【文档说明】重庆市巴蜀中学2022-2023学年高三下学期高考适应性月考（七）数学试题 含解析.docx，共(22)页，3.239 MB，由小赞的店铺上传

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巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（七）数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合312xMxx−=−，12Nxx=−，则MN=（）A.1,3−B.1,2C.

)1,2−D.(2,3【答案】D【解析】【分析】解分式不等式求出集合M，再解绝对值不等式求出集合N，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由312xx−−，则3102xx−−−，即()3202xxx−−−−，解得2x，所以3

122xMxxxx−==−，由12x−≤，即212x−−，解得13x−，即12|13Nxxxx=−=−，所以(2,3MN=.故选：D2.已知i为虚数单位，则202

3i1i1+=−（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法及乘方运算法则计算可得.【详解】因为()()()()i1i1i1ii1i1i1+−−+==−−−−−，所以()()202320232023

450533i1i1iiii1++=−=−=−=−.故选：C3.函数()sinfxx=的图象经过下列哪个变换可以得到()πsin23gxx=+的图象，这个变换是（）A.先将函数()sinfxx=的图象向左平移π3个单位，再把图象上每

个点的横坐标扩大为原来的2倍B.先将函数()sinfxx=的图象向左平移π3个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的12C.先把函数()sinfxx=的图象上每个点的横坐标缩小为原来的12，再将图

象向左平移π3个单位D.先把函数()sinfxx=的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移π6个单位【答案】B【解析】【分析】根据三角函数变换规则计算可得.【详解】先将函数()sinfxx=的图象向左平移π3个

单位得到πsin3yx=+，再把πsin3yx=+图象上每个点的横坐标缩小为原来的12，得到πsin23yx=+，即()πsin23gxx=+.故选：B4.已知直三棱柱111ABCABC-的所有棱长均为1，则直线1AB与

直线1BC夹角的余弦值为（）A.14B.12C.22D.15【答案】A【解析】【分析】取AC的中点O，连接OB，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】取AC的中点O，连接OB则OBAC⊥，如图建立空间直角坐标系，则10,,02A−，13,0,12B

，3,0,02B，110,,12C，的所以131,,122AB=，131,,122BC=−，设直线1AB与直线1BC夹角为，则1111112cos422ABBCAB

BC===，即直线1AB与直线1BC夹角的余弦值为14.故选：A5.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑”是重庆的地标性建筑，吸引众多游客

来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形ABCDEFGH，如图乙所示，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且(),ACxAByAHxy=+R，则xy+=（）A.122+B.12+C.22+D

.3【答案】C【解析】【分析】设正八边形的边长为1，作平行四边形AHCM，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解.【详解】由图可知角度关系，外角45=，作平行四边形AHCM，180290BCM=−=oo，设八边形的边长为1，则2BM=，ACAMAH

xAByAH=+=+uuuruuuruuuruuuruuur，所以12121AMxAB+===+，1y=，所以22xy+=+.故选：C6.在()()253xyxy−+的展开式中，34xy的系数是（）A.60B.35C.155D.90【答案】B【解析】【分析】根据题意可得(

)()()()()2555522369xyxyxxyxyxyyxy−+=+−+++，再由()5xy+的通项公式分别计算，即可得到结果.【详解】()()()()()()()255555222236969xyxyxxyyxyxxyxyxyyxy−+=−++=+

−+++且()5xy+的通项公式为:515CrrrrTxy−+=令4r=，则244345C5xxyxy=；令3r=，则3233456C60xyxyxy−=−；令2r=，则22323459C90yxyxy=；综上可得，展开式中3

4xy的系数是5609035−+=.故选:B7.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若12PFF△的内切圆1O的

半径与12QFF的内切圆2O的半径的乘积为2a，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.3【答案】A【解析】【分析】设()1,0Fc−，()2,0Fc，()111,Oxy、()222,Oxy，过1O分别作1PF、2PF、12FF的垂线，垂足分别为R、S、T，根据切线长定理及双曲

线的定义得到1TFac=+，即可得到1xa=，同理可得2xa=，再由122π2OFO=由射影定理得到2122OTOTTF=，即可得到2ca=，从而得解.【详解】设()1,0Fc−，()2,0Fc其中222cab=+，设()111,Oxy、()222,O

xy，过1O分别作1PF、2PF、12FF的垂线，垂足分别为R、S、T，由切线长定理可得PRPS=、11FRFT=、22FSFT=，则()()121212122PFPFPRRFPSSFRFSFTFTFa−=+−+=−=−=，因为21122FFTFTFc=+=，所以1TFac=

+，所以(),0Ta，即1xa=，同理可得2xa=，所以1O、2O在直线xa=上，又因为21FO平分2TFP，22FO平分2TFQ，2πPFQ=，所以122π2OFO=，在122OFO中122π2OFO=，2TF

ca=−，由射影定理可得2122OTOTTF=，即()22aca=−，所以2ca=，则双曲线的离心率2cea==.故选：A8.已知平面向量a，b，c满足：2a=，3b=，1c=，()()4acbc−−=−，则ab−的取值范围是（）

A.1,9B.17,9C.17,5D.23,17+【答案】C【解析】【分析】先以,CACB为相邻两边构造平行四边形CAEB，则CECACB=+，再由()()4acbc−−=−可得2216ABCE−

=，进而得到2OE=，216abABCE−==+，数形结合得,CEOEOCOEOC−+，由此可求出ab−的范围.【详解】令,,,OAaOBcCbO===其中F为AB的中点，以,CACB为相邻

两边构造平行四边形CAEB，则CECACB=+，ABCBCA=−，则()()()()2222444CACBCBCACEABacbcCACB+−−−−=−−===，所以2216ABCE−=，以O为圆心，2为半径作圆，O为原点

，OC为x轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，又因为()()()()22222222OAOBOAOBOAOBOFAB+=++−=+①，()()()()22222222OCOEOCOEOCOEOFCE+=++−=+②，①-②得()()22222282ABCEOAOBOCOE−+−

+==，所以2OE=，这样点E也在圆O上，所以216abABCE−==+，又因为,CEOEOCOEOC−+，所以1,3CE，所以17,5abAB−=.故选：C.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若()()21exfxx−=R，其中e为自然对数的底数，则下列命题正确的是（）A.()fx在()0,+上单调递增B.()fx在()0,+上单调递减C.()fx的图象关于直线0x=对称D.(

)fx的图象关于点()0,0中心对称【答案】BC【解析】【分析】根据复合函数的单调性判断A、B，根据奇偶性的定义判断函数为偶函数，即可判断C、D.【详解】因为21yx=−在()0,+上单调递减，在(),0−上单调递增，ex

y=在定义域R上单调递增，所以()21exfx−=在()0,+上单调递减，在(),0−上单调递增，故A错误，B正确；又()()()2211eexxfxfx−−−−===，所以()()21exfxx−=R为偶函数

，函数图象关于y轴对称，即关于直线0x=对称，故C正确，D错误；故选：BC10.下列选项正确的是（）A.有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种B.有7个不同的

球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种C.有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种D.有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种【答案】ABD【解析】【分析】根据分类

分步计数原理,平均分组及不平均分组,隔板法等分别判断各个选项即可.【详解】对于A:57A2520=,故A正确；对于B:不同的分组，2组2个，3组1个或1组3个，4组1个，即722111,=++++或731111,=++++所以有22375722CCC1

40A+=种，故B正确；对于C:应用隔板法，C选项等价于8个相同的球,放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个,所以有27C21=种,故C错误；对于D:由于球和盒子相同，所以存放的区别在于盒子里球的个数，存放1个盒子，将7个球放入1个盒子，有

1种存放方式；存放2个盒子，71+6=2+5=3+4=有3种；存放3个盒子，71+1+5=1+2+4=1+3+3=3+2+2=有4种；共有8种，故D正确.故选：ABD.11.已知()()ln,0fxaxxaa=+R，当1x时，存在b，cR，使得()2

fxbxcx+成立，则下列选项正确的是（）A.(0,1aB.(1,2bC.1c=D.2abc++【答案】AB【解析】【分析】根据题意，令()2lnFxxaxx=−−，由()0Fx即可判断A；分别画出()lnfxaxx=+与()2gxx

=的图像，即可判断B；取1x=得()()21111fbcg=+=，即可判断CD.【详解】由2lnxaxx+，令()2lnFxxaxx=−−，所以()2221axxaFxxxx−−=−−=，令()22hxxxa=−−，其对称轴为14x=，故函数()hx在()1,+递增，所以

()()11hxha=−，当10a−时，即01a时，()()0,0,hxFx则函数()Fx递增，所以()()10FxF=.当10a−时，即1a时，存在()01,x+，使得()00hx=，即20020xxa−−=，当()01,

xx时，()()0,0hxFx，则函数()Fx递减，所以()()010FxF=，与()0Fx矛盾，综上，(0,1a，故A正确；由()2fxbxcx+可得()lnfxaxx=+与()2gxx=在()1,+上

存在分隔直线，函数()fx，()gx在1x=处的切线方程分别为:()1yaxa=+−，2yx=，所以12ab+，可得(1,2b，故B正确；取1x=得()()21111fbcg=+=，所以1bc+=，得)1

1,0cb=−−，故C,D错误；故选:AB12.已知截面定义：用一个平面去截一个几何体，得到的平面图形（包含图形内部）称为这个几何体的一个截面.则下列关于正方体截面的说法，正确的是（）A.截面图形可以是七边形B.若正方体的截面为三角形，则只能为锐角三

角形C.当截面是五边形时，截面可以是正五边形D.当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形【答案】BD【解析】【分析】根据正方体的性质判断A、C，画出图形设ADx=，BDy=，CDz=，利用余弦定理求出cosA

、cosB、cosC，即可判断B，利用反证法说明D.【详解】对于A：平面最多和正方体的六个面都相交，所以最多6条交线，所以形成的多边形最多为六边形，所以截面图形一定不是七边形，故A错误；对于B：设ADx=，BDy=，CDz=，由勾股定理得22222

2222ABxyBCzyACxz=+=+=+，所以22222cos022ACABBCxBACACABACAB+−==，22222cos022ABBCACyABCBCABBCAB+−==，2

2222cos022ACBCABzACBACBCBCAC+−==，所以角,,BACABCACB均为锐角，所以ABC为锐角三角形，故B正确；对于C：正方体3组对面相互平行，由面面平行的性质定理可知，五边形中有两组对边平行，所以截面五边形不

可能为正五边形，故C错误；对于D：截面EHGF分别交棱AB、AD于点G、H，假设四边形EHGF为直角梯形，()//EFGH，则EHHG⊥，又因为1AAHG⊥且1AA、EH共面，所以1//AAEH或1AAEHP=，当1//AAEH时，因为1AA面

1AAFG，EH面1AAFG，则//EH面1AAFG，又面1AAFG面EFGHFG=，所以//EHFG，又因为//EFGH，所以四边形EHGF为平行四边形，与假设矛盾，当1AAEHP=，因为1AAHG⊥、EHHG⊥且1AAEHP=，1,AAEH面AP

H，所以HG⊥平面APH，即HG⊥平面11AADD，又因为AB⊥平面11AADD，所以//ABGH，与ABGHG=矛盾，所以假设不成立，故D错误；故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若离散型随机变量X满足：()1

0,0.6XB，则()39DX+=______.【答案】21.6【解析】【分析】根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得.【详解】因为()10,0.6XB，所以()()100.610.62.4DX=−=，所以()()239392.421.6DXDX+===.故答案为：21.614.函数2

245xyx+=+的最大值为______.【答案】25##0.4【解析】【分析】依题意可得2222411544xyxxx+==++++，根据对勾函数的性质求出22144xx+++的取值范围，即可得解.【详解】因为222

222441154144xxyxxxx++===++++++，令24tx=+，则2t，令()1gxxx=+，)2,x+，因为函数()1gxxx=+在)2,+上单调递增，所以()5,2gx+，

即22154,24xx++++，则22120,1544xx+++，即函数2245xyx+=+的最大值为25，当且仅当0x=时取等号.故答案为：2515.已知圆221:1Oxy+=

，圆()222:44Oxy−+=，请写出一条与两圆都相切的直线的方程：______.【答案】154151515yx=+或154151515yx=−−或374777yx=−或374777yx=−+（写出其中一个即可）【解析】【分析】首先判断

两圆的位置关系，即可判断公切线的条数，设切线与两圆圆心连线的交点为()00,Axy，分切线为外公切线与内公切线两种情况讨论，分别求出A点坐标，再设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径求出参数的值，即可得到切线方程.【详

解】圆221:1Oxy+=的圆心()10,0O，半径11r=，圆()222:44Oxy−+=的圆心()24,0O，半径22r=，所以12124OOrr=+，则两圆相离，所以两圆有4条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为()00,Axy，①当切线为外公切线时11

2212AOrAOr==，1212AOAO=，所以()()00001,4,2xyxy−−=−−，解得0040xy=−=，所以()4,0A−，设公切线():4lykx=+，所以圆心1O到切线l的距离24

11kdk==+，解得1515k=，所以公切线为()15415yx=+，即154151515yx=+或154151515yx=−−；②当切线为内公切线时，112212AOrAOr==，11213OAOO=，所以(

)()001,4,03xy=，所以4,03A，设公切线4:3lykx=−，所以圆心1O到切线l的距离24311kdk==+，解得377k=，所以公切线为37473yx=−，即374777yx=−或374777yx=−+；所以

两圆的公切线为154151515yx=+或154151515yx=−−或374777yx=−或374777yx=−+.故答案为：154151515yx=+或154151515yx=−−或374777yx=−或374777yx=−+（写出其中一个即可）16.已知数列na满

足：①15a=；②()()12,32,nnnanaan++=+为奇数为偶数.则na的通项公式na=______；设nS为na的前n项和，则2023S=______.（结果用指数幂表示）【答

案】①.()()322234,32,nnnnan++−=−为奇数为偶数②.1013236079−【解析】【分析】当n为奇数时令21,N*nkk=−可得2212kkaa−=+，当n为偶数时令2,N*nkk=，可得()2121434kkaa+−+=+

，即可得到214ka−+是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当n为奇数时12nnaa+=+，令21,N*nkk=−，则2212kkaa−=+，当n为偶数时132n

naa+=+，令2,N*nkk=，则()22211123232238kkkkaaaa+−−=+=++=+，则()2121434kkaa+−+=+，当1k=时149a+=，所以214ka−+是以9为首项，3为公比的等比数列，所以11214

933kkka−+−+==，所以12134kka+−=−，则12121234232kkkkaa++−=+=−+=−，当n为奇数时，由21,N*nkk=−，则12nk+=，所以131223434nnna+++

=−=−，当n为偶数时，由2,N*nkk=，则2nk=，所以21223232nnna++=−=−，所以()()322234,32,nnnnan++−=−为奇数为偶数，所以()()2023132023242022Saaaaaa=+++++++()()2310

132310123334101233321011=+++−++++−()()210122101131331341012210111313−−=−+−−−1013236079=−故答案为：()()322234,32

,nnnnan++−=−为奇数为偶数，1013236079−四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin4cos5CC+=.（1）求证：3t

an4C=；（2）若221ab+=，求边c的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）根据3sin4cos5CC+=，移项后平方消元，求出4cos,5C=再应用同角三角函数关系求出3tan

4C=即可；（2）因为4cos,5C=再应用余弦定理结合基本不等式求出c最小值.【小问1详解】依题意cos0C,否则cos0C=，则sin1C=，3sin4cos5CC+矛盾，由3sin4cos5CC+=得3sin54cosCC=−，即得()()223sin54cosCC=−故()

22229sin9cos54cos9cos9CCCC+=−+=，整理得()25cos40C−=，从而4cos,5C=又因为22cossin1CC+=可得3sin5C=，的从而sin3tancos4CCC==.【小问2详解】由221ab+=，由（1）可得4c

os,5C=故C为锐角，2221abc+=，故22222222411cos1522abcccCcababab+−−−====−+，从而215,,55cc当且仅当22ab==时取等号，c的最小值为55.18.已知数列na满足：关于x的一元二次方程()()()()2111102

nnnnnnaaxaaxaan++−−−+−+−=有两个相等的实根.（1）求证：数列na成等差数列；（2）设数列na的前n项和为nS，510S=−，88a=，求nS的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）-12【解析】【

分析】根据方程有两个相等的实数根，根据0=列关系式，因式分解即可证明.(2)由数列为等差数列，根据已知条件，代入通项公式与求和公式可以求出首项与公差，即可求得和的最小值.【小问1详解】因为方程()()()()2111102nnnnnnaa

xaaxaan++−−−+−+−=有两个相等的根，则()()()()21111402nnnnnnaaaaaan+−+−=−−−−=，化简得：()()2110nnnnaaaa+−−−−=，所以11nnnnaaaa+−−=−，根据

等差数列的定义可知，数列na为等差数列.【小问2详解】因数列na成等差数列，设公差为d，首项为1a，则由510S=−，88a=，可列方程组111051087adad−=+=+，解得126da==−，所以1(1)28naand

n=+−=−，令0,na解得4n，为所以从第四项起，0na，所以nS的最小值为123412aaaa+++=−.19.如图甲所示，四边形MNPQ为正方形，APAQPQ==，S为AP的中点.将APQ△沿直线PQ翻折使得QS⊥平面APN，如图乙所示.（1）求证：平面APQ⊥平面MNPQ；（2

）求平面AMN与平面MNPQ所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质得到QSPN⊥，再由PQPN⊥，即可得到PN^平面APQ，即可得证；（2）取PQ的中点为O，MN的中点为

E，根据面面垂直的性质得到AO⊥平面MNPQ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：因QS⊥平面APN，PN平面APN，所以QSPN⊥，又PQPN⊥，QSPQQ=，,QSPQ平面APQ，所以PN^平面APQ，又PN平面M

NPQ，所以平面APQ⊥平面MNPQ.【小问2详解】解：取PQ的中点为O，MN的中点为E，APQ△为等边三角形，则AOPQ⊥，又平面APQ⊥平面MNPQ，平面APQ平面MNPQPQ=，AO平面APQ，所以AO⊥平面MNPQ，如图建立空间直角坐标系，为设2MNPQ==，则()

003A,,，()2,1,0M−，()2,1,0N，则()2,1,3MA=−，()0,2,0MN=，设平面AMN的法向量为(),,nxyz=，则23020nMAxyznMNy=−++===，令3x=，则2z=，所以()3,0,2n=，显然

平面MNPQ的法向量为()0,0,1m=，设平面AMN与平面MNPQ所成二面角为，则27cos7mnmn==，所以221sin1cos7=−=，即平面AMN与平面MNPQ所成二面角的正弦值为217.20.兔年春节期间，烟花“加特林”因燃放效果酷炫在

网上走红，随之而来的身价暴涨也引发关注，甚至还有买不到的网友用多支普通的手持燃放烟花自制“加特林”.据悉，有A，B，C三家工厂可以各自独立生产烟花“加特林”，已知A工厂生产的烟花“加特林”是正品同时B工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为35，B工厂生产的烟花“加特林”是正品同时C工厂生产

的烟花“加特林”不是正品的概率为225，C工厂生产的烟花“加特林”是正品同时A工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为940.（1）分别求A，B，C三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品的概率；（2）A，B，C三家工厂各自独立生产一件烟花“加特林”，记随机变量表

示“三家工厂生产出来的正品的件数”，求的数学期望，它反映了什么实际意义？【答案】（1）()34PA=，()910PC=，()45PB=（2）()4920E=，反映了随机变量平均取值的大小.【解析】【分析】（1）设A，B，C三家工厂各自独立生产出来的烟花“

加特林”是正品分别为事件A，B，C，根据相互独立事件及对立事件的概率公式得到方程组，解得即可.（2）依题意随机变量的取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，即可得到概率分布列，从而求出数学期望，再根据数学期望

的意义说明即可.【小问1详解】设A，B，C三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品分别为事件A，B，C，依题意()()()()()()()()3521259140PAPBPBPCPCPA=−=−=，则()()1512PAPC=−，即()()2115PCPA

=−，所以()()29111540PAPA−−=，解得()34PA=或()314PA=（舍去），所以()239115410PC=−=，()45PB=.【小问2详解】依题意随机变量的取值为0、1、2、3，所以()111104510200P=

==，()1191413112145104510451025P==++=，()149341319324510451045108P==++=，()943273105450P===，所以随机变量的分布列为：0123P1200225382750所以()12

3274901232002585020E=+++=，数学期望是随机变量最基本的数学特征之一，它反映了随机变量平均取值的大小.21.已知椭圆2222:1xyCab+=焦点在x轴上，它的离心率为1

2，且经过点23,23P.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，且过点A，B和点140,2Q的的圆的圆心在x轴上，求直线l的方程及此圆的圆心坐标.【答案】（1）2214

3xy+=（2）直线l的方程为2222yx=+或2222yx=−−，圆心坐标为1,010−【解析】【分析】（1）依题意得到关于a、b、c的方程组，解得即可.（2）设圆心()0,0Mx，()11,Axy，()

22,Bxy，设():1lykx=+，由点在圆上得到222MAMBMQ==，即可得到2101112042xxx−−=，同理可得2202112042xxx−−=，从而得到122xx=−，再联立直线与椭圆，消元、列出韦达定理，即可求出k，从而

求出直线l的方程，再求出0x，即可求出圆心坐标.【小问1详解】依题意可得12cea==，224213ab+=且222abc=+，解得24a=，23b=，21c=，所以椭圆方程为22143xy+=.【小问2详解】设圆心()0,0Mx，()11,Axy，()22

,Bxy，显然直线l的斜率存在，设():1lykx=+，因为222MAMBMQ==，则()222011072xxyx−+=+，又2211334yx=−，代入得到2101112042xxx−−=，同理可得220211

2042xxx−−=，所以1x、2x是方程20112042xxx−−=的两根，所以122xx=−，由()221143ykxxy=++=，消去y整理得()22224384120kxkxk+++−=，所以2122412243kxxk−==−+，解得22k=，所以直线l的方程为

2222yx=+或2222yx=−−，此时AB的中点横坐标为212024242435xxkxk+−==−=+，所以0110x=−，所以1,010M−，即此时圆心坐标为1,010−.22.已知函数()e1xfxax=

−+.（1）若2a=，求函数()fx的极值；（2）若1a=，()2ln2xgxx=−，且满足()()()0fmgnm=，求证：2emn.【答案】（1）极小值为32ln2−，无极大值.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2

）依题意可得e12ln2mnmn−+=−，则0n，先证明1ln022nn−+，构造函数利用导数即可证明，则ln2elne2nmnm−−，再构造函数()exhxx=−，利用导数说明函数的单调性，即可证明.【小问1详解】当2a=时()e2

1xfxx=−+，则()e2xfx=−，当ln2x时()0fx，当ln2x时()0fx¢>，所以()fx在(),ln2−上单调递减，在()ln2,+上单调递增，所以()fx在ln2x=处取得极小值为()ln232ln2f=−，

无极大值.【小问2详解】证明：当1a=时()e1xfxx=−+，依题意可得e12ln2mnmn−+=−，显然0n，先证明1ln022nn−+，令()()1ln0txxxx=−+，则()111xtxxx−=−+=，所以当01x时()0tx，

()tx单调递增，所以()()10txt=，当1x时()0tx，()tx单调递减，所以()()10txt=，所以1ln022nn−+，又依题意ln2e12lnln1lnlnlne22222222nmnnnnnnnnmn−=−+=−++−+−+=−

，令()exhxx=−，则()1exhx=−，所以当0x时()0hx，所以()hx在)0,+上单调递减，所以ln2elne2nmnm−−，也即()ln2nhmh，当2n

时利用()hx在)0,+上单调递减可知ln2nm，当02n时也有0ln2nm，所以ln2nm，则e2mn，综上可得2emn.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函

数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．