【文档说明】山东省临沂市兰山区、兰陵县2020-2021学年高一下学期期末考试教学质量检测数学试卷【精准解析】.doc，共(19)页，1.008 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年山东省临沂市兰山区、兰陵县高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别

是（）A．，B．，C．，D．，2．已知复数z满足z（1﹣i）＝2﹣i，其中i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是S2，则

2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数和方差分别是（）A．与S2B．2+3和S2C．2+3和4S2D．2+3和4S2+12S+94．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04则

至少有两人排队的概率为（）A．0.16B．0.26C．0.56D．0.745．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．6．下列叙述正确的是（）A．已知a，b是空间中的两条直线，若a∩b＝∅，则直

线a与b平行或异面B．已知l是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，若l∩α≠∅，则l⊂α或l与α只有一个公共点C．已知α，β是空间两个不同的平面，若α∩β≠∅，则α，β必相交于一条直线D．已知直线l与平面α相交，且l垂直于平面α内的无数条直线，则l⊥α7．已知一个圆柱的侧面积等于其表面

积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）A．16πB．27πC．36πD．54π8．在一次试验中，若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2﹣a，P（B）＝4a﹣5，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小

题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（）A．z2＝2iB．|z|＝2C．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i10．下面结论正确的是（）A．若

P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是互为对立事件B．若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A与B是相互独立事件C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件11

．如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是（）A．平面ANS⊥平面PBCB．平面

ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PAC12．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若，则是在的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足，则λμ的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．总

体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成．现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1～100范围内的整数随机数的开始部分数据（如下），则选出来的第5个个体的编号为．8442178

31574556887774477217633506314．已知O为坐标原点，向量，，若，则＝．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若sinA＞sinB，则A＞B；②若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；③

若cos2A+cos2B﹣cos2C＝1，则△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．以上结论中正确的有．（填正确结论的序号）16．已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥

的表面积为，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知平面向量，满足，，．（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．18．如

图，四边形ABCD是矩形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，BC＝3，DE＝CD＝2FB＝2．（1）证明：平面AED∥平面BCF．（2）求三棱锥B﹣CEF的体积．19．设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若．（1）求角A；（2）若a＝2，△ABC的周长的为6，求△A

BC的面积．20．甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求：（1）甲、乙在两轮比赛中分别答对1道题和2

道题的概率；（2）该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．21．如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）求成绩在80～90这一组的频数；（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位

数；（3）从成绩是50分以下和90分以上（包括90分）这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率．22．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC，Q为B

B1的中点，过A1，Q，D三点的平面记为α．（Ⅰ）证明：平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD；（Ⅱ）若AA1＝3，BC＝CD＝，∠BCD＝120°，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．参考答案一、单

项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．，B．，C．，D．，解：在抽样过程中

，个体a每一次被抽中的概率是相等的，∵总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为，故选：A．2．已知复数z满足z（1﹣i）＝2﹣i，其中i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象

限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵（1﹣i）z＝（2﹣i）∴z＝＝＝＝则在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第一象限．故选：A．3．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是S2，则2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数和方差分别是（）A．与S

2B．2+3和S2C．2+3和4S2D．2+3和4S2+12S+9解：由题意知，，，所以2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数为．2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差为：＝4S2．故选：C．4．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234≥5

概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A．0.16B．0.26C．0.56D．0.74解：由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：P＝1﹣P

（X＝0）﹣P（X＝1）＝1﹣0.1﹣0.16＝0.74．故选：D．5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．解：由题意，∵，∴，即，∴，即故选：A．6．下列叙述正确的是（

）A．已知a，b是空间中的两条直线，若a∩b＝∅，则直线a与b平行或异面B．已知l是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，若l∩α≠∅，则l⊂α或l与α只有一个公共点C．已知α，β是空间两个不同的平面，若α∩β≠∅，则α，β必相交于一条直线D．已知直线l

与平面α相交，且l垂直于平面α内的无数条直线，则l⊥α解：对于A，根据空间中直线的位置关系有：相交，平行，异面，由题意可知，a∩b＝∅，说明直线a与b不相交，即直线a与b平行或异面，A正确；对于B，根据直线与平面的位置关系有：直线与平面相交，直线与平面平行

，直线在平面内，因为l∩α≠∅，所以直线l与平面α不平行，即直线与平面相交或B直线在平面内，亦即l⊂α或l与α只有一个公共点，正确；对于C，因为平面与平面的位置关系有：相交或平面，因为α，β是空间两个不同的平面，而α∩β≠∅，所以平面α与β相交，即α，β必相

交于一条直线，C正确；对于D，当直线l与平面α相交，且l垂直于平面α内的无数条直线，若这些直线中没有相交直线，则l不一定垂直平面α，D不正确；故选：ABC．7．已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）A．16πB．27πC．

36πD．54π解：设圆柱的高为h，底面圆半径为r，∵圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，∴，解得r＝3，h＝6，∴该圆柱的体积为V＝πr2h＝π×32×6＝54π．故选：D．8．在一次试验中，若随机事件A，B互斥

，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2﹣a，P（B）＝4a﹣5，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．C．D．解：因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2﹣a，P（B）＝4a﹣5，所以，解得＜a≤，即a的取值范围为（，]；故选：

D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（）A．z2＝2iB．|z|＝2C．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i解：∵＝，∴|

z|＝，z2＝（﹣1﹣i）2＝2i，z的虚部为﹣1，z的共轭复数为﹣1+i．故选：AC．10．下面结论正确的是（）A．若P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是互为对立事件B．若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A与B是相互独立事件C．若事件A与

B是互斥事件，则A与也是互斥事件D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件解：对于A：例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样，P（A）为选中a、b两个球的概率：0.5，P（B）为选中b，c两个球的概

率：0.5，P（A）+P（B）＝1，但A，B不是对立事件．故A错误；对于B，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A与B是相互独立事件，故B正确；对于C，假设一个随机事件由A、B、C、D这4个彼此互斥的基本事件构成，则事件中含有事件B、C

、D，事件中含有事件A、C、D，则A与不互斥，故C错误；对于D，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故D正确，故选：BD．11．如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的

平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是（）A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PAC解：AC为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直

于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，在A中，PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN，∵AN⊥PB于N，PB∩BC＝B，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，

故A正确；在B中，∵AS⊥PC，AN⊥PC，AS∩AN＝A，∴PC⊥平面ANS，∵PB∩PC＝P，∴PB与平面ASN相交但不垂直，∵PA∩PC＝P，∴PA与平面ASN相交但不垂直，∴平面ANS⊥平面PAB不成立，故B错误．在C中，∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩A

B＝A，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，故C正确；在D中，∵PA垂直于圆O所在的平面，PA⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故D正确；故选：ACD．12．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，

下列说法正确的是（）A．B．C．若，则是在的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足，则λμ的最大值为解：如图所示：对选项，故A错误；对选项B，＝＝，故B正确；对选项分别表示平行于，的单位向量，由平面向量加法可知：为∠BAC的平分线

表示的向量，为，所以AD为∠BAC的平分线，又因为AD为BC的中线，所以AD⊥BC，如图所示：在的投影为，所以是在的投影向量，故选项C正确；对选项D，如图所示：因为P在AD上，即A，P，D三点共线，设，又

因为，所以，因为，则，0≤t≤1，令，时，λμ取得最大值为．故选项D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成．现用随机

数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1～100范围内的整数随机数的开始部分数据（如下），则选出来的第5个个体的编号为31．8442178315745568877744772176335063解：根据随机数法选取的规则是选出的样本编号为1～100范

围内的整数，且与前面重复的数据不再出现，所以选出来的前5个个体编号为：8，44，2，17，31，...；所以第5个个体的编号为31．故答案为：31．14．已知O为坐标原点，向量，，若，则＝．解：∵，；∴；∴；

∴．故答案为：．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若sinA＞sinB，则A＞B；②若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；③若cos2A+cos2B﹣cos2C＝1，则△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜co

sB．以上结论中正确的有①③．（填正确结论的序号）解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于①，由正弦函数的性质得：若sinA＞sinB，则A＞B，故①正确；对于②，若A＝15°，B＝75°，则sin2A＝sin2B，但△ABC不是等腰三角

形，故②错误；对于③，若cos2A+cos2B﹣cos2C＝1，则1﹣sin2A+1﹣sin2B+sin2C＝2，∴sin2A+sin2B＝sin2C，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，当A＝80°，B＝40°时，sinA＞co

sB．故④错误．故答案为：①③．16．已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为．解：如图，三棱锥A﹣BCD的底面是边

长为的等边三角形，设G为底面三角形的外心，连接AG，则AG⊥底面ABC，且AG＝．连接DG交BC于E，则DE⊥BC，且GE＝DE＝．连接AE，由AG⊥底面BCD，得AG⊥BC，又DE⊥BC，AG∩DE＝G，∴B

C⊥平面ADE，则AE⊥BC，即AE为正三棱锥A﹣BCD的斜高．AE＝．则三棱锥的表面积为3×+＝；设三棱锥内切球的半径为r，由等体积法可得：，解得r＝．∴V的最大值为．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知平面向量

，满足，，．（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解：（1）∵得，则，得．（2）由向量与的夹角为锐角，可得．即有λ＞﹣4．而当向量与同向时，可知λ＝0，综上所述λ的取值范围为（﹣4，0）∪（0，+∞）．18．

如图，四边形ABCD是矩形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，BC＝3，DE＝CD＝2FB＝2．（1）证明：平面AED∥平面BCF．（2）求三棱锥B﹣CEF的体积．【解答】（1）证明：∵ED⊥平面ABCD，FB⊥平面

ABCD，∴BF∥DE．又∵DE⊂平面ADE．BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE．在矩形ABCD中，BC∥AD，且AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE．又BC∩BF＝B，∴平面AED∥平面BCF；（2）解：∵FB⊥平

面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴FB⊥CD．在矩形ABCD中，BC⊥CD．又FB∩BC＝B，∴CD⊥平面FBC．由已知可得ED∥平面BCF，∴点E到平面BCF的距离为CD，∴VB﹣CEF＝VE﹣BCF＝＝＝1．19．设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若．（1）求角A；（

2）若a＝2，△ABC的周长的为6，求△ABC的面积．解：（1）由，及正弦定理可得．由sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA带入上式，整理得．因为sinC＞0，所以．因为A∈（0，π），所以

角．（2）∵△ABC的周长为6，得b+c＝4，由a2＝b2+c2﹣2bcosA．可得4＝b2+c2﹣bc，即（b+c）2﹣3bc＝4．解得bc＝4，∴．所以△ABC的面积为．20．甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道

题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求：（1）甲、乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率；（2）该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．解：（1）根据题意，用A1、A2分别表示甲在两轮比赛中答对1道题和

2道题，用B1、B2分别表示乙在两轮比赛中答对1道题和2道题，则P（A1）＝C××（1﹣）＝，P（A2）＝C×（）2＝，P（B1）＝C××（1﹣）＝，P（B2）＝C×（）2＝，（2）根据题意，该队伍在两轮

比赛中答对3道题，即“甲答对2道乙答对1道”或者“甲答对1道乙答对2道”，则P（A2B1）＝P（A2）P（B1）＝×＝，P（A1B2）＝P（A1）P（B2）＝×＝，故该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率P＝P（A2B1）+P（A1B2）＝+＝．21．如图所示，在树人中学高一

年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）求成绩在80～90这一组的频数；（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；（3）从成绩是50分以下和90分以上（包括90分）这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一

分数段的概率．解：（1）由频率分布直方图的性质知，（0.005+2a+0.015+0.025+0.035）×10＝1，∴a＝0.01，∴80～90这一组的频率为0.01×10＝0.1，频数为40×0.1＝4．（2）这次竞赛成绩的平均数为45×0.1

+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05＝68.5．因为40～60的频率为0.1+0.15＝0.25＜0.4，40～70这一组的频率为0.25+0.25＝0.5＞0.4，所以，40百分位数在60～70这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，所以4

0百分位数为60+10×（0.15÷0.25）＝66；（3）记选出的2人不在同一分数段为事件E，40～50之间的人数为40×0.1＝4人，设为a，b，c，d；90～100之间有40×0.05＝2人，设为1，2．

从这6人中选出2人，有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）共1

5个样本点，其中事件E包括：（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），共8个基本事件，则．22．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC

，且AD＝2BC，Q为BB1的中点，过A1，Q，D三点的平面记为α．（Ⅰ）证明：平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD；（Ⅱ）若AA1＝3，BC＝CD＝，∠BCD＝120°，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：如图，延长AB，DC交于点P，∵AD∥BC，且AD

＝2BC，∴AB＝BP，又∵Q为BB1的中点，∴A1，Q，P三点共线，此时平面α与平面ABCD的交线为CD，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，根据面面平行的性质定理可得，平面α与平面A1B1C1D

1的交线平行于直线CD；（Ⅱ）解：在梯形ABCD中，∵BC＝CD＝，∠BCD＝120°，∴BD＝3，，，得，，说明梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝3，可知△ADP为等边三角形，连接AC、A1C，则AC⊥

CD，又AA1⊥CD，∴CD⊥平面AA1C，此时∠A1CA就是平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，在直角△A1CA中，AC＝AA1＝3，∴，即平面α与底面ABCD所成二面角的大小为．