【文档说明】山东省临沂市兰山区、兰陵县2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 PDF版含答案.pdf，共(8)页，306.093 KB，由小赞的店铺上传

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高一数学试题第页（共４页）２０２０—２０２１学年度第二学期期中教学质量检测高一数学试题２０２１􀆰０５本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分１５０分。考试用时１２０分钟。注意事项：１．答题前，考生务必用０．５毫米黑色

签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。２．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。３．第Ⅱ卷必须用０．５毫米黑色签字笔作答，答

案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。第Ⅰ卷选择题（６０分）一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）１．已知ａ，ｂ是两条异面直线，ｂ，ｃ是两条垂直直线，那么ａ，ｃ的位置关系是Ａ．平行或相交Ｂ．异面或平行Ｃ．异面或相交Ｄ．平行或异面或相交２．在△ＡＢＣ中，Ｃ＝６０°，ａ＋２ｂ＝８，ｓｉｎＡ＝６ｓｉｎＢ，则ｃ＝Ａ．３５Ｂ．３１Ｃ．６Ｄ．５３．已知△

ＡＢＣ是边长为４的等边三角形，Ｄ为ＢＣ的中点，点Ｅ在边ＡＣ上；且ＡＥ→＝λＡＣ→（０＜λ＜１）；设ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，当λ变化时，记ｍ＝ＢＰ→·ＢＣ→，则下列说法正确的是Ａ．ｍ随λ的增大而增大Ｂ．ｍ为定值Ｃ．ｍ随λ的增大而

减少Ｄ．ｍ先随λ的增大而增大后随λ的增大而减少"
c#
0
Z
Y
４．如图，已知等腰三角形△Ｏ′Ａ′Ｂ′是一个平面图形的直观图，Ｏ′Ａ′＝Ａ′Ｂ′，斜边Ｏ′Ｂ′＝２，则这个平面图形的面积是Ａ．２２Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．２２５．若ｚ１＝（ｍ２＋ｍ＋１）＋（ｍ－４）ｉ，ｍ∈

Ｒ，ｚ２＝３－３ｉ，则“ｍ＝１”是“ｚ１＝ｚ２”的Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件１高一数学试题第页（共４页）６．已知点Ｏ为△ＡＢＣ所在平面内一点，若动点Ｐ满足ＯＰ→＝ＯＡ→＋λＡＢ→＋ＡＣ→()λ≥０()，则点Ｐ一定经过△Ａ

ＢＣ的Ａ．外心Ｂ．内心Ｃ．重心Ｄ．垂心７．下列说法正确的有①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形．Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个８．在△ＡＢＣ中，ＢＡ

→·ＡＣ→｜ＢＣ→｜＋ＡＣ→·ＢＣ→｜ＢＣ→｜＝０，ＢＣ→｜ＢＣ→｜·ＢＡ→｜ＢＡ→｜＝－１２，则△ＡＢＣ为Ａ．直角三角形Ｂ．三边均不相等的三角形Ｃ．等边三角形Ｄ．等腰非等边三角形二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的

得５分，部分选对的得３分，有选错的得０分）９．已知复数ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ），则%%"0#.$$"#Ａ．ｚ２≥０Ｂ．ｚ的虚部是ｙｉＣ．若ｚ＝１＋２ｉ，则ｘ＝１，ｙ＝２Ｄ．｜ｚ｜＝ｘ２＋ｙ２１０．如图所示，在正方

体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｏ为ＤＢ的中点，直线Ａ１Ｃ交平面Ｃ１ＢＤ于点Ｍ，则下列结论正确的是Ａ．Ｃ１，Ｍ，Ｏ三点共线Ｂ．Ｃ１，Ｍ，Ｏ，Ｃ四点共面Ｃ．Ｃ１，Ｏ，Ａ，Ｍ四点共面Ｄ．Ｄ１，Ｄ，Ｏ，Ｍ四点共

面１１．在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ分别为角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，已知ｃｏｓＢｃｏｓＣ＝ｂ２ａ－ｃ，Ｓ△ＡＢＣ＝３３４，且ｂ＝３，则Ａ．ｃｏｓＢ＝１２Ｂ．ｃｏｓＢ＝３２Ｃ．ａ＋ｃ＝３Ｄ．ａ＋ｃ＝３２１２．已知ａ，ｂ是平面上夹角为２π３的两个单位向量，向量ｃ在该平面上，且ａ－ｃ()·ｂ－ｃ

()＝０，则下列结论中正确的有Ａ．｜ａ＋ｂ｜＝１Ｂ．｜ａ－ｂ｜＝３Ｃ．｜ｃ｜＜３Ｄ．ａ＋ｂ，ｃ的夹角是钝角２高一数学试题第页（共４页）第Ⅱ卷非选择题（９０分）三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．将答案填

在题中横线上）１３．已知复数ｚ＝１＋２ｉ，则ｚ·ｚ＝．１４．已知△ＡＢＣ的面积为２３，ＡＢ＝２，∠Ｂ＝π３，则ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝．１５．已知向量ａ＝（ｍ，１），ｂ＝（４－ｎ，２），ｍ＞０，ｎ＞０，若ａ∥ｂ，则１ｍ＋８ｎ的

最小值．１６．已知半径为Ｒ的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个两两互相垂直的面都相切，若球心到墙角顶点的距离是３，则球的体积是．四、解答题（本大题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）１７．（本小题满分１０分）在①ａｓｉ

ｎＣ＝３ｃｃｏｓＡ，②ｂ２＋ｃ２－ａ２＝ｂｃ，③３ｓｉｎＡ－ｃｏｓＡ＝１三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，且．（１）求Ａ；（２）若ａ＝２，则△ＡＢＣ的面积为３，求ｂ，ｃ．注：如果选择多个条件分别解答，

按第一个解答计分．100
１８．（本小题满分１２分）如图，圆锥ＰＯ的底面直径和高均是ａ，过ＰＯ的中点Ｏ′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（１）求圆柱的表面积；（２）求圆锥挖去圆柱剩下几何

体的体积．１９．（本小题满分１２分）已知在△ＡＢＣ中，三边长ａ，ｂ，ｃ满足２ｂ＝ａ＋ｃ．（１）若ｓｉｎＡ∶ｓｉｎＢ＝３∶５，求三个内角中最大角的度数；（２）若ｂ＝１，且ＢＡ→·ＢＣ→＝ｂ２－（ａ－ｃ）２，求△ＡＢＣ的面积．３高一数学试题第页（共４页）２０．（本小题满分１２分）已知

△ＯＡＢ的顶点坐标为Ｏ（０，０），Ａ（２，９），Ｂ（６，－３），点Ｐ的横坐标为４，且ＯＰ→＝λＰＢ→，点Ｑ是边ＡＢ上一点，且ＯＱ→·ＡＰ→＝０．（１）求实数λ的值与点Ｐ的坐标；（２）求点Ｑ的横坐标与纵坐标之和．#1"0２１．（本小题满分１２分）如图，在

扇形ＯＡＢ中，∠ＡＯＢ＝１２０°，半径ＯＡ＝ＯＢ＝１，Ｐ为弧ＡＢ上一点．（１）若ＯＡ⊥ＯＰ，求ＰＡ→·ＰＢ→的值；（２）求ＰＡ→·ＰＢ→的最小值．２２．（本小题满分１２分）在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，已知向量ａ⇀＝－１，

２()，又点Ａ８，０()，Ｂｎ，ｔ()，Ｃｋｓｉｎθ，ｔ()，θ∈Ｒ．（１）若ＡＢ→⊥ａ⇀，且ＡＢ→＝５ＯＡ→，求向量ＯＢ→；（２）若向量ＡＣ→与向量ａ⇀共线，常数ｋ＞０，求ｆθ()＝ｔｓｉｎθ的值域．４高一数学参考答案第页（共４页）２０２

０—２０２１学年度第二学期期中教学质量检测高一数学参考答案２０２１􀆰０５一、单项选择题：１．Ｄ２．Ｂ３．Ｂ４．Ａ５．Ｃ６．Ｃ７．Ａ８．Ｄ二、多项选择题：９．ＣＤ１０．ＡＢＣ１１．ＡＤ１２．ＡＢＣ三、填空题：５３９２４３π四、解答题（本大题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

）１７．解：若选①（１）∵ａｓｉｎＣ＝３ｃｃｏｓＡ．由正弦定理得，ｓｉｎＡ·ｓｉｎＣ＝３ｓｉｎＣ·ｃｏｓＡ２分………………………………………………∵ｓｉｎＣ≠０∴ｓｉｎＡ＝３ｃｏｓＡ，即ｔａｎＡ＝３４分………………………………………………∵Ａ∈（０，π）∴

Ａ＝π３．５分……………………………………………………………………（２）∵ａ＝２，Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃ·ｓｉｎＡ＝１２ｂｃ·ｓｉｎπ３＝３∴ｂｃ＝４，６分……………………………………………………………………………………由余弦

定理：ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃ·ｃｏｓＡ即４２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃ·ｃｏｓπ３，即ｂ２＋ｃ２＝８，８分…………………………………………………由ｂｃ＝４．ｂ２＋ｃ２＝８解得：ｂ＝ｃ＝２．１０分………………………………………………………若选②（１）∵ｂ２＋ｃ２－ａ２＝ｂｃ．由余弦定理，

ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝１２３分…………………………………………………………∵Ａ∈（０，π）∴Ａ＝π３．５分……………………………………………………………………（２）∵ａ＝２，Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃ·ｓｉｎＡ＝１２ｂｃ·ｓｉｎπ３＝３∴ｂｃ

＝４，６分……………………………………………………………………………………由余弦定理：ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃ·ｃｏｓＡ即４２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃ·ｃｏｓπ３，即ｂ２＋ｃ２＝８，８分…………………………………………………由ｂｃ＝４．ｂ２＋ｃ２

＝８解得：ｂ＝ｃ＝２．１０分………………………………………………………１高一数学参考答案第页（共４页）若选③（１）∵３ｓｉｎＡ－ｃｏｓＡ＝１．∴ｓｉｎ（Ａ－π６）＝１２２分…………………………………………………………………………∵Ａ∈（０，π）Ａ－π６∈（－π６，

５６π）．３分………………………………………………………∴Ａ－π６＝π６４分…………………………………………………………………………………∴Ａ＝π３５分……………………………………………………………………………………（２）∵ａ＝

２，Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃ·ｓｉｎＡ＝１２ｂｃ·ｓｉｎπ３＝３∴ｂｃ＝４，６分……………………………………………………………………………………由余弦定理：ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃ·ｃｏｓＡ即４２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃ·ｃｏｓπ３，即ｂ２＋ｃ２＝８，８分…………………………………………………由ｂｃ＝４

．ｂ２＋ｃ２＝８解得：ｂ＝ｃ＝２．１０分………………………………………………………１８．解：（１）设圆锥底面半径为ｒ，圆柱底面半径为ｒ′，因为过ＰＯ的中点Ｏ′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱

，可得ｒ＝ａ２，ｒ′＝ａ４，且圆柱母线长ｌ′＝ａ２，圆锥母线长ｌ＝ａ２＋ａ２æèçöø÷２＝５２ａ，所以圆柱的表面积为：Ｓ表＝２πｒ′２＋２πｒ′ｌ′＝２π·ａ４æèçöø÷２＋２π·ａ４·ａ２＝３８

πａ２６分…………（２）剩下几何体的体积Ｖ＝１３πｒ２·ＯＰ－πｒ２·ＯＯ′＝１３π·ａ２æèçöø÷２·ａ－π·ａ４æèçöø÷２·ａ２＝５９６πａ２．１２分…………………１９．解：（１）因为ａ，ｂ，ｃ满足２ｂ＝ａ＋ｃ又ｓｉｎＡ∶ｓｉｎＢ＝３∶５，∴ａ∶ｂ＝３∶５，１分……………

………………………………………设ａ＝３ｋ，ｂ＝５ｋ，则ｃ＝７ｋ∴最大角为Ｃ，３分…………………………………………………由ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ＝－１２，得Ｃ＝１２０°．６分……………………………………………………（２）又由ＢＡ→·

ＢＣ→＝ｂ２－（ａ－ｃ）２，得ａｃ·ｃｏｓＢ＝ｂ２－（ａ－ｃ）２，７分………………………………∵ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃ·ｃｏｓＢ，∴ａｃ·ｃｏｓＢ＝－２ａｃ·ｃｏｓＢ＋２ａｃ，∴ｃｏｓＢ＝２３，∴ｓｉｎＢ＝５３，９分………………

…………………………………………………又∵ｂ＝１，ａ＋ｃ＝２，且ａｃ·ｃｏｓＢ＝ｂ２－（ａ－ｃ）２∴ａｃ＝９１０，１０分………………………………２高一数学参考答案第页（共４页）∴△ＡＢＣ的面积为１２ａｃｓｉｎＢ＝１２×９１０×５３＝３５２０．１２分………………………………………

２０．解：（１）设Ｐ（４，ｙ），则ＯＰ→＝（４，ｙ），ＰＢ→＝（２，－３－ｙ），由ＯＰ→＝λＰＢ→，２分……………………………………………………………得（４，ｙ）＝λ（２，－３－ｙ），解得λ＝２，ｙ＝－２，４分…

……………………………………………∴点Ｐ的坐标为（４，－２）．５分…………………………………………………………………（２）设Ｑ（ａ，ｂ），则ＯＱ→＝（ａ，ｂ），６分……………………………………………………………由（１）得ＡＰ→＝（２，－１１），７分…

…………………………………………………………………∵ＯＱ→·ＡＰ→＝０，∴２ａ－１１ｂ＝０，①９分…………………………………………………………∵点Ｑ在边ＡＢ上，∴ＡＱ→∥ＡＢ→，又ＡＢ→＝（４，－１２），ＡＱ→＝（ａ－２，ｂ－９），１０分………………………………………………………∴４（

ｂ－９）＋１２（ａ－２）＝０，即３ａ＋ｂ－１５＝０．②１１分……………………………………………联立①②，解得ａ＝３３７，ｂ＝６７，∴ａ＋ｂ＝３９７．１２分………………………………………………#1"0２１．解：（１）当ＯＡ⊥ＯＰ时，如图所示．因为∠ＡＯＢ＝１２０°，所以

∠ＰＯＢ＝１２０°－９０°＝３０°，∠ＯＰＢ＝１８０°－３０°２＝７５°，所以∠ＡＰＢ＝７５°＋４５°＝１２０°．１分………………………………在△ＰＯＢ中，由余弦定理，得ＰＢ２＝ＯＢ２＋ＯＰ２－２ＯＢ·ＯＰ·ｃｏｓ∠ＰＯＢ＝１２＋１２－２×１×１×ｃ

ｏｓ３０°＝２－３．３分…………………………………………………………因为ＰＢ２＝２－３，所以｜ＰＢ→｜＝６－２２，４分……………………………………………………又｜ＰＡ→｜＝２｜ＯＡ｜＝２，所以ＰＡ→·ＰＢ→＝｜Ｐ

Ａ→｜·｜ＰＢ→｜·ｃｏｓ∠ＡＰＢ＝６－２２·２·ｃｏｓ∠ＡＰＢ＝６－２２·２·ｃｏｓ１２０°＝１－３２．６分…………………………………………………………（２）以Ｏ为原点，ＯＡ所在直线为ｘ轴建立如图所示的平面直角坐标系，则Ａ（１，０）．

因为∠ＡＯＢ＝１２０°，ＯＢ＝１，所以Ｂ（－１２，３２）．７分……………………………………………设Ｐ（ｃｏｓα，ｓｉｎα），其中α∈［０°，１２０°］．则ＰＡ→·ＰＢ→＝（１－ｃｏｓα，－ｓｉｎα）·（－１２－ｃｏｓα，３２－ｓｉｎα）３高一数

学参考答案第页（共４页）#1"YZ0＝－１２－１２ｃｏｓα＋ｃｏｓ２α－３２ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＝１２－１２ｃｏｓα－３２ｓｉｎα＝１２－ｓｉｎ（α＋３０°），９分………………因为α∈［０°，１２０°］，所以α＋３０°∈［３０°，１５０°］，ｓｉｎ（α＋３０°）∈［１２，

１］，１０分…………………………………所以当α＋３０°＝９０°，即α＝６０°时，ＰＡ→·ＰＢ→取得最小值为－１２．１２分…………………………２２．解：（１）ＡＢ→＝ｎ－８，ｔ()，∵ＡＢ→⊥ａ⇀，且ＡＢ→＝５ＯＡ→，∴－（ｎ－８）＋２ｔ＝０，（ｎ－８）２＋

ｔ２＝８５，解得ｔ＝±８，当ｔ＝８时，ｎ＝２４；当ｔ＝－８时，ｎ＝－８．∴向量ＯＢ→＝（２４，８）或ＯＢ→＝（－８，－８）．４分……………………………………………………（２）ＡＣ→＝（ｋｓｉｎθ－８，ｔ），∵向量ＡＣ→与向量ａ⇀共线，常数ｋ＞０，∴ｔ＝－２ｋｓｉｎθ＋１６，

∴ｆ（θ）＝ｔｓｉｎθ＝－２ｋｓｉｎ２θ＋１６ｓｉｎθ＝－２ｋｓｉｎθ－４ｋæèçöø÷２＋３２ｋ．６分…………………………………①当０＜４ｋ＜１即ｋ＞４时，当ｓｉｎθ＝４ｋ时，ｆ（θ）＝ｔｓｉｎθ取得最

大值３２ｋ，ｓｉｎθ＝－１时，ｆ（θ）＝ｔｓｉｎθ取得最小值－２ｋ－１６，此时函数ｆ（θ）的值域为－２ｋ－１６，３２ｋéëêêùûúú．９分…………………………………………………②当４ｋ≥１即０＜ｋ≤４时，当ｓｉｎθ＝１时，ｆ（θ）＝ｔｓｉｎθ取得最大值－２ｋ＋１６，ｓｉｎθ＝－１时，ｆ（

θ）＝ｔｓｉｎθ取得最小值－２ｋ－１６，此时函数ｆ（θ）的值域为－２ｋ－１６，－２ｋ＋１６[]．１１分……………………………………………综上所述，当ｋ＞４时ｆ（θ）的值域为－２ｋ－１６，３２ｋéëêêùûúú．０＜ｋ≤４

时ｆ（θ）的值域为－２ｋ－１６，－２ｋ＋１６[]．１２分…………………………………………４