【文档说明】山西大学附属中学校2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学评分细则.docx，共(10)页，862.019 KB，由小赞的店铺上传

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山西大学附中2022—2023学年第一学期高二年级1月阶段测试数学试题考察时间：120分钟满分：150分考查内容：解析几何导数命题人：孙娟审核人：张耀军一、单选题（每小题5分，共40分）1-8:BBDBCACC9.AC10.AD11.AD12.ABC1．抛物线22yx=的焦点坐标为（）A．1

,02−B．1,02C．()1,0−D．()1,0【答案】B2．函数()4lnfxxx=−的单调递减区间为（）A．()0,+B．10,4C．1,4−D．1,4+【答案】B【详解】因

为()()4ln0fxxxx=−，所以()14fxx=−，由()0140xfxx=−解得：104x，所以函数()4lnfxxx=−的单调递减区间为10,4．故选：B．3．已知函数()()2ln31fxxxfx=−+，则(

)1f=（）A．2B．1C．0D．1−【答案】D【详解】因为()()2ln31fxxxfx=−+，则()()1321fxfxx=−+，所以()()'1132'1ff=−+，则()12f=，所以()2ln32fxxxx=−+，所以()1ln13

21f=−+=−.故选：D.4．某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系()240tNtNe−=，其中0N为0=t时该同位素的含量.已知24t=时，该同位素含量的瞬时变化率为1e−−，则()120N=（

）A．24贝克B．524e−贝克C．1贝克D．5e−贝克【答案】B【详解】解：由()240tNtNe−=，得()'240124tNtNe−=−，因为24t=时，该同位素含量的时变化率为1e−−，所以()'24210412424NNee−−−=−=，解得024N=，所以

120524(120)2424Nee−−==，故选：B5．设椭圆22122:1(0)xyCabab+=离心率为e，双曲线22222:1xyCab−=的渐近线的斜率小于255，则椭圆1C的离心率e的取值范围是（）A．105,1

05B．10,110C．5,15D．(5,)+【答案】C【详解】根据双曲线方程22222:1xyCab−=可得，其渐近线方程为byxa=，又因为0ab，且渐近线的

斜率小于255，即2505ba；所以，椭圆1C的离心率2211,15cbeaa==−即离心率e的取值范围是5,15.故选：C6.设定义在R上的函数()yfx=，满足任意xR，都有()()4fxfx+=，且(0,4x时，()()x

fxfx，则()2021f，()22022f，()32023f的大小关系是（）A．()()()20222202320231fffB．()()()20222023202123fffC．()()()2

0232032222021fffD．()()()20232022202132fff【答案】A【分析】利用构造函数法，结合导数以及函数的周期性确定正确答案.【详解】依题意，任意xR，都有()()4fxfx+=，所以()fx是周

期为4的周期函数.所以()()()()()()202222023320211,,2233ffffff===.构造函数()()()()()()204,0fxxfxfxFxxFxxx−==，所以()Fx在区间(0,4上单调递增，所

以()()()123FFF，即()()()122313fff，也即()()()20222202320231fff.故选：A7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章

，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列

结论错误的是（）．A．卫星向径的取值范围是,acac−+B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，

椭圆轨道越扁【答案】C【详解】解：A选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为ac−，最大值为ac+，所以A正确；B选项：根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时

间，故B正确；C选项：因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近

地点时最大，在远地点时最小，故C不正确；D选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即12111aceacee−−==−++++越小，则e越大，椭圆越扁，故D正确.故选：C．8．已知函数2ln1()xmxfxx+−=有两个零点ab、，且存在唯一的整数．．0(,)xab，则实数m的取值范围

（）A．(0,)2eB．ln2[,1]4eC．ln2[,1)4eD．ln3[,)92ee【答案】C【详解】由题意2ln1()0xmxfxx+−==，得2ln1xmx+=，设2ln1()(0)xhxxx+=，求导4332(ln1)12(ln1)(2ln1)(

)xxxxxhxxxx−+−+−+===令()0hx=，解得12xe−=当120xe−时，()0hx，()hx单调递增；当12xe−时，()0hx，()hx单调递减；故当12xe−=时，函数取得极大值，且

12()2ehe−=又1=xe时，()0hx=；当x→+时，2ln10,0xx+，故()0hx→；作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h=，ln21ln2(2)44eh+==因为存在唯一的整数0(,)xab，使得ym=与2ln1()xhxx+=的图象有两个交点，由图可知：(2)(1)h

mh，即ln214em故选：C.二、多选题（每小题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分）9．函数()fx的定义域为R，它的导函数()yfx=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）A．在()1,2

上函数()fx为增函数B．在()3,5上函数()fx为增函数C．在()1,3上函数()fx有极大值D．3x=是函数()fx在区间1,5上的极小值点【答案】AC【详解】由图象可知()fx在区间()1,2和()4,5上()'0fx，()fx递增；在区间(

)2,4上()'0fx，()fx递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间()1,3上，()fx有极大值为()2f，C选项正确.在区间1,5上，4x=是()fx的极小值点，D选项错误.故选：AC10．给出定义：若函数()fx在D上可导，即()fx存在，且导函数()fx在D上

也可导，则称()fx在D上存在二阶导函数，记()()()fxfx=，若()0fx在D上恒成立，则称()fx在D上为凸函数．以下四个函数在0,2上不是凸函数的是（）A．()sincosfxxx=−B．()ln4fxxx=−C．()321fxxx=−+−

D．()xfxxe=【答案】AD【详解】对于A，()cossinfxxx=+，()sincos2sin4fxxxx=−+=−−，当0,4x时，044x−−，()0fx，故()sincosfxxx=−不是凸函数；对于B，()14f

xx=−，()210fxx=−，故()ln4fxxx=−是凸函数；对于C，()232fxx=−+，对任意的0,2x，()60fxx=−，故()321fxxx=−+−是凸函数；

对于D，()()1xfxxe=+，对任意的0,2x，()()02xfxxe=+，故()xfxxe=不是凸函数．故选：AD．11．直线(2)lykx=−：与双曲线222Cxy−=：的左、

右两支各有一个交点，则k的可能取值为（）A．0B．1C．2D．12【答案】AD【详解】联立22(2)2ykxxy=−−=，消y得，2222(1)4420kxkxk−+−−=.因为直线l与双曲线C的左、右两支各有一个交点，所以方程2222(1)4420kxkxk−+−−=有

一正一负根，所以222104201kkk−−−−，整理得210k−，解得11k−.所以k的取值范围为11k−.故选：AD．12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线2

4yx=的焦点为F，一束平行于x轴的光线1l从点()3,1M射入，经过抛物线上的点()11,Pxy反射后，再经抛物线上另一点()22,Qxy反射后，沿直线2l射出，则下列结论中正确的是（）A．124yy=−B．43PQk=−C．254PQ=

D．1l与2l之间的距离为4【答案】ABC【详解】如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线PQ过焦点(1,0)F，2124,yyp=−=−即选项A正确；由题意可得，点P的坐标为(1,14)，点Q的坐标为(4,4)−，4141344PQk−−==−−，即选项B正确；由抛物线的定义

可知，12125||4244PQxxp=++=++=，即选项C正确；1l与2l平行，1l与2l之间的距离12||5dyy=−=，即选项D错误；故选：ABC三、填空题（每小题5分，共20分）13．椭圆2

224xy+=的长轴长为______．【答案】414．函数在点处的切线方程为______.【答案】【详解】由函数可得，故在点处的切线的斜率为，故切线方程为，即，故答案为：.15．已知函数()2lnfxxxax=+有两个极

值点，则实数a的取值范围为___________.2cosyxx=+π,π2π=2yx+2cosyxx=+2sinyx=−2cosyxx=+π,π2π2sin12k=−=ππ=2yx−−π=2yx+π=2yx+【答案】1,02−【变式详解】()2lnfx

xxmx=+的定义域为()0+，，()ln1fxxmx=++.要使函数()2lnfxxxmx=+有两个极值点，只需()0fx=有两个不同正根12,xx，并且在1x的两侧()yfx=的单调性相反，在2x的两侧()yfx=的单调性相反.由ln120xmx++=得，ln12xmx+=−

.令()()ln1,0xhxxx+=−，2ym=，要使函数()2lnfxxxmx=+有两个极值点，只需()ln1xhxx+=−和2ym=有两个交点.()2lnxhxx=，令()2ln0xhxx=得：x>1；令()2ln0xhxx=得：0<x<

1；所以()ln1xhxx+=−在()0,1上单减，在()1,+上单增.当0x+→时，y→+；当x→+时，0y→；作出()ln1xhxx+=−和2ym=的图像如图，所以120,m−即实数m的取值范围为1,

02−.故答案为：1,02−16．已知1m，若对于任意的1[,)4x+，不等式()5ln4elnxxxmm−−恒成立，则m的最小值为______.全科试题免费下载公众号《高中僧试题下载》【答案】

4e原题：已知1a，若对于任意的1[,)3x+，不等式()4ln3elnxxxaa−−恒成立，则a的最小值为______.【原题详解】()()4ln3ln3ln3lnxxexxaaxxaeax

−−−−−()()3ln3lnxxxxaeae−−令()lnfxxx=−，()111xfxxx−=−=，∴()fx在)1,+上单调递增.∵1a，1[,)3x+，∴)3,1,xexa+，∴33xxeaexxa恒成立，令()3

xxgxe=，只需max()agx，()33xxgxe−=，∴1[,1),()0,()3xgxgx单调递增，∴(1,),()0,()xgxgx+单调递减，1x=时，()gx的最大值为3e，∴3ae，∴a的最小值为3e.故答案为：3e四、解答题（17题10分，其余每题1

2分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知()3223fxxaxbxa=+++在=1x−时有极值0.（1）求常数a，b的值；（2）求函数()yfx=在区间4,0−上的值域.【详解】（1）()3223fxxaxbxa=+++，可得()236f

xxaxb=++，-------1分由题=1x−时有极值0.可得：()()10,10,ff−==−即2360,130,ababa−+=−+−+=-------3分解得：1,3,ab==或2,9.ab==，当13ab==时，()23690fxxx=+

+，()yfx=单调，不会有极值，故舍去.经验证2,9ab==成立；-------5分（2）由（1）可知()32694fxxxx=+++，()()()23129313fxxxxx=++=++，4,0x−，x4−()4,3−−3−()3,1−−1−()1,0−0()fx+0−0+(

)fx0增4减0增4所以函数()yfx=在()4,3−−和()1,0−递增，()3,1−−递减.-------7分且()40f−=，()34f−=，()10f−=，()04f=，-------9分可得

值域为0,4.-------10分18．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的焦点为()0,3−、()0,3，实轴长为22.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点()1,1Q的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段MN的中点，求直线l的方程及弦MN的长

.【详解】：（1）根据题意，焦点在y轴上，且3c=，2a=，所以1b=，-------3分双曲线的标准方程为22:12yCx−=；-------4分（2）过点()1,1Q的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段MN的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为1x=，则由双曲线对称性

可知线段MN的中点在x轴上，所以不满足题意；-------5分当斜率存在时，设直线方程为()11ykx=−+，设()11,Mxy，()22,Nxy，则()221112ykxyx=−+−=，化简可得()()2222222210kxkkxkk−−−+−−=，-------6分因为有两个交点

，所以()()22222242210kkkkk=−−−−−化简可得22210kk−−恒成立，21222122222,212kkxxkkkxxk−+=−−−=−-------8分因为()1,1Q恰好为线段MN的中点，则222222kkk−=

−，化简可得2k=，-------9分所以直线方程为()211yx=−+，即210xy−−=.-------10分此时1212212xxxx+==−，∴2212121()45630MNkxxxx=++−=

=．-------12分19．已知函数()()221lnfxaxaxx=−+−12a.(1)当1a=−时，证明：()31fxxx−−；(2)讨论()fx的单调性.【详解】：（1）当1a=−时，令()()()311ln1,0gxfxxxxxx=−−−=−+

，-------1分()22111xgxxxx−=−=，-------2分可得(0,1)x时，()0gx，此时函数()gx单调递减；(1,)x+时，()0gx，此时函数()fx单调递增，-------3分1x=时，函数(

)gx取得极小值即最小值，()1g0=．-------4分∴()0gx，即()31fxxx−−-------5分（2）函数的定义域为(0,)+，()()()2212212axxafxaxxx−−+=−+=，-------7分当0a时，(0,2)x时，

()0fx¢>，此时函数()fx单调递增，(2,)x+时，()0fx，此时函数()fx单调递减；-------9分12a=时，()()2222xfxx−=，()0fx，此时函数()fx在(0,)+单调递增；

-------10分102a时，1(0,2),xa+时，()0fx¢>，此时函数()fx单调递增区间为1(0,2),,a+；1(2,)xa时，()0fx，此时函数()fx单调递减．-------12分综上，当0a

时，函数()fx在(0,2)单调递增，在(2,)+单调递减；当102a时，函数()fx在1(0,2),,a+上单调递增，函数()fx在1(2,)a上单调递减.当12a=时，函数()fx在(0,)+上单调递增；20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防

护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x万件，还需投入0.1x万元的原材料费，全部售完可获得()px万元，当月产量不足5万件时，21()4.112pxxx=−++

；当月产量不低于5万件时，8()13ln0.1pxxxx=−−+，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完．(1)求月利润y（万元）关于月产量x（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所

获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到0.1）参考数据：ln20.69．【详解】：（1）当05x时22114.1110.1422yxxxxx=−++−−=−+；-------1分当5x时8813ln0.110.112lnyxxxxxx

=−−+−−=−−，------2分故月利润y关于月产量x的函数关系式为214,05,2812ln,5.xxxyxxx−+=−−-------3分当3x=时19437.52y=−+=，-

------4分故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．-------5分(2)当05x时，22114(4)822yxxx=−+=−−+，故4x=时，y取得最大值，最大值为8

万元；-------7分当5x时，812lnyxx=−−，22188xyxxx−=−+=．故58x时，0y，8x时，0y，所以812lnyxx=−−在[5,8)上单调递增，在(8,)+上单调递减，-------9分故当8x=时，y取得最大值

，且max12ln81113ln28.9y=−−=−．-----10分因为8.98，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元．-------12分21．已知函数()()2e1xfxx=+.（

1）若()221()2xgxfxxexkx=−−−在R上是增函数，求实数k的取值范围；（2）若210xx时，不等式()()212212eexxafxfx−−恒成立，求实数a的取值范围.【详解】（

1）依题()212xgxexkx=−−，故()xgxexk=−−，()gx在R上是增函数，()0gx在R上恒成立.-------2分即：xkex−在R上恒成立.设()xmxex=−，则()1xmxe=−当(),0x−时，()0,

mx；当()0,x+时，()0,mx即()mx在(),0−上单调递减；在()mx在()0,+上单调递增()()min01mxh==-------4分1k即k的取值范围为：(,1

−-------5分（2）当0x时，()()2e210xfxxx=++恒成立，所以()fx在()0,+上单调递增，且()()010fxf=.-------6分因为210xx，所以()()21fxfx，则不等式(

)()212212eexxafxfx−−可化为()()212221eexxafxfx−−，-------7分即()()212221eexxafxafx−−.令()()2exgxafx=−，因为210

xx，则问题等价于函数()gx在()0,+上单调递增，-------8分即()()22e0xgxafx=−在()0,+上恒成立，即()222e2e21xxafxxx=++，()0,x+.-------9分令()22e21xpxxx=++，()

0,x+，则()()()()()()()()22223222e212e222e12e112121xxxxxxxxxpxxxxxx++−+−−===+++++.令()0px=，解得1x=，所以当()0,1x时，()0px，函数()px在()0,1上单调递减；当()1,x

+时，()0px，函数()px在()1,+上单调递增；所以当1x=时，函数()px取得最小值，且()()mine12pxp==，所以当()0,x+时，()()e12pxp=，-------11分所以e2a.-------12分22．已知点()0,1A−，()0,1B，动点P满足P

BABPABA=．记点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设D为直线=2y−上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF过定点．【详解】（1）设(),Pxy，则(),1PAxy=−−−，(),1PBxy=−−，()0,2AB=，()0,2BA=−，所以

，PBABPABA=可以化为()()2211xyy−+−=+，化简得24xy=．所以，C的方程为24xy=．-------4分（2）由题设可设(),2Dt−，()11,Exy，()22,Fxy，由题意知切线DE，

DF的斜率都存在，由24xy=，得214yx=，则2xy=，所以12DExk=，直线DE的方程为()1112xyyxx−=−，即211122xxyyx−=−，①-------4分因为()11,Exy在24xy=上，所以2114xy=，即21122xy=，②-------4分将②代入①

得11220xxyy−−=，-------6分所以直线DE的方程为11220xxyy−−=.-------7分同理可得直线DF的方程为22220xxyy−−=．-------8分因为(),2Dt−在直线DE

上，所以11240txy−+=，又(),2Dt−在直线DF上，所以22240txy−+=，所以直线EF的方程为240txy−+=，-------11分故直线EF过定点()0,2．-------12分