【文档说明】安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题 含答案.docx，共(7)页，53.412 KB，由小赞的店铺上传

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屯溪一中2020—2021学年第二学期期中考试卷高二数学（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥，则𝑓′(𝜋)的值是A.−1B.0C.1D.𝜋2.若复数𝑧=1−𝑖(𝑖为虚数单位)是关于x的方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=

0(𝑝,q为实数)的一个根，则𝑝+𝑞的值为A.4B.2C.0D.−23.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是A.B.C.D.4.在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为8，离心率为54，

则它的渐近线的方程为A.𝑦=±43𝑥B.𝑦=±√32𝑥C.𝑦=±916𝑥D.𝑦=±34𝑥5.有一“三段论”推理是这样的：对于可导函数𝑓(𝑥)，如果𝑓′(𝑥0)=0，那么𝑥=𝑥0是函数𝑓(𝑥)的极值点，因为函数𝑓(𝑥)=𝑥3在�

�=0处的导数值𝑓′(0)=0，所以𝑥=0是函数𝑓(𝑥)=𝑥3的极值点．以上推理中A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确6.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，…，(𝑥𝑛,𝑦

𝑛)，则下列说法中不正确的是A.由样本数据得到的线性回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂必过样本点的中心(𝑥,𝑦)B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数𝑅2来刻画回归效果，𝑅2的值越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数𝑟=

−0.9362，则变量y与x之间具有线性相关关系7.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60

°D.假设三内角至多有两个小于60°8.抛物线𝑦2=2𝑝𝑥，过点𝐴(2,4)，F为焦点，定点B的坐标为(8,−8)，则|𝐴𝐹|：|𝐵𝐹|值为A.1：4B.1：2C.2：5D.3：89.为激发学生学习其趣，老师上课时在板上写出三个集合：𝐴={𝑥

|△𝑥−2𝑥<0}，𝐵={𝑥|𝑥2−4𝑥−5≤0}，𝐶={𝑥|log0.5𝑥>0}，然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“△”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于6的正整

数；乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：A是C成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对，则“△”中的数为()A.1B.2C.3D.410.观察下列各式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102…，则73+83+⋯…+153=()A.14400B.13959C.1

4175D.1361611.如图，已知𝐹1，𝐹2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，线段𝑃𝐹2与圆相切于点Q，且点Q为线段𝑃𝐹2的中点，则椭圆的离心率为()A.√53B.√35C.√54D.√2512.已知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，其导函数为𝑓′(𝑥)，若对任意的正实数x

，都有𝑥𝑓′(𝑥)+2𝑓(𝑥)>0恒成立，且𝑓(√2)=1，则使𝑥2𝑓(𝑥)<2成立的实数x的集合为()A.(−∞,−√2)∪(√2,+∞)B.(−√2,√2)C.(−∞,√2)D.(√2,+∞)二、单

空题（本大题共4小题，共20分）13.若𝑓′(2)=3，则lim𝛥𝑥→0𝑓(2+2𝛥𝑥)−𝑓(2)𝛥𝑥=________．14.已知复数𝑧0=3+2𝑖，复数z满足𝑧⋅𝑧0=3𝑧+𝑧0，则𝑧=______．15.下面几

种推理①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥，满足𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，𝑥∈𝑅，推出𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥是奇函数；

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(𝑛−2)⋅180°．是合情推理的是______．16.已知函数𝑦=𝑓(𝑥+1)−2为奇函数，𝑔(𝑥)=2𝑥−1𝑥−

1，且𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)图象的交点为(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，…，(𝑥8,𝑦8)，则(𝑦1+𝑦2+⋯𝑦8)−(𝑥1+𝑥2+⋯𝑥8)=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.(1)用综合法证明：𝑎2+𝑏2+𝑐2≥𝑎𝑏+𝑎𝑐+�

�𝑐；(2)若𝑎>3且𝑏>2，用分析法证明：√𝑎𝑏+6>√2𝑎+3𝑏．18.已知m，n，𝑎∈𝑅，函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2的单调递减区间𝐴=[𝑚,𝑛]，区间𝐵=[2𝑎−1,𝑎+3]．(1)求m和n的值；(2)“𝑥∈𝐴”是“𝑥∈𝐵”的充分条件，求

a的取值范围．19.观察下列各式：3×7+4=52……①5×9+4=72……②7×11+4=92……③…探索以上式子的规律．(1)第2021个式子是_______________________________

__．(2)试写出第n个等式，并证明第n个等式成立．20.已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左右焦点分别为𝐹1和𝐹2，由4个点𝑀(−𝑎,𝑏)、𝑁(𝑎,𝑏)、𝐹2和𝐹1组成了一个高为√3，面积为3√3的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点𝐹1

的直线和椭圆交于两点A、B，求△𝐹2𝐴𝐵面积的最大值．21.某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用𝑥(单位：千万元)对年销售量𝑦(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用𝑥𝑖与年销售量𝑦𝑖(𝑖=1,2，…，1

0)的数据，得到如图散点图．(1)利用散点图判断，𝑦=𝑎+𝑏𝑥和𝑦=𝑐⋅𝑥𝑑(其中c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)．(

2)对数据作出如下处理：令𝑢𝑖=𝑙𝑛𝑥𝑖，𝑣𝑖=𝑙𝑛𝑦𝑖，得到相关统计量的值如表：∑𝑢𝑖10𝑖=1𝑣𝑖∑𝑢𝑖10𝑖=1∑𝑣𝑖10𝑖=1∑𝑢𝑖210𝑖=130.5151546.5根据(1)的判断结果及表中

数据，求y关于x的回归方程；(3)已知企业年利润𝑧(单位：千万元)与x，y的关系为𝑧=27𝑒𝑦−𝑥(其中𝑒=2.71828…)，根据(2)的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据(𝑢1,𝑣1)，(𝑢2,𝑣2)，…，

(𝑢𝑛,𝑣𝑛)，其回归直线𝑣̂=𝛼̂+𝛽̂𝑢的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽̂=∑𝑢𝑖𝑛𝑖=1𝑣𝑖−𝑛𝑢−⋅𝑣−∑𝑢𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑢−2，𝛼̂=𝑣−−𝛽̂𝑢−．22.已知函数�

�(𝑥)=𝑎𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥−3(𝑎∈𝑅)．(1)求函数𝑓(𝑥)的单调区间；(2)若函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象在点(2,𝑓(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的𝑡∈[1,2]

，函数𝑔(𝑥)=𝑥3+𝑥2·[𝑓′(𝑥)+𝑚2]在区间(𝑡,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．屯溪一中2020—2021学年第二学期期中考试卷高二数学（文科）答案1.A2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.C9.A10.B11.A12.C13.6

14.1−32𝑖15.(4)16.817.证明：(1)∵𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏，𝑏2+𝑐2≥2𝑏𝑐，𝑐2+𝑎2≥2𝑎𝑐，∴2𝑎2+2𝑏2+2𝑐2≥2(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)，

∴𝑎2+𝑏2+𝑐2≥𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐；5分(2)要证：√𝑎𝑏+6>√2𝑎+3𝑏，只需证𝑎𝑏+6>2𝑎+3𝑏，只需证𝑎𝑏+6−2𝑎−3𝑏>0，只需证𝑎(𝑏−2)−3(𝑏−2)>0，即证(𝑎−3)(𝑏−2

)>0，因为𝑎>3且𝑏>2，所以(𝑎−3)(𝑏−2)>0显然成立．所以原不等式得证．10分18.解：(1)𝑓’(𝑥)=3𝑥2−6𝑥由𝑓’(𝑥)≤0，有3𝑥2−6𝑥≤0，得0≤𝑥≤2又𝑓(𝑥)=𝑥3−3�

�2的单调递减区间为𝐴=[𝑚,𝑛]，所以𝑚=0，𝑛=2．6分(2)𝐵=[2𝑎−1,𝑎+3]，有2𝑎−1<𝑎+3得𝑎<4．又𝑥∈𝐴是𝑥∈𝐵的充分条件，可知𝐴⊆𝐵，有，得−1≤𝑎≤12，故实数a的取值范围为[−1,12]12分19.解：(1

)4043×4047+4=40432；4分(2)由题意可知：(2𝑛+1)(2𝑛+5)+4=(2𝑛+3)2，左边=4𝑛2+10𝑛+2𝑛+5+4=4𝑛2+12𝑛+9，右边=4𝑛2+12𝑛+9，∴左边=右边，∴(2𝑛+1)(2𝑛+5)+4=(2�

�+3)2．12分20.解：(1)由题意知𝑏=√3，12(2𝑎+2𝑐)𝑏=3√3，所以𝑎+𝑐=3①，又𝑎2=𝑏2+𝑐2，即𝑎2=3+𝑐2②，联立①②解得𝑎=2，𝑐=1，所以椭圆方程为：𝑥24+𝑦23=1；4分(2)由(1)知𝐹1(−1,0)，设�

�(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，过点𝐹1的直线方程为𝑥=𝑘𝑦−1，由{𝑥=𝑘𝑦−1𝑥24+𝑦23=1得(3𝑘2+4)𝑦2−6𝑘𝑦−9=0，△>0成立，且𝑦1+𝑦2=6𝑘3𝑘2+4，𝑦1𝑦2=−93𝑘2+4，△�

�2𝐴𝐵的面积𝑆=12×|𝐹1𝐹2|(|𝑦1|+|𝑦2|)=|𝑦1−𝑦2|=√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2=√36𝑘2(3𝑘2+4)2+363𝑘2+4=12√𝑘2+1(3𝑘2+4)2=12√9(𝑘2+1)+1𝑘2+1+6，8分又𝑘2

≥0，所以9(𝑘2+1)+1𝑘2+1+6递增，所以9(𝑘2+1)+1𝑘2+1+6≥9+1+6=16，所以12√9(𝑘2+1)+1𝑘2+1+6≤12√16=3，当且仅当𝑘=0时取得等号，所以△𝐹2𝐴𝐵面积的最大值为3．12分21.解：

(1)由散点图知，选择回归类型，𝑦=𝑐⋅𝑥𝑑更适合．2分(2)对𝑦=𝑐⋅𝑥𝑑两边取对数，得𝐼𝑛𝑦=𝑙𝑛𝑐+𝑑𝑙𝑛𝑥，即𝑣=𝑙𝑛𝑐+𝑑𝑢．由表中数据得𝑑̂=∑𝑢𝑖10𝑖=1𝑣𝑖−10𝑢−⋅𝑣−∑𝑢𝑖210𝑖=1−10𝑢−2

=30.5−10×1.5×1.546.5−10×1.52=13，所以ln𝑐̂=𝑣−−𝑑̂𝑢−=1.5−13×1.5=1，所以𝑐̂=𝑒．所以y关于x的回归方程为𝑦̂=𝑒⋅𝑥13．7分(3)由(2)知，𝑧̂=27𝑥13−𝑥，求导得𝑧̂

′=9𝑥−23−1，令𝑧̂′=9𝑥−23−1=0，得𝑥=27，函数𝑧̂=27𝑥13−𝑥在(0,27)上单调递增，在(27,+∞)上单调递减，所以当𝑥=27时，预计年利润取最大值5.4亿元．答：要使得年利

润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．12分22.解：(1)函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)，且𝑓′(𝑥)=𝑎(1−𝑥)𝑥，当𝑎>0时，𝑓(𝑥)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+∞)；当𝑎<0时，𝑓(𝑥)的单调增区间为(1,

+∞)，单调减区间为(0,1)；当𝑎=0时，𝑓(𝑥)为常函数．5分(2)由(1)及题意得𝑓′(2)=−𝑎2=1，即𝑎=−2，∴𝑓(𝑥)=−2𝑙𝑛𝑥+2𝑥−3，𝑓′(𝑥)=2𝑥−2𝑥．∴𝑔(𝑥)=𝑥3+(𝑚2+2)𝑥2−2�

�，∴𝑔′(𝑥)=3𝑥2+(𝑚+4)𝑥−2．∵𝑔(𝑥)在区间(𝑡,3)上总不是单调函数，即𝑔′(𝑥)在区间(𝑡,3)上有变号零点．由于𝑔′(0)=−2，∴{𝑔′(𝑡)<0,𝑔′(3)>0.当𝑔′(𝑡)<0时，

即3𝑡2+(𝑚+4)𝑡−2<0对任意𝑡∈[1,2]恒成立，由于𝑔′(0)<0，故只要𝑔′(1)<0且𝑔′(2)<0，即𝑚<−5且𝑚<−9，即𝑚<−9；由𝑔′(3)>0，即𝑚>−373．∴−373<𝑚<−9．12分