【文档说明】高中数学人教B版必修4教学教案：3.1.1 两角和与差的余弦 （2） 含答案【高考】.doc，共(6)页，1.340 MB，由小赞的店铺上传

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-1-3.1.1两角和与差的余弦一、教材分析两角差的余弦公式是本章最先推导出来的公式，是后继内容两角和与差的正弦、正切公式、二倍角公式等知识的基础，为以后三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决奠定基础.课本是以一个实际问题

做引例，目的在于从中提出问题，引出本章的研究课题.以实例引入课题有利于体现数学与实际问题的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，同时也让学生体会数学知识发生、发展的过程.二、学情分析在第一章中学生学习了三角函数的基本概念、诱导公式等，对三角函数有了一个初步的了解.第二章学

习了平面向量的基本知识，对平面向量的坐标运算有了一定的认识.三、教学目标1、知识目标：运用两角差的余弦公式求三角函数值．通过让学生探索、归纳、猜想、发现并证明“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化训练，加深对

两角差的余弦公式的理解2、能力目标：通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3、情感目标：通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转

化，养成用辩证与联系的观点看问题.通过创设情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力.通过观察、对比，体会公式的线性美、对称美.四、教学重点和难点教学重点：通过探究推导两

角差的余弦公式及公式的灵活运用.-2-教学难点：探索过程的组织和引导，两角和与差的余弦公式推导的严谨性分析.五、教学方法三角函数有丰富的实际背景，是解决三角函数问题、恒等变换问题的重要工具.学生的学习活动只有通过自身积极的参与、再现创造性的劳动，才有可能是有效的，也是我们追求的目标.基于这种认识

并结合本节课的教学内容和教学目标，采取“教师为主导、学生为主体、训练为主线”的教学模式，引导学生主动参与、大胆尝试、归纳猜想．由此拟采用以下的教学流程：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题----灵活应用.六、教学过程（一）导入新课播放多媒体，

出示问题：由学生身边的背景素材引入，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，抛出新知识引起学生的兴趣和疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲.这里只需求出cos15即可，而sin15可利用cos15求出.那么cos15等于多少呢？cos15可转换成

()cos6045−那()cos6045−又等于多少呢？使学生经历把实际问题转化成数学问题的过程，产生认知冲突，师生共同得出本节课题.（二）探究新知教学活动以问题作为向导，教师作适当引导，先提出问题：我们如何求()cos?−=然后围绕以下几个问题进行教学活动：①()cos?−

=鼓励学生大胆猜想.②我们已有知识体系中从形式上与其一致的有什么？引导学生在遇到一个陌生问题时-3-如何转化与思考.③从熟悉的诱导公式cossin2−=、()coscos−=−、()cos2cos−=......探究、归纳、猜想()cos−应与

、的正余弦有关，回到正余弦的定义.④在单位圆中，结合其代数与几何特点，引导学生利用向量的相关知识，推导发现()cos?−=⑤严谨性分析：−就是向量夹角吗？⑥观察()C−公式的结构，它有哪些特

征？其中、角的取值范围如何？⑦如何正用、逆用、灵活运用()C−公式进行求值计算？对于问题①，出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想，有的同学可能就首先想到()coscoscos

−=−的结论，此时教师适当的点拨，然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如60=，30=，则()3coscos302−==，而13coscoscos60cos302−−=−=，这

一反例足以说明()coscoscos−−.对于问题②、③，既然()coscoscos−−，那么()cos−究竟等于什么呢？解题大师波利亚在《怎样解题表》中指出：“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更

容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？……”不-4-妨写出我们已经熟悉的一种特殊情况，如：()cos−、cos2−.对于问题④，我们不难发现，与的正弦或余弦有关，那同学们是否想过，当2−、−变成−时

，其正、余弦值又会有什么样的关系呢？“不忘初心”，不妨“回到定义去”.分析：如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角、且0,2、，它们的终边与单位圆O的交点分别为AB、，则()cossinA，,()cossinB，.观察其代数形式与几何特征，我们结合平面向

量知识，即OA()cossin=，，OB()cossin=，，AOB=.由数量积的定义有coscosOAOBOAOB==，由数量积的坐标表示，又有OAOB()()cossincossincoscossinsin=

=+，，，于是，()coscoscoscossinsin−==+.若R、，情况又会怎样？从图中可知，k2++=或k2+−=，Zk（为什么？）于是有Zkk=−,2，所以cos)cos(=−.对任意角、都有()coscoscoss

insin−=+注：我们发现，运用向量工具进行探究推导，过程相当简洁.特别是当角−符合条件0−，以-5-上结论显然成立.由于、都是任意角，−也是任意角，因此，我们还要通过严谨性分析，找到−与的关系，这是一个难点.此公

式给出了任意角、的正弦、余弦值与其差角−的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记()C−.有了公式()C−以后，我们只要知道coscossinsin、、、的值，就可以求得()cos−的值了.对于问题⑥，教师引导学生细心观察公式()C

−的结构特征，让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”，右边是“这两个角的余弦积与正弦积的和”.可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆，特别是运算符号，左“−”右“+”.对于问题⑦，关于公式的正用比

较简单，关键在于“凑角”的技巧，而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性，特别是变形应用，这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧，如：()3cos75cos45sin75sin45cos7545co

s302+=−==，()()coscossinsin+++()coscos=+−=，等.（三）例题讲评例1利用差角余弦公式求cos15的值.解法一：426)3045cos(15c

os+==−=；解法二：426)4560cos(15cos+==−=；注：这是通过应用理解公式的比较基础的练习，求解过程可由学生独立进行.通过本例，使学生对三角变换有了一定的认识，教师再作适当点评：①三角变换关注角的拆分；②拆分的多样性决定变换的多样性

.七、课堂练习课本P1271、2、3-6-八、课堂小结1.()C−公式：()coscoscossinsin−=+；2.凑角法思想.九、课外作业课本P1372、3、4十、课后反思用一位数

学学家的名言概括本节课的探究思路与学习感悟：高斯：“一个人在无结果地深思一个真理后，能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它最简明而又最自然的证法，那是及其令人高兴的.”“假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会做出同样的发现.”