【文档说明】四川省泸县第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学（文）试题 含解析.docx，共(21)页，1.189 MB，由小赞的店铺上传

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泸县一中高2021级高三上学期开学考试数学（文史类）本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡交回第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i2iz=−，则zz=（）A.55B.15C.5i5D.1i5【答案

】B【解析】【分析】由复数的除法运算法则求出复数z的代数形式，从而得到z，再由复数的乘法运算法则即可求出．【详解】因为()()()i2ii12i12i2i2i2i555z+−+====−+−−+，所以222121||555zzz==

−+=，故选：B.2.设集合2|4Axxx=N，|2Bxyx==−，则RAB=ð（）A.1,2−B.0,2C.0,1D.0,1,2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的解法化简集合A，求解函数定义域求出

集合B，再利用集合的补集和交集运算即可得出结论．【详解】由24xx，即240xx−，解得04x，所以2|4{0,1,2,3,4}Axxx==N，又|2{|2}Bxyxxx==−=，{|2}

Bxx=Rð，{0,1}AB=Rð，故选：C．3.若x，y满足约束条件421xyxyy+−−，则2zxy=+的最小值为（）A.1B.7C.9D.10【答案】A【解析】分析】作出可行域，作直线:20lxy+=，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图，作直线:20lxy+

=，直线2zxy=+中z是直线的纵截距，1y=−代入2xy−=得1x=，即(1,1)A−．平移直线l，当直线l过点(1,1)A−时2zxy=+取得最小值1．故选：A．4.已知命题2:1|210px

xx−+，命题2:0,1,10qxx−，则下列命题是真命题的是（）A.pqB.()pqC.pqD.pq【答案】C【解析】【分析】分别判断命题p与命题q的真假，从而结合“且或非”的真假性即可得解

.【详解】对于命题p，将1代入221xx−+，得212110−+=，满足要求，故2:1|210pxxx−+为真命题，p为假命题；【对于命题q，取0x=，则2110x−=−，不满足要求，故2:0,1,10qxx−为假命题，q为真命题；所以pq为

假命题，()pq为假命题，pq为真命题，pq为假命题.故选：C.5.近期，我国多地纷纷进入“甲流”高发期，某地A、B两所医院因发热就诊的患者中分别有37.25%、18%被确诊为“甲流”感染，且到A医院就诊的发热

患者人数是到B医院的四倍.现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未感染“甲流”的概率是（）A.0.785B.0.666C.0.592D.0.235【答案】B【解析】【分析】设到A医院就诊的发热患者人数为4m()0m人，到B医院就

诊的发热患者人数为m人，利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】设到A医院就诊的发热患者人数为4m()0m人，到B医院就诊的发热患者人数为m人，因为A、B两所医院因发热就诊的患者中分别有37.25%、18%被确诊为“甲流”感染，所以从到这两所医院就诊的发热患者中

任选一人，则此人未感染“甲流”的概率()()137.25%4118%0.6664mmPmm−+−==+.故选：B6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若1nnaa+−是公差不为零的等差数列，

则称数列na为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，L，则第40层放小球的个数为（）A.1640B.1

560C.820D.780【答案】C【解析】【分析】首先由二阶等差数列的定义，得到()*12,Nnnaannn−−=，再求和得到数列na的通项公式，即可求40a.【详解】设第n层放小球的个数为na，由题意212aa−=，323aa−=，……，数列1nnaa+−是首项为2，公差为1的等

差数列，所以()*12(2)2,Nnnaannnn−−=+−=．故12111()()12(1)2nnnaaaaaannn−=+−++−=+++=+，故40140418202a==．故选：C．7.已知定义在R上的函数()fx在(,3−上单调

递增，且()3fx+为偶函数，则不等式()()12fxfx+的解集为（）．A.51,3B.()5,1,3−+C.()3,2−−D.()(),32,−−−+【答案】B【解析】【分析】根

据已知条件，可得()fx对称轴为3x=，且在)3,+上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需223xx−−即可，解出不等式即可.【详解】由题意可得，()fx对称轴为3x=，且在)3,+上单调递减.则由()

()12fxfx+，可得出1323xx+−−，即()()22223xx−−，即()()23853510xxxx−+=−−，解得1x或53x.所以，不等式()()12fxfx+的解集为()5,1,3

−+.故选：B.8.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00GGLLD=，其中L表示每一轮优

化时使用的学习率，0L表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，0G表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训

练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.3）（）A.75B.74C.73D.72【答案】C【解析】【分析】由已知可得45D=，再由1840.5()0.25G，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．【详解】由题设可得18180.50.4D=，则45D=，所以1840.50.25G

，即()()()45218lg18lg2lg5182lg211820.31518log72452lg2l2g53lg2130.31lg5G−−−====−−−，所以所需的训练迭代轮数至少为73次．故选

：C．9.已知是第二象限，且3sin()5+=−，则tan2的值为A.45B.237−C.83−D.247−【答案】D【解析】【详解】试题分析：3343sin()sin,costan5554+=−==−=−22tan

24tan21tan7==−−考点：1．诱导公式；2．同角间的三角函数关系式；3．二倍角公式10.若双曲线1C：()2230yx−=的右焦点与抛物线2C：28yx=的焦点重合，则实数=（）A.3B.3−

C.3D.-3【答案】D【解析】【分析】根据双曲线1C的右焦点与抛物线的焦点重合知()2230yx−=焦点在x轴上，对双曲线表达式进行变形，求出2c，再令2c=即可求解.【详解】双曲线1C的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C方程化为：()22103yx

−=，再转化：()22103xy−=−−，所以23a=−，2b=−，所以222433cab=+=−−=−，所以43c=−，所以423−=平方得3.=−故选：D.11.已知函数()3213fx

xaxx=++的两个极值点分别为12,xx，若过点()()11,xfx和()()22,xfx的直线l在x轴上的截距为13，则实数a的值为（）A.2B.2−C.12或2−D.12−或2【答案】B【解析】【分析】由题意()fx有两个

不同的零点，则0求参数a范围，再根据2112222121xaxxax=−−=−−代入1()fx、1()fx确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求参数值.【详解】由题意2()21=++fxxax有两个不同零点，则2440a=−，

所以21a，即1a或1a−，由211222210210xaxxax++=++=，即2112222121xaxxax=−−=−−，而322211111111112112()()33313fxxaxxxaxxxx

aax=++=+++=−−121122()(11)32333xaaaxax=−−−−+=，同理有()()2222133afxax=−−，为所以()()11,xfx、()()22,xfx均22(1)33yaax=−−上，令22(1)033yaax=−−

=，则212(1)3axa==−，得2232(21)(2)0aaaa+−=−+=，综上，12122aa=−=，（舍）故选：B12.定义在R上的奇函数()fx满足()()2fxfx+=−，当0,1x时，()21xfx=−，设1lnπa=，2

ln5be−=，0.113c−=，则（）A.()()()fafbfcB.()()()fbfcfaC.()()()fbfafcD.()()()fcfbfa【答案】A【解析】【分析】先利用奇函数的性质与()()2fxfx+=−得到()()2fxf

x=−+，进而化得()()2lnπfaf=−−，()12fbf=−，()()0.123fcf=−，再由当0,1x时，()21xfx=−得到()fx在0,1上单调递增且()01fx，故由102lnπ<12−可得()()0fafb

，再由0.11023−可得()0fc，从而得知()()()fafbfc.【详解】因为()fx是在R上的奇函数，所以()()()2fxfxfx+=−=−，故()()2fxfx=−+，所以()()()()1lnlnπlnπ2lnππfaffff==−=−=

−−，()2ln5511e2222fbffff−===+=−，()()()0.10.10.113233fcfff−===−，当0,1x时，()21xfx=−，则()fx在0,1

上单调递增，又因为01x，所以()()()01ffxf，即()01fx，在因为2eπ<e，所以2lnelnπ<lne，则1lnπ2，故02lnπ1−，又因为32eπ，所以32e1π，故32eln0π，所以()()33

2213111e2lnπlnπ=32lnπlnelnπln022222π−−=−−=−=，故12lnπ2−，综上：102lnπ<12−，所以()12lnπ02ff−，即()12lnπ02ff−−−，故()()0fafb，

因为10.050.123333==，则0.11023−，所以()0.1230f−，即()0fc，综上：()()()fafbfc.故选：A.【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数

或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．第II卷非选择题（90分）二、

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()2,am=−，()1,3b=，且满足()abb+⊥rrr，则m=_______.【答案】4【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】由已知(3,3)

abm+=−，又()abb+⊥rrr，所以()33(3)0abbm+=+−=rrr，4m=．故答案为：4.14.若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的侧面积是______.（结果用含π的式子表示）【答案】π2【解析】【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式π

Srl=求得结果．【详解】解：圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，圆锥的底面半径12r=，母线1l=，故圆锥的侧面积ππ2Srl==．故答案为：π2．15.过点()42P，且与曲线2xyx=−在点()11Q−，处的切线垂直的直线方程为__________．【答案】20xy−=【解析】【

详解】()()2222'22xxyxx−−−==−−，所以切线斜率2k=−，则直线斜率1'2k=，所以直线方程为()1242yx−=−，即20xy−=．16.在ABC中，2π3A=，D为BC边上一点，且2BDDC=，则ADAB最小

值为___________.【答案】33【解析】【分析】将AD用,ABAC表示，再平方可求得2AD，再由22ADAB结合二次函数得性质即可得解.【详解】由2BDDC=，得()11213333ADABBCABACABABAC=+=+−=+uuuruuuruuuruuuruuuruuur

uuuruuur，则22222141433999ADABACABACABAC=+=++，所以222412999ADcbbc=+−，则222222224124121119991999933cbbcADbbbABcccc+−==+−=−+，

当1bc=时，取等号，的所以ADAB的最小值为33.故答案为：33.【点睛】关键点点睛：将AD用,ABAC表示，再平方是解决本题的关键.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．

第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17如图，平面四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，ABDCBD=，ACAD⊥，3AEEB==，5DE=.（1）求ADB的面积；（2）求sinBAC的值及EC的

长度.【答案】（1）485（2）5sin5BAC=，1511=EC【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得4=AD，结合3sin5ADE=再根据面积公式求解即可；（2）根据等腰三角形性质可得2AEDBAC=，再用同角三角函数

的关系与二倍角公式可得5sin5BAC=，然后根据()sinsinBCECBEBEC=+，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解EC即可..【小问1详解】∵ACAD⊥，3AE=，=5DE22=4ADDEAE

−=，3sin5ADE=，11348=sin482255ABDSDADBADB==;【小问2详解】AEEB=，+AEDEABEBA=，4sin5AED=，则233cos155AED=−=.2AEDBAC

=，23cos12sin=5AEDBAC=−，π0,2BAC5sin5BAC=，225cos1-sin=5BACBAC=，又==CBDABDBAC，在BCE中，++πCBEBECBCE=()sinsinBCECBEBEC=+5325

4115sincoscossin555525CBEBECCBEBEC=+=+=，由正弦定理可知，sinsinECBECBEBCE=，53sin155sin1111525BECBEECBCE===.18.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识

竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间50,100，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100，制成如图所示的频率分布直方图.（1）试估计

这100人的竞赛成绩的平均数；（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在80,100内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率.【答案】（1）73.5（2）23【解析】【分析

】（1）根据频率的性质求a，再根据平均数运算求解；（2）先根据分层抽样求每组抽取的人数，再结合古典概型运算求解.【小问1详解】依题意可得：()0.0150.0250.0350.005101a++++=，解得：0.02a=，根据频率分布直方图知：每组的频率依次为0.

15,0.2,0.35,0.25,0.05，则平均数的估计值为550.15650.2750.35850.25950.0573.5++++=，所以这100人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.5.【小问2详解】由题

意可知：竞赛成绩在)80,90，90,100两个组的人数之比为5:1，若采用分层抽样从中抽取6人，所以每组各抽学生人数分别为5165,6166==，分别记)80,90中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5，90,100中所抽取的1人编号为A，所以从6人中

随机抽取2人的情况为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,A，()2,3，()2,4，()2,5，()2,A，()3,4，()3,5，()3,A，()4,5，()4,A，()5,A共15种结果，其中这2人来自同一组（记为事件M）的有

10种，则()102153PM==所以这2人来自不同组的概率为23.19.如图；在直三棱柱111ABCABC-中，3AC=，14BCAA==，5AB=，点D为AB的中点．（1）求证1ACBC⊥；（2）求三棱锥11ACDB−的体积．【答案】（1）证明见解析（2

）8【解析】【分析】（1）首先由勾股定理逆定理证得ACBC⊥，再由1CC⊥平面ABC证得1CCAC⊥，从而证得AC⊥平面1BCC，即可证明1ACBC⊥；（2）过C作CFAB⊥，F为垂足，首先证得CF⊥平面11ABBA，再由1111ABCDCADBVV−−=计算体积即可．【小问1详解】在ABC中，

因为3AC=，5AB=，4BC=，所以222ACBCAB+=，所以ABC为直角三角形，即ACBC⊥，又因为在直三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，且AC平面ABC，所以1CCAC⊥，又1CCBCC=，1,CCBC平

面1BCC，所以AC⊥平面1BCC，又因为1BC平面1BCC，所以1ACBC⊥．【小问2详解】在ABC中，过C作CFAB⊥，F为垂足，由直三棱柱111ABCABC-得平面11ABBA⊥平面ABC，且平面11ABBA平面ABCAB=，CF

AB⊥，CF平面ABC，所以CF⊥平面11ABBA，在RtABC△中，341255ACBCCFAB===，又因为1111111541022DABSABAA===，所以1111111121083513ABCDCADBDABVVSCF−−====．20.已知椭圆C：()22221

0xyabab+=的离心率为22，其中一个焦点在直线220xy−+=上.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求G的横坐标取值范围.【答案】（1）2212xy+=；（2）1,

02−.【解析】【分析】(1)根据椭圆方程确定出焦点位置，再根据焦点在直线上求出c的值，根据离心率即可求解出a的值，从而可求解出椭圆C的方程；(2)设出直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理求解出线段AB的垂直平分线方程，从

而求出G的坐标，即可确定出G的横坐标的取值范围.【详解】(1)∵F在220xy−+=上，∴当0y=时，=1x−，∴1c=，∵22ca=，∴2a=，∴2221bac=−=，∴椭圆C的方程为：2212xy+=.(2)设()1ykx=+，()22112ykxxy=++=，()222212xkx

++=，即()2222124220kxkxk+++−=，2122212204122212kxxkkxxk−+=+−=+，∴()()121211yykxkx+=+++()122kxxk=++224212kkkk−=++2212kk=+

.∴线段AB中点坐标为2222,1212kkkk−++，∴'l：222121212kkyxkkk−−=−−++，即22012kxkyk++=+.∴G的坐标为22,012kk−+.∴()2222211112201212242G

kkxkkkk+−=−=−=−++++.∴2111,02422Gxk=−+−+∴G的横坐标取值范围是1,02−.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，着重考查了垂直平分线的应用，难度一般.(1)椭圆的焦点与长轴的端点在同一坐标轴上；(2)线段垂直平分线方程可通过中

点坐标(由韦达定理得到)以及斜率(与已知直线斜率之积为1−)得到.21.已知函数()()()13ln0fxmxmxmx=−−−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函数()32xgxmex=−有两个零点1x，2x，其中12xx，记21xt

x=，证明：12xx+随t的增大而增大.【答案】（1）当m1时，函数()fx的增区间为()0,+，无减区间；当01m时，函数()fx的增区间为231090,2mmmm−−−+，23109,2mmmm−+−++，

函数()fx的减区间为2231093109,22mmmmmmmm−−−+−+−+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出()()2231mxmxfxx−−+=，记()()231hxmxmx=−−

+，讨论m的范围，判断()fx的符号，利用导数与函数单调性的关系即可求解.（2）依题意得，1321xmex=，2322xmex=，利用指数与对数的互化可得113lnln2xmx=+，223lnln2xxx=+，两式作差，由21xtx=，求出13ln21txt=−，23ln21ttxt=−，求出

()121ln321ttxxt++=−，令()()1ln1xxrxx+=−，求出()rx，利用导数与函数单调性的关系即可求证.【详解】（1）显然函数()fx的定义域为()0,+，且()()2231

mxmxfxx−−+=，记()()231hxmxmx=−−+，则()2234109mmmm=−−=−+，当19m时，0，()0fx，函数()fx单调递增，当01m时，0，()hx有两个大于零的根2131092mmmxm−−−+=，2231092mmmxn−+−+=.令()0

fx，得()()120,,+xxx，令()0fx，得()12,xxx，当9m时，0，()hx有两个小于零的根231092mmmm−−+.故()0fx，()fx单调递增.综上所述，当1m时，函数()fx的增区间为()0,+，

无减区间；当01m时，函数()fx的增区间为231090,2mmmm−−−+，23109,2mmmm−+−++，函数()fx的减区间为2231093109,22mmmmmmmm−−−+−+−+；（2）依题意得，1321xmex=，2322xm

ex=，所以113lnln2xmx=+，223lnln2xxx=+，故212133lnln22xxxx−=−，又21xtx=，12xx，则1t，且212132xtxxxlnt=−=，解得13ln21txt=−，23ln21ttxt=−，所以()121ln32

1ttxxt++=−，令()()1ln1xxrxx+=−，()1,x+，则()()212ln1xxxrxx−+−−=.令()12lnuxxxx=−+−，则()22211110uxxxx=−++=−，

则()ux单调递增，故对任意的()1,x+，()()10uxu=，由此可得()0rx，故()rx在()1,+单调递增.因此12xx+随着t的增大而增大.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，构

造函数判断函数的单调性，考查了分类讨论的思想，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.在极坐标系Ox中，曲线1C的极坐标方程为22πsin4=+，以极点O为原点，极轴Ox所在直

线为x轴，取同样的单位长度建立平面直角坐标系xoy，已知曲线2C的普通方程为22(2)(1)9xy−+−=.（1）写出曲线1C的直角坐标方程和曲线2C的极坐标方程；（2）设点()2,2M，且曲线1C与曲线2C交于点,AB两点，求MAMB的值.【答案

】（1）40xy+−=，24cos2sin40−−−=（2）8−【解析】【分析】（1）利用直角坐标与极坐标的互化即可求解；（2）设出曲线1C的参数方程，与曲线2C的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义即可求解.【小问1详解】因为曲线1C的极坐标方程为22πsin4=+

可化为πsin()224+=，即sincos20+−=，将cossinxy==代入可得，1C的直角坐标方程为40xy+−=.又因为曲线2C的普通方程为22(2)(1)9xy−+−=可化为224240xyxy+−

−−=，将cossinxy==代入可得，2C的极坐标方程24cos2sin40−−−=，所以曲线1C的直角坐标方程为40xy+−=，曲线2C的极坐标方程24cos2sin40−−−=.【

小问2详解】直线l的参数方程为222222xtyt=−=+（t为参数），将222222xtyt=−=+（t为参数）代入22(2)(1)9xy−+−=得：2280tt+−=.显然Δ0，设点,AB在直线l上对

应的参数分别为12,tt，则12122,80tttt+=−=−，MA与MB的夹角为π，12cosπ8MAMBtt==−.（选修4-5不等式选讲）23.已知函数()fxx=（1）求不等式1212xf−的解集；（2）若函数()()()1gx

fxfx=+−的最小值为m，且正数a，b，c满足abcm++=，求证：222abcmbca++．【答案】（1）12log30,（2）证明见解析【解析】【分析】（1）去绝对值后，利用指数函数的单调性解不等式可得答

案；（2）利用绝对值三角不等式求出1m=，再根据基本不等式可证不等式成立.【小问1详解】由题意得：1212x−，∴11212x−−，即1132x，∴12log30x，∴不等式的解

集为12log30,．【小问2详解】∵()()111gxxxxx=+−−−=，当且仅当(1)0xx−，即01x时，等号成立，∴函数()gx的最小值为1，即1m=．∴1abc++=，因为0,0,0abc，所以

2222221abcabcbcabcabca++=+++++−2222221abcbcabca++−()211abc=++−=（当且仅当13abc===时，等号成立）.∴不等式得证．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxu

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