【文档说明】2024届高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材） 考点突破练11　概率与统计的综合问题 Word版含答案.docx，共(6)页，218.854 KB，由小赞的店铺上传

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考点突破练11概率与统计的综合问题1.(2023陕西部分名校仿真模拟)赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成,其作用是促进细胞的生长,使得植株变高,每粒种子的赤霉素含量x(单位:ng/g)直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为

10,20,30,40,50的种子各20粒,并跟踪每粒种子后天生长的情况,收集种子后天生长的优质数量y(单位:粒),得到的数据如下表:赤霉素含量x1020304050后天生长的优质数量y237810(1)求y关于x的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,估

计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量.附:线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为𝑏^=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)2,𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥.2.(2020全国Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同学进

行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概

率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.3.(2023山东潍坊一模)某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中,为验证儿子成年后身高y(单位:cm)与父亲身高x(单

位:cm)之间的关系及存在的遗传规律,随机抽取了5对父子的身高数据,如下表:父亲身高x160170175185190儿子身高y170174175180186(1)根据表中数据,求出y关于x的线性回归方程,并利用线性回归方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的

条件,由此可得到怎样的遗传规律?(2)记𝑒^𝑖=yi-𝑦^𝑖=yi-𝑏^xi-𝑎^(i=1,2,…,n),其中yi为观测值,𝑦^𝑖为预测值,𝑒^𝑖为对应(xi,yi)的残差.求(1)中儿子身高的残差

的和并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立?若成立,加以证明;若不成立,说明理由.参考数据及公式:∑𝑖=15xi=880,∑𝑖=15𝑥𝑖2=155450,∑𝑖=15yi=885,

∑𝑖=15xiyi=156045,𝑏^=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)2=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛𝑥𝑦∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2-𝑛𝑥2,𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥.4.(2023陕西铜川二模)为进一步巩固提升全国文明城市,

加速推行垃圾分类制度,某市推出了两套方案,并分别在A,B两个大型居民小区内试行.其中A小区实行方案一,B小区实行方案二.方案一:进行广泛的宣传活动,向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义,讲解分类垃圾桶的使用方式

,垃圾投放时间等,定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动;方案二:在小区内设立智能化分类垃圾桶,智能垃圾桶操作简单,居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制,比如,垃圾分类换积分、兑换礼品等,以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后,在这两个小区内各随

机抽取了100名居民进行问卷调查,记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到

如图所示的频率分布直方图:A小区方案一B小区方案二(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表).(2)以样

本频率估计概率,若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案,低于70分认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案,判断两小区哪个小区可继续推行方案?(3)根据(2)中结果,从可继续推行方案的小区内随机抽取

5人,用X表示赞成该小区推行方案的人数,求X的分布列及数学期望.5.(2023山东济南一模)甲、乙两人进行抛掷骰子游戏,两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子,规定:先掷出点数6的获胜,游戏结束.(1)记两人抛掷骰子的总次数为X,若每人最多抛掷两次骰子,求比赛结束时,

X的分布列和期望;(2)已知甲先掷,求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率.6.某企业招收了2000名新员工,为便于全面了解新员工的素质情况,除查看员工履历外,还进行了一系列的综合素质测试(满分100分),人事部随机抽取了100名员工的测试成绩作为样本分析,并把样本数据进行了分组,绘制

了频率分布直方图,并且认为其测试成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2).(1)求样本平均数𝑥和样本方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)人事部门规定测试成绩超过82.7分的新员工可参加干部竞聘初级面试.①用样本平均数𝑥作为μ的估计值,用样本标准

差s作为σ的估计值,请利用估计值判断这2000名新员工中,能够参加干部竞聘初级面试的人数;(四舍五入保留整数)②公司为培养后备人才,对初级面试过关的人员还要分别进行A,B两项答辩,规定A,B两项答辩只通过一项的员工可获得1000元的干部培训奖励费,若两项答辩均通

过,则可获得1500元的干部培训奖励费,否则不受此奖励,初试过关的李华通过A项答辩的概率为0.6,通过B项答辩的概率为0.5,其获得干部培训奖励费为Y,求Y的分布列与数学期望.(附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+

σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544,√161≈12.70)考点突破练11概率与统计的综合问题1.解(1)𝑥=10+20+30+40+505=30,𝑦=2+3+7+8+105=6,∑𝑖=15(xi-x)(yi-y)=210,∑

i=15(xi-𝑥)2=1000,则𝑏^=2101000=0.21,𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥=-0.3,故y关于x的线性回归方程为𝑦^=0.21x-0.3.(2)将x=60代入𝑦^=0.21x

-0.3,得到𝑦^=12.3,则估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量为1000×12.320=615.2.解(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙

连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116−116−18=34.(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按

照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.3.解(1)由题意得𝑥=160+170+175+185+1905=176,𝑦=170+174+175+180+1865=17

7,𝑏^=∑i=15𝑥𝑖𝑦𝑖-5𝑥𝑦∑𝑖=15𝑥𝑖2-5𝑥2=156045-5×176×177155450-5×1762=156045-155760155450-154880=285570

=0.5,𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥=177-0.5×176=89,所以线性回归方程为𝑦^=0.5x+89,令0.5x+89-x>0得x<178,即x<178时,儿子比父亲高;令0.5x-89-x<0得x>178,即x>178时,儿子比父亲矮,可得当父亲身高较高时,儿子平均身高要

矮于父亲,即儿子身高有一个回归,回归到全种群平均高度的趋势.(2)由𝑦^=0.5x+89可得𝑦^1=0.5×160+89=169,𝑦^2=174,𝑦^3=176.5,𝑦^4=181.5,𝑦^5=184,所以∑𝑖=15𝑦^𝑖=885,又因为∑𝑖=

15yi=885,所以∑𝑖=15𝑒^𝑖=∑𝑖=15(yi-𝑦^𝑖)=∑𝑖=15yi-∑𝑖=15𝑦^𝑖=0.结论:对任意具有线性相关关系的变量∑𝑖=1𝑛𝑒^𝑖=0,证明:∑𝑖=1𝑛𝑒^𝑖=∑𝑖

=1𝑛(yi-𝑦^𝑖)=∑𝑖=1𝑛(yi-𝑏^xi-𝑎^)=∑𝑖=1𝑛yi-𝑏^∑𝑖=1𝑛xi-n𝑎^=n𝑦-n𝑏^𝑥-n(𝑦−𝑏^𝑥)=0.4.解(1)设A小区方案一的满意度平均分为𝑥,�

�=(45×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.031+85×0.021+95×0.010)×10=72.7,设B小区方案二的满意度平均分为𝑦,𝑦=(45×0.005+55×0.010+65×0.010+75×0.020+85×0.032+95×0.023)×10

=78.3,∵72.7<78.3,∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.(2)由题意可知,A小区即方案一中,满意度不低于70分的频率为(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为62

%,B小区即方案二中,满意度不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计概率,赞成率为75%,∴B小区可继续推行方案二.(3)现从B小区内随机抽取5人,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,则X~B(5,34

),P(X=0)=C50(14)5=11024,P(X=1)=C51×34×(14)4=151024,P(X=2)=C52(34)2×(14)3=901024=45512,P(X=3)=C53(34)3×(14)2=2701024=135512,P(X=4

)=C54(34)4×14=4051024,P(X=5)=C55(34)5=2431024,∴X的分布列为X012345P110241510244551213551240510242431024数学期望E(X)=5×34=154.5.解(1)X的所有可能取值为1,2,3,4,则P

(X=1)=16,P(X=2)=56×16=536,P(X=3)=56×56×16=25216,P(X=4)=56×56×56=125216.所以X的分布列为X1234P1653625216125216所以X的数学期望

为E(X)=1×16+2×536+3×25216+4×125216=671216.(2)设事件“甲掷第n次且不获胜”的概率为an,由题可知,a1=56,且an=an-1×56×56=2536an-1(n≥2),所以数列{an}是

以56为首项,2536为公比的等比数列,则an=56·(2536)n-1,所以甲恰好抛掷第n次且赢得比赛的概率Pn=an-1×56×16=16(2536)n-1,当n=1时符合,所以Pn=16(2536)n-1.6.解(1)𝑥=0.05×45+0.18×55+0.28×65+0.26×75+0

.17×85+0.06×95=70,s2=(45-70)2×0.05+(55-70)2×0.18+(65-70)2×0.28+(75-70)2×0.26+(85-70)2×0.17+(95-70)2×0.06

=161.(2)①由(1)可知,μ=70,σ2=161,故测试成绩X~N(70,161),因为P(μ-σ<Z≤μ+σ)=0.6826,所以P(X>82.7)=1-0.68262=0.1587,在这2000名新员工中,能参加初级面试的人数估计有2000×0.1587≈317(人).②Y的可能取值

为0元,1000元,1500元,P(Y=0)=0.4×0.5=0.2,P(Y=1000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5,P(Y=1500)=0.6×0.5=0.3,所以Y的分布列为Y010001500P0.20.50

.3