【文档说明】人教A版选择性必修 高二年级数学下学期期末考试分类汇编 ——离散型分布及其分布列（教师版）【高考】.docx，共(25)页，1022.982 KB，由小赞的店铺上传

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专题11离散型分布及其分布列1．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则()PBA为（）A．12B．16C．115D．13【答案】D【解析】根据题意，记小骰子的点数为x

，大骰子的点数为y，事件A包含的基本事件有“4,6xy==”，“5xy==”，“6,4xy==”共3个,事件A发生的概率31()6612PA==，而事件AB包含的基本事件有“6,4xy==”一个，可得事件AB发生的概率1()36PAB=，()1(|)(

)3PABPBAPA==.故选：D2．（2022·山西·高二阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最

多有1次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，有以下说法；①事件B与事件C互斥；②()34PA=；③事件A与事件B独立；④记C的对立事件为C，则()37PBC=.其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④【答案】D【解析】事件B，C可能同时发生，①

错误；()3131224PA=−=，②正确；()3133111C222PB=+=，()()()13313C28PABPAPB===，故A与B独立③正确；()31128PC

==,()()()1331C321718PBCPBCPC===−，故④正确，因此②③④正确.故选：D.3．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）设随机变量X的概率分布列为：X1234P13m1416则()21PX−=（）A．14B．16C．56D．512【答案】

C【解析】依题意，2113XX−，即事件21X−的对立事件是4X=的事件，所以()15211(4)166PXPX−=−==−=.故选：C4．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）已知离

散型随机变量X的分布列(1,2,3,4,5)5kPXakk===，则13105PX=（）A．1B．23C．15D．13【答案】C【解析】由题意得随机变量X的分布列如表所示.X152535

451Pa2a3a4a5a由分布列的性质得，23451aaaaa++++=，解得115a=.∵13105X，∴15X=或25X=，∴131210555PXPXPX==+=12115155=+=.故选C.5．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））设

X只取两个值0，1，并且()01PXp==−，()1PXp==，()0,1p，则()DX的最大值为（）A．19B．14C．13D．49【答案】B【解析】由题意得()()()211144ppDXpp+−=−=，当且仅当12p=

时，等号成立，故可知()DX的最大值为14．故选：B6．（2022·吉林一中高二期中）若随机变量X服从两点分布，其中()103PX==，()(),EXDX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（）A．()()1PXEX==B．()324EX+=C．()322DX+

=D．()49DX=【答案】D【解析】：因为随机变量X服从两点分布，其中()103PX==，所以()213PX==，所以()()122011333EXPX=+===，()2221220133339DX=−+−

=，()()32324EXEX+=+=，()()3292DXDX+==.故D错误，ABC正确.故选：D7．（2022·广东·深圳市光明区高级中学高二期中）已知随机变量(4,)XBP，若65(1)81=PX，则()()

+=EXDX（）A．43B．89C．209D．49【答案】C【解析】解：因为65(4,),(1)81XBPPX=，所以6516(0)18181==−=PX，所以004416C(1)81PP−=，所以213

P−=，所以13P=，所以4418(),()13339==−=EXDX，所以4820()()399+=+=EXDX.故选：C.8．（2022·全国·高二课时练习）若离散型随机变量2~4,3XB

，则()EX和()DX分别为（）A．83，169B．83，89C．89，83D．169，83【答案】B【解析】因为离散型随机变量2~4,3XB，所以()28433EX==，()22841

339DX=−=．故选：B．9．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））某运动项目组织计划招收一批914岁的青少年参加集训，以从中选拔运动员．共有20000名运动员报名参加测试，其测试成绩X（满分100分）服从正态分布()260,N，成绩90分及以

上者可以进入集训队．现已知进入集训队的有26人．请你通过以上信息，推断本次测试中80分及以上的人数为（）附：()0.6826PX−+=，()220.9544PX−+=，()330.9974PX−+=．A．228B．4

56C．1587D．3174【答案】B【解析】()260,XN，90分及以上的人数为26人，则()26900.001320000PX==；由正态分布曲线的对称性可得：()()()309012900.997433PXPXPX=−==−+，10=，()4080

0.9544PX=，则80分及以上的人数为()2000010.95444562−=．故选：B．10．（2022·安徽·六安一中高二期中）已知随机变量服从正态分布()1,4N，若()()232PaPa−=+﹐则实数a的值等于（）A．1B．53C．3D．4

【答案】A【解析】根据正态分布的对称性可得23xa=−与2xa=+关于1x=对称，故23221aa−++=，解得1a=故选：A二、解答题11．（2022·河北保定·高二期中）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取1

00件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示．(1)根据样本估计总体的思

想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；(2)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万

件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2，根据样本估计总体的思想，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．【答案】(1)91100(2)该次升级方案合理【解析】

(1)抽取的100件产品是一级品的频率是70710010=，则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是710，设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为A，则()27911(1)10100PA=−−=，所以至少有一件产品是一级品的概率是91100．(2)依

题意，设今年每件产品的利润为X，所以X的分布列为：X500－200－1200P0.70.20.1所以每件产品的期望为EX5000.72000.212000.1190=+−+−=（）（）（）所以今年的利润为：8019015200=（万元）设明年每件产品的利润为Y，所以Y的分布列为：Y500

－200P0.80.2所以每件产品的期望为EY5000.82000.2360=+−=（）（）所以明年预计的利润为：70360200023200−=（万元）显然有2320015200，所以该次升级方案合理12．（2022·安徽·六安一中高二期中）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的

冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军，根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为21,33，且每局比赛的结果相互独立(1)求甲夺得冠军的概率；(2)比赛开

始前，工作人处买来一盒新球，共有6个，新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”，每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中，记甲、乙决出冠军后，盒内新

球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【答案】(1)2027(2)分布列见解析；期望为623162【解析】(1)解：记事件:iA“甲在第i局比赛中获胜”，()1,2,3i=，事件:iA“甲在第i局比赛中未胜”，()1,2,3i=显然()()()()21,1,1,2,333i

iiPAPAPAi==−==记事件A：“甲夺得冠军”，则()()()()221212312312202332723PAPAAPAAAPAAA=++=+=．(2)解：设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知2Y=或3Y=则()

()()2212121592233PAAYPAAP=+=+==，故()()43129PYPY==−==记:iN“第i局比赛后抽到新球”，:iN“第i局比赛后抽到旧球”因为每个球最多使用两次，故X的取值为：3，4，5．由题意知比赛前盒内有6颗新球

，比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时()()1151,66PNPN==若1N发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，此时()()1212545525,6696618PNNPNN====若1N发生，则比赛2局后，盒内有5颗

新球，故下次必取得新球即()1211166PNN==于是()()()124520339981PXPYPNN=====，()()()()()()()112124233PXPYPNPYPNNPYPNN===+=+=5545411079691896162=+

+=()()()1515556429PXPYPN=====故X的分布列为X345P4016210716215162故X的数学期望()4010715623345162162162162EX=++=13．（2022·浙江·高二阶段练习）学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名

左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人．现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法

从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者．(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件A和事件B，求事件A和事件B发生的概率；(2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为X，求X的数学期望；(3)

不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人．若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为Y，则Y的可取值是哪些？其中Y取到哪一个值的可能性最大？【答案】(1)()12PA=，()916PB=；(2)32；(3)()*3045YYN，Y取到34的可能性最大.【解

析】【分析】(1)抽签法随机抽取30名志愿者含甲的概率为()29593060C1C2PA==，随机数法抽取45名志愿者含甲的概率为()244594560C9.C16PB==(2)由（1）知：甲每次被抽到的概率均为44594560C3C

4=，则32,4XB．所以()33242EX==.(3)设两次都被抽到的人数为随机变量Y，则()*3045YYN，故()4545*60601545456060CCC,3045,CCnnnnPYnnn−−−==N．令()()()()()()()()4545606015

260!60!15!60!CCC60!!45!15!45!30![45!]!30!nnnnnfnnnnnnnnn−−−−===−−−−−−，故()()()()()()()()()2221[45!]!30!60!(45)[44!]1!29!60!129fnnnnnfnnnnnn+−−−=

=−+−+−，令()()11fnfn+则()()2(45)1292054620nnnn−−+−=−，即33n，当33n时，()()1fnfn+；当34n时，()()1fnfn+．因此，34n=时()fn最大，即()34PY=最大，所以Y取

到34的可能性最大．14．（2022·全国·高二课时练习）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种

心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗

示的志愿者中包含A1但不包含1B的频率．(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【答案】(1)518；(2)答案见解析﹒【解析】(1)现有6名男志愿者1A，2A，3A，4A，5A，6A和4名女志愿者1B，2B，3B，4B，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接

受乙种心理暗示．基本事件总数510252nC==，其中接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A但不包含1B的基本事件有：141870mCC==．接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A但不包含1B的概率70525218mPn===．(2)设X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，则X的可

能取值为0，1，2，3，4，5651061(0)25242CPXC====，4164510605(1)25221CCPXC====，326451012010(2)25221CCPXC====，2364510605(3)25221

CCPXC====，146451061(4)25242CCPXC====X的分布列为：X01234P142521102152114215．（2022·山西·高二阶段练习）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机

抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品.(1)从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件

数为Y，求Y的分布列和数学期望(2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布()2,N，其中近似为样本质量指标平均数，2近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由.附：若()2~,XN，则()2

20.9545PX−+=，()0,6827PX−+=，949.7.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：35(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由见解析【解析】(1)因为质量指标分值不低于

60分的产品为优质品，所以优质品有3件，则()272107015CPYC===，()11732107115CCPYC===，()232101215CPYC===，所以Y的分布列如下：Y012P715715115故()77130121515155EY=++=.(2)这批产品中

优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：这10件农产品的平均数为()1387050454854495760695410+++++++++=，这10件农产品的方差为()()()()()()()()22222222138547054505445544854545449

54575410−+−+−+−+−+−+−+−+()()226054695494−+−=，由949.7，可令54=，9.7=，这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，()2~54,9.7XN，可得()()44.363.70.

6827PXPX=−+=，有()()10.68276063.70.1586515%2PXPX−==≥≥所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求.一、单选题1．（2022·广东东莞·高二期中）甲乙两位游客慕名来到东莞旅游，准备分别从东城黄旗山、虎门威

远炮台、道滘粤晖园和长安莲花山4个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择虎门威远炮台，则条件概率(|)PBA=（）A．14B．34C．23D．12【答案】D【解析】由题设，241144

A3()CC4PA==，1311442C3()CC8PAB==，所以()1(|)()2PABPBAPA==.故选：D2．（2022·全国·高二课时练习）已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊

猫，2只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具.此时记甲盒中的熊猫只数为1，乙盒中的熊猫只数为2，则（）A．()()12EE，()()12DD=B．()

()12EE，()()12DD=C．()()12EE，()()12DDD．()()12EE，()()12DD【答案】B【解析】根据题意可得10,1=，20,1=()12110323P

===,()121212323P===所以1的分布列为：101P1323()221202323P===,()22111323P===所以2的分布列为：201P2313则()112201333E=+=,()221101333E

=+=()221212220133339D=−+−=()221121120133339D=−+−=所以()()12EE，()()12DD=故选：B3．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（理））为了防止

受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为1

10，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则()80PX−=（）A．27128B．24325

6C．43256D．83128【答案】B【解析】由题意得该产品能销售的概率为113116104−−=，易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B，所以()43C4kkP

k==414k−，所以()()22243127802C44128PXP=−====，()31343140(3)44PXPC====

2764=，40443181(160)(4)C44256PXP=====，故()()()808040PXPXPX−==−+=+()160PX=，27278124312864256256=++=，故选：B．4．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）近年来中国进入

一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布()2,30N和()2280,40N，则下列选项不正确．．．的是()附：若随机

变量X服从正态分布()2,N，则()0.6826PX−+．A．若红玫瑰日销售量范围在(30,280)−的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C．白玫瑰日销售量范围在(240,)+

的概率约为0.8413D．白玫瑰日销售量范围在(320,)+的概率约为0.3413【答案】D【解析】对于A，若随机变量X服从正态分布()2,N，则()0.6826PX−+，∴对于红玫瑰的销量，若红玫瑰日销售量范围在(30,280)−的概率是0.6826，则303028

025030−=−+===，故红玫瑰日销售量的平均数约为250，故A正确；对于B，∵红玫瑰日销量的方差为900，小于白玫瑰日销量的方差1600，∴红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B正确；对于C，设白玫瑰日销售量为X，()222,XN，2280=，

240=，则()()22240PXPX=−()()2222222212PXPX−−+=−++10.68260.68260.84132−=+=，故C正确；对于D，白玫瑰日销售量范围在(320,)+，即(28040,)++的概率为

10.68260.15872−=，故D错误．故选：D．二、多选题5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期中）在2022年的期中考试中，数学出现了多项选择题．多项选择题第11题有四个选项A、B、C、D，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为13，

且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同．根据以上信息，下列说法正确的有（）A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于110B．B选项是正确选项的概率高于12C．在C选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为13D．在D选项为错误选项的条件下，正确选项有2

个的概率12【答案】BC【解析】若正确选项的个数为2个，则有24C6=种组合，每种组合为正确答案的概率为1113618=，若正确选项的个数为3个，则有34C4=种组合，每种组合为正确答案的概率为1113412=，若正确选项的个数为4个，则有1种组合，这种

组合为正确答案的概率为13，对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为111210，错误；对于B，B选项是正确选项的概率为11131331812342++=，正确；对于C，C选项为正确选项为事件A，由B选项知，3()4PA=，正确选项有3个为事件B，则

13()112()3()34PABPBAPA===，正确；对于D，D选项为错误选项为事件C，1()4PC=，正确选项有2个为事件D，则13()218()1()34PCDPDCPC===，错误.故选：BC.6．（2022·河北·深州长江中学高二阶段练习）甲罐中有5个

红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A，2A和3A表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（）A．()1511PBA=∣B

．2()5PB=C．事件B与事件1A相互独立D．1A，2A，3A两两互斥【答案】AD【解析】：因为事件1A，2A和3A任意两个都不能同时发生，所以1A，2A，3A是两两互斥的事件，故D正确；因为()151102PA==，()221105PA==，()3310PA=，()()()

111155211|1112PBAPBAPA===，故A正确；22224()41011(|)2()1110PBAPBAPA===，33334()41011(|)3()1110PBAPBAPA===，()()()123()

PBPABPABPAB=++()()()()()()112233|||PAPBAPAPBAPAPBA=++1514349211511101122=++=，因为15()22PAB=，1599()()102244PAPB==，所以()()()11PABPAPB，所以B与1A不是相

互独立事件，故B，C不正确．故选：AD．7．（2022·山东·青岛大学附属中学高二期中）下图是一块改造的高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球从通道口落下，第一次与第

2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，6的球槽内.用X表示小球经过第7层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依次为0，1，2，…，6），用Y表示小球最后落入球槽的号码，则下列结论正

确的是（）A．16,2XBB．()()()323PYPXPX===+=C．()()25PYPY===D．若放入80个小球，则落入1号球槽的小球个数Z的期望为5【答案】ACD【解析】对于选项A，小球从通道口落下通过第七层空隙要经过6次碰撞，

每次向左、向右落下的概率均为12，并且相互独立，做了6次独立重复试验，此时小球经过第七层通过的空隙编号()0,1,2,3,4,5,6XX=时，说明小球经过的6次碰撞中，X向右，（6-X）次向左，即1(6)2XB，，A正确；对于选项B，小球从通

道口落入3号球槽要经过7次碰撞，其中3次向右，4次向左，根据独立重复试验事件发生的概率公式347371113)C35222PY===（；由选项A可得1(6)2XB，，故243362366111112)3)CC3522222PXPX=+==

+=（（故B错误；对于选项C，小球从通道口落入2号球槽要经过7次碰撞，其中2次向右，5次向左，根据独立重复试验事件发生的概率公式可得，25727111(2)C21222PY===同理可得：

52757111(5)C21222PY===，故选项C正确；对于选项D，06157016611111111(1)(0)+(1)CC8222222216PYPXPX

=====+==又因为80个小球，每个小球落入1号球槽的概率都相同，且互不影响，故1(80)16ZB，,故落入1号球槽的小球个数Z的数学期望为1()80516EZnp=

==，D正确；故选：ACD8．（2022·江苏省苏州实验中学高二期中）根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级1000名参加生物选择考同学的考试分数转换为等级分，知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若使等级分(80,25)X

N，则下列说法正确的有（）（参考数据：①()0.6827PX−+=；②()220.9545PX−+=；③()330.9973PX−+=.）A．这次考试等级分超过80分的约有450人B．这次考试等级分在(65,95]内的人数约为997C．甲、乙

、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率为38D．()70750.1359PX=【答案】BCD【解析】由题设，80,5==，A：(80)0.5PX=，故0.51000500=人，错误；B：在(65,95

]内的概率为()330.9(80358309375)PXPX−+=−+=，则0.99731000997人，正确；C：甲、乙、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率223113C()()228=

，正确；D：()()()70907570750.1359285PXPXPX−==，正确；故选：BCD三、解答题9．（2022·福建·厦门双十中学高二期中）武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒

，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*Nnn份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次；②混合检验，将其中()*N,2kkk份血液样

本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为1k+次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性

都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为(01)pp.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中()*N,2kkk份血液样本

，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2.（i）试运用概率统计知识，若()()12EE=，试求P关于k的函数关系式()pfk=；（ii）若311pe=−，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望

值更少，求k的最大值.参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln51.6094，ln61.7918【答案】(1)110;(2)（i）111kpk=−,()*N,2kkk

;（ii）4【解析】(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的事件为A,则()232355110AAPAA==,故恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的概率为110(2)（i）由已知可得()1Ek=,2所有可能的取值为1,1k+.所以()()211kPp==−,()()2111

kPkp=+=−−,所以()()()()()2111111kkkEpkpkkp=−++−−=+−−.若()()12EE=,则()11kkkkp=+−−,所以()11kkp−=.故()11111kkppkk−==−.所以P关于k的函数关系式111k

pk=−,()*N,2kkk（ii）由题意可知()()12EE,即()11kkkkp+−−,化简得()11kpk−.因为311pe=−,所以311kke,即1ln3kk.设函数()()1ln,03fxxxx=−.又()11'3fxx

=−,故当3x时,()'0fx,即()fx在()3,+上单调递减.又()44ln403f=−,()55ln503f=−.故k的最大值为4.10．（2022·浙江省杭州学军中学高二期中）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩

国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门

的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接

球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为np，易知121,0==pp．①试证明14np

−为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为nq，比较10p与10q的大小．【答案】(1)分布列见解析，1()2EX=(2)①证明见解析；②1010pq【解析】(1)解析1：分布列与期望依题意可

得，门将每次可以扑出点球的概率为111133326p==，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，030315125(0)66216PXC===，12131525(1)6672PXC

===，2123155(2)6672PXC===，3033151(3)66216PXC===，X的分布列为：X0123P12521625725721216期望12525511()012321672722162

EX=+++=．（1）解析2：二项分布依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为111133326p==，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知13,6XB，3315()66kkkPXkC−==，0,1,2

,3k=．X的分布列为：X0123P12521625725721216期望11()362EX==．(2)解析：递推求解①第n次传球之前球在甲脚下的概率为np，则当2n时，第1n−次传球之前球在甲脚下的概率为1np−，第1n−次传球

之前球不在甲脚下的概率为11np−−，则()11111101333nnnnpppp−−−=+−=−+，从而1111434nnpp−−=−−，又11344p−=，∴14np−是以34为首项．公比为13−的等比数列．②由①可知1311434nnp−=−+

，91031114344p=−+，()101011134qp=−，故1010pq．11．（2022·山东烟台·高二期中）我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.“碳

达峰”就是我们国家承诺在2030前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树､节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”

.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛､复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.甲､乙､丙三队参加竞赛，已知甲､乙两队通过初赛和复赛获胜的概率均为23；丙队通过初赛和复赛的概率分别为p和43p−，其中30

4p，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.(1)求P取何值时，丙队进入决赛的概率最大：.(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望；(3)求进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值及此时p的值.【答案】(1)23(2)分布列答案

见解析，数学期望：43(3)当23p=时，进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值为43【解析】(1)由题知：丙队通过初赛和复赛的概率2204424()3339pppppp=−=−+=−−+，又因为3044013pp−，所以1334p.所以，当23p

=时，丙队进入决赛的概率最大为49.(2)由（1）知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率均为224339=，因为进入决赛的队伍数4~3,9XB，所以()30341250C19729PX==−=

；()213443001001C199729243PX==−==；()22344240802C199729243PX==−==；()3334643C9729PX===.所以，随机变量X的分布列为X0123P125729100243

8024364729所以，()44393EX==.(3)由（1）､（2）知，甲､乙两队进入决赛的概率均为224339=；丙队进入决赛的概率为243pp−+.又因为进入决赛的队伍数X的所有可能取值为0，1，2，3，()22244254011193

813PXpppp==−−+=−+，()222244444520401211199393278181PXpppppp==−−−++−−+=−

+；()22244444212193993PXpppp==−−++−−+283216278181pp=−++；()22244

166439381243PXpppp==−+=−+.所以，()222152040243216166412381818181818181243EXpppppp=−++−+++−+整理得：()224824

()3933EXppp=−++=−−+，1334p.对称轴23p=，所以当23p=时，()max43EX=.即当23p=时，进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值为43.12．（2022·全国·高二课时练习）北京冬季

奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京，张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会，南京青奥会之后第三次举办奥运赛事．北京冬奥组委对报名参加北京冬

奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核．为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示．女志愿者考核成绩频率分布表分组频数频率)75,8020.050

)80,85130.325)85,90180.450)90,95am95,100b0.075若参加这次考核的志愿者考核成绩在90,100内，则考核等级为优秀(1)分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；(2)若从样本

中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望．【答案】(1)5，7(2)分布列见解析，74【解析】(1)由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为20.0540=．因为0.0500.32

50.4500.0751m++++=，所以0.100m=，所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为()400.1000.0757+=．因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是804040−=．由男志愿者考

核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为()0.0100.01550.125,+=则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为400.1255=．(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,

3．()()321557331212CCC1017070,1C22022C22022PXPX========，()()123577331212CCC105213572,3C22044C22044PXPX========．X的分布列为X0123P1227222144744故()1

721770123222244444EX=+++=．13．（2022·全国·高二课时练习）某公司生产了,AB两种产品投放市场，计划每年对这两种产品投人200万元，每种产品一年至少投入20万元，其中A产品的年收益()pa，B产品

的年收益()Qa与投入a（单位万元）分别满足1()8042,()1204PaaQaa=+=+；若公司有100名销售人员，按照对两种产品的销售业绩分为普通销售、中级销售以及金牌销售，其中普销售28人，中级销售60人，金牌销售12人（1）为了使,AB两种产品的总收益之和

最大，求A产品每年的投入（2）为了对表现良好的销售人员进行奖励，公司制定了两种奖励方案：方案一：按分层抽样从三类销售中总共抽取25人给予奖励：普通销售奖励2300元，中级销售奖励5000元；金牌销售奖励8000元方案二：每位销售都参

加摸奖游戏，游戏规则：从一个装有3个白球，2个红球（求只有颜色不同）的箱子中，有放回地莫三次球，每次只能摸一只球.若摸到红球的总数为2，则可奖励1500元，若摸到红球总数是3，则可获得奖励3000元，其他情况不给予奖励，规定普通销售均可参加1次摸奖游

戏；中级销售均可参加2次摸奖游戏，金牌销售均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立，奖励叠加）（ⅰ）求方案一奖励的总金额；（ⅱ）假设你是企业老板，试通过计算并结合实际说明，你会选择哪种方案奖励销售员.【答案】（1）128万元；（2）（i）115100；（ii）采用方案二.【解析】（1）由

题意，记A产品每年收入x万元，总收益之和为()fx，则11()8042(200)1204225044fxxxxx=++−+=−++，依题意得20020020xx−，解得20180x，故函数的解析式为142()(20150480

2xxfxx−++=），令xt=，则[25,65]t，所以2211422520(82)4482yttt=−++=+−−，所以当82,128tx==时，取得最大值282.所以A产品每年投入为128万元时，,AB两种产品的总收益之和最大.（2）由题

意，①方案一、按分层抽样从普通销售、中级销售、金牌销售中总共抽取25人，其中普通销售、中级销售、金牌销售的人数分别是286012257,2515,253100100100===，可得按照方案一奖

励的总金额为：17230015500038000115100=++=；②方案二、设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能性为0，1500，3000每次摸到红球的概率121525CPC==所以()0312013323238105555125P

CC==+=，()21232336150055125PC===，()3332830005125PC===，所以随机变

量的分布列为：015003000P81125361258125所以()81368015003000624125125125E=++=，则按照方案二奖励的总金额为2(28260312)624114816=++=，

方案一奖励的总金额多于方案二的总金额，且方案二是对每个销售都发放奖励，有助于提高全体销售的销售积极性，故采用方案二.