【文档说明】四川省泸县第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学（理）试题 含解析.docx，共(26)页，1.852 MB，由小赞的店铺上传

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泸县一中高2021级高三上学期开学考试数学（理工类）本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡交回第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i2iz=−，则zz=

（）A.55B.15C.5i5D.1i5【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算法则求出复数z的代数形式，从而得到z，再由复数的乘法运算法则即可求出．【详解】因为()()()i2ii12i12i2i2i2i555z+−+====−+−−

+，所以222121||555zzz==−+=，故选：B.2.设集合2|4Axxx=N，|2Bxyx==−，则RAB=ð（）A.1,2−B.0,2C.0,1D.0,1,2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的解法化简集合A，求解函数定义

域求出集合B，再利用集合的补集和交集运算即可得出结论．【详解】由24xx，即240xx−，解得04x，所以2|4{0,1,2,3,4}Axxx==N，又|2{|2}Bxyxxx==−=，{|2}Bxx=Rð，{0,1}AB=Rð，故选：C．3.若x

，y满足约束条件421xyxyy+−−，则2zxy=+最小值为（）A1B.7C.9D.10【答案】A【解析】【分析】作出可行域，作直线:20lxy+=，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图，作直线:20lxy+=，

直线2zxy=+中z是直线的纵截距，1y=−代入2xy−=得1x=，即(1,1)A−．平移直线l，当直线l过点(1,1)A−时2zxy=+取得最小值1．故选：A．4.已知命题2:1|210pxxx−+，命题2:0,1,10qxx−，则下列命题是真命题的是（）

A.pqB.()pqC.pqD.pq【答案】C【解析】【分析】分别判断命题p与命题q的真假，从而结合“且或非”的真假性即可得解.【详解】对于命题p，将1代入221xx−+，得212110−+=，满足要求，故

2:1|210pxxx−+为真命题，p为假命题；的.对于命题q，取0x=，则2110x−=−，不满足要求，故2:0,1,10qxx−为假命题，q为真命题；所以pq为假命题，()pq为假命题，pq为真命题，pq为假命题.故选：C.5.近期，我国

多地纷纷进入“甲流”高发期，某地A、B两所医院因发热就诊的患者中分别有37.25%、18%被确诊为“甲流”感染，且到A医院就诊的发热患者人数是到B医院的四倍.现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未

感染“甲流”的概率是（）A.0.785B.0.666C.0.592D.0.235【答案】B【解析】【分析】设到A医院就诊的发热患者人数为4m()0m人，到B医院就诊的发热患者人数为m人，利用古典概型的概

率公式计算可得.【详解】设到A医院就诊的发热患者人数为4m()0m人，到B医院就诊的发热患者人数为m人，因为A、B两所医院因发热就诊的患者中分别有37.25%、18%被确诊为“甲流”感染，所以从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，

则此人未感染“甲流”的概率()()137.25%4118%0.6664mmPmm−+−==+.故选：B6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若1nnaa+−是公差不为零的等差数列，则称数列na为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球

个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，L，则第40层放小球的个数为（）A.1640B.1560C.820D.780【答案】C【解析】【分析】首先由二阶等差数列的

定义，得到()*12,Nnnaannn−−=，再求和得到数列na的通项公式，即可求40a.【详解】设第n层放小球的个数为na，由题意212aa−=，323aa−=，……，数列1nnaa+−是首项为2，公差为1的等差数列，所以()*12(2)2,Nnnaannnn−−=+−=．故12

111()()12(1)2nnnaaaaaannn−=+−++−=+++=+，故40140418202a==．故选：C．7.已知定义在R上的函数()fx在(,3−上单调递增，且()3fx+为偶函数，则不等式(

)()12fxfx+的解集为（）．A.51,3B.()5,1,3−+C.()3,2−−D.()(),32,−−−+【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，可得()fx对称轴为3x=，且在)3,+上单调

递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需223xx−−即可，解出不等式即可.【详解】由题意可得，()fx对称轴为3x=，且在)3,+上单调递减.则由()()12fxfx+，可得出1323xx+−−，即()()22223xx−−，即()()23853510xxxx−+=−−

，解得1x或53x所以，不等式()()12fxfx+的解集为()5,1,3−+.故选：B.8.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经

网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00GGLLD=，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，0L表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，0G表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18

时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.3）（）.A.75B.74C.73D.72【答案】C【解析】【分析】由已知可得45D=，再由1840.5()0.25G，结合

指对数关系及对数函数的性质求解即可．【详解】由题设可得18180.50.4D=，则45D=，所以1840.50.25G，即()()()45218lg18lg2lg5182lg211820.31518log72452lg2l2g53lg2130.31lg5

G−−−====−−−，所以所需的训练迭代轮数至少为73次．故选：C．9.已知锐角满足1111tan1tan−=−+，则πtan8+=（）A.212+−B.1−C.212−D.1【答案】D【解析】分析】

先根据1111tan1tan−=−+求出tan，再利用二倍角得正切公式求出πtan8，再根据两角和得正切公式即可得解.【详解】由1111tan1tan−=−+，得()21tan1tan1tan+−−=−，即2tan2ta

n10+−=，解得tan12=−，又为锐角，所以tan12=−+，又2π2tanππ8tantan21π481tan8===−，即2ππtan2tan1088+−=，解得πtan128=−+（πtan128=−−舍去），所以π8=，所以π

πtantan184+==.故选：D.【10.已知12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N，若113MFFN=，则C的离心率为（）A.33B.13C.32D.223

【答案】A【解析】【分析】先求出M的坐标，根据113MFFN=得出N的坐标，根据N在椭圆上列方程求解即可.【详解】不妨设M在第一象限，由题意，M的横坐标为c，令22221cyab+=，解得2bya=，即2,bMca.

设(,)Nxy，又1(,0)Fc−，1(,)FNxcy=+，212,bMFca=−−，由113MFFN=可得：223()3cxcbya−=+−=，解得2533cxbya=−=−，又(,)Nxy在椭

圆上，即222222222252519999cbcacaaaa−+==+，整理得224899e=，解得33e=.故选：A11.已知函数()3213fxxaxx=++的两个极值点分别为12,xx，若过点()()11,xfx和

()()22,xfx的直线l在x轴上的截距为13，则实数a的值为（）A.2B.2−C.12或2−D.12−或2【答案】B【解析】【分析】由题意()fx有两个不同的零点，则0求参数a范围，再根据2112222121xaxxax=−−=−−代入1()fx、1()fx确定已

知点所在直线，进而求截距并列方程求参数值.【详解】由题意2()21=++fxxax有两个不同零点，则2440a=−，所以21a，即1a或1a−，由211222210210xaxxax++=++=，

即2112222121xaxxax=−−=−−，而322211111111112112()()33313fxxaxxxaxxxxaax=++=+++=−−121122()(11)32333xaaaxax=−

−−−+=，同理有()()2222133afxax=−−，所以()()11,xfx、()()22,xfx均在22(1)33yaax=−−上，令22(1)033yaax=−−=，则212(1)3axa==−，得2232(21)(2)0aaaa+−=−+=，综上，12122

aa=−=，（舍）故选：B12.若13e2,e,6abc===，则（）A.acbB.abcC.cbaD.<<cab【答案】B【解析】【分析】构造函数()lnxfxx=，利用导数研究函数单调性，由lnlnba，可得ba，再由11e2ee

3b=，再作商法336，得cb，从而得解.【详解】令()lnxfxx=，则()21lnxfxx−=，当ex时，()0fx，函数()fx单调递减；当0ex时，()0fx¢>，函数()fx单调递增

，因为2a=，所以()1ln4lnln2424af===，又()lnelneebf==，e4，所以()()e4ff，所以lnlnba，故ba，因为11e2ee3,b=，又因为1111166226111113333363

3333314662324=====，故363c=，从而有cb，综上所述：abc.故选：B.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()512x+的展开式中4x的系数是__________（用数字作答）．【答案】80【解析】【分析

】利用二项式展开式的通项公式求解即可.【详解】5(12)x+的通项为155C(2)2CrrrrrrTxx+==，令4r=，得()512x+的展开式中4x的系数是4452C80=．故答案为：8014.若曲线1(0)ykxk−=与曲线exy=有两条公切线，则k的值为________．【答案】

1e−【解析】【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即

可．【详解】令1()(0)fxkxk−=，()xgxe=，则()2kfxx=−，()exgx=，设()()11,Axfx，则曲线()yfx=在A处切线为()()()1112112kkyfxfxxxyxxx−=−=−+，设()()22,Bxgx，则曲线()yg

x=在B处切线为()()()()222222e1exxygxgxxxyxx−=−=+−，由题意()222121e21exxkxkxx−==−，消去1x得()22241exkx−=−，由题意，方程()241exkx−=−有两个不同的实数根，令2()(1)exxx=−，则2

()(1)e(1)(1)exxxxxx−==−+，当1x−时，()0,()xx单调递增；当11x−时，()0,()xx单调递减；当1x时，()0,()xx单调递增，故当=1x−时，()x取极大值e(41)−=；当1

x=时，()x取极小值(1)0=，又当1x时()0x，根据以上信息作出()x的大致图象，由图可知当44ek−=，即1ek=−时，直线4yk=−与()x的图象有两个交点，从而方程()241

exkx−=−有两个不同的实数根，所以，曲线1(0)ykxk−=与曲线exy=有两条公切线时，k的值为1e−．故答案为：1e−．15.在ABC中，2π3A=，D为BC边上一点，且2BDDC=，则ADA

B的最小值为___________.【答案】33【解析】【分析】将AD用,ABAC表示，再平方可求得2AD，再由22ADAB结合二次函数得性质即可得解.【详解】由2BDDC=，得()11213333ADABBCABACABABAC=+=+−=+uuuruuuruuuruuuruuur

uuuruuuruuur，则22222141433999ADABACABACABAC=+=++，所以222412999ADcbbc=+−，则222222224124121119991999933cbbcADbbbABcccc+−==+−=−+，当1bc=时，取等

号，所以ADAB的最小值为33.故答案为：33.【点睛】关键点点睛：将AD用,ABAC表示，再平方是解决本题的关键.16.已知()22ln1fxaxxbx=−−−，给出以下命题：①当0a=时，存在0b

，()fx有两个不同的零点②当0a=时，存在0b，()fx有三个不同的零点③当1a=时，对任意的bR，()fx的图象关于直线1x=对称④当1a=时，对任意的bR，()fx有且只有两个零点其中所有正确的命题序号是______.【答案】①②③【解析】【分析】当0a=，0b时，利用导数可求得()

fx在1x时的单调性，确定()min12bfxf=−，利用导数可求得()()20tbt=，可确定2b=时()fx在(),1−上有唯一零点；代回1x时验证，结合零点存在定理可确定()fx在定义域内共有两个不同零点，知①正确

；当0a=，0b时，易知0x=为()fx在(),1−上的唯一零点；当1x时，利用导数求得()fx单调性，取22eb=−，结合零点存在定理可说明()fx在定义域内共有三个不同零点，知②正确；根据解析式验证知

()()2=fxfx−，知③正确；当1a=时，结合导数可知0b时，()fx有且仅有两个零点；当0b时，利用导数可求得()fx单调性，通过反例8b=时，()fx有三个不同零点可知④错误.【详解】对于①，当0a=时，()2ln1fxxbx=−−−，则()fx定义域

为1xx；当1x时，()()2ln1fxxbx=−−−，()22211bxbfxxx−+=−+=−−，当0b时，令()0fx=，解得：21122bbx−==−，当,12bx−−时，()0fx；当1,

12bx−时，()0fx¢>；()fx\在,12b−−上单调递减，在1,12b−上单调递增；()min12ln22bbfxfbb=−=−+−，令()2ln2btbbb=−+−，则()ln2b

tb=−，当()0,2b时，()0tb；当()2,b+时，()0tb；()tb在()0,2上单调递增，在()2,+上单调递减；()()20tbt=，即当2b=时，()00f=，则()fx在(),1−上有唯一零点0x=；

当2b=，1x时，()()22ln1fxxx=−−−，()222011xfxxx=−−=−−−，()fx\在()1,+上单调递减，3312140eef+=−，()240f=−，0311,2ex+

，使得()00fx=，()fx\在()1,+有唯一零点0xx=；则当0a=，2b=时，()fx有两个不同的零点，①正确；对于②，当0a=时，()2ln1fxxbx=−−−，则()fx定义域为1xx；当1x时，

()()2ln1fxxbx=−−−，()22211bxbfxxx−+=−+=−−；当0b时，22b−+−，22x，()0fx，()fx\在(),1−上单调递减；又()00f=，()fx\在(),1−上有唯一零点0x=；当1x时，()()2ln1fxxbx=

−−−，()221xbfxx−+−=−；令()0fx=，解得：21122bbx−==−，当1,12bx−时，()0fx¢>；当1,2bx−+时，()0fx；()fx\在1,12b−上单调递增，在1,2b−+上单调递

减；()max12ln22bbfxfbb=−=−+−−；令()2ln2bbbb=−+−−，则()ln2bb=−−，当(),2b−−时，()

0b；当()2,0b−时，()0b；()b在(),2−−上单调递减，在()2,0−上单调递增；不妨取22eb=−，()()22max1e22e0fxf=+=−+；()fx\在()21,1e+上单调递增，在()21e,++上单调递减；又2332eln202f

=−−，()()442221e2e28e2e4e20f+=−−+=−−，213,1e2x+，()2421e,1ex++，使得()()120fxfx==，即()fx在()1,+上存在两个不同零点1xx=和2xx=；则当0a

=，22eb=−时，()fx有三个不同的零点，②正确；对于③，当1a=时，()22ln1fxxxbx=−−−，()()()()222222ln212ln1fxxxbxxxbxfx−=−−−−−−=−−−=，对于任

意的bR，()fx的图象关于直线1x=对称，③正确；对于④，当1a=时，()22ln1fxxxbx=−−−，则()fx定义域为1xx；当0b时，若1x，()()22ln1fxxxbx=−−−，()()2212211xbbfxxxx−−=−−=−−；则()0fx¢>恒成立，()fx

\在()1,+上单调递增，又()20f=，()fx\在()1,+上有唯一零点2x=；若1x，()()22ln1fxxxbx=−−−，()()2212211xbbfxxxx−−+=−+=−−；则()0fx恒成立，()fx\在(),1−上单调

递减，又()00f=，()fx\在(),1−上有唯一零点0x=；当0b时，()fx有且仅有两个零点；当0b时，若1x，()()22ln1fxxxbx=−−−，()()2211xbfxx−−=

−；令()0fx=，解得：112bx=−（舍）或112bx=+，当1,12bx+时，()0fx；当1,2bx++时，()0fx¢>；不妨取8b=，则()fx在

()1,3上单调递减，在()3,+上单调递增，()()min338ln20fxf==−；又()()()222241e1e21e16e170f+=+−+−=−，()233,1ex+，使得()30fx=

，又()20f=，()00f=恒成立，当8b=时，()fx有三个不同的零点，④错误.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：本题重点考查了利用导数研究函数零点个数的问题；解题关键是能够通过分类讨论的方式，结合变量的范围讨论函数在区间内

的单调性，结合零点存在定理确定函数在区间内的零点个数，从而得到结论.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.

如图，平面四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，ABDCBD=，ACAD⊥，3AEEB==，5DE=.（1）求ADB的面积；（2）求sinBAC的值及EC的长度.【答案】（1）485（2）5sin5BAC=，1511=EC【解析】【分析】（1）根据勾股定理

可得4=AD，结合3sin5ADE=再根据面积公式求解即可；（2）根据等腰三角形性质可得2AEDBAC=，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得5sin5BAC=，然后根据()sinsinBCECBEBEC=+，利用两

角和的正弦公式求解，由正弦定理求解EC即可.【小问1详解】∵ACAD⊥，3AE=，=5DE22=4ADDEAE−=，3sin5ADE=，11348=sin482255ABDSDADBADB==

;【小问2详解】AEEB=，+AEDEABEBA=，4sin5AED=，则233cos155AED=−=.2AEDBAC=，23cos12sin=5AEDBAC=−，π0,2BAC5sin5BAC=，22

5cos1-sin=5BACBAC=，又==CBDABDBAC，在BCE中，++πCBEBECBCE=()sinsinBCECBEBEC=+53254115sincoscossin555525CBEBECCBEBEC=+=+=，由正弦定理可知，sinsinECBE

CBEBCE=，53sin155sin1111525BECBEECBCE===.18.2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，开启了月球探测的新旅程.为了解广大市民是否实时关注了这一事件，随

机选取了部分年龄在20岁到70岁之间的市民作为一个样本，将此样本按年龄)20,30，)30,40，)40,50，)50,60，60,70分为5组，并得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数a的值，并估计样本数据中市民年龄的众数；（2）为

进一步调查市民在日常生活中是否关注国家航天技术发展的情况，现按照分层抽样的方法从)40,50，)50,60，60,70三组中抽取了6人.从这6人中任意抽取3人了解情况.记这3人中年龄在)40,50的

人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）0.005a=，众数为35（2）分布列见解析，()32EX=【解析】【分析】（1）根据概率之和等于1即可求得a，由频率分布直方图即可得出众数；（2）先根据分层抽样求出各区间的人数，再

写出随机变量X的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】由()100.0350.0300.0200.0101a++++=，解得0.005a=，众数为3040352+=；【小问2详解】)40,50的人数为0.

030630.0300.0200.010=++，)50,60的人数为0.020620.0300.0200.010=++，60,70的人数为0.010610.0300.0200.010=++，则X可取0,1,2,3，()3336C10C20PX===，(

)123336CC91C20PX===，()213336CC92C20PX===，()3336C13C20PX===，所以分布列为X0123P120920920120()199130123202020202EX=+++=（人）.19

.图1是直角梯形ABCD，//ABCD，90D??，3AD=，2AB=，3CD=，四边形ABCE为平行四边形，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达1C的位置，且16AC=，如图2．（1）求证：平面1BCE⊥平面ABED；（2）在线段BE上存在点P使得PA与平面1AB

C的正弦值为365，求平面1BAC与1PAC所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）47035【解析】【分析】（1）连接AC，交BE于O，可证1OAOC⊥，OA⊥平面1BCE，所以，平面1BCE⊥平面A

BED；（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出P的位置，再用空间向量求平面1BAC与1PAC所成角的余弦值．【小问1详解】证明：在图1中，连接AC，交BE于O，90,3,2,3DADABCD====，所以1DE=

，2,60,2,60,AEBAEBEBCCEBCE======所以，四边形ABCE是菱形，所以ACBE⊥，且3OAOC==．在图2中，1AOC△满足113,6OAOCAC===，所以22211OAOCAC+=，所以，1OAOC⊥，又1

1,,,OABEBEOCOBEOC⊥=平面1BCE，所以，OA⊥平面1BCE，又OA平面ABED，所以，平面1BCE⊥平面ABED；【小问2详解】以O为坐标原点，分别以1,,OAOBOC所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则

()()()()10,0,3,3,0,0,0,1,0,0,1,0CABE−，所以()()13,1,0,3,0,3ABAC=−=−，设平面1ABC的法向量为()1,,nxyz=，则11100nABnAC==即30330xyxz−+=−+=，取1x=，得()11,3,1n=ur

，设()()0,,0,11,3,,0PmmAPm−=−，在线段BE上存在点P使得PA与平面1ABC的正弦值为365，所以()()23,,01,3,136553mm−=+解得12m=或53m=（舍），所以，110,,0,3,,022PAP=−

设平面1PAC的法向量为()2,,bcna=，则22100nAPnAC==即1302330abac−+=−+=，取1a=，得()21,23,1n=，设平面1BAC与平面1PAC的平面角为，

()()12121,3,11,23,18470cos3551470nnnn====所以，平面1BAC与1PAC所成角的余弦值为4703520.在平面直角坐标系中，已知12,FF分别是椭圆22:14xCy+=的左焦点和右焦点.（1）设T是椭圆C上的任意一点，求12

TFTF取值范围；（2）设()0,1A，直线l与椭圆C交于,BD两点，若ABD△是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.【答案】（1）2,1−（2）5355yx=−【解析】【分析】（1）易知()()123,

0,3,0FF−，设()00,Txy，有220014xy+=，再利用平面向量的数量积运算求解；（2）①当直线l垂直于y轴时，由对称性知，点,BD关于y轴对称，不妨令点B在y轴右侧，由ABD△是以A为直角顶点的等腰直角三角形，得到直线AB方程为：1

yx=−+，与椭圆方程联立求解；（2）当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为()1,0ykxmmk=+，设()()1122,,,BxyDxy，与椭圆方程联立，根据ABD△是以A为直角顶点的等腰直角三角形，得到ABAD⊥，则0ABAD

=uuuruuur，结合韦达定理线求得35m=−，再由BD的中垂线，由斜率关系得到2314mk=−−求解.【小问1详解】在椭圆22:14xCy+=中，()()123,0,3,0FF−，设()00,Txy，则有220014x

y+=，即()()22001002001,3,,3,4xyTFxyTFxy=−=−−−=−−，于是()()()222212000000333324TFTFxxyxyx=−−−+−=+−=−，显然200,4x，所以12TFTF的取值范围是2,1−.【小问2详解】①显然直线l不垂直于x

轴，当直线l垂直于y轴时，由对称性知，点,BD关于y轴对称，不妨令点B在y轴右侧，因为ABD△是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则直线AB方程为：1yx=−+，由22144yxxy=−++=消去y得：2580xx-=，

于是得83,55B−，点83,55D−−，直线l的方程为35y=−，（2）当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为()1,0ykxmmk=+，设()()1122,,,BxyDxy，由2244ykxmxy=++=消去y得：()22214

8440kxkmxm+++−=，则()()2222Δ64161410kmkm=−+−，即2241km+，2121222844,1414kmmxxxxkk−−+==++，可得122214myyk+=+因为ABD△是以A为直角顶点的等腰直角

三角形，则ABAD⊥，有0ABAD=uuuruuur，而()()1122,1,,1ABxyADxy=−=−，于是()()1212110xxyy+−−=，即()()1212110xxkxmkxm++−+−=，整理得()()()22121211(1)

0kxxkmxxm++−++−=，从而()()2222244811(1)01414mkmkkmmkk−+−−+−=++，化为()()()()22241181410kmkmkm++−++−=，解得35m=−，又线段B

D的中垂线过点224,1414kmmkk−++及点A，因此221114414mkkmkk−+=−−+，即2314mk=−−，解得55k=，而当53,55km==−时，2241km+成立，即Δ0，因此直线l的方程

为5355yx=−.21.设函数()()21e02xfxaxfx=−−.（1）从下面两个条件中选择一个，求实数a的取值范围；①当0x时，()1fx；②()fx在R上单调递增.（2）当1a时，证明：函数()fx有两个极值点()1212

,xxxx，且21xx−随着a的增大而增大.【答案】（1）选①(,1−；选②1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）若选①，可得()fx在)0,+上单调递增，然后讨论当1a时，不符合要求，即可得到结果；若选②，将问题转化为(

)0fx在R上恒成立，然后分0a与0a讨论，即可得到结果；（2）根据题意，利用导数研究函数()fx的极值，先证得函数有两个极值点，然后构造函数，通过函数的单调性即可得到证明.【小问1详解】令0x=，则()01

f=，所以()21e2xfxaxx=−−，则()e1xfxax=−−，令()()kxfx=，则()exkxa=−，选①：当1a时，因为0x时，e1,()0xkx，所以()fx在)0,+上单调递增，又()00f=，所以当0x时，()0fx，说明

()fx在)0,+上单调递增，所以()()01fxf=≥，符合题意；当1a时，ln0a，当0lnxa时，()0kx，所以()fx在()0,lna上单调递减，又()00f=，所以当0lnxa时，()0fx

，说明()fx在()0,lna上单调递减，所以当0lnxa时，()()01fxf=，此时不符合题意；综上，实数a的取值范围(,1−.选②：()fx在R上单调递增，所以()0fx在R上恒成立，当0a时，()0

kx，所以()fx在R上递增，又()00f=，所以当0x时，()0fx，所以()fx在0x上单调递减，不符合题意；当0a时，当lnxa时，()0kx，所以()fx在(),lna−上单调递减，当lnxa时，()0kx，所以()fx在()ln,a+上单调递增，从而

()()lnln1fxfaaaa=−−，由()0fx在R上恒成立，得ln10aaa−−，令()()ln1,lngaaaagaa=−−=−，说明()ga在()0,1单调递增，在()1,+单调递减，所以()()10gag=，当且仅当1a=时取得等号，故

1a=.综上，实数a的取值范围1.【小问2详解】当1a时ln0a，当lnxa时()0kx，()fx在(),lna−上单调递减，又()00f=，当0x时，()0fx¢>，说明()fx在(),0−上单调递增，当0lnxa时

，()0fx，说明()fx在()0,lna上单调递减，所以10x=为极大值点.由（1）有e1xxx+，则222eee4xxxx=，所以当1x时，有()()2e114xxfxaxax=−−−+，所以当()4

1xa+时，()0fx¢>，所以()()2ln,41xaa+使得()20fx=.当()2ln,xax时，()0fx，当()()2,41xxa+时，()0fx¢>，所以2xx=为极小值点，综上，函数()fx有两个极值点12,xx；其中2xx=满足()20fx=

，所以22e1xax−=，设()e1(0)xhxxx−=，则()()2ee1xxxhxx−+−=，由（1）知e1xx−−+，所以()()0,hxhx单调递增，所以2x随着a的增大而增大，又10x=，所以212xxx−=，故21xx−随着a的增大

而增大.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.（二）选考题：共10分．请考生在第22、

23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.在极坐标系Ox中，曲线1C的极坐标方程为22πsin4=+，以极点O为原点，极轴Ox所在直线为x轴，取同样的单位长度建立平面直角坐标系xoy，已知曲线2C的普通方程为22(2)(1)9x

y−+−=.（1）写出曲线1C的直角坐标方程和曲线2C的极坐标方程；（2）设点()2,2M，且曲线1C与曲线2C交于点,AB两点，求MAMB的值.【答案】（1）40xy+−=，24cos2sin40−−−=（2）8−【解析】【分析】（1）利用直角坐标

与极坐标的互化即可求解；（2）设出曲线1C的参数方程，与曲线2C的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义即可求解.【小问1详解】因为曲线1C的极坐标方程为22πsin4=+可化为πsin()224+=，即sincos20+−=，将c

ossinxy==代入可得，1C的直角坐标方程为40xy+−=.又因为曲线2C的普通方程为22(2)(1)9xy−+−=可化为224240xyxy+−−−=，将cossinxy==代入可得

，2C的极坐标方程24cos2sin40−−−=，所以曲线1C的直角坐标方程为40xy+−=，曲线2C的极坐标方程24cos2sin40−−−=.【小问2详解】直线l的参数方程为222222xtyt=−=+（t为参数），将222222xtyt=−

=+（t为参数）代入22(2)(1)9xy−+−=得：2280tt+−=.显然Δ0，设点,AB在直线l上对应的参数分别为12,tt，则12122,80tttt+=−=−，MA与MB的夹角为π，12cosπ8MAMBtt==−.（选修4-5不等式选讲）

23.已知函数()fxx=（1）求不等式1212xf−的解集；（2）若函数()()()1gxfxfx=+−的最小值为m，且正数a，b，c满足abcm++=，求证：222abcmbca++．【答案】（1）12log30,（2）证明见解析

【解析】【分析】（1）去绝对值后，利用指数函数的单调性解不等式可得答案；（2）利用绝对值三角不等式求出1m=，再根据基本不等式可证不等式成立.【小问1详解】由题意得：1212x−，∴11212x−−，即1132x

，∴12log30x，∴不等式的解集为12log30,．【小问2详解】∵()()111gxxxxx=+−−−=，当且仅当(1)0xx−，即01x时，等号成立，∴函数()gx最小值为1，即1m=．∴1abc++=，因为0,0,0a

bc，所以2222221abcabcbcabcabca++=+++++−2222221abcbcabca++−()211abc=++−=（当且仅当13abc===时，等号

成立）.∴不等式得证．的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com