【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第一册 第一章　1-4　1-4-2　第2课时　用空间向量研究夹角问题含解析【高考】.doc，共(13)页，1.478 MB，由小赞的店铺上传

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1第2课时用空间向量研究夹角问题课后训练巩固提升A组1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.30°D.以上均错解析:设直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=

|cos120°|=.∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°.答案:C2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则直线AC与BD1所成角的余弦值为()A.0B.C.-D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.∵D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),

C(0,2,0),∴=(-2,-2,3),=(-2,2,0).∵=0,∴.∴AC⊥BD1.故直线AC与BD1所成角的余弦值为0.答案:A3.如图,在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,AA

1=AB=2AD,点E为C1D1的中点,则平面ABB1A1与平面A1BE的夹角的余弦值为()2A.-B.-C.D.解析:设AD=1,则A1(1,0,2),B(1,2,0),所以=(0,2,-2).因为E为C1D1的中点,所以

E(0,1,2).所以=(-1,1,0).设m=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,由·m=0,·m=0,可得平面A1BE的一个法向量为m=(1,1,1).又DA⊥平面ABB1A1,所以=(1,0,0)是平面ABB1A1的一个法向量.所以cos<m,>

=.设所求夹角为θ,则cosθ=|cos<m,>|=.即平面ABB1A1与平面A1BE夹角的余弦值为.故选C.答案:C4.(多选题)正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所形成的二面角的大小为()A.30°B.45°C.1

35°D.150°解析:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.3设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),于是=(0,1,0).取PD的中点E,连接AE,则E,于是.易知是平面PAB

的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,∵cos<>=,∴平面PAB与平面PCD所形成的二面角的余弦值为±.∴平面PAB与平面PCD所形成的二面角的大小为45°或135°.答案:BC5.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=

(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为.解析:设直线l与平面α所成的角是θ,则sinθ=|cos<a,n>|=.答案:6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成

角的余弦值是.解析:依题意,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,4从而.由于cos<>=,故异面直线AM与CN所成角的余弦值为|cos<>|=.答案:7.已知点E,F分别在正方体ABC

D-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABCD的夹角的正切值等于.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1,则平面ABCD的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面AEF的法向量为

n2=(x,y,z).因为A(1,0,0),E,F,所以.由n2·=0,n2·=0,可得平面AEF的一个法向量是n2=(1,-1,3).所以cos<n1,n2>=.设平面AEF与平面ABC的夹角为α,则cosα=|cos<n1,n2>|=,

从而sinα=.所以tanα=.答案:58.如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE与AD的交点,AC⊥BC,且AC=BC.(1)求证:AM⊥平面EBC;(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小.解:∵四边形ACDE是正方形,∴EA⊥AC.

∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,且EA⊂平面ACDE,∴EA⊥平面ABC.以A为原点,以过点A,且平行于BC的直线为x轴,分别以AC,AE所在直线为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设E

A=AC=BC=2,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2).∵M是正方形ACDE的对角线的交点,∴M(0,1,1).(1)证明:=(0,1,1),=(0,2,-2),=(2,0,0),∵=0,=0,∴.∴AM

⊥EC,AM⊥CB.又EC∩CB=C,∴AM⊥平面EBC.(2)∵AM⊥平面EBC,∴为平面EBC的一个法向量.∵=(0,1,1),=(2,2,0),∴cos<>=.∴<>=60°.∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.69.如图,在三棱锥

P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH;(2)求平面EFQ与平面PDC的

夹角的余弦值.(1)证明:因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.又因为EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.又因为EF⊂平面

EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH.又因为EF∥AB,所以AB∥GH.(2)解在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°.又因为PB⊥平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.以B为原点

,BA,BQ,BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=BP=BQ=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),所以=(-1,2,-1),=(0,2,

-1),=(-1,-1,2),=(0,-1,2).设平面EFQ的法向量为m=(x1,y1,z1).由m·=0,m·=0,得平面EFQ的一个法向量为m=(0,1,2).设平面PDC的法向量为n=(x2,y2,z2).由n·=0,n·=0,得平面PDC的一个法向量为n=(0,2,1).所以cos<m

,n>=.7设平面EFQ与平面PDC的夹角为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=.所以平面EFQ与平面PDC的夹角的余弦值为.B组1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成的角为()A.60°B.90°C.4

5°D.以上都不对解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-

1,-1).设平面A1ED1的法向量为n=(x,y,z),则可得平面A1ED1的一个法向量为n=(0,1,1).因为cos<n,>==-1,所以<n,>=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.答案

:B2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.B.8C.D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz,可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=

45°.设B1C1=1,则CC1==DD1.∵∠DC1D1=45°,∴C1D1=.∴B1(,0,0),C(,1,),C1(,1,0),D(0,1,).∴=(0,1,),=(-,0,).∴cos<>=.∴直线B1C与C1D所成角的余弦值为.答案:

A3.已知Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,D为AB的中点,沿中线将△ACD折起使得AB=,则平面ACD与平面BCD的夹角为()A.60°B.90°C.120°D.150°解析:取CD中点E,连接AE,则AE

⊥CD.在平面BCD内过点B作BF⊥CD,交CD的延长线于点F,则<>或其补角为平面ACD与平面BCD的夹角.9依题意知AE=BF=,EF=2,AB=,由=()2,得13=3+4+3+2×3×cos<>,则cos<>=-.∴<>=120°.∴平面ACD与平面BCD

的夹角为60°.答案:A4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为()A.B.C.D.解析:设AC与BD交于

点O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=,所以O(0,0,0),B,F,C,P.易知为平面BDF的一个法向量.可得平面PBC的一个法向量为n=(1,).所以cos<n,>=.10设平面PB

C与平面BDF的夹角为θ,则cosθ=|cos<n,>|=.所以sinθ=,tanθ=.所以平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为.答案:D5.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所

成角的大小是.解析:设正三棱柱的棱长为2.因为,所以=()·=0+2-2-0=0,所以.所以异面直线AB1与BM的夹角为90°.答案:90°6.空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α

与平面xOy的夹角为45°,则a=.解析:平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1).设平面α的法向量为u=(x,y,z),则有即3x=4y=az.所以可取u=.由题意得|cos<n,u>|=,已知a>0,故a=.答案:7.如图,在直三棱柱A

1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,D是BC的中点.11(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值.解:以A为原点,建立如

图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4).(1)因为=(2,0,-4),=(1,-1,-4),所以cos<>=.设异面直线A1B与C

1D所成的角为θ,则cosθ=|cos<>|=.所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=0,n1·=0.因为=(1,1,0),=(0,2,4),所

以x+y=0,y+2z=0.所以可取n1=(2,-2,1).取平面ABA1的一个法向量为n2=(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1的夹角为θ,则cosθ=|cos<n1,n2>|=.所以sinθ

=.因此,平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值为.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB的中点.12(1)求证:AM∥平面PCD.(2)设点N是线段CD上一动点,且DN=λDC,

当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.解:由题意知,AP,AB,AD两两垂直.以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0

,1,1).(1)证明:=(0,1,1),=(1,0,-2),=(-1,-2,0).设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则所以取z=1,则x=2,y=-1.所以n=(2,-1,1)是平面PCD的一个法向量.因

为·n=0,所以⊥n.又AM⊄平面PCD,所以AM∥平面PCD.(2)由题意知=λ=λ(1,2,0),0≤λ≤1.连接AN,因为=(1,0,0),所以=(1,0,0)+λ(1,2,0)=(1+λ,2λ,0).所以=(1+λ,2λ,0)-(0,1,1)=(1+λ,2λ-1,-1).又平面PA

B的一个法向量为m=(1,0,0),所以cos<,m>=>0,设直线MN与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=|cos<,m>|=.13所以,当,即λ=时,sinθ取得最大值,也就是直线MN与平面PAB所成的角最大.