【文档说明】2023届高考人教A版数学一轮复习试题（适用于老高考旧教材）单元质检卷十二　概率含解析【高考】.docx，共(12)页，130.946 KB，由小赞的店铺上传

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1单元质检卷十二概率(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021河北邯郸二模)某商场有三层楼,最初规划一层为生活用品区,二层为服装区,三层为餐饮区,招商工作结束后,共有

100家商家入驻,各楼层的商铺种类如表所示,若从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为()商铺类型生活用品店服装店餐饮店一层2573二层4274三层6123A.0.75B.0.6C.0.4D.0.

252.在区间[-1,4]内取一个数x,则2𝑥-𝑥2≥14的概率是()A.12B.13C.25D.353.(2021黑龙江齐齐哈尔一模)《周髀算经》中提出了“方属地,圆属天”,就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示

的图形,其中圆的半径为r,正方形的边长为a(0<a<r),若在圆内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率是()A.1-𝑎2π𝑟2B.𝑎2π𝑟2C.𝑎𝑟D.1-𝑎𝑟4.(2021河南新乡三模)为庆祝建党1

00周年,某校组织了一场以“不忘初心、牢记使命”为主题的演讲比赛,该校高一年级某班准备从7名男生,5名女生中任选2人参加该校组织的演讲比赛,则参赛的2人中至少有1名女生的概率是()A.722B.922C.1522D.172225.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排

到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为()A.13B.25C.12D.356.(2021山东实验中学二模)市场调查发现,大约35的人喜欢在网上购买儿童玩具,其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具.经工商局抽样调查发现,网上购

买的儿童玩具合格率为45,而实体店里的儿童玩具的合格率为910.现工商局通过电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉,则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是()A.12B.34C.45D.567.从集合{1,2

,3,4}中随机抽取一个数a,从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为()A.16B.14C.13D.128.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均

为23,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是()A.49B.1927C.1127D.40819.(2021广东韶关一模)假设某射手每次射击命中率相同,且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命

中一次的概率是1625,则该射手每次射击的命中率为()A.925B.25C.35D.3410.(2021甘肃一模)圆x2+y2=4上任意一点M到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率为()A.16B.13C.23D.5611.(2021湖

南岳阳一模)“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇.现有4名高三学生准备高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的

概率为()3A.716B.916C.2764D.8125612.(2021辽宁沈阳一模)已知随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),则1𝑥+4𝑎-𝑥(0<x<a)的最小值为()A.9B.9

2C.4D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.14.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛,现采用抽签

法决定演讲顺序,在“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为.15.(2021天津一模)袋子中有5个大小、质地完全相同的小球,其中有3个红球,2个黄球,从袋中一次性随机取出3个小球后,再将

小球放回,则“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”的概率为,记“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”发生的次数为X,若重复5次这样的实验,则X的数学期望为.16.(2021江苏淮安二模改编)为了解目前某市高一学生身体素质状况,对某校高一学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩ξ~

N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀.则下列说法正确的是.参考数据:随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.①该校学生体育成绩

的方差为10②该校学生体育成绩的均值为70③该校学生体育成绩的及格率不到85%④该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021湖北武汉一模)有关研究表明,正确佩戴安全头盔,

规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低,对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月,“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间,公安交管部门将加强执法管理,依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔,汽车驾乘人员不使用安全带的行为,助

推养4成安全习惯.该行动开展一段时间后,某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查,在随机调查的1000名骑行人员中,记录其年龄和是否佩戴头盔情况,得到如图的统计图表:(1)估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(2)根据所给的数据

,完成下面的列联表:年龄佩戴头盔没有佩戴头盔[20,40)[40,70](3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关?附:K2=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+

𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑).P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.82818.(12分)(2021北京,18)为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是

阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;5②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为111,定义

随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的数学期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).19.(12分)(2021四川成都双流中学三模)从某市的中

学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图.(1)求a的值并估计该市中学全体男生的平均身高(假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替);(2)从该市中学的男生中随机抽取一名学生,根据直方图中的信息,估计其身高在180cm以上

的概率.若从全市中学的男生(人数众多)中随机抽取3人,用X表示身高在180cm以上的男生人数,求随机变量X的分布列和数学期望E(X).20.(12分)(2021山西孝义模拟)张先生到一家公司参加面试,面试的规则是:面试官最多向他提出五个问题,只要正确回答出三个问题即终止提问

.通过以往面试经验,张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为23,假设回答各个问题正确与否互不干扰.(1)求张先生通过面试的概率;(2)记本次面试张先生回答问题的个数为X,求X的分布列及数学期望.21.(12分)(2021江苏七市第三次调研)面对新一轮科技和

产业革命带来的创新机遇,某企业对现有机床进行更新换代,购进一批新机床.设机床生产的零件的直径为X(单位:mm).(1)现有旧机床生产的零件10个,其中直径大于124mm的有3个.若从中随机抽取4个,记ξ表示取出的零件中直径大于124mm的零件的个数,求

ξ的概率分布列及数学期望E(ξ);6(2)若新机床生产的零件直径X~N(120,4),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于124mm的概率.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827

,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973,0.9772510≈0.7944,0.954510≈0.6277.22.(12分)(2021陕西汉中月考)树木根部半径与树木的高度呈正相关,即

树木根部越粗,树木的高度也就越高.某块山地上种植了A树木,某农科所为了研究A树木的根部半径与树木的高度之间的关系,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A树木,调查得到A树木根部半径x(单位:米)与A树木高度y(单位:米)的相关数据如表所示:x

0.10.20.30.40.50.6y1.11.31.61.52.02.1(1)求y关于x的回归方程;(2)对(1)中得到的回归方程进行残差分析,若某A树木的残差为零,则认为该树木“长势标准”,以此频率来估计概率,则在此片树木中随机抽取80棵,记这80棵树木中“长势标准”

的树木数量为X,求随机变量X的数学期望与方差.参考公式:回归直线方程为𝑦^=𝑏^x+𝑎^,其中𝑏^=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛𝑥𝑦∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2-𝑛𝑥2=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=1𝑛(𝑥

𝑖-𝑥)2,𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥.答案：1.D解析:100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23=75家,故不一致的有100-75=25家,所以从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的

概率为25100=0.25.2.D解析:因为2𝑥-𝑥2≥14,所以x2-x-2≤0,解得x∈[-1,2],所以所求概率P=2-(-1)4-(-1)=35.故选D.3.A解析:圆形钱币的半径为r,面积为S圆=πr2.正方形边长为a,面积为S正方形=a2,在圆形内随机取一点,此点取自阴影

部分的概率是P=𝑆圆-𝑆正方形𝑆圆=π𝑟2-𝑎2π𝑟2=1-𝑎2π𝑟2.4.C解析:由题意可知从12名学生中任选2人的情况有C122=66种,故所求概率P=1-C7266=1522.75.B解析:

基本事件总数n=C62C42C22=90,每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C31C31C21C21C11C11=36,所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为P=𝑚𝑛=369

0=25.6.B解析:儿童玩具不合格的投诉为网上购买的可能性为P=35×1535×15+25×110=34.故选B.7.B解析:基本事件总数为4×3=12,当m⊥n时,b=2a,满足m⊥n的基本事件有(2,4),(3,6),(4

,8),共3个,故所求概率为P=312=14,故选B.8.B解析:最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜,其概率为13;第三局甲胜,第四局乙胜,其概率为23×13=29;第三局和第四局都是甲胜,第五局乙胜,其概率为(23)2×13=427.故最后乙队获胜的概率P=13+

29+427=1927.9.C解析:设该射手每次射击的命中率为p,∵在两次射击中至多命中一次的概率是1625,∴1-p2=1625,解得p=35.∴该射手每次射击的命中率为35.故选C.10.C解析:圆x2+y2=4的圆心

O(0,0)到直线3x+4y-15=0的距离为d=|OC|=|0+0-15|√9+16=3,如图所示,𝐴𝐵⏜上的点到直线3x+4y-15=0的距离小于或等于2,所以OD=3-2=1,OA=2,所以∠AOD=π3,∠AOB=2π3,所以圆上任意一点M到直线3x+

4y-15=0的距离大于2的概率为P=1-2π3×22π×2=23.故选C.11.B解析:由题意,基本事件总数n=44=256,恰有一个地方未被选中即有两个同学选择了一个地方有C42种方法,把这两个同学看作一个元素,另两个同学各是一个元素,将这三8个元素填空到四个城市有A4

3种方法,所求事件个数m=C42A43=144,则恰有一个地方未被选中的概率为P=𝑚𝑛=144256=916.故选B.12.B解析:ξ~N(1,σ2),可得正态分布曲线的对称轴为x=1,又P(ξ≤0)=P(ξ≥a),∴a=2.令f(x)=1𝑥+42-𝑥(0

<x<2),则f'(x)=-1𝑥2+4(2-𝑥)2=(𝑥+2)(3𝑥-2)𝑥2(2-𝑥)2,当x∈0,23时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈23,2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)的最小值为f23=32+3=92.故选B.13.

1623解析:甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13=16,设事件A=“甲、乙两球至少一个落入盒子”,则对立事件𝐴=“甲、乙两球都未落入盒子”,P(𝐴)=(1-12)×(1-13)=12×23=13,则P(A)=1-P(𝐴)=23.14.313解析:设事件A为“学生甲不是第一个出场,

学生乙不是最后一个出场”,事件B为“学生丙第一个出场”,则P(A)=A44+C31C31A33A55=78A55,P(AB)=C31A33A55=18A55,则P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=1878=313.15.353解析:设事件A为“取出3

个球中有2个红球,1个黄球”,则P(A)=C32C21C53=35.由题意可得,重复5次这样的实验,事件A发生的次数X服从二项分布,即X~B5,35,则E(X)=5×35=3.16.②③解析:由题意,因为ξ~N(70,100),所以均值为μ=70,方差为σ2=100,所以①错误,②正确;

因为P(ξ≥60)=0.5+12P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.5+0.34135=0.84135<85%,故③正确;因为P(ξ<60)=12(1-P(μ-σ<ξ≤μ+σ))≈12×(1-0.6827)=0.15865,P(ξ≥90)=12(1-P(μ

-2σ<ξ≤μ+2σ))≈12×(1-0.9545)=0.02275,所以④错误.917.解:(1)该市电动自行车骑乘人员的平均年龄为25×0.25+35×0.35+45×0.2+55×0.15+65×0.05=39.(2)2×2列联表如下:年龄佩戴头盔没有佩戴

头盔[20,40)54060[40,70]34060(3)K2的观测值k=1000×(60×540-60×340)2600×400×880×120=12522≈5.682<6.635,所以没有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.18.解:(1)①对每组进行检测,需要10次;再对

结果为阳性组的每个人进行检测,需要10次;所以总检测次数为20次.②由题意,X可以取20,30,P(X=20)=111,P(X=30)=1-111=1011.则X的分布列为X2030P1111011所以E(X)=20×111+30×1011=

32011.(2)由题意,Y可以取25,30,两名感染者在同一组的概率为P1=20C22C983C1005=499,不在同一组的概率为P1=9599,则E(Y)=25×499+30×9599=295099>E(X)

.19.解:(1)根据题意得(0.005×2+a+0.02×2+0.04)×10=1,解得a=0.010,设样本中男生身高的平均值为𝑥,𝑥=145×0.05+155×0.1+165×0.2+175×0.

4+185×0.2+195×0.05=172.5(cm),所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5cm.(2)从全市中学的男生中任意抽取一人,其身高在180cm以上的概率约为14.由已知得X~B3,14,所以P(X=0)=C30(14)0·(34)3

=2764,P(X=1)=C31(14)1·(34)2=2764,10P(X=2)=C32(14)2·(34)1=964,P(X=3)=C33(14)3·(34)0=164.随机变量X的分布列为X0123P27642764964164所以E(X)=3×14=34.2

0.解:(1)记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件Ai(i=1,2,3,4,5),则P(Ai)=23,张先生前三个问题均回答正确为事件B,前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件C,前四个问题回答正确两个且第五个又

回答正确为事件D,张先生通过面试为事件M.则M=B∪C∪D,根据题意,得P(B)=(23)3=827,P(C)=C32×(23)2×13×23=827,P(D)=C42×(23)2×(13)2×23=1681.因为事件B,C,D

两两互斥,所以P(M)=P(B)+P(C)+P(D)=827+827+1681=6481,即张先生能够通过面试的概率为6481.(2)根据题意,X=3,4,5.X=3表示前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过),所以P(X=

3)=(13)3+(23)3=13.X=4表示前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误(淘汰),或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过),所以P(X=4)=C31×23×(13)2×13+C32×(23)2×13×23=1027.X=5表示前面四个问题

中有两个回答错误、两个回答正确,所以P(X=5)=C42×(23)2×(13)2=827.所以X的分布列为X345P13102782711故E(X)=3×13+4×1027+5×827=10727.21.解:(1)由题知,ξ的可能取值为0,1,2,3.P(

ξ=0)=C30C74C104=16,P(ξ=1)=C31C73C104=12,P(ξ=2)=C32C72C104=310,P(ξ=3)=C33C71C104=130,所以ξ的概率分布列为ξ0123P1612310130所以ξ的数学期望E(ξ)=0×16+1×12+2×310+3×130=1.

2.(2)记“至少有一个零件直径大于124mm”为事件A,因为X~N(120,4),所以μ=120,σ=2,所以P(X>124)=1-𝑃(𝜇-2𝜎<𝑋≤𝜇+2𝜎)2≈1-0.95452=0.02275.所以P(X≤124)≈1-0.02275=0.9772

5,所以P(A)=1-0.9772510≈1-0.7944=0.2056.所以至少有一个零件直径大于124mm的概率为0.2056.22.解:(1)由𝑥=16×(0.1+0.2+0.3+0.4+0.

5+0.6)=0.35,𝑦=16×(1.1+1.3+1.6+1.5+2.0+2.1)=1.6,∑𝑖=16xiyi=0.1×1.1+0.2×1.3+0.3×1.6+0.4×1.5+0.5×2.0+0.6×2.1=3.

71,∑i=16𝑥𝑖2=0.12+0.22+0.32+0.42+0.52+0.62=0.91,有𝑏^=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛𝑥𝑦∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2-𝑛𝑥2=3.71-6×0.35×1.60.91-6×0.352

=2,𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥=1.6-2×0.35=0.9,故y关于x的回归方程为𝑦^=2x+0.9.(2)当x=0.1时,𝑦^=2×0.1+0.9=1.1,残差为1.1-1.1=0,当x=0.2时,𝑦^=2×0.2+0.9=1.3,残差为1.3-1.3=0,当x=0.3时,

𝑦^=2×0.3+0.9=1.5,残差为1.6-1.5=0.1,当x=0.4时,𝑦^=2×0.4+0.9=1.7,残差为1.5-1.7=-0.2,12当x=0.5时,𝑦^=2×0.5+0.9=1.9,残差为2.0-1.9=0.1,当x=0.6时,𝑦^=2×0.6+0.9=2.1,

残差为2.1-2.1=0,所以这6棵A树木中残差为零的有3棵,占比为36=12,所以每棵树木“长势标准”的概率为12.所以记这80棵树木中“长势标准”的树木数量为X,且X~B80,12,所以随机变量X的数学期望为E(X)

=80×12=40,方差D(X)=80×12×1-12=20.