【文档说明】湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三上学期第二次联考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，902.696 KB，由小赞的店铺上传

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沅澧共同体2025届高三第二次联考（试题卷）数学时量：120分钟满分：150分命题单位：常德外国语学校审题单位：常德市教科院一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合

1Axx=，23Bxx=−，则AB=（）A.15−xxB.15xxC.1xx−D.1xx【答案】B【解析】【分析】解不等式，可求出集合B，进而与集合A取交集即可.【详解】由题意，2332315xxx−−−−，则231

5Bxxxx=−=−，所以11515xxxxxxAB−==.故选：B.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算能力，属于基础题.2.设命题:0px，20x，则p

为（）A.0x，20xB.0x，20xC.0x，20xD.0x，20x【答案】A【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题

的关系，命题:p“0x，20x”的否定:p“0x，20x”.故选：A.3.设1.212,lg3,ln3abc===，则abc、、的大小顺序为（）A.abcB.acbC.bacD.cab【答案】A【解析】【分析】利用指数函数，对数函数单调性可得答案.【详解】由

函数ln,lgyxyx==在(0,+∞)上单调递增，可得1lnln103=，0lg1lg3lg101==.因函数2xy=在R上单调递增，则1.21222=.故1.21lnln10lg1lg3123==，即abc.故

选：A4.已知(1i)2iz+=−，则|i|z−=（）A.1B.22C.2D.262【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法计算，利用复数的模公式可得解.【详解】()()()()2i1i2i13i1i1i1i2z−−−−===++−，则1ii2z+−=，所以2211

2i222z−=+=.故选：B.5.若4,1ab==，向量a与向量b的夹角为120，则a在b上的投影向量为（）A.3b−B.2bC.2b−D.b−【答案】C【解析】【分析】根据投影向量定义计算即可.【详解】由投影向量定义可知，a在

b上的投影向量为41cos12021abbbbbb==−.故选：C6.已知π3cos()44+=，则sin2=（）A.18B.78−C.18−D.78【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.【详解】因为π3

cos()44+=，所以sin2=πcos(2)2−+πcos2()4=−+2π2cos14=−++9121168=−+=−.故选：C.7.关于x的一元二次不等式2650axax−+的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（）A.5|18aa

B.{|01}aaC.5|18aa−−D.5|18aa【答案】A【解析】【分析】根据题意画出2()65fxaxax=−+的草图，由(2)0,(1)0,ff

解出实数a的取值范围.【详解】函数2()65fxaxax=−+图象如图所示．若关于x的一元二次不等式2650axax−+的解集中有且仅有3个整数，则(2)0,(1)0,ff即41250,650,aaaa−+−+解得518a.故

选：A．的8.设函数22esin()1xxfxx+=+，则曲线()yfx=在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.23【答案】A【解析】【分析】求导后求出切线的斜率，再由点斜式得到切线方程，然后求出与坐标轴的交点，最后求出三角形面积即可；【详解】由题

意可得()()()()()()22222222222ecos12esin222ecos2sincos()11xxxxxxxxxxxxxxfxxx++-+-++-+¢==++，所以()03f=，所以切线方程为13yx−=，令0x=，则1y=，令0y=，则13x=-，则三角形的面积为1111236

=，故选：A.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．9.若()fx满足对定义域内任意的12,xx，都有()()()1212f

xfxfxx+=，则称()fx为“优美函数”，则下列函数不是“优美函数”的是（）A.()2xfx=B.()3logfxx=C.2()fxx=D.()sinfxx=【答案】ACD【解析】【分析】利用“优美函数”的定义，举例说明判断A,C,D不是“优

美函数”，通过对数的运算判断B.【详解】对于A，函数()fx定义域为R，取121,2xx==，则()()()12126,4fxfxfxx+==，则存在12,xx，使得()()()1212fxfxfxx+，故A满足题意；对于B，函数()fx的定义域为{0}xx∣，

对于定义域内任意的()()()()1212313231212,,logloglogxxfxfxxxxxfxx+=+==，故B不满足题意；对于C，函数()fx定义域为R，取121,2xx==，则()()()12125,4fxfxfxx+==，则存在12,xx，使得()(

)()1212,fxfxfxx+故C满足题意；对于D，函数()fx定义域R，取12π0,3xx==，则()()()12123,02fxfxfxx+==，则存在12,xx，使得()()()1212,fxfxfx

x+故D满足题意.故选：ACD.10.已知函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()π2sin23fxx=+B.()fx的图象关于直线5π12x=−对称C.2π3fx−

是偶函数D.将()fx图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数π2sin3yx=+的图象【答案】ABD【解析】【分析】由最值求A，由周期求，结合特殊点的三角函数值求，进而可求函数解析式；将5π1

2x=−代入计算，得到最小值就可判断；利用奇函数的定义进行判断为奇函数即可判断；直接进行伸缩变化即可判断．【详解】A．由图可得，2A=，ππ12π3124−=，解得2=，又函数图象经过点π,212，所以π

2sin2212+=，即πsin16+=，因为π2，所以ππ62+=，解得π3=，故()π2sin23fxx=+，故A正确；B．当5π12x=−时，ππ232x+=−，此时函数取得最小值，()fx的图象关于直线5π12x=−对称，故B正确；C．2π

4ππ2sin22sin2333fxxx−=−+=−是奇函数，故C错误；D．将函数()π2sin23fxx=+图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数π2sin3yx=+

的图象，故D正确，故选：ABD．11.已知函数()121xmfx=−+是奇函数，下列选项正确的是（）A.2m=B.12,xxR，且12xx，恒有()()()()12120xxfxfx−−C.函数()fx在)1,2−上的值域

为13,35−D.若xR，恒有()()2212fxfaxx−−的一个充分不必要条件是5a【答案】AD【解析】【分析】对A：根据奇函数定义运算求解；对B：根据函数单调性的定义与性质分析运算；对C：根据

单调性求值域；对D：根据单调性整理可得：xR，2410axx−+恒成立，结合一元二次不等式的恒成立问题分析运算.【详解】对于A：∵函数()121xmfx=−+是奇函数，其定义域为R，则()()21122021212121xxxxxmmmmfxfxm−+−=−+−=−−

=−=++++，解得2m=，故A正确；对于B：由选项A可得：()2121xfx=−+，对12,xxR，且12xx，则12022xx，可得1212121xx++，故1211102121xx++，可得12222121xx−−++，则1222112121

xx−−++，即()()12fxfx，故()2121xfx=−+在R上单调递增，∴12,xxR，且12xx，恒有()()()()12120xxfxfx−−，故B错误；对于C：∵()21111312f−=−=−+，()232155f=−=，且()fx

在定义域内单调递增，∴函数()fx在)1,2−上的值域为13,35−，故C错误；对于D：∵xR，恒有()()2212fxfaxx−−，且()2121xfx=−+在R上单调递增，∴xR，2212xaxx−−恒成立，

即xR，2410axx−+恒成立，当0a=时，则410x−+不恒成立，不合题意；当0a时，则0Δ1640aa=−，解得4a；综上所述：实数a的取值范围为()4,+.∵(5,)+(4,)+，∴x

R，恒有()()2212fxfaxx−−的一个充分不必要条件是5a，故D正确；故选：AD．【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三､填空题

：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数2710(0)xxyxx++=的最小值是__________．【答案】7210+##2107+【解析】【分析】由题知107,0yxxx=++，进而直接利用基本不等式求解即可.【详解】解：因为0x，所以100,0xx，所以，2710x

xyx++=1010772xxxx=+++7210=+．当且仅当10x=时等号成立．所以，最小值为7210+．故答案为：7210+13.用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为

__________3cm．【答案】33【解析】【分析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，则可计算圆锥筒的高，代入体积公式计算即可.【详解】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r,则12222r=，1r=，圆锥筒的高为：2213−=，这个圆锥筒的体积

为;2131333V==.故答案为：33【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式，半圆的弧长与圆锥的底面周长之间的关系，属于容易题.14.函数()23sin2cos02xfxx=−（），已知

()fx在区间π2π,33−恰有三个零点，则的范围为_______.【答案】73,2【解析】【分析】根据题意，由三角恒等变换公式将函数()fx化简，然后由函数的零点列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得()2π3sin2cos3sincos

12sin126xfxxxxx=−=−−=−−，令π6tx=−，即1sin2t=恰有三个实根，三根为：①()π5ππ2π2π21π666kkk++++，，；()()5ππ5π2π21π21π666kkk+++++②，，，kZ，∵0，

∴π2π636πππ36x−−−−，，∴()()()5ππππ21π2π6366π2ππ5π21π21π6366kkkk++−−−+++−++，，无解；或()()πππ5π63612π2π63669135π2πππ3321π22π2

26366kkkkkkkk−−−−+−−+++++−++，，，当1k=−时，解得的范围为73,2，故答案为：73,2四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过

程或演算步骤．15.已知,,abc分别为ABCV的三个内角,,ABC的对边，且7a=，1c=，2π3A=．（1）求b及ABCV的面积S；（2）若D为BC边上一点，且1AD=，求ADB的正弦值．【答案】（1）2b=，32ABC

S=（2）217【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出关于b的二次方程，可解出b的值，进而可求得ABCV的面积S；（2）在ABCV中，利用正弦定理可求得sinB的值，再由ABAD=可得出ADBB=，进而可求得ADB的正弦值.小

问1详解】由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，整理得271bb=++，即()()26320bbbb+−=+−=，因为0b，解得2b=，所以1133sin212222ABCSbcA===.【小

问2详解】【由正弦定理得：sinsinbaBA=，所以sin321sin77bABa===，在三角形ABD中，因为cABAD==，则ADBB=，所以21sinsin7ADBB==.16.已知数列na的前n项和为nS，且223nSnn=+，数列nb满足

34log1nnab=+．（1）求,nnab；（2）设nnncab=，数列nc的前n项和为nT，求nT．【答案】（1）41nan=+，3nnb=（2）1312322nnTn+=+−【解析】【分析】（1）已知nS求na，利用公式11,1,2nnnSnaSSn

−==−求解na，进而利用已知关系求nb即可；（2）利用错位相减法求前n项和.【小问1详解】由223nSnn=+，当2n时，22123[2(1)3(1)]41nnnaSSnnnnn−=−=+−−+−=+.当1n=时，115aS=

=，也适合41nan=+.综上可得，41nan=+.由34log141nnabn=+=+，所以3nnb=.【小问2详解】由（1）知(41)3nnnabn=+125393(41)3nnTn=++++①23135393(43)3(41)3nnnTnn+=+++−++②①−②得2121

54343(41)3nnnTn+−=+++−+1119(132154(41)33(41)313nnnnTnn−++−−=+−+=−−−−），所以1312322nnTn+=+−．17.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，ABA

D⊥，ABBC⊥，2SAABBC===，1AD=，M是棱SB的中点．（1）求证：AM⊥面SBC；（2）求异面直线SD与CM所成角的余弦值；（3）在线段CD上是否存在一点N，使得直线BN和平面SCD所成角为π3？若存在，求出CNCD的值；若不存在，说明理由．【答案】

（1）证明见解析（2）23015（3）存在；215CNCD=或23【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积为0即可证明线线垂直，结合线面垂直的判定定理证明即可；（2）求出直线SD与CM的方向向量，利用空间向量求异面直线的夹角即可；（3）求出平面SCD的法向量，

假设(01),CNCD=通过空间向量的线性运算求得BN，利用已知条件列出等式求解即可得到的值，进而可求CNCD的值.【小问1详解】以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,2,2

,0,1,0,0ABCD，()()()()0,0,2,0,1,1,0,1,1,2,0,0SMAMBC==,()0,2,2BS=−()·0210100,?0012120,AMBCAMBS=++==+−+=,AMBCAMBS⊥⊥,BCBSB=，且,BCBS

平面,SBCAM⊥平面SBC【小问2详解】由（1）得，()()1,0,2,2,1,1SDCM=−=−−，()()1221230cos,1556SDCMSDCMSDCM−+−===异面直线SD与C

M所成角的余弦值为23015．【小问3详解】由（1）得，()()1,2,0,1,0,2DCDS==−()2,1,1MC=−．设平面SCD的法向量𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，由00nDCnDS==得，2020xyxz+=−+=，令1z=，则()2

,1,2,1,1xyn==−=−，设()()(01),1,2,0,,2,0CNCDCDCN==−−=−−，()()()2,0,0,2,02,2,0BNBCCN=+=+−−=−−．()()()22222π3sincos,32622BNnBNn

BNn−+====−+−,整理得，2453640−+=，解得215=或2,3存在点2,15CNNCD=或23．18.如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点()3,1P，焦距为42，斜率为13−的直线l与椭圆C相交于异于点P的,MN两点，且直线,PMPN

均不与x轴垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）若10MN=，求MN的方程；（3）记直线PM的斜率为1k，直线PN的斜率为2k，证明:12kk为定值.【答案】（1）221124xy+=（2）123yx=−−（3）证明见解析【解析】【分析】

（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线l的方程为13yxm=−+，与椭圆联立，由弦长公式求得MN的方程；（3）将韦达定理代入12kk中计算结果为定值.【小问1详解】由题意得22222911242abcabc+===+

解得23222abc===，故椭圆C的方程为221124xy+=.【小问2详解】设直线l的方程为13yxm=−+，()()1122,,,MxyNxy由22131124yxmxy=−++=得22469360xmxm−+−=，由()22Δ

(6)14440mm=−−，得434333m−，则212123936,24mmxxxx−+==.()221212110141631092MNxxxxm=++−=−=，解得2m=或2m=−当2m=时，直线1:23ly

x=−+经过点()3,1P，不符合题意，舍去；当2m=−时，直线l方程为123yx=−−.【小问3详解】直线PM，PN均不与x轴垂直，所以123,3xx，则0m且2m，所以()()121212121211111133

3333xmxmyykkxxxx−+−−+−−−==−−−−()()()212121212111(1)9339xxmxxmxxxx−−++−=−++()22222193613

1(1)3619432936391833942mmmmmmmmmm−−−+−−===−−−+为定值.19.已知()e1,,exfxaxa=−+R是自然对数的底数．的（1）讨论函数()yfx=单调性；（2）若关于x的方程()10fx−=有

两个不等实根，求a的取值范围；（3）当ea=时，若满足1212()()()fxfxxx=，求证：122xx+．【答案】（1）答案见解析；（2）(e,)+；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，再按0,0aa分类讨论导数值正负即得.（2）把()10fx−=的根转化

为直线ya=与e()=xgxx的图象有两个交点求解.（3）由（1）的信息可得121xx<<，构造函数()()(2),1hxfxfxx=−−，利用导数探讨单调性即可推理得证.【小问1详解】函数()e1xfxax=−+的定义域为R，求导得()e=

−xfxa，当0a时，恒有()0fx，则函数()fx在R上单调递增；当0a时，由()0fx，得lnxa；由()0fx，得lnxa，即函数()fx在(,ln)a−上单调递减，在(ln,)a+上单调递增，所以当0a时，函数()fx的递增区间为(,)−+；当0a

时，函数()fx的递减区间为(,ln)a−，递增区间为(ln,)a+.【小问2详解】方程(00)e1xfxax−=−=，当0x=时，方程不成立，则exax=，令e()=xgxx，依题意，方程()10fx−=有

两个不等实根，即直线ya=与()ygx=的图象有2个交点，求导得2(1)e()xxgxx−=，当0x或01x时，()0gx，当1x时，()0gx，函数()gx在(,0),(0,1)−上单调递减，在(1,)+上单调递增，的而当0x时

，()0gx，当0x时，()0gx，且当1x=时，()gx取得极小值(1)eg=，作出函数()ygx=的图象，如图：观察图象，当ea时，直线ya=与函数()ygx=的图象有2个交点，所以a的取值

范围为(e,)+.【小问3详解】当ea=时，()ee1xfxx=−+，求导得()xfxee=−，由（1）知，函数()fx在(,1)−上单调递减，在(1,)+上单调递增，由12xx，且12()()fxfx=，得121xx<<，令函数()()(2),1hxfxfxx=−

−，求导得22eeee2ee2e0()()(2)xxxxhxfxfx−−−+−=+−=−=，则函数()hx在(,1)−上单调递增，有()(1)0hxh=，于是()(2)fxfx−，而

11x，因此11()(2)fxfx−，即21()(2)fxfx−，又1221,1xx−，函数()fx在(1,)+上单调递增，从而212xx−，所以122xx+.【点睛】思路点睛：已知函数的

零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；③得解，即由列出的式子求出参数

的取值范围．