弦定理可得a2+b2﹣ab＝3，再利用基本不等式可得，进而求得△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）选①，∵a＝，∴，∵sinA≠0，∴，即，又0＜C＜π，∴，故，即；选②，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，∴（2

a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，∴，∵0＜C＜π，∴；（2）由（1）可知，，在△ABC中，由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC＝3，即a2+b2﹣ab＝3，∴，∴，当且仅当那个a＝b时取等号，∴，即△ABC周长的最大值为．【点评】本

题主要考查正余弦定理在解三角形中的运用，同时还涉及了基本不等式的运用，考查化简计算能力，属于中档题．22．【分析】（Ⅰ）依题意，由点到直线的距离可求得b＝1，再根据离心率为，可求得，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设出直线方程与椭圆方程联立，然后再化简k1+k2即可得证．【解答】解：（Ⅰ）依题意

，可设圆O的方程为x2+y2＝b2，∵圆O与直线x﹣y﹣＝0相切，∴，∴a2﹣c2＝1，由解得，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）证明：依题意，可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），代入中，整理得，（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，∵直线l与椭圆C有两

个不同的交点，∴△＞0，即2k2﹣1＜0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∵F（1，0），∴＝＝，即k1+k2为定值．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合运用，考查圆锥曲线中的定值问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于

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