【文档说明】2023届高考人教A版数学一轮复习试题（适用于老高考旧教材）单元质检卷七　不等式、推理与证明含解析【高考】.docx，共(9)页，151.605 KB，由小赞的店铺上传

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1单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:100分钟满分:120分)一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理

正确的是()A.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:π是无理数,结论:π是无限不循环小数B.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:π是无限不循环小数,结论:π是无理数C.大前提:π是无限不循环小数,小前提:

无限不循环小数是无理数,结论:π是无理数D.大前提:π是无限不循环小数,小前提:π是无理数,结论:无限不循环小数是无理数2.(2021广西柳州一模)已知x,y满足约束条件{𝑥+𝑦-2≥0,𝑥-𝑦-2≤0,𝑦≤2,则z=2x+y的最小值为()A.2B.4C.6D

.103.(2021宁夏中卫模拟)若x,y∈R,2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(0,1)C.(-∞,0]D.(1,+∞)4.(2021内蒙古赤峰适应性考试)中国有句名言“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹

”取意于《孙子算经》中记载的算筹,古代用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式要纵横相间,个位、百位、万位

数用纵式表示,十位、千位、十万位数用横式表示,依此类推.例如:7239用算筹表示就是,则6728用算筹可表示为()5.(2021广西防城港模拟)观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625,…,则

52021的末四位数字为()A.0625B.3125C.5625D.812526.(2021江西靖安中学高三月考)用数学归纳法证明“1+12+13+…+12𝑛-1<n(n≥2)”时,由n=k的假设证明n=k+1时,不等式左边需增加的项数为()A.2k-1B.2k

-1C.2kD.2k+17.(2021湖南湘潭质检)由于冬季气候干燥,冷空气频繁袭来,为提高公民的取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比,每月供热费与供热站

到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,这两项费用分别为5千元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区()A.5千米B.6千米C.7千米D.8千米8.(2021四川成都玉林中学高三月考)已知x>0,y>0,且2𝑥

+1𝑦=1,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m的最小值是()A.2B.-4C.4D.-29.(2021山东聊城一中高三月考)某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、

乙、丙三位同学的排名情况如图所示:则下面判断中不正确的是()A.甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B.乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前D.甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,丙同

学更靠前10.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据市场预测.甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%,可能最大亏损率分别为50%和20%.该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目,在总投资风险不超过30%的情况下,该投资人可能获得的最大盈利为()A.40万元B.5

0万元C.60万元D.70万元二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.311.根据事实1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;….写出一个含有量词的全称命题:.12.(2021云南曲靖质量检

测)若实数x,y满足约束条件{𝑥-2𝑦+1≥0,𝑥+2𝑦+1≥0,𝑥-1≤0,则z=ax+by(a>b>0)取最大值4时,4𝑎+1𝑏的最小值为.13.(2021浙江杭州高三期末)若a>0,b>0,且a+

b=1,则a2+b2的最小值等于,√𝑎+√𝑏的最大值等于.14.(2021贵州贵阳一中高三月考)在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何中的勾股定理,研究三

棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥P-ABC中的三个侧面PAB,PBC,PAC两两相互垂直,则.”三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(

12分)(2021广西河池模拟)(1)用分析法证明:当n≥0时,√𝑛+2−√𝑛+1<√𝑛+1−√𝑛;(2)已知x∈R,a=x2-1,b=2x+2,用反证法证明:a,b中至少有一个不小于0.16.(12分)某少数民

族的刺绣有着悠久的历史,如图1,2,3,4为刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值;(2)归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并

根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;(3)求1𝑓(1)+1𝑓(2)-1+1𝑓(3)-1+…+1𝑓(𝑛)-1(n≥2,n∈N*)的值.17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,an=𝑆𝑛𝑛(2𝑛-1),a1=13.(1)求a2,

a3的值;(2)由此猜想数列{an}的通项公式an;4(3)用数学归纳法加以证明.18.(14分)(2021河南郑州模拟)开普勒说:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密.”波利亚也曾说过:“类比是一个

伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在以前的学习中,我们知道,平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体等.如图,如果四面体D-EFP中棱DE,DF,DP两两垂直,那么

称四面体D-EFP为直角四面体.请类比直角三角形ABC(h表示斜边上的高)中的性质给出直角四面体D-EFP中的两个性质,并给出证明.类别直角三角形ABC直角四面体D-EFP条件CA⊥CBDE⊥DF,DE⊥DP,DF⊥DP结论1a2+b2=c2结论21h2=1a2+1b

2答案：1.B解析:A中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故A错误;C,D都不是由一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论,所以C,D都不正确;只有B符合演绎推理三段论形式且推理正确.2.A解析:不等式组表示的可行域如图所示,由z=2x

+y得y=-2x+z,作出直线y=-2x,平移直线y=-2x,当直线过点C时,直线在y轴上的截距最小,此时z取最小值,由{𝑦=2,𝑥+𝑦-2=0,得{𝑥=0,𝑦=2,即C(0,2),所以z=2x+y的最小值为2×0+2=2.53.A解析:因为1=2x+2y≥2√2

𝑥·2𝑦=2√2𝑥+𝑦,所以2x+y≤14,即x+y≤-2,当且仅当2x=2y=12,即x=y=-1时取等号,所以x+y的取值范围是(-∞,-2].4.D解析:由题意各位数码的筹式需要纵横相间,6728用算筹可表示为.5.B解析:由题意可得5n(n≥5,n∈N*)的末四位数字的周期为4,所

以52021=5504×4+5,所以52021的末四位数字为3125.6.C解析:当n=k时,左边=1+12+13+…+12𝑘-1,当n=k+1时,左边=1+12+13+…+12𝑘-1+12𝑘+12𝑘+1+12𝑘+2+…+12

𝑘+1-1,所以左边增加了12𝑘+12𝑘+1+12𝑘+2+…+12𝑘+1-1,分母是连续的正整数,所以共增加了(2k+1-1)-2k+1=2×2k-2k=2k(项),所以由n=k的假设证明n=k+1时,不等式左边需增加的项数为2k.7.A解析:设供热站应建在离社区x千米处,则

自然消费y1=𝑘1𝑥,供热费y2=k2x,由题意得,当x=20时,y1=0.5,y2=8,所以k1=xy1=10,k2=𝑦2𝑥=25,所以y1=10𝑥,y2=25x,所以两项费用之和y1+y2=10𝑥+

2𝑥5≥2√10𝑥×2𝑥5=4,当且仅当10𝑥=2𝑥5,即x=5时,等号成立,所以要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区5千米处.8.B解析:∵x>0,y>0,且2𝑥+1𝑦=1,∴x+2y=(x+2y)2𝑥+1𝑦=4+4𝑦𝑥+𝑥𝑦≥4+2√4�

�𝑥·𝑥𝑦=8,当且仅当4𝑦𝑥=𝑥𝑦,即x=4,y=2时取等号,∵x+2y≥m2+2m恒成立,∴(x+2y)min≥m2+2m,即8≥m2+2m,解不等式可得-4≤m≤2,故实数m的最小值为-4.9.D解析:对于A,甲同学

的逻辑思维成绩排名比较靠前,但是总排名比较靠后,说明甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前,故A正确.6对于B,乙同学的总排名比较靠前,但是他的逻辑思维成绩排名比较靠后,说明他的阅读表达成绩排名比逻辑思维成绩排名更靠前,故B正确.对于C,甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩

排名顺序是甲、丙、乙,故甲同学最靠前,故C正确.对于D,丙同学的阅读表达成绩排名居中,但是甲、乙同学的阅读表达成绩排名不能具体确定,所以D错误.10.D解析:设投资甲、乙项目分别x,y万元,由题意有{𝑥+𝑦≤300,0.5

𝑥+0.2𝑦≤90,𝑥≥0,𝑦≥0,且最大盈利为30%x+20%y,∴该投资人可能获得的最大盈利,即为以上不等式为约束条件下,求目标式z=30%x+20%y=0.3x+0.2y的最大值.∴由上图知,当直线z=0.3x+0.2y过直线x+y=300与0.5x+0.2

y=90的交点(100,200)时有最大值,∴zmax=0.3×100+0.2×200=70(万元).11.∀n∈N*,1+3+5+…+(2n-1)=n2解析:∵1=12,1+(2×2-1)=22,1+3+(2×3-1)=32,1+3+5+(2×4-1)=42,由此可归纳得出

:∀n∈N*,1+3+5+…+(2n-1)=n2.12.94解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示:当z=ax+by(a>b>0)最大时,直线y=-𝑎𝑏x+𝑧𝑏在y轴截距最大,∵a>b>0,∴-𝑎𝑏<-1,则由图形可知,当直线y=

-𝑎𝑏x+𝑧𝑏过点A时,在y轴截距最大,7由{𝑥-2𝑦+1=0,𝑥=1,得{𝑥=1,𝑦=1,即A(1,1),∴zmax=a+b=4,∴4𝑎+1𝑏=144𝑎+1𝑏(a+b)=145+4𝑏𝑎+𝑎𝑏≥145+2√4𝑏𝑎

·𝑎𝑏=94当且仅当4𝑏𝑎=𝑎𝑏,即a=2b=83时取等号,∴4𝑎+1𝑏的最小值为94.13.12√2解析:∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤(𝑎+𝑏2)2=14,当且仅当a=b=12时取等号,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-12=12,当且仅当a=b=1

2时取等号,a2+b2的最小值为12,(√𝑎+√𝑏)2=a+b+2√𝑎𝑏=1+2√𝑎𝑏≤1+a+b=2,当且仅当a=b=12时取等号,√𝑎+√𝑏的最大值为√2.14.𝑆△𝑃𝐴𝐵2+𝑆

△𝑃𝐵𝐶2+𝑆△𝑃𝐴𝐶2=𝑆△𝐴𝐵𝐶215.证明(1)要证√𝑛+2−√𝑛+1<√𝑛+1−√𝑛,即证√𝑛+2+√𝑛<2√𝑛+1,即证(√𝑛+2+√𝑛)2<(2√𝑛+1)2,即证2n+2+2√𝑛(�

�+2)<4n+4,即证√𝑛(𝑛+2)<n+1,只要证n2+2n<n2+2n+1,而上式显然成立.所以√𝑛+2−√𝑛+1<√𝑛+1−√𝑛成立.(2)假设a<0且b<0,则由a=x2-1<0得-1<x<1,由b=2x+2<0得x<-1,这与-1<x<1矛盾,所以

假设错误.所以a,b中至少有一个不小于0.16.解:(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,…,由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.所以f(n+1)=f(n)+

4n,f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=1+4(𝑛-1)(𝑛-1+1)

2=2n2-2n+1.(3)当n≥2时,1𝑓(𝑛)-1=12𝑛(𝑛-1)=121𝑛-1−1𝑛,8所以1𝑓(1)+1𝑓(2)-1+1𝑓(3)-1+…+1𝑓(𝑛)-1=1+121-12+12−13+13−14+…+1𝑛-1−1𝑛=1+121-1𝑛=32−

12𝑛.17.(1)解:因为an=𝑆𝑛𝑛(2𝑛-1),a1=13,所以a2=𝑆22(2×2-1)=𝑎1+𝑎26,解得a2=115;a3=𝑎1+𝑎2+𝑎33(2×3-1)=𝑎1+𝑎2+𝑎315,解得a3=135.(2)解:由a1=11

×3,a2=13×5,a3=15×7,…,猜想:an=1(2𝑛-1)(2𝑛+1).(3)证明①当n=1时,a1=13,猜想成立;②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=1(2𝑘-1)(2𝑘+1

),那么,当n=k+1时,由题设an=𝑆𝑛𝑛(2𝑛-1),得ak=𝑆𝑘𝑘(2𝑘-1),ak+1=𝑆𝑘+1(𝑘+1)(2𝑘+1),所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)·1(2𝑘-1)(2𝑘+1)=𝑘2𝑘+1,Sk+1=(k+1)

·(2k+1)ak+1,ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)·ak+1-𝑘2𝑘+1.因此k(2k+3)ak+1=𝑘2𝑘+1,所以ak+1=1(2𝑘+1)(2𝑘+3)=1[2(𝑘+1)-1][2(𝑘+1)+1].这就证明了当n=k+1时猜想成立

.由①②可知猜想成立.18.解:记△DEF,△DEP,△DFP,△EFP的面积依次为S1,S2,S3,S,记DE=m,DF=n,DP=p.结论1:S2=𝑆12+𝑆22+𝑆32.证明:过D作DH⊥EF,垂足为H,连

接PH,∵DH⊥EF,EF⊥PD,DH∩PD=D,∴EF⊥平面PDH,又PH⊂平面PDH,∴PH⊥EF.9𝑆12+𝑆22+𝑆32=(12𝑚𝑛)2+(12𝑚𝑝)2+(12𝑛𝑝)2=14(m2n2+m2p2+n2p2),在Rt△DEF中,DH=𝐷𝐸·𝐷𝐹�

�𝐹=𝑚𝑛√𝑚2+𝑛2,PH=√𝐷𝑃2+𝐷𝐻2=√𝑝2+𝑚2𝑛2𝑚2+𝑛2,则S2=12EF·PH2=12√𝑚2+𝑛2√𝑝2+𝑚2𝑛2𝑚2+𝑛22=14(m2n2+n2p2+m

2p2),∴S2=𝑆12+𝑆22+𝑆32.结论2:1ℎ2=1𝑚2+1𝑛2+1𝑝2.证明:过D作DH⊥EF,垂足为H,连接PH,则PH⊥EF,过D作DG⊥PH,垂足为G,设DG=h,∵EF⊥平面PDH,GD⊂平面PDH,∴EF⊥GD,又DG⊥PH,EF∩PH=H,

∴GD⊥平面PEF,即GD=h为点D到平面PEF的距离,由等体积法可得VP-DEF=VD-PEF,即13×12mnp=13×√14(𝑚2𝑛2+𝑛2𝑝2+𝑚2𝑝2)×h,∴h=𝑚𝑛𝑝√𝑚2𝑛2+𝑚2𝑝2+𝑛2𝑝2,∴

1ℎ2=𝑚2𝑛2+𝑚2𝑝2+𝑛2𝑝2𝑚2𝑛2𝑝2=1𝑚2+1𝑛2+1𝑝2.