【文档说明】2024届高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材） 考点突破练13　圆锥曲线的方程与性质 Word版含答案.docx，共(7)页，252.980 KB，由小赞的店铺上传

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考点突破练13圆锥曲线的方程与性质一、选择题1.(2023北京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,且点P的横坐标为4,则|PF|=()A.2B.3C.4D.52.(2023四川达州二模)设F1,F2是双曲线C:𝑥24−𝑦23=1的左、右焦点,

过点F2的直线与C的右支交于P,Q两点,则|F1P|+|F1Q|-|PQ|=()A.5B.6C.8D.123.(2023新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:𝑥2𝑎2+y2=1(a>1),C2:𝑥24+y2=1的离心率分别为e1,e2.

若e2=√3e1,则a=()A.2√33B.√2C.√3D.√64.(2022全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()A.2B.2√2C.3D.3√25.(2023山东青岛一模)已知双曲线C

:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=√3x与C的左、右两支分别交于A,B两点,若四边形AF1BF2为矩形,则C的离心率为()A.√3+12B.3C.√3+1D.√5+16.(2023河南洛阳三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为

F,A为抛物线C上的点,线段AF的垂直平分线经过点B(0,5𝑝2),则|AF|=()A.2√3pB.√3pC.2√5pD.2p7.已知点F1,F2分别为双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M为C的左支上一点,|MF1|=|F1F

2|=2c,若圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,则C的离心率为()A.√3+12B.√3+1C.√5D.√5+128.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,AB>CD,若双曲线E以A,B为焦点,且过C

,D两点,则双曲线E的离心率的取值范围为()A.(1,√5+12)B.(√5+12,+∞)C.(1,√3+12)D.(√3+12,+∞)9.(2023内蒙古赤峰二模)双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、

右焦点分别为F1,F2,过点F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P,若PF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()A.√2-1B.√2C.√2±1D.√2+110.设椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与椭圆

C相交于M,N两点(点M在第一象限).若|MN|=|F1F2|,|𝑁𝐹1||𝑀𝐹1|≥√33,则椭圆C的离心率e的最大值为()A.√6-12B.√6-1C.√3-12D.√3-111.(2023四川广

安二模)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线y2=4x交于点A,B,以线段AB为直径的圆经过定点D(2,0),则|AB|=()A.4B.6C.8D.1012.已知F2,F1是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好

落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为()A.3B.√3C.2D.√213.(2023广西南宁二模)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(-√3,0),F2(√3,0),离心率分别为e1,e2,点P为

椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点,且∠F1PF2=π3,若e2=√3,则椭圆C1的方程为()A.𝑥29+𝑦26=1B.𝑥26+𝑦23=1C.𝑥212+𝑦29=1D.𝑥24+y2=114.(2023湘豫名校联考二)已

知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的上顶点为A,直线l:9x-10y-57=0与椭圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为B,直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F,且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则椭圆C的离心率为()A.√1010B.√55C.

√55或2√55D.√1010或3√1010二、填空题15.(2022全国甲,文15)记双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值.16.(2023全国乙,理13)已知点A(1,√5)在抛物线C:y2=2

px上,则A到C的准线的距离为.17.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线C的方程为.18.(

2023陕西安康二模)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)上有不同的三点A,B,P,且A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPA·kPB∈(14,1),则离心率e的取值范围是

.19.(2023山东滨州一模)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过点F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,△ADE的周长是13,则|DE|=.20.已知F1,

F2分别为双曲线:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作圆x2+y2=a2的切线交双曲线左支于点M,且∠F1MF2=60°,则该双曲线的渐近线方程为.考点突破练13圆锥曲线的方程与性质1.D解析抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,由抛物线的定义,

得|PF|=4+1=5.故选D.2.C解析由题意得a=2,∴|F1P|-|PF2|=2a=4,|F1Q|-|QF2|=2a=4,∴|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|+|F1Q|-(|PF2|+|QF2|)=|F1P|-|PF2|+|F1Q|-|QF2|=8.故

选C.3.A解析由题意,在C1:𝑥2𝑎2+y2=1中,a>1,b=1,c=√𝑎2-𝑏2=√𝑎2-1,∴e1=𝑐𝑎=√𝑎2-1𝑎.在C2:𝑥24+y2=1中,a=2,b=1,c=√𝑎2-𝑏2=√3,∴e2=𝑐𝑎=√32

.∵e2=√3e1,∴√32=√3×√𝑎2-1𝑎,解得a=2√33.故选A.4.B解析设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即

xA=1,所以𝑦𝐴2=4.所以|AB|=√(𝑥𝐴-3)2+𝑦𝐴2=2√2.5.C解析设点A(x1,y1),B(x2,y2),而F1(-c,0),F2(c,0),显然直线y=√3x与F1F2交于原点O,由双曲线对称性知

,若四边形AF1BF2是矩形,则|AB|=|F1F2|,由{𝑦=√3𝑥,𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1,消去y,整理得(b2-3a2)x2=a2b2,解得x1=-𝑎𝑏√𝑏2-3𝑎2,x2=𝑎𝑏√𝑏2-3𝑎2.则

|AB|=√1+3|x1-x2|=4𝑎𝑏√𝑏2-3𝑎2,则4𝑎𝑏√𝑏2-3𝑎2=2c,化简得b4-6a2b2-3a4=0,即(𝑏2𝑎2)2-6·𝑏2𝑎2-3=0,又𝑏2𝑎2>0,解得𝑏2𝑎2=3+2√

3.则e=𝑐𝑎=√𝑐2𝑎2=√1+𝑏2𝑎2=√4+2√3=√3+1.故选C.6.D解析抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,𝑝2),设A(x1,y1),线段AF的垂直平分线经过点B(0,5𝑝2),所以

|BF|=|BA|,即52p-𝑝2=√𝑥12+(𝑦1-5𝑝2)2,所以4p2=𝑥12+(y1-5𝑝2)2,因为𝑥12=2py1,则4𝑦12-12py1+9p2=0,(2y1-3p)2=0,解得y1=3𝑝

2,根据抛物线定义可得|AF|=y1+𝑝2=2p.故选D.7.A解析作F1D⊥MF2,垂足为D,因为圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,所以|DF1|=c.因为|F1F2|=2c,所以|DF2|=√3c,又|MF1|=|F1F2|,所以|MF2|=2

√3c,由双曲线的定义得|MF2|-|MF1|=2a,即2√3c-2c=2a,所以e=𝑐𝑎=1√3-1=√3+12,故选A.8.B解析如图,设|AB|=2c(c>0),∠BAD=θ,θ∈(0,π2),则|AD|=c,在△ABD中,由余弦定理知,|BD|2=|AB|2+|

AD|2-2|AB|·|AD|cos∠BAD=5c2-4c2cosθ,∴|BD|=√5𝑐2-4𝑐2cos𝜃,由双曲线的定义知|BD|-|AD|=2a,∴2a=√5𝑐2-4𝑐2cos𝜃-c,∴离心率e=𝑐𝑎=2𝑐2𝑎=2𝑐√5𝑐2-4𝑐2cos𝜃-𝑐=2√5-4c

os𝜃-1,又𝜃∈(0,π2),∴cosθ∈(0,1),∴√5-4cos𝜃-1∈(0,√5-1),∴e∈(√5+12,+∞).故选B.9.D解析设P(x0,y0),因为PF2垂直于x轴,∠PF1F2=45°

,所以|F1F2|=|PF2|,x0=c,则𝑐2𝑎2−𝑦02𝑏2=1,解得y0=𝑏2𝑎,故|PF2|=𝑏2𝑎,所以𝑏2𝑎=2c,结合b2=c2-a2,可得c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-1=0,解得e=1±√2,1-√2舍去,故离

心率为√2+1.故选D.10.D解析依题意作图:由于|MN|=|F1F2|,并且线段MN,F1F2互相平分,∴四边形MF1NF2是矩形,其中∠F1MF2=π2,|NF1|=|MF2|.设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x,根据勾股定理得|MF1|2+|MF2|2

=|F1F2|2,即x2+(2a-x)2=4c2,整理得x2-2ax+2b2=0,由于点M在第一象限,则x<a,即x=a-√𝑎2-2𝑏2,由题意|𝑁𝐹1||𝑀𝐹1|=|𝑀𝐹2||𝑀𝐹1|≥√33,则∠MF1F2≥π6,则|MF2|≥12|F1F2|,a

-√𝑎2-2𝑏2≥c,整理得2a2-2ac-c2≥0,e2+2e-2≤0,解得0<e≤√3-1,即e的最大值为√3-1.11.C解析记m=1𝑘>0,则直线l的方程可表示为x=my-2,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立{𝑥=𝑚

𝑦-2,𝑦2=4𝑥,消去x,整理得y2-4my+8=0,Δ=16m2-32>0,可得m2>2,则y1+y2=4m,y1y2=8.𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(x1-2,y1)=(my1-4,y1),𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x2-2,y2)=(my2-4,y2),由已知可得DA⊥DB,则𝐷

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=8(m2+1)-16m2+16=24-8m2=0,可得m2=3,所以|AB|=√1+𝑚2·√(𝑦1+𝑦2)2-4𝑦1𝑦2

=√1+𝑚2·√16𝑚2-32=√1+3·√16×3-32=8.故选C.12.C解析由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=𝑎𝑏x,则点F2到渐近线的距离为𝑏𝑐√𝑎2+𝑏2=b.设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点

A,∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.∴△MF1F2为直角三角形.∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2.∴c=2a,∴e

=2.故选C.13.A解析设椭圆C1:𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏12=1(a1>b1>0),双曲线C2:𝑥2𝑎22−𝑦2𝑏22=1(a2>0,b2>0).如图,因为椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点,∴c1=c2=√3,∵e2=√3,∴a2=𝑐2𝑒2=1,b2=√�

�22-𝑎22=√2,∴双曲线C2的方程为x2-𝑦22=1.由余弦定理|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,得12=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|,

又∵|PF1|-|PF2|=2a2=2,得|PF2|=2,|PF1|=4.根据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a1=6,∴a1=3,b1=√𝑎12-𝑐12=√6,∴椭圆C1的方程为𝑥29+𝑦26=1.故选A.14.D解析(方

法一)设F(c,0),A(0,b),P(x1,y1),Q(x2,y2),B(x0,y0).因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,即(c,-b)=2(x0-c,y0).所以x0

=3𝑐2,y0=-𝑏2,即B(3𝑐2,-𝑏2).因为点B为线段PQ的中点,所以x1+x2=3c,y1+y2=-b.又P,Q为椭圆上的点,所以{𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1,𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1

,两式相减得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)𝑎2+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦2)𝑏2=0,所以直线l的斜率kPQ=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-𝑏2𝑎2·𝑥1+𝑥2𝑦1+𝑦2=-𝑏2𝑎2·3𝑐-𝑏=910,化简得3a2=1

0bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.所以𝑏𝑐=3或𝑏𝑐=13,当𝑏𝑐=3时,离心率e=𝑐𝑎=√𝑐2𝑏2+𝑐2=√1(�

�𝑐)2+1=√1010,当𝑏𝑐=13时,e=√1(𝑏𝑐)2+1=3√1010.故选D.(方法二)如图,连接OB,过点F作FE∥BO交y轴于点E,设直线PQ的斜率是kPQ,直线OB的斜率是kOB,则kPQ·kOB=-𝑏2𝑎2

.由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗知点F为AB的三等分点,所以点E也为OA的三等分点,则E(0,𝑏3).设直线EF的斜率是kEF,所以kOB=kEF=0-𝑏3𝑐-0=-𝑏3𝑐,kPQ=910

,则有-𝑏3𝑐×910=-𝑏2𝑎2,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.所以𝑏𝑐=3或𝑏𝑐=13.当𝑏𝑐=3时,离心率e=𝑐𝑎=√𝑐2𝑏2+𝑐2=√1(𝑏𝑐)2+1=√1010,当

𝑏𝑐=13时,e=√1(𝑏𝑐)2+1=3√1010.故选D.15.2(答案不唯一,只要1<e≤√5即可)解析由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需𝑏𝑎≤2即可.由𝑏𝑎≤2,得𝑐2-𝑎2𝑎2≤4,所以e2≤5,故1

<e≤√5.16.94解析因为点A(1,√5)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=52,所以抛物线C的准线方程为x=-𝑝2=-54,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+54=94.17.x2-𝑦23=1解析∵点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的

等边三角形,∴c=2,-𝑏𝑎=-√3,即b2=3a2,又∵c2=a2+b2,∴c2-a2=3a2,解得a2=1,b2=3,故双曲线的方程为x2-𝑦23=1.18.(√52,√2)解析设P(x0,y0),A(x1,y1),∵A,B关于原点对称,∴B(-x1,-y1).∴kPA=𝑦0-𝑦

1𝑥0-𝑥1,kPB=𝑦0+𝑦1𝑥0+𝑥1,∴kPA·kPB=𝑦02-𝑦12𝑥02-𝑥12.又点P,A都在双曲线上,∴𝑥02𝑎2−𝑦02𝑏2=1,𝑥12𝑎2−𝑦12𝑏2=1,两式相减得𝑥02-𝑥12𝑎2=

𝑦02-𝑦12𝑏2,∴𝑦02-𝑦12𝑥02-𝑥12=𝑏2𝑎2,∴kPA·kPB=𝑏2𝑎2∈(14,1).又𝑏2𝑎2=𝑐2-𝑎2𝑎2,∴14<𝑐2-𝑎2𝑎2<1,∴14<e2-1<1,解得√52<

e<√2.∴e的取值范围是(√52,√2).19.6解析如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为12,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等

边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|.则△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+

|EF1|=4a=13,所以a=134,c=138,而∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=√33(x+c).由{𝑦=√33(𝑥+𝑐),𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1,消去y,整理得13x2

+8cx-32c2=0,Δ>0显然成立.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-8𝑐13,x1x2=-32𝑐213,∴|DE|=√[1+(√33)2][(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2]=√43[(-8𝑐13)2+4×32𝑐213]=48𝑐13=6.20.

y=±(1+√33)x解析设切点为A,过F1作F1B⊥MF2,垂足为B,由题意可得|OA|=a,|OF2|=c,|AF2|=√𝑐2-𝑎2=b,由OA为△BF1F2的中位线,可得|BF1|=2a,|BF2|=2b,又

∠F1MF2=60°,可得|MF1|=|𝐵𝐹1|sin60°=4𝑎√3,|MB|=|𝐵𝐹1|tan60°=2𝑎√3,|MF2|=|MB|+|BF2|=2𝑎√3+2b,又|MF2|-|MF1

|=2𝑎√3+2b-4𝑎√3=2a,所以b=(1+√33)a,所以双曲线的渐近线方程为y=±(1+√33)x.