【文档说明】江苏省宜兴市张渚高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题含答案.doc，共(12)页，1017.000 KB，由小赞的店铺上传

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2021年春学期高二年级期中考试高二数学试卷2021.5一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，且，则1z可以是（▲）A.1i−−B.22i+C.13i−+D.4i2.函数在区间上的平均变化率为（▲）A.

1B.2C.D.23.设点P在曲线xye=上，点Q在曲线lnyx=上，则PQ的最小值为（▲）A.22B.3C.1ln2+D.24.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.

右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”.其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”.现从该“风叶”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同

一片“风叶”的概率为（▲）A.37B.47C.314D.11145.若随机变量，，若，，则（▲）A.B.C.D.6.埃及金字塔之谜是人类历史上最大的迷，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为1428572285714=，142857

3428571=，1428574571428=，……,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142875999+=，428571999+=，285714999+=，……若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另外一个三位数

y，若999xy+=，则所有可能的有序实数组(,)xy的个数为（▲）A.60B.48C.96D.1207.已知函()2xmfxxemx=−+（e为自然对数的底数）在上有两个零点，则m的取值范围是（▲）A.B.C.D.8.若04a且44aa=，05b且55bb=，06c且66

cc=，则（▲）A.abcB.cbaC.bcaD.acb二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.函

数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（▲）A.是函数的极值点B.是函数的最小值点C.在区间上单调递增D.在处切线的斜率小于零10.袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论，其中所有正确结论

的序号是（▲）A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为26271

1.2021220210122021(12)xaaxaxax−=++++，则（▲）A.展开式中所有项的二项式系数和为20212B.展开式中所有奇次项系数和为2021312−C.展开式中所有偶次项系数和为2021312−D.32021122320211222

2aaaa++++=−12.为了解目前宜兴市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀则下列说法正确的是（▲）参考数据：随机变量，则

，，．A.该校学生体育成绩的方差为10B.该校学生体育成绩的期望为70C.该校学生体育成绩的及格率不到D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知，则n=▲.14.请你写出与函数sin2

yx=的图像在原点处具有相同切线的一个三次函数．．．．．．()fx=▲.15.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则在组成的三位数中，“凹数”的个数为▲.16.已

知函数()ln3kfxxxx=++−的极小值大于零，则实数k的取值范围是▲.三.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）设2*012(1),4,nnnxaaxaxaxnn+=++++N….已知23242aaa=.

（1）求n的值；（2）设(122)nab+=+，其中*,abN，求222ab−的值.▲▲▲18.（本小题12分）在①10zai−，②复平面上表示的点12,ZZ在直线20xy++=上，③222zz+=−这三个条件中任选一个，补充在下面问题中

，并作答.已知复数121,2,()zizaiaR=+=+，______，若12111zzz=+.（1）求复数z；（2）若01z=，求0zz−的最小值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分▲▲▲19.（本小题12分）一家面包店根据以往某种

面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图（如图所示）.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50

个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望()EX.20.（本小题12分）已知函数322()1fxxaxax=−−+，其中0a（1）若函数()fx的极大值为3227，求实数

a的值；（2）若曲线()yfx=在点(,())afa−−处的切线与y轴的交点为(0,)b，求1ba+的最小值.▲▲▲21.（本小题12分）某公司有,,,ABCD四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，,BC两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车

，已知,AD两辆汽车每天出车的概率为34，,BC两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆限行日0和5星期一1和6星期二2和7星期三3和8星期四4和9星期五（1）求该公

司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设X表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求X的分布列和数学期望.▲▲▲22.（本小题12分）已知函数1()2ln()fxxaxaRx=−−（1）讨论函数()fx的单调性；（

2）若12,xx为函数()fx的两个极值点，证明：1212()()24fxfxaxx−−−.参考答案联系人：一、单项选择题题号12345678答案CCDAABDB二、多项选择题题号9101112答案ACABDABDBC三、填空题13、1514、32xx+（答案不唯一）1

5、2016、2k四、解答题17、（1）因为0122(1)CCCC4nnnnnnnxxxxn+=++++，，所以2323(1)(1)(2)C,C26nnnnnnnaa−−−====，44(1)(2)(3

)C24nnnnna−−−==．……………………………2分因为23242aaa=，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224nnnnnnnnn−−−−−−=，解得5n=．……………………………………5分（2）由（1）知，5n=．5(1)2)2(1n+=+0122334455555

555CCC()C()22C())2(22C=+++++2ab=+．………………………………………7分解法一：因为*,abN，所以024135555555C2C4C41,C2C4C29ab=++==++=，从而22222412291ab−=−=−

．………………………………10分解法二：50122334455555555222(1)CC()C()C()C(222)C()−=+−+−+−+−+−0122334455555555CCC()C()22C())2(22C=−+−+−．因为*

,abN，所以5122()ab−=−．因此225552()()(1)(1)(1)22212ababab−=+−=+−=−=−．………………10分18、解：方案一：选条件，因为所以，……………………2分由于

，所以，解得…………………………6分所以，，从而，……………………………………8分复数0z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆…………………………10分所以0zz−的最小值为1013−………

……………………………12分方案二：选条件，因为，所以，在复平面上表示的点为，……………………2分依题意可知，得，………………………………6分所以，，从而，………………………………8分复数0z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆

…………………………10分所以0zz−的最小值为1013−…………………………………………………………12分方案三：选条件，因为，所以，……………………2分由，得，………………………………6分所以，，从而，……

…………………………8分复数0z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆…………………………10分所以0zz−的最小值为1013−…………………………………………………………12分19.解（1）设1A表示事件“日销售量不低于100个”，2A表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“3天

里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”因此1()(0.0060.0040.002)500.6PA=++=2()0.003500.15PA==……………………………………………………………………………

………………………3分()0.60.60.1520.108PB==………………………………………………………………………………………5分（2）X的可能取值为0,1,2,3…………………………………………………………

……..6分（注：无列举不得分）033(0)(10.6)0.064PXC==−=，123(1)0.6(10.6)0.288PXC==−=223(2)0.6(10.6)0.432PXC==−=，333(3)0.60.216PXC===………

……………………….8分X的分布列为：X0123P0.0640.2880.4320.216因为~(3,0.6)XB，………………………………………………………………………………………………………….10分所以期望()3

0.61.8EX==方差()30.6(10.6)0.72DX=−=…………………………………………………………………………………….12分20、解：（1）由题意，函数322()1fxxaxax=−−+，可得22()32fxxaxa=−−22()32()(3)fxxaxax

axa=−−=−+，令()0fx=得,(0)3axaxa==−……………1分列表：x(,)3a−−3a−(,)3aa−a(,)a+()fx+0−0+()fx增极大值减极小值增极大值3223532()()()()1133332727aaaafaaa−=−−

−−−+=+=……………………4分（列表2分）解得1a=…………..5分（2）有（1）知22()32fxxaxa=−−，可得2()4kfaa=−=，3()1faa−=−+所以切线方程为：32(1)4()yaaxa−−+=+，即23431ya

xa=++令0x=，可得331ya=+，即331ba=+，则31131baaa+=++…………………6分令31()31,0gaaaa=++，可得4222191()9,0agaaaaa−=−=令()0ga，可得33a，令()0ga，可得303a所以函数()g

a在区间3(0,)3单调递减，在区间3(,)3+单调递增，（列表同样得分）....10分所以当33a=时，函数()ga取得最小值，最小值为3433()()33gag+==………………12分21、解（

1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，则A：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.22221122113111119()4244222464PACC=++=

所以55()1()64PAPA=−=答：该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为5564……………………………..4分（2）由题意，X的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………5分22111(0)2464PX===

；2211221113111(1)2244428PXCC==+=222221122113113111(2)244224432PXCC==++

=2211221313113(3)2444228PXCC==+=X01234P16418113238964111395()2348

328642EX=+++=答：X的期望为52…………………………………………………………………12分22319(4)............................104264PX===分22、（1）由题意2221()xaxfxx−+=，对于一元二次方程

2210xax−+=，244a=−①当0，即11a−时，2210xax−+恒成立，即当(0,)x+时，()0fx恒成立，所以()fx在(0,)+上单调递增……………………………………..1分②当0，即1

a−或1a时，方程2210xax−+=的解为21xaa=−（i）若1a−时，20ax−，则()0fx，所以()fx在(0,)+上单调递增…………………2分（ii）当1a时，令()0fx=，22121,1xaaxaa=−−=+−…………………4分综上：当

1a时，()fx在(0,)+上单调递增当1a时，()fx在22(0,1),(1,)aaaa−−+−+上单调递增，在22(1,1)aaaa−−+−单调递减………………………………………………………………………6分（2）由（1

）可知，1a时()fx有两个极值点12,xx，且12122,xxaxxa+==，不妨设1210xx1121122121212212121212121211(2ln)(2ln)()2ln()()2ln2

........................8xxxxaxxaxxxafxfxxxxxxxxxxxxxaxxx−−−−−−−−+−==−−−=−−分要证1212()()24fxfxaxx−−−，即证1212ln2xxxx−，即x1(0,)x1x12(,)xx2

x2(,)x+()fx+0−0+()fx递增极大值递减极小值递增2222222ln12,ln01xxxxxx−+−……….10分设1()ln(1)gttttt=−+，221()0ttgtt−+=−在(1,)+恒成立，则()gt在(1,)+单调递减，

所以()(1)0gtg=，原式得证…………………………………………………………………………..12分