【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高三上学期第三次教学质量检测（期中）文数答案.docx，共(26)页，3.059 MB，由小赞的店铺上传

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长安一中2021级高三第三次教学质量检测数学（文科）试题时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U=R，集合{|3,10}Pyyxx==−

，|02xQxx=+，则UPQð等于（）A.()2,0−B.)2,0−C.()3,2−−D.(3,2−−【答案】B【解析】【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集运算.【详解】全集U=R，集合{|3,10}(3,0)Pyyx

x==−=−，|0|(2)0(2{02xQxxxxxxxx==+−=+或2}x−，所以{|20}UQxx=−ð，则{|20}UPQxx=−ð．故选：B．2.已知复数z满足()1i12iz+=−，则复

数z的虚部为（）A.32B.3i2C.32−D.3i2−【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算和共轭复数定义可求得z，由虚部定义可得结果.【详解】()()()()12i1i12i13i13i1i1i1i222z−−−−−====−−++−

，13i22z=−+，则z的虚部为32.故选：A.3.设x，y满足约束条件2330233030xyxyy+−−++，则z＝2x＋y的最小值是（）A.－15B.－9C.1D.9【答案】A【解析】【分析】作出可行域，z表

示直线2yxz=−+的纵截距，数形结合知z在点B(－6，－3)处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数2zxy=+，z表示直线2yxz=−+的纵截距，()223066,3303xyxByy+−==−−−+==−，数形结合知函数2yxz=−+在点B(－6，－

3)处纵截距取得最小值，所以z的最小值为－12－3＝－15.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.4.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手

都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】【分析】假设四人中任意一人猜对，根据合情推理即可求解.【详解】假

设甲猜对比赛结果，则乙也猜对比赛结果，所以假设不成立，所以甲没猜对比赛结果，即得第一名的是1,2,3或6；若乙猜对比赛结果，则1,2或6号选手中的其中一名获得第一名，此时丙也猜对比赛结果，所以乙也没有猜对比赛结果，所以3号

选手获得第一名，则只有丁猜对了比赛结果.故选：D.5.若()1e1xafx=−+为奇函数，则()ln[(1)()]gxxxa=−−的单调递增区间是（）A.()0,1B.()1,+C.3,2+D.()2,+【答案】D【解析】【分析】由()

fx为奇函数，求出a的值，利用复合函数的单调性特征求()gx的单调递增区间.【详解】函数()1e1xafx=−+为奇函数，()fx的定义域为R，由()()1120e1e1xxaafxfxa−−+=−+−=−=++，∴2a=，函数()ln(1)(2)gxxx=−−的定义域为()(),12,−+

，函数lnyx=在定义域内单调递增，当()(),12,x−+时，()()12yxx=−−的单调递增区间为()2,+，所以()ln[(1)(2)]gxxx=−−的单调递增区间为()2,+.故选：D．6.南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问

题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示．若输出的S的值为56，则程序框图中①处可以填入（）A.4iB.5iC.6iD.7i【答案】C【解析】【分析】根据循环结构及执行逻辑写出执

行步骤，结合输出结果确定条件即可.【详解】第一次循环：011,011aS=+==+=，不满足输出条件，2i=；第二次循环：123,134aS=+==+=，不满足输出条件，3i=；第三次循环：336,4610aS=+==+=，不满足输出条件，4i=；第

四次循环：6410,101020aS=+==+=，不满足输出条件，5i=；第五次循环：10515,201535aS=+==+=，不满足输出条件，6i=；第六次循环：15621,352156aS=+==+=，满足输出条件，退出循环．所以判断框中的条件可填入

“6i”．故选：C7.某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.24yxa=+，则下列说法不正确的是（）时间x12345销售量y（千只）0.50.81.01.21.5

A.由题中数据可知，变量y与x正相关B.线性回归方程ˆˆ0.24yxa=+中ˆ0.28a=C.可以预测6x=时该商场手机销量约为1.72（千只）D.当5x=时，残差为0.02−【答案】ABC【解析】【分析】根据表格中的数据的变换趋势，平均数的计算公式，以及回归直线

方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，从数据可得y随着x的增加而增加，所以变量y与x正相关，所以A正确；对于B中，由表中数据知123450.50.811.21.53,155xy++++++++====，则样本中心点为(3,1)，将样本中心点(3,1)，代

入ˆˆ0.24yxa=+中，可得ˆ130.240.28a=−=，所以B正确；对于C中，当6x=时，该商场5G手机销售量约为ˆ0.2460.281.72y=+=（千只），所以C正确；对于D中，线性回归方程为ˆ0.240.28yx=+，当5x=时，可得ˆ0.

2450.281.48y=+=，残差为1.51.480.02−=，所以D错误.故选：ABC.8.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形OCD为一把折扇展开后的

平面图，其中23COD=，1OCOD==，设向量32mOCOD=+，2nOCkOD=+，若11mn=，则实数k的值为（）A.1B.3C.7D.14【答案】D【解析】【分析】先利用题意算出12OCOD=−，然后利用数量积的运算律对()()32211mnOCODOCkOD=+

+=进行化简，即可求解【详解】因为23COD=，1OCOD==，所以2132cosOCODOCOD==−，因为向量32mOCOD=+，2nOCkOD=+，11mn=，所以()()()2232263

4211OCODOCkODOCkOCODkOD++=+++=，即()16342112kk++−+=，解得14k=故选：D9.已知双曲线22:113xyCmm−=+−的离心率大于2，则实数m的取

值范围是（）A.()1,1−B.()1,3−C.(),1−D.()0,1【答案】A【解析】【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得m的范围．【详解】当双曲线实轴在x轴上时，1030mm+−，解得13

m−，此时2134cmm=++−=，所以221ceam==+，解得1m，所以11m−，当双曲线实轴在y轴上时，1030mm+−，解得m，不符合题意.综上，解得11m−.故选：A．10.如图，在三棱锥ABCD−中，2ADCD==，22ABBCAC==

=，平面ACD⊥平面ABC，则三棱锥ABCD−外接球的表面积为（）A.12πB.32π3C.28π3D.8π【答案】B【解析】【分析】由题意说明ADC△为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出BM⊥平面ACD，进而结合球的几何性质，确定三棱锥ABCD−外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答

案.【详解】由于2ADCD==，22AC=，故222ADCDAC+=，即ADC△为等腰直角三角形，取AC的中点为M，连接,DMBM，因为22ABBCAC===，即ABC为正三角形，故BMAC⊥,由于平

面ACD⊥平面ABC，平面ACD平面ABCAC=，BM平面ABC，故BM⊥平面ACD，DM平面ACD，故BMDM⊥；又M为ADC△的外心，则三棱锥ABCD−外接球的球心必在BM上，设ABC的中心为O，则O在BM上且23

2622323OAOBOC====，而2113622,333122OMDACMBM=====，则2282633ODMDMO=+===，即OAOBOCOD===，即O点即为三棱锥ABCD−外接球的球心，故外接球半径为263R=，所以外接球表面积为2324ππ3SR==

，故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的位置，进而求得半径.11.已知角()0,2π，终边上有一点()cos2sin2,cos2sin2−−−，则=（）A.2B.3π24+C.7π24−D.π22+

【答案】C【解析】【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得3π2π4k=−+，结合角的范围即可求解.【详解】πtantan2cos2sin21tan24tanπcos2sin21tan21tantan24+−−+

==−=−−−−ππ3πtan2tanπ2tan2444=−+=−+=−，故3π2π4k=−+，kZ．又cos2sin20−，πcos2sin22sin204−−=−+，故在第三象限，故1k=，7π24=−．故选:

C．12.过抛物线2:3Cyx=的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交34x=−于D，则ABD△面积的最小值为（）A.3B.2C.94D.23【答案】A【解析】【分析】根据题意可得焦点3,04F，准线34x

=−，设直线AB的倾斜角为，则直线AB的方程为cos3sin4xy=+；联立抛物线方程可得23cos90sin4yy−−=，联立直线AO和准线方程34x=−可得D点坐标，即可得BD垂直于准线，再利用焦半径公式可得1cospBF=+，1cospAF=−

，写出ABD△的面积ABDS的表达式，利用导函数和π0,2即可求得其最小值.【详解】如下图所示，易知焦点3,04F，直线34x=−即为抛物线2:3Cyx=的准线；设直线AB的倾斜角为，由对称性和交点个数可知，不妨取π0,2

；则直线AB的方程为cos3sin4xy=+；联立抛物线2:3Cyx=方程可得23cos90sin4yy−−=；设221212,,,33yyAyBy，则满足12123cos9,sin4yyyy+=−=−；则直线AO的斜

率为13AOky=，其直线方程为13yxy=，联立准线方程34x=−可得139,44Dy−−，又1294yy=−可得2194yy=−可知,BD两点纵坐标相同，所以直线BD于x轴平行，即BD垂直于准线；由抛物线定义可得BDBF=；因此可

得cosBDBFp+=，即()1cosBFp+=，即1cospBF=+；同理可得1cospAF=−；所以ABD△的面积()11sinsin22ABDSABBDABDAFBFBF==+化简可得()

21sin21cos1cos1cossin1cosABDppppS=+=−+++由23yx=可得32p=，所以()94sin1cosABDS=+令()()πsin1cos,0,2f=+

，的则()22coscos1f=+−，令()0f=，解得1cos,2=所以当π0,3时，()0f，函数()f在π0,3上单调递增，在ππ,32上单调递减；所以当π3=时，()f取最大值π3133

13224f=+=，当()f取最大值时，面积取最小知，即()min9134334ABDS==.即ABD△面积的最小值为3.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用焦半径公式建立直线AB的倾斜角为

与,AFBF的关系式1cospBF=+，1cospAF=−，写出ABD△的面积ABDS的表达式，利用导函数求得面积最小值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()ln1fxxax=−+（其中aR）在1x=处的切

线为l，则直线l过定点的坐标为__________.【答案】()0,0【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，从而可求出其过的定点【详解】根据题意：函数()ln1fxxax=−+在1x=处有切线，切点

为()1,1a−，又()1fxax=−，故切线斜率为1a−，直线l的方程为()()()()1111yaaxyax−−=−−=−，该直线过定点的坐标为()0,0.故答案为：()0,014.等差数列na中的12023,aa是函数32()641fxxxx=−+−的极值点，

则82012loga=__.【答案】13【解析】【分析】求得2()3124fxxx=−+，结合题意，得到12023,aa是方程231240xx−+=的两个根，再由等差数列的性质和对数的运算性质，即可求解.【详解】由函数32()641fxxxx=−+−，可得2()3124fxx

x=−+，因为12023,aa是函数()fx的极值点，即12023,aa是方程231240xx−+=的两个根，可得120234aa+=，又由12023201222aaa+==，所以8201281loglog23a==.故答案为：13.15

.ABC中，三内角,,ABC所对边分别为,,abc，已知3sin2sincosABC=，1a=，则角A的最大值是_______________【答案】π6##o30【解析】【分析】由题意，利用正弦定理将3sin2sincosABC=角化

边，再结合余弦定理可得2222bca−=，代入cosA消去a，利用基本不等式求出cosA的范围，得解；或利用三角恒等变换结合正切函数的性质即得.【详解】解法一：3sin2sincosABC=，由正弦定理得32cosa

bC=，由余弦定理得222cos2abcCab+−=，将cosC代入32cosabC=，可得2222bca−=，而222cos2bcaAbc+−=，消去2a可得221313322cos=242（+）≥bcbcAb

ccb+=，当且仅当3bc=时取等号.cosyx=在(0,π)上单调递减，maxπ6A=.解法二：sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+，又3sin2sincosABC=，cos0C，C为锐角，且sincos3

cossin0BCBC+=，即tan3tan=−BC，B为钝角，A为锐角，而2tantan2tan23tantan()11tantan13tan33tantanBCCABCBCCCC+=−+=−==−++≤，tanyx=在π0,

2上单调递增，maxπ6A=.故答案为：π616.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，有下列判断：①平面1//PBA平面1ACD；②11APBD⊥；③异面直线1AP与1AD所成角的取值范围是π0,3；④三棱锥1DAPC−的体积不变.其中，正

确的是__________（把所有正确判断的序号都填上）.【答案】①②④【解析】【分析】对于①，建立空间直角坐标系，由空间向量相关运算得到1BD⊥平面11CBA，1BD⊥平面1ACD，得到两平面平行；对于②，在①基础上证明出线线垂直；对于③，表达出异面直线1AP与1AD所成

角的余弦值为212cos132222mm−=−+，当12m=和110,,122m两种情况，求出异面直线1AP与1AD所成角范围；D选项，由线面平行结合等体积法得到三棱锥体积为定值.【详解】

对于①，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则()()()()()()()()11111,1,1,1,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1BACACDBD，故()11,1,1BD=−−，()()1110,1,1,1,1

,0ABAC==−，()()()()111111,1,10,1,10,1,1,11,1,00BDABBDAC=−−==−−−=，故1BD⊥1AB，1BD⊥11AC，又1111ABACA=，111,ABAC平面11CBA，故1BD⊥平面11CBA

，又P在线段1BC上运动，故1BD⊥平面1PBA，又()()11,1,0,1,0,1ACAD=−=−−，()()()()1111,1,11,1,00,1,1,11,0,10BDACBDAD=−−−==−−−−=，故1BD⊥A

C，1BD⊥1AD，又1ACADA=I，1,ACAD平面1ACD，故1BD⊥平面1ACD，所以平面1//PBA平面1ACD，①正确；对于②，由①可得1BD⊥平面1PBA，又1AP平面1PBA，所以11APBD⊥，②正确；对于③，设(),1,,01Pmmm，则()()111,1,,

1,0,1APmmAD=−=−−，设异面直线1AP与1AD所成角大小为，则()()()111122111,1,1,0,1coscos,1111APADmmAPADAPADmm−−−===+−++2212122222132222mmmmm−−=

=−+−+，当12m=时，cos0=，故π2=，当110,,122m时，221cos0,232122m=+−，又cosyx=在π0,2

上单调递减，故ππ,32，综上，异面直线1AP与1AD所成角的取值范围是ππ,32，③错误；对于④，因为()()111,0,1,1,0,1BCAD=−−=−−，所以11//BCAD，因为1BC平面1ACD，1AD平面1ACD，所以1//BC

平面1ACD，故又P在线段1BC上运动，故1PACDV−为定值，故11DAPCPACDVV−−=，体积不变.，④正确.故答案为：①②④三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列na的前n项和为nS，()

*226nnSann=+−N．（1）求证数列2na−为等比数列，并求数列na的通项公式na．（2）若数列112nnnaa++的前m项和127258mT=，求m的值，【答案】（1）证明见解析，22nna=+（

2）7【解析】【分析】（1）利用数列中nS与na的关系，得1222nnaa−−=−，可证明数列2na−为等比数列，可求数列na的通项公式na．（2）利用裂项相消求数列112nnnaa++的前m项和mT，由127258mT=求m的值.【小问1详解】因为

226nnSan=+−，所以当1n=时，1124Sa=−，解得14a=．当2n时，11228nnSan−−=+−，则11222nnnnSSaa−−−=−+，整理得122nnaa−=−，故1222nnaa−−=−，122a−=，所以数列2na−是首项为2，公

比为2的等比数列，所以12222nnna−−==．所以22nna=+【小问2详解】()()111112211222222222nnnnnnnnnbaa+++++===−++++，数列nb的前m项和111111111111112224661010142

222422222mmmmmT+++=−+−+−++−=−=−++++L，则112127222258m+−=+，则12222258m+=+，则12256m+=，解得7m=，故m的值为7．18.某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，

随机抽取了100名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间（单位：h）整理后得到如下表格：课余学习时间)1,3)3,5)5,7)7,99,11人数510254020（1）估计这100名大学生每天课余学习时间的中位数；（2）根据分层抽样

的方法从课余学习时间在)7,9和9,11，这两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽到的2人的课余学习时间都在)7,9的概率．【答案】（1）7.5（2）25【解析】【分析】（1）根据频数分布表估计中位数的方法直接求解即可；（2）根据分层抽样原则可确定从)

7,9和9,11两组中抽取的人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【小问1详解】5102540++=，510254080+++=，这100名大学生每天课余学习时间的中位数位

于)7,9之间，则中位数为10727.540+=.【小问2详解】由题意知：从课余学习时间在)7,9这一组抽取406460=人，分别记为1234,,,aaaa，从课余学习时间在9,11这一组抽取206260=人，分别记为12,bb；

从这6人中随机抽取2人，所有的基本事件为：12131411122324212234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,aaaaaaababaaaaababaa3132414122,,,,,,,,,ababab

abbb，共15个基本事件；其中“抽到的2人的课余学习时间都在)7,9”包含的基本事件为：121314234432,,,,,,,,,,,aaaaaaaaaaaa，共6个基本事件；抽到的2人的课余学习时间都在)7,9的概率62155p==.19.在如图所示的

五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且60,22,//,DABEAEDABEFEFABM=====为BC中点.(1)求证:FM∕∕平面BDE;(2)若平面ADE⊥平面ABCD,求F到平面BDE的

距离.【答案】(1)见解析(2)155【解析】【详解】(1)取BD中点O,连接,OMOE,因为,OM分别为,BDBC的中点,所以//OMCD,且12OMCD=,因为四边形ABCD为菱形,所以//,CDABCD又平面,ABFEAB平面ABFE,所以//CD平面ABFE.

因为平面ABFE平面,CDEFEFCD=平面CDEF,所以CDEF∕∕.又2ABCD==,所以12EFCD=.所以四边形OMFE为平行四边形，所以//MFOE.又OE平面BDE，且MF平面BDE,所以//MF平面BDE.(2)由(1)得/

/FM平面BDE,所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离.取AD中点H,连接,EHBH,因为四边形ABCD为菱形,且60,2DABEAEDABEF====,所以,EHADBHAD⊥⊥,因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE平面ABCDAD=,所以EH⊥平面,ABCDEHBH⊥,因为

3EHBH==,所以6BE=,所以22161562222BDES=−=,的设F到平面BDE的距离为h,又因为113342242BDMBCDSS===,所以由EBDMMBDEVV−−=,得1311533232h=

,解得155h=.即F到平面BDE的距离为155．20.如图所示，已知椭圆22:12xGy+=，与x轴不重合的直线l经过左焦点1F，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．（1）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率．（2）是否存在直线l，使得2A

MCMDM=成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12−（2）2222yx=+或2222yx=−−【解析】【分析】（1）由题意，求出直线l的方程，设出点A，B的坐标，联立方程组可得A，B的坐标及其中点M的坐标，即可得直线OM的斜率；（2）假设存在直线l使得2

AMCMDM=成立，讨论直线斜率的情况，联立方程组分析可得是否满足题意，即可得答案.【小问1详解】解：由已知可得()11,0F−，又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为1yx=+，设()11,Axy，()22,Bxy，由22112yxxy=++=，解得1101xy==，22431

3xy=−=−，所以AB的中点21,33M−，于是直线OM的斜率为113223=−−；【小问2详解】解：假设存在直线l，使得2AMCMDM=成立，当直线l的斜率不存在时，AB的中点()1,0M−，所以22AM=

,()()21211CMDM=−+=，矛盾；故直线斜率存在，可设直线l的方程为()1ykx=+（0k），联立直线与椭圆方程得()()2222214210kxkxk+++−=，则2122421kxxk+=−+，()2122

2121kxxk−=+，于是2121222211222121yyxxkkkkkk++=+=−+=++，点M的坐标为2222,2121kkkk−++，()()()()222222212222212214114212121kkk

ABkxxkkkk−+=+−=+−−=+++，直线CD的方程为12yxk=−，联立椭圆于直线CD，得222421kxk=+，设()00,Cxy，则22222000221411421kOCxyxkk+=

+=+=+，由题意()()()222444ABCMDMCOOMCOOMCOOM==+−=−，即()()()()22222222228141414212121kkkkkkk+++=−+++，化简得212k=，故22k=，所以直线l的方程为2222yx=

+或2222yx=−−.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时

，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21.已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa=．（1）当2a=时，求()fx的单调区间；（2）若曲线()yfx=与直线1y=有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】（1）20,ln2上单调递增；2,

ln2+上单调递减；（2）()()1,,+ee.【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()

yfx=与直线1y=有且仅有两个交点等价转化为方程lnlnxaxa=有两个不同的实数根，即曲线()ygx=与直线lnaya=有两个交点，利用导函数研究()gx的单调性，并结合()gx的正负，零点和极限值分析()gx的图象，进而得到ln10aae，发现这正好是()()

0gage，然后根据()gx的图象和单调性得到a的取值范围.【详解】（1）当2a=时，()()()()22222ln2222ln2,242xxxxxxxxxxxfxfx−−===,令()'0fx=得

2ln2x=,当20ln2x时，()0fx¢>,当2ln2x时，()0fx,∴函数()fx在20,ln2上单调递增；2,ln2+上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数()lnln1lnlnaxaxxxafxaxxaaxaxa===

==设函数()lnxgxx=,则()21lnxgxx−=,令()0gx=，得xe=,在()0,e内()0gx,()gx单调递增；在(),e+上()0gx,()gx单调递减；()()1maxgxgee==,又()10g=，

当x趋近于+时，()gx趋近于0，所以曲线()yfx=与直线1y=有且仅有两个交点，即曲线()ygx=与直线lnaya=有两个交点的充分必要条件是ln10aae,这即是()()0gage,所以a的取值范围是()()1,,+

ee.[方法二]：构造差函数由()yfx=与直线1y=有且仅有两个交点知()1fx=，即axxa=在区间(0,)+内有两个解，取对数得方程lnlnaxxa=在区间(0,)+内有两个解．构造函数()lnln,(0,)gxaxxax=−+，求导数得ln()lnaaxag

xaxx−=−=．当01a时，ln0,(0,),ln0,()0,()axaxagxgx+−在区间(0,)+内单调递增，所以，()gx在(0,)+内最多只有一个零点，不符合题意；当1a时，ln0a，令()0gx=得lnaxa

=，当0,lnaxa时，()0gx；当,lnaxa+时，()0gx；所以，函数()gx的递增区间为0,lnaa，递减区间为,lnaa+．由于1110e1,e1eln0lnaaaagaa−−−

=−−，当x→+时，有lnlnaxxa，即()0gx，由函数()lnlngxaxxa=−在(0,)+内有两个零点知ln10lnlnaagaaa=−，所以elnaa，即eln0aa−．,构造函数()elnhaaa=−，则ee()1ahaaa−=−=

，所以()ha的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+，所以()(e)0hah=，当且仅当ea=时取等号，故()0ha的解为1a且ea．所以，实数a取值范围为(1,e)(e,)+．[方法三]分离法：一曲一直曲线()yfx=与1y=有且仅

有两个交点等价为1axxa=在区间(0,)+内有两个不相同的解．因为axxa=，所以两边取对数得lnlnaxxa=，即lnlnxaxa=，问题等价为()lngxx=与ln()xapxa=有且仅有两个交点．①当01a时

，ln0,()apxa与()gx只有一个交点，不符合题意．②当1a时，取()lngxx=上一点()()000011,ln,(),,()xxgxgxgxxx==在点()00,lnxx的切线方程为()0001lnyxxxx−=−，即0011lnyxxx=−+．当0011lnyx

xx=−+与ln()xapxa=为同一直线时有00ln1,ln10,aaxx=−=得0ln1,ee.aax==直线ln()xapxa=的斜率满足：ln1e0aa时，()lngxx

=与ln()xapxa=有且仅有两个交点．记2ln1ln(),()aahahaaa−==，令()0ha=，有ea=．(1,e),()0,()ahaha在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()ahaha+在区间(,)e+内单调递减；ea=时，()ha最大值为1

(e)eg=，所当1a且ea时有ln1e0aa．综上所述，实数a的取值范围为(1,e)(e,)+．[方法四]：直接法()112ln(ln)()(0),()aaxxaaxxxxaxaaaxxaxafxxfxaaa−−−

−===．因为0x，由()0fx=得lnaxa=．的当01a时，()fx在区间(0,)+内单调递减，不满足题意；当1a时，0lnaa，由()0fx得0,()lnaxfxa在区间0,lnaa内单调递增，由()0fx得,()lna

xfxa在区间,lnaa+内单调递减．因为lim()0xfx→+=，且0lim()0xfx+→=，所以1lnafa，即lnlnln1(ln)aaaaaaaaaaaa−

=，即11lnln(ln),lnaaaaaaaaa−−，两边取对数，得11lnln(ln)lnaaa−，即ln1ln(ln)aa−．令lnat=，则1lntt−，令()ln1hxxx=−+，则1()1

hxx=−，所以()hx在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+内单调递减，所以()(1)0hxh=，所以1lntt−，则1lntt−的解为1t，所以ln1a，即ea．故实数a范围为(1,e)(e,)+．]【整体点评】

本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构

造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.方法三：将问题取对，分成()lngxx=与ln()xapxa=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最

值，得到结论.请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为26txyt+==（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线

l的极坐标方程为5πcos()06m−−=．（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；的（2）若l与C有两个不同的交点，求实数m的取值范围．【答案】（1）262yx=−，其中0y；32yxm=+（2）33[,)612−【解析】【分析】（1）根据题意，消去

参数t，得到曲线C的普通方程，结合极坐标与直角的互化公式，即可求得直线l的直角坐标方程；（2）根据题意，联立方程组，方程有两个非负实根，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由曲线C的参数方程为26txyt+==（t为参数），消

去参数t，可得262yx=−，其中0y，又由直线l的极坐标方程为5πcos()06m−−=，即31cossin022m−+−=，因为cossinxy==，可得31022xym−+−=，即32yxm=+，所以

曲线C的普通方程为262yx=−，其中0y，直线l的直角坐标方程为32yxm=+.【小问2详解】解：若直线l与曲线C有两个不同的交点，则23262yxmyx=+=−有两组不同的解，整理得23612230yym−++=，则方程有两个非负实根，即1212Δ3643(1223)06031

22303myymyy=−++=+=，解得33612m−，所以实数m的取值范围是33[,)612−.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()()220fxxxmm=+−的图象关于直线1x=对称．（1）求()fx的最小值；（2）设

a，b均为正数，且abm+=，求14ab+的最小值．【答案】（1）4；（2）94【解析】【分析】（1）先整理()fx，再利用题意中的对称求出4m=，然后用三角不等式求出最小值即可；（2）由（1）可得4

ab+=，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解【小问1详解】()2222fxxxmxxm=+−=+−，令20x=，解得0x=；令20xm−=，解得2mx=，因为函数()fx的图象关于直线1x=对称，所以0212m+=，解得4m=，所以()

()2242244fxxxxx=+−−−=，当且仅当()2240xx−时，取等号，故()fx的最小值为4；【小问2详解】由（1）可得4ab+=，即()114ab+=，所以()41141444511445429abababaababab

b+=+++++==，当且仅当4baab=即48,33ab==时，取等号，故14ab+的最小值为94获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

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