【文档说明】2023届高考人教A版数学一轮复习试题（适用于老高考旧教材）课时规范练68　不等式的证明含解析【高考】.docx，共(4)页，44.214 KB，由小赞的店铺上传

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1课时规范练68不等式的证明基础巩固组1.(2020全国Ⅲ,理23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥√43.2.(2021安徽蚌埠三模)已知函数

f(x)=m-|x|-|x-1|,m∈R,且f(x)的最大值为1,(1)求实数m的值;(2)若a>0,b>0,a+b=m,求证:1𝑎+1𝑏+2𝑎𝑏≥4.3.(2021陕西西安中学二模)已知a>0,b

>0且a2+b2=2.(1)若使1𝑎2+4𝑏2≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;(2)证明:1𝑎+1𝑏(a5+b5)≥4.综合提升组4.(2021江西赣县模拟)已知f(x)=|x+1|+|x-3|.(

1)求不等式f(x)≤x+3的解集;(2)若f(x)的最小值为m,正实数a,b,c满足a+b+c=m,求证:1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐+1𝑎+𝑐≥92𝑚.5.(2021山西太原二模)已知函数f(x)=|x+m2|+|2x-m|

(m>0).(1)当m=1时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)若f(x)的最小值为32,且a+b=m(a>0,b>0),求证:√𝑎+2√𝑏≤√5.创新应用组6.(2021广西桂林二模)已知实数a,b,c,满足a+b+c=1.(

1)若a,b∈R+,c=0,求证:a+1𝑎2+b+1𝑏2≥252;(2)设a>b>c,a2+b2+c2=1,求证:a+b>1.2答案：课时规范练1.证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=12[(a+b+c)2

-(a2+b2+c2)]=-12(a2+b2+c2)<0.(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.由bc≤(𝑏+𝑐)24,可得abc≤𝑎34,故a≥√43,所以max{a,b,c}≥√43.

2.(1)解:∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,当且仅当x(x-1)≤0时,等号成立,∴f(x)max=m-1=1,∴m=2.(2)证明由a>0,b>0,a+b=2≥2√𝑎𝑏,∴ab≤1,∴1𝑎+1𝑏+2𝑎𝑏=𝑎+𝑏𝑎𝑏+2𝑎𝑏=4𝑎𝑏≥4

,当且仅当a=b=1时,等号成立.3.(1)解:∵a,b∈(0,+∞),且a2+b2=2,∴1𝑎2+4𝑏2=12(a2+b2)1𝑎2+4𝑏2=121+4+𝑏2𝑎2+4𝑎2𝑏2≥125+2√𝑏2𝑎2·4𝑎2𝑏2=92,当且

仅当b2=2a2时,等号成立,则|2x-1|-|x-1|≤92,当x≤12时,不等式化为1-2x+x-1≤92,解得-92≤x≤12;当12<x<1时,不等式化为2x-1+x-1≤92,解得12<x<1;当x≥1时,不等式化为2x-1-x+1≤92,解得1≤x≤92.综上,x的取值范围为-92,

92.(2)证明(方法1)1𝑎+1𝑏(a5+b5)=a4+b4+𝑎5𝑏+𝑏5𝑎=(a2+b2)2-2a2b2+𝑎5𝑏+𝑏5𝑎≥4-2a2b2+2√𝑎5𝑏·𝑏5𝑎=4-2a2b2+2a2

b2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.(方法2)由柯西不等式可得1𝑎+1𝑏(a5+b5)=1√𝑎2+1√𝑏2[(𝑎52)2+(𝑏52)2]≥𝑎52√𝑎+𝑏52√𝑏2=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.34.(1)解:①当x≤-1时,2-2x≤x+3,解得

x≥-13,则不等式的解集为空集;②当-1<x≤3时,4≤x+3,解得1≤x≤3;③当x>3时,2x-2≤x+3,解得x≤5,则3<x≤5.综上,不等式的解集为{x|1≤x≤5}.(2)证明因为f(x)=|x+1|+|x-3|≥|x

+1-x+3|=4,当且仅当(x+1)(x-3)≤0时,等号成立.所以m=4,所以a+b+c=m=4,1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐+1𝑐+𝑎=18[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐+1𝑐+𝑎=38+1

8𝑏+𝑐𝑎+𝑏+𝑎+𝑏𝑏+𝑐+𝑏+𝑐𝑐+𝑎+𝑐+𝑎𝑏+𝑐+𝑎+𝑏𝑐+𝑎+𝑐+𝑎𝑎+𝑏≥38+182√𝑏+𝑐𝑎+𝑏·𝑎+𝑏𝑏+𝑐+2√𝑏+𝑐𝑐+𝑎·𝑐+𝑎𝑏+𝑐+2√𝑎+𝑏𝑐+𝑎·𝑐+�

�𝑎+𝑏=98,当且仅当a+b=b+c=c+a,即a=b=c=43时,等号成立.5.(1)解:当m=1时,原不等式为|x+1|+|2x-1|≤6,则{𝑥<-1,-(𝑥+1)-(2𝑥-1)≤6或{-1≤𝑥≤12,𝑥+1-(2𝑥-1)≤6或{

𝑥>12,𝑥+1+2𝑥-1≤6,解得-2≤x<-1或-1≤x≤12或12<x≤2,∴原不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤2}.(2)证明由题意得f(x)={-3𝑥-𝑚2+𝑚,𝑥<-𝑚2,-𝑥+𝑚2+𝑚,-𝑚2≤𝑥≤

𝑚2,3𝑥+𝑚2-𝑚,𝑥>𝑚2,∴f(x)min=f𝑚2=m2+12m=32,∴m=1或m=-32(舍去),∴a+b=1,令{𝑎=cos2𝜃,𝑏=sin2𝜃0<θ<π2,则√𝑎+2√𝑏

=cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)≤√5,当θ=π2-φ0<φ<π2,且tanφ=12时,上述不等式等号成立.6.证明(1)c=0时,a+b=1,a+1𝑎2+b+1𝑏2≥(𝑎+1𝑎)2+(𝑏+1𝑏)2+2(𝑎+1𝑎)(𝑏+1𝑏)2=[(𝑎+1𝑎)

+(𝑏+1𝑏)]22=(1+1𝑎+1𝑏)22,∵a,b∈R+,a+b=1,∴1𝑎+1𝑏=1𝑎+1𝑏(a+b)=2+𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2+2√𝑏𝑎·𝑎𝑏=4,4从而a+1𝑎2+b+1𝑏2≥(1+4)22=252,当且

仅当{𝑎+𝑏=1,𝑎+1𝑎=𝑏+1𝑏,𝑏𝑎=𝑎𝑏,即a=b=12时,等号成立;(2)假设a+b≤1,则由a+b+c=1,知c≥0,故a>b>c≥0,又由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,得ab+bc+ac=0,但由a>b>c≥0,知ab+bc+ac

>0,矛盾,故假设a+b≤1不成立,则a+b>1.