【文档说明】安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(18)页，995.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年安徽省黄山市屯溪一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）2．下列说

法正确的是（）A．命题“∃x0∈[0，1]，使”的否定为“∀x∈[0，1]，都有x2﹣1＞0”B．命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题C．命题“在锐角△ABC中，sinA＜cosB”为真命题D．命题“若x＝

y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题3．在函数y＝x2图象上取一点（1，1）及附近一点（1+△x，1+△y），则为（）A．4△x+2△x2B．4+2△xC．△x+2D．4+△x4．已知x，y，z∈R+且x+

y+z＝1则x2+y2+z2的最小值是（）A．1B．C．D．25．学校艺术节对同一类的甲、乙、丙、丁四件参赛作品，只评一个一等奖，在评奖揭晓前，A、B、C、D四位同学对这四件参赛作品预测如下：A说：“乙或丁作品获得一等奖”；B说：“丙作品获得一等奖”；C说：“甲、丁两件作品未获得一等奖

”；D说：“乙作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．甲作品B．乙作品C．丙作品D．丁作品6．已知tanθ＝2，则的值为（）A．B．C．D．7．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参

数），若直线l与曲线C相切，则a＝（）A．B．2C．D．±28．曲线y＝（2x+1）2+lnx在点（1，m）处的切线方程为（）A．y＝13x﹣4B．y＝7x+2C．y＝11x﹣4D．y＝5x+49．公元263年左右，我国

数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°＝0.2

588，sin7.5°＝0.1305）A．12B．24C．48D．9610．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A．B．C．D．a11．已知椭圆E：

（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0）．圆C：（x﹣c）2+y2＝1上所有点都在椭圆E的内部，过椭圆上任一点M作圆C的两条切线，A，B为切点，若∠AMB＝θ，θ∈[]，则椭圆C的离心率为（）A．2﹣B．3﹣2C．D．12．已知函数，且f（x）有两个极值点x1，x2，

其中x1∈（1，2]，则f（x1）﹣f（x2）的最小值为（）A．3﹣5ln2B．3﹣4ln2C．5﹣3ln2D．5﹣5ln2二、单空题（本大题共4小题，共20分）13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若3S3＝2S2+S4，且a5＝32，则数列{an}的通项公式an＝．14．若Z∈C，且

|Z+2﹣2i|＝1，则|Z﹣2﹣2i|的最小值是．15．将正整数排列如下：12345678910111213141516则第11行第3列的数是．16．已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过

F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若∠AF2B＝60°，则△AF2B的内切圆半径为．三、解答题（第17-21题为必答题，每题12分，共60分；第22、23题为选答题10分。）（一）必答题（每题12分，共60分。）17．（1）证明：；（2）已知a，b∈R，用反证法证明：a2+ab和b2+a

b中至少有一个是非负数．18．已知命题p：∀x∈R，mx2+4x+m≤0，命题q：∃x∈[2，8]，mlog2x+1≥0（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围：（2）若命题“p或q“为假命题，求实数m的取

值范围：19．黄山市一直践行“节能环保、绿色出行”的基本理念，现越来越多的市民购置新能源电动车替代传统的燃油汽车．如表是近五年我市新能源电动车的年销量与年份的统计表（其中第1年表示2016年，第2年表示2017年，依此类推）．第x年12

345年销售量y（万台）58142231高二（1）班家委会组织了一次本班家庭购车调查，调查对象与内容近五年购车的20个家庭及购车的类型，得到的部分数据如表2×2列联表．购置传统燃油汽车购置新能源电动车总计车主为父亲3车主为母亲26总计20（Ⅰ）

求新能源电动车的年销售量y关于x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关？若是，预测2021年新能源电动车的年销售量；若不是，请说明理由；（Ⅱ）完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为购车车主是

否购置新能源电动车与性别有关？参考公式：，若r＞0.9，可判断y与x线性相关．，．，其中n＝a+b+c+d．临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0100.001k2.0722.7063.8416.63510.828

参考数据：664502.2362.44920．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点．（Ⅰ）若F（2，0），直线l的斜率为2，求△OMN的面积；（Ⅱ）设点P是线段MN的中点（点P与点F不重合，点Q（x0，0）是线段MN的垂直平分

线与x轴的交点，若给定p值，请探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝x﹣axlnx，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∃x0∈[e，e2]，使得f（x0）成立，求实数a的取值范

围．选答题（以下二选一，共10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（a∈R，t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．直线l与曲线C有两个不

同的交点A，B．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若a＝1，P（0，1），求|PA|2+|PB|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）的最小值为1．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若x，

y＞0，且x+y＝a，求的最小值及此时x，y的值．参考答案一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）解：由题意，得，故其在复平面内

对应的点为（0，1），故选：D．2．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0∈[0，1]，使”的否定为“∀x∈[0，1]，都有x2﹣1＞0”B．命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题C．命题“在锐角△ABC中，sinA＜cosB”为真命题D．命题

“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题解：①命题“∃x0∈[0，1]，使”的否定为“∀x∈[0，1]，都有x2﹣1≤0”，则A项错误；②命题“若向量与的夹角为锐角，则”的逆命题为“若，则向量与的夹角为锐角”，当时，向量与的夹角为锐

角或0，假命题，则B项错误；③在锐角△ABC中，，∴，∴，则C项情误；④命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，则其逆否命题为真命题，则D项正确．故选：D．3．在函数y＝x2图象上取一点（1，1）及附近一点（1+△x，1+△y），则为（）A．4△x+2△x2B．4+2△

xC．△x+2D．4+△x解：△y＝（1+△x）2﹣1＝（△x）2+2△x，∴＝△x+2，故选：C．4．已知x，y，z∈R+且x+y+z＝1则x2+y2+z2的最小值是（）A．1B．C．D．2解：∵（x2+y2+z2）

×（1+1+1）≥（x+y+z）2＝1，∴x2+y2+z2≥1×＝，当且仅当x＝y＝z时取等号，故x2+y2+z2的最小值为，故选：B．5．学校艺术节对同一类的甲、乙、丙、丁四件参赛作品，只评一个一等奖，在评奖揭晓前，A、B、C、D四位同学对这四件参赛作品预测

如下：A说：“乙或丁作品获得一等奖”；B说：“丙作品获得一等奖”；C说：“甲、丁两件作品未获得一等奖”；D说：“乙作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．甲作品B．乙作品C．丙作品D．丁作品解：若

甲作品为一等奖，则A、B、C、D的说法均错误，故不满足题意；若乙作品为一等奖，则A、C、D的说法正确，B的说法错误，故不满足题意；若丙作品为一等奖，则B、C的说法均正确，A、D的说法均错误，故满足题意；若丁作品为一等奖，则A的说法正确，B、C、D的说法均错误，故不满足

题意；若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得等奖的作品是丙作品，故选：C．6．已知tanθ＝2，则的值为（）A．B．C．D．解：∵tanθ＝2，则＝1++＝1++＝+＝，故选：C．7．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l

的参数方程为（t为参数），若直线l与曲线C相切，则a＝（）A．B．2C．D．±2解：曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得：x﹣y+a＝0，由于直线与曲线相切，则整理得2x2+（x+a）2﹣2＝0，即3x2+2ax+a

2﹣2＝0，利用△＝4a2﹣12（a2﹣2）＝0，解得a＝．故选：C．8．曲线y＝（2x+1）2+lnx在点（1，m）处的切线方程为（）A．y＝13x﹣4B．y＝7x+2C．y＝11x﹣4D．y＝5x+4解：y＝（2x+1）2+l

nx的导数为y′＝4（2x+1）+，可得x＝1处的切线斜率为13，切点为（1，9），可得切线方程为y﹣9＝13（x﹣1），即为y＝13x﹣4．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“

割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）A．12B．24C．4

8D．96解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件

S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A．B．C

．D．a解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝

BE2+OE2，把数据代入得到OE＝a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a＝a，故选：A．11．已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0）．圆C：（x﹣c）2+y2＝1上所有点都在椭圆E的内

部，过椭圆上任一点M作圆C的两条切线，A，B为切点，若∠AMB＝θ，θ∈[]，则椭圆C的离心率为（）A．2﹣B．3﹣2C．D．解：圆C：（x﹣c）2+y2＝1的圆心为右焦点F（c，0），半径为1，当M位

于椭圆的右顶点（a，0）时，MF取得最小值a﹣c，此时切线MA取得最小值，即有∠AMB＝，sin＝，可得a﹣c＝，①当M位于椭圆的左顶点（﹣a，0）时，MF取得最大值a+c，此时切线MA取得最大值，即有∠AMB＝，sin＝，可得a+c＝2，②由①②解得a＝1+，c＝1﹣

，则e＝＝＝3﹣2，故选：B．12．已知函数，且f（x）有两个极值点x1，x2，其中x1∈（1，2]，则f（x1）﹣f（x2）的最小值为（）A．3﹣5ln2B．3﹣4ln2C．5﹣3ln2D．5﹣5ln2解：由题意知，，令f

'（x）＝0得x2+ax+1＝0，其两根为x1，x2，且，∴a＜﹣2，且，∴＝．设，∴，∴当x∈（1，2]时，h'（x）＜0恒成立，则函数h（x）在（1，2]上单调递减，∴h（x）min＝h（2）＝3﹣5ln2，∴f（x1）﹣

f（x2）的最小值为3﹣5ln2．故选：A．二、单空题（本大题共4小题，共20分）13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若3S3＝2S2+S4，且a5＝32，则数列{an}的通项公式an＝2n．解：设等比数列{an}的公比为q，由3S3＝2S2+S

4，可得2S3﹣2S2＝S4﹣S3，即2a3＝a4，所以q＝2，又a5＝32，得：a1q2＝32，解得q＝2，故：．故答案为：2n．14．若Z∈C，且|Z+2﹣2i|＝1，则|Z﹣2﹣2i|的最小值是3．解：|Z+2﹣2i|＝1表示复平面上的点到（﹣2

，2）的距离为1的圆，|Z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1＝3故答案为：315．将正整数排列如下：12345678910111213141516则第11行第3列的数是103．解：依题意可知第

n行有2n﹣1个数字，前n行的数字个数为1+3+5+……+（2n﹣1）＝n2个，又由102＝100，则前10行共有100个数字，故第11行第一个数字是101，第三列是103．故答案为：103．16．已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若

∠AF2B＝60°，则△AF2B的内切圆半径为．解：设内切圆的圆心为M（x，y），设圆M与三角形的边分别切于T，Q，S，如图所示连接MS，MT，MQ，由内切圆的性质可得：|F2T|＝|F2S|，|AT|＝|AQ|，|BS|＝|BQ|，所以|AF2|﹣|AQ|＝|AF2|﹣|AT|＝|

F2T|，|BF2|﹣|BQ|＝|BF2|﹣|BS|＝|F2S|，所以|AF2|﹣|AQ|＝|BF2|﹣|BQ|，由双曲线的定义可知：|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，所以可得Q，F1重合，所以|TF2|＝2a＝4

，所以r＝|MT|＝|TF2|tan＝．故答案为：．三、解答题（第17-21题为必答题，每题12分，共60分；第22、23题为选答题10分。）（一）必答题（每题12分，共60分。）17．（1）证明：；（2）已知a，b∈R，用反证法证明：a2+ab

和b2+ab中至少有一个是非负数．解：（1）证明：要证，只需证，即证，即证，即证，即证，而此式成立，故原不等式得证．（2）证明：假设a2+ab与b2+ab（其中a，b∈R）都是负数，即a2+ab＜0，b2+ab＜0，上述两式左右分别相加有a2+

2ab+b2＜0，即（a+b）2＜0，这与（a+b）2≥0恒成立矛盾，所以假设不成立，故a2+ab与b2+ab（其中a，b∈R）中至少有一个是非负数，即得证．18．已知命题p：∀x∈R，mx2+4x+m≤0，命

题q：∃x∈[2，8]，mlog2x+1≥0（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围：（2）若命题“p或q“为假命题，求实数m的取值范围：解：命题p：∀x∈R，mx2+4x+m≤0，m＝0时，化为4x≤0，不成

立舍去．m≠0时，可得：，解得：m≤﹣2．命题q：∃x∈[2，8]，mlog2x+1≥0，则m≥﹣，∵x∈[2，8]，可得：﹣的最小值为：﹣1．∴m≥﹣1．（1）命题p为真命题，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．（2）命题“p或q“为假命题，则命题p与q都为假命题，∴．解得：﹣2＜m

＜﹣1．可得实数m的取值范围为（﹣2，﹣1）．19．黄山市一直践行“节能环保、绿色出行”的基本理念，现越来越多的市民购置新能源电动车替代传统的燃油汽车．如表是近五年我市新能源电动车的年销量与年份的统计表（其中第1年表示2016年，第2年表示20

17年，依此类推）．第x年12345年销售量y（万台）58142231高二（1）班家委会组织了一次本班家庭购车调查，调查对象与内容近五年购车的20个家庭及购车的类型，得到的部分数据如表2×2列联表．购置传统燃油汽车购置新能源电动车总计车主为父亲3车主为母亲26总计20（

Ⅰ）求新能源电动车的年销售量y关于x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关？若是，预测2021年新能源电动车的年销售量；若不是，请说明理由；（Ⅱ）完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源电动车与性别有关？参考公式：，若r

＞0.9，可判断y与x线性相关．，．，其中n＝a+b+c+d．临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0100.001k2.0722.7063.8416.63510.828参考数据：664502.2362.449解：（Ⅰ

，∵，∴y与x线性相关，，．∴．∴y关于x的线性回归方程为，取x＝6，可得．即预测2020年新能源电动车的年销售量是35.8万台；（Ⅱ）2×2列联表如图：购置传统燃油汽车购置新能源电动车总计车主为父亲11314车主为母亲246总计13720∵＞2.706，∴有90%的把握认为购车

车主是否购置新能源电动车与性别有关．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点．（Ⅰ）若F（2，0），直线l的斜率为2，求△OMN的面积；（Ⅱ）设点P是线段MN的中点

（点P与点F不重合，点Q（x0，0）是线段MN的垂直平分线与x轴的交点，若给定p值，请探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意得，直线l：y＝2x﹣4，抛物线C：y2＝8x．联立，整

理得y2﹣4y﹣16＝0，△＝80＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣16，∴．（Ⅱ）由题意得，，易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，联立，整理得y2﹣2pty﹣p

2＝0，△＝4p2t2+4p2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝2pt，∴，∴，∴直线PQ的方程为．令y＝0，得，∴，∴|PQ|2＝p2+p2t2，，∴，即为定值，定值为p．21．已知函数f（x）＝x﹣axlnx，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，讨论函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若∃x0∈[e，e2]，使得f（x0）成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝x﹣xlnx，f′（x）＝﹣lnx，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（

1，+∞）递减；（Ⅱ）：若存在x0∈[e，e2]，使得f（x0）≤lnx0成立，即存在x0∈[e，e2]，使得x0﹣ax0lnx0≤lnx0成立，即a≥﹣成立，所以只需要x0∈[e，e2]，a≥[﹣]min，即h（x）＝﹣，x∈

[e，e2]，∴h′（x）＝﹣+＝，∵x∈[e，e2]，∴ln2x∈[1，4]，∴h′（x）＜0，∴h（x）在∈[e，e2]上为减函数，∴h（x）min＝h（e2）＝﹣∴a≥﹣选答题（以下二选一，共10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数

方程为（a∈R，t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．直线l与曲线C有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若a＝1，P（0，1），求|PA|2+|PB|2的值

．解：（Ⅰ）∵ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，又ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，∴x2+y2＝4y，即x2+（y﹣2）2＝4，则曲线C表示圆心为C（0，2），半径为2的圆，由直线l的参数方程（a∈R，t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为2x﹣y+a＝0，若直线l与曲线C

有两个不同的交点，则，解得，即a的取值范围为；（Ⅱ）将（t为参数）代入x2+（y﹣2）2＝4得，．设|PA|，|PB|对应的参数分别是t1，t2，则．∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）的最小值为1．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若x

，y＞0，且x+y＝a，求的最小值及此时x，y的值．解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣a|+|x|≥|（x﹣a）﹣x|＝|a|＝a（a＞0），∴f（x）min＝a，依题意，a＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，x+y＝1，∴（x+1）+（y+1）＝3．∴＝[（x+1）+（y+1）]（），＝，即的最小

值为．当且仅当，即时取等号．