【文档说明】四川省乐山市沫若中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学（理科）试题 含答案.doc，共(11)页，1.061 MB，由小赞的店铺上传

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四川省乐山沫若中学2021年高二下期数学（理科）入学考试试题满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：（共12个小题，每题5分，共60分。）1．点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为（）A．（-3，-2，-1）B．（-3，2，1）C．（3，-2，1）D．（3，2，-

1）2．抛物线xy214=−的准线方程为()A.x116=B.x116=−C.y1=D.y1=−3．设a，b是两条直线，，是两个平面，且a⊥，b⊥，则“⊥”是“ab⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4

．体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8B．12C．16D．3235．过抛物线yx24=的焦点作直线交抛物线于11)(,Axy，22(),Bxy两点，如果xx126+=，那么AB||(=)A.6B

.8C.9D.106．已知双曲线xyab22221−=的一条渐近线方程为yx34=，则此双曲线的离心率为()A.54B.43C.53D.747．在底面为正方形的四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，45PDA=，则异面直线PB与AC所成

的角为（）A．90B．60C．45D．30°8．若直线ykx=与圆22(2)1xy++=的两个交点关于直线20xyb++=对称，则,kb的值分别为（）A．1,42kb=−=−B．1,42kb==C．1,42kb==−D．4,3kb==9．已知F1，F2为椭圆xyC22:1369+=的

左、右焦点，点P在C上，PFPF12||3||=，则FPF12cos等于()A.34B.45C.35−D.13−10．已知P是△ABC所在平面外一点，点P与AB，AC，BC的距离相等，且点P在△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的（）A．内心B．外心C．

重心D．中心11．已知1F，2F是双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点，过1F的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若2ABF为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．2B．3C．6D．712．如图，正方体1111ABCDABCD−中，P为底

面ABCD上的动点，1PEAC⊥于E，且,PAPE=则点P的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分二、填空题：（共4个小题，每题5分，共20分。）13．命题“20,lnxxx”的否定是___________.14．若抛物线yx24=上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴

的距离是．15．设F1、F2分别是椭圆xy22154+=的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，则PFPF12的最大值为．16．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=右支上一点12,,

PFF分别为其左右焦点，圆M是12PFF△内切圆，且1PF与圆M相切于点2,||2cAPAa=（c为半焦距），若122PFPF，则双曲线离心率的取值范围是_____．三、解答题：（共6个小题，共70分。）17．（满分10分）如图所示，直

棱柱1111ABCDABCD−中，四边形ABCD为菱形，点E是线段1CC的中点．（1）求证：1//AC平面BDE；（2）求证：1BDAE⊥．18．（满分12分）已知圆()22:210Cxyxaya+−++=R，圆心C在直线30x

y−=上．（1）求圆C的标准方程；（2）求直线:0lxy−=被圆C截得的弦AB的长．19．（满分12分）如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，矩形BCDE所在的平面垂直于圆O所在的平面.（1）证明

：平面ADE⊥平面ADC；（2）若2AB=，1AC=，45EAB=，试求该简单组合体的体积.20．（满分12分）已知过抛物线ypxp22(0)=的焦点，斜率为22的直线交抛物线于Ax1(，y1)，Bx2(，yxx212)(

)两点，且AB9||2=.（Ⅰ）求该抛物线的方程（Ⅱ）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OCOAλOB=+，求λ的值．21．（满分12分）如图，在三棱锥PABC−中，平面PAC⊥平面ABC，PCAC⊥，BCAC⊥，2ACPC==，4CB=，M是PA的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面MBC；（Ⅱ）设点

N是PB的中点，求二面角NMCB−−的余弦值．22．（满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的长轴长为4，焦距为23，点P为椭圆C上一动点，且直线,APBP的斜率之积为14−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设,AB分别是椭圆C的左右顶点，若点,MN是C上不同于,AB的两点

，且满//,//APOMBPON，求证：MON△的面积为定值．数学试题（理科）答案一、选择题（共12个小题，每题5分，共60分。）1．D2．C3．C．4．B．5．B6、A7．B8．、B9．D10．A11．C.12．A二、填空题（共4个小

题，每题5分，共20分。）13．20000,lnxxx„14．915．416．()1,71−.三、解答题：（共6个小题，共70分。）17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，即可得到1//OEAC，从而得

证；（2）依题意可得1CCBD⊥，再由ACBD⊥，即可得到BD⊥平面11ACCA，从而得证；【详解】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE；因为О，E分别为线段AC，1CC的中点，故1//OEAC，而OE平面BDE，1AC

平面BDE，故1//AC平面BDE（2）证明：因为直棱柱1111ABCDABCD−，故1CC⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，所以1CCBD⊥．因为ABCD是菱形，所以ACBD⊥．又1ACCCC=，AC平

面11ACCA，1CC平面11ACCA，所以BD⊥平面11ACCA．因为1AE平面11ACCA，故1BDAE⊥．18．【答案】（1）()()22139xy−+−=；（2）27．【分析】（1）由圆C的一般式方程求出圆心1,2aC−代入直线30xy−=即可求出a得值，即可

求解；（2）先计算圆心到直线:0lxy−=的距离d，利用222ABrd=−即可求弦长.【详解】（1）由圆()22:210Cxyxaya+−++=R，可得()222124aaxy−++=所以圆心为1,2

aC−，半径2ar=又圆心C在直线30xy−=上，即3102a−−=，解得6a=−．所以圆C的一般方程为222610xyxy+−−+=，故圆C的标准方程为()()22139xy−+−=．（2）由（1）知，圆心()1,3C，半径3r=．圆心()1,3C到直线:0lxy−

=的距离()22113211d−==+−．则直线:0lxy−=被圆C截得的弦AB的长为()2222223227ABrd=−=−=．所以，直线:0lxy−=被圆C截得的弦AB的长为27．19．【答案】

（1）证明见解析；（2）233.【分析】（1）由题意可得BCAC⊥，BCDC⊥，由线面垂直的判定定理可得BC⊥面ADC，再由//BCED，可得ED⊥面ADC，根据面面垂直的判定定理即可证明.（2）根据面面垂直的性质定理可得EBA

B⊥，且AC⊥面BCDE，根据锥体的体积公式即可求解.【详解】解（1）证明：因为ABC内接于圆O且AB为直径所以BCAC⊥在矩形BCDE中有BCDC⊥且AC与DC相交于点C所以BC⊥面ADC而//BCED所以ED⊥面ADC因此面ADE⊥面ADC（2）解：由题知EBBC⊥，

面BCDE⊥面ABC且面BCDE面ABCBC=所以EB⊥面ABC所以EBAB⊥.又因为45EAB=，所以2EBAB==同理AC⊥面BCDE，在RtABC△中22213BC=−=，所以矩形BCDE的面积为23因此该简单组合体的体积12323133V==20．【答案】（Ⅰ）24

yx=;（Ⅱ）0=或2【解析】（Ⅰ）抛物线22(0)ypxp=的焦点为(2p，0)，则直线AB的方程为22()2pyx=−，代入抛物线的方程，可得22450xpxp−+=，可得1254xxp+=，由抛物线的定义可得12||ABxxp=++，由已知，得5942pp+=，解得2

p=，即抛物线的方程为24yx=；（Ⅱ）由2p=可得22520xx−+=，可得2x=或12，即有1(2A，2)−，(2B，22)，设3(OCx=，31)(2y=，2)(2−+，22)1(22=+，222)−+，即有3122

x=+，3222y=−+，由2334yx=，可得21[2(21)]4(2)2−=+，即2(21)14−=+，解得0=或221．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）223．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可得BC⊥平面PAC，根据线面垂直的性质定理，可得BCPA

⊥，根据等腰三角形中线的性质，可得CMPA⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得证；（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理可得PC⊥平面ABC，结合题意，如图建系，可得各点坐标，进而可得CM，CN，PA的坐标，即可求得两个平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.【详解】解：（Ⅰ）平

面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BC平面ABC，BCAC⊥，∴BC⊥平面PAC，∵PA平面PAC，∴BCPA⊥，∵ACPC=，M是PA的中点，∴CMPA⊥，∵CMBCC=，,CMBC平面MBC，∴PA⊥平面MBC．（

Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PC平面PAC，PCAC⊥∴PC⊥平面ABC，∵BC平面ABC，∴PCBC⊥，以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系，(2,0,0)A，(0,4,0)B，(0,0,0)C，(0,0,2)P，(1,0,1)M，(0,2,1)N，则(1,0,1)CM=，(0,2,1)CN=，(2,0,2)PA=−，由（Ⅰ）知(2,0,2)PA=−是平面MBC的一个法向量，设(,,

)nxyz=是平面MNC的法向量，则有00CMnCNn==，即020xzyz+=+=，令1y=，则2z=−，2x=，∴(2,1,2)n=−，设二面角NMCB−−所成角为，由图可得为锐角，则22012(2)22coscos,3||||89PAnPAnPAn+−

−====．22．【答案】（1）2214xy+=；（2）定值为1，证明见解析【分析】（1）根据题意可得2a=，3c=，再由222abc=+即可求解.（2）设1122(,),(,)MxyNxy，且直线MN的方程

为：xmyt=+，由题意可得14OMONkk=−，联立直线MN和椭圆方程，利用韦达定理可得2224tm=+，再由121||||2Styy=−，化简整理即可求解.【详解】（1）由题意可得22224223acabc===+解得1b=，椭圆C的标准方程为2214xy+=（2）

证明：设1122(,),(,)MxyNxy，直线MN的方程为：xmyt=+由1//,//,,4APBPAPOMBPONkk=−得14OMONkk=−即121214yyxx=−，联立直线MN和椭圆

方程：2214xmytxy=++=，整理得：222(4)240mymtyt+++−=由韦达定理可得：212122224,44mttyyyymm−+=−=++又221212244()()4tmxxmytmytm−=++=+代入121214yyxx=−，可得2224tm=+，MON△的

面积212121211||||||()422Styytyyyy=−=+−2222222||42||2142tmttttmt+−−===+，MON△的面积为定值1．【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位

置关系，解题的关键是求出直线MN的方程xmyt=+中2224tm=+，考查了计算能力.