【文档说明】广东省东莞市第四中学2023-2024学年高三上学期10月月考 数学答案.docx，共(22)页，1.417 MB，由小赞的店铺上传

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东莞四中2023-2024高三第一学期数学月考试题与答案一、单项选择题：1.已知集合(1,3)A=−，{43225}Bx|x=−−，则AB=（）A.1,33−B.1,33−C.2,33

−D.2,33−【答案】C【解析】【分析】先化简集合B，再利用交集定义去求AB【详解】由43225x−−，解得293x−，则2{|9}3Bxx=−，所以22(1,3)[,9)[,3)33AB=−−=−.故选：C.2.已知a，b是实数，则“ab”

是“22ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】由22ab可得：ab，对0ab两边同时平方可得22ab，所以ab22a

b，所以ab”是“22ab”的充要条件.故选：C.3.下列函数既是偶函数，又在()0,+上单调递增的是（）A.()11fxx=−B.()12xfx=C()()2lg1fxx=+D.()1fxxx=−【答案】C.【解析】【分析】根据偶函数定义，结合函数的单调

性逐一判断即可.【详解】对于A，定义域为1xx，故是非奇非偶函数，A错，对于B，当0x时，()12xfx=在()0,+上为减函数，∴B不对，对于C，∵定义域为R，且()()()22

lg1lg1fxxx−=−+=+为偶函数，设21tx=+，∵lgyt=在()0,+上为增函数，21tx=+在()0,+上为增函数，∴()()2lg1fxx=+在()0,+上为增函数，∴C对.对于

D，∵()()11fxxxfxxx−=−−−=−=−为奇函数，∴D不对.故选：C.4.在42xx−的展开式中，2x的系数是（）A.8−B.8C.4−D.4【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算即可.【详解】42xx−的展开式通项为

()4421442CC2rrrrrrrTxxx−−+=−=−，取422r−=，则1r=，系数为()14C28−=−.故选：A5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积

共4升，则第5节的容积为（）A.1011升B.6566升C.6766升D.3733升【答案】C【解析】【分析】设此等差数列为{}na，公差为d，由题意列方程求出1,ad，进而得解.【详解】设此等差数列为{}na，公差为d，由题意可得：12343,aaaa+++=7894,aaa

++=的则11463,3214adad+=+=，联立解得1137,.2266ad==5137674.226666a=+=故选：C．6.函数()10sin22xxxfx−=+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合函数的奇偶性及函数特殊值，逐项判断，即可得到本题答案

.【详解】因为()()()10sin22xxxfxfx−−−==−+，所以函数()fx为奇函数，排除A，B选项，因为3π3π3π3π22223π10sin3π102122222f−−+−==−+，排除C选项，故选：D7.

已知6log3a=,3log2b=,0.10.5c−=，则（）A.abcB.b<c<aC.c<a<bD.bac【答案】D【解析】【分析】由1,1,1abc得ca，cb，由22ab得ab，从而可得cab.【详解】因为6log31a=，3log21b=，

100.10.50.5c−==，所以ca，cb，又因为66122log3l9oga==，33022log2log21b==，所以22ab，即ab.故cab.故选：D8.已知函数()()cosfxx=−图像关于原点对称

，其中0，()π,0−，而且在区间ππ,43−上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A.3922B.922C.3922≤≤D.922≤≤【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象与性质计算即可.【详解】因为

函数()()cosfxx=−图像关于原点对称，且()R,π,0x−，即函数为奇函数，所以()()00cos0f=−=π2=−，故()πcos2fxx=+=−sinx，当ππ,43x−时，ππ,43

x−，有且只有一个最大值和一个最小值，由正弦函数的图象与性质可得3πππ3992422,22ππ3π226232−−−.故选：B.二、

多项选择题：9.已知函数()sin26πfxx=−，则（）A.()fx的最小正周期为π2B.点5π,012−是()fx图象的一个对称中心C.()fx在ππ,63−上单调递增D.将sin2yx=的图象上所

有的点向右平移π6个单位长度，可得到()fx的图象【答案】BC【解析】【分析】求正弦型函数最小正周期判断A；代入法验证是否为对称中心判断B；由函数在πππ2()26,2x−−上递增求自变量x的对应区间判断C；根据平移写出平移后的解析式判断D.【详解】()fx的最小

正周期为2ππ2T==，故A错误．()0ππ556πsinsin12π6f−=−−=−=，所以5π,012−是()fx图象的一个对称中心，故B正确．由πππ2262x−−π2πππ23363xx−−，所以()fx在ππ

(,)63−上单调递增，C正确．sin2yx=的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到sin2sin263ππxx−=−，故D错误．故选：BC10.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下

列说法正确的是（）A.从中任取3球，恰有2个白球的概率是15；B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则()2EX=；C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球

的概率为1927.【答案】AD【解析】【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，根据二项分布的期望公式可判断C，根据条件概率的计算可判断C，根据对立重复事件的概率可求D.【详解】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是124236CC41C205==,故A正确，对于B,从中有放回取球6次，每次任

取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即()226,,6433XBEX==，故B错误，对于C,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为35，故C错误，对于D，有放回的取球，每次

取到白球的概率为13，没有取到白球的概率为23，所以取球3次没有取到白球的概率为328327=，.所以至少有一次取到白球的概率为81912727−=，故D正确，故选：AD11.已知函数2()2lnfxaxxx=−+存在极值点，则实数a的值可

以是（）A.0B.e−C.12D.1e【答案】ABD【解析】【分析】由题意可知，令()0fx=，换元后可得212=−att，即2102−+=tta，则实数a的取值范围为函数212=−ytt在()0,+上的值域且满足0，由此可求得实数a的取值范围.【详解】函数2()2lnfxaxxx=−

+的定义域为()0,+，且()122=−+fxaxx，由题意可知，函数()yfx=在定义域()0,+上存在极值点，得()1220=−+=fxaxx在()0,+有两个解，由()0fx=可得2112=−axx，令10tx=，则212=

−att，则实数a的取值范围为函数212=−ytt在()0,+上的值域且满足0，对于二次函数()()2211121222=−−=−−+yttt，的当0t时，()21111222=−−+yt，对于二次方程212=−att，即2102−+=tta，120=−

a，解得12a.因此，实数a的取值范围是1,2−.故选：ABD.12.生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：()()00

0ertKNNtNKN−=+−，其中0N，r，K是正数，0N表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内秉增长率，K是环境容纳量.()Nt可以近似刻画t时刻的种群数量.下面给出四条关于函数()Nt的判断正确的有（）A.如果03KN=，那么存在0t，()02NtN=；B.如

果00NK，那么对任意0t，()NtK；C.如果00NK，那么存在0t，()Nt在t点处的导数()0Nt；D.如果002KN，那么()Nt的导函数()Nt在()0,+上存在最大值.【答案】ABD【解析】【分析】解方程()23KNt=得到A正确，计算()0NtK−

得到B正确，求导得到()0Nt恒成立，C错误，构造()()ftNt=，求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案.【详解】对选项A：()22323e33rtKKNtKK−==+，解得2ln2tr=，0r，正确；对选项B：()()()000eertrtKKNNtKNKN−−−−=

+−−，00NK，故()00ertKKN−−−，()000ertNKN−+−，故()0NtK−，即()NtK，正确；对选项C：()()()00200eertrtrKNKNNtNKN−−−=+−，00NK，故

任意的0t，()Nt在t处的导数()0Nt，错误；对选项D：令()()()()00200eertrtrKNKNftNtNKN−−−==+−，则()()()()20000300eeertrtrtrKNK

NKNNftNKN−−−−−−=+−，002KN，令()0ft得()00e0rtKNN−−−，解得0010lnKNtrN−，令()0ft得()00e0rtKNN−−−，解得001l

nKNtrN−，所以()ft在0010,lnKNrN−上单调递增，在001ln,KNrN−+上单调递减，那么()Nt的导函数()Nt在()0,+上存在极大值，也是最大值，正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最

值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，求导得到函数的单调区间进而求最值是解题的关键.三、填空题：13.在ABC中，3BC=，30A=，60B=，则AC=______．【答案】33【解析】【分析】根据给定条

件，利用正弦定理计算作答.【详解】在ABC中，3BC=，30A=，60B=，由正弦定理sinsinACBCBA=，得sin3sin6033sinsin30BCBACA===.故答案为：3314.某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年

办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有__________种(用数字作答)．【答案】24【解析】【分析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数.

【详解】将丙、丁捆绑排列有22A2=种，再把他们作为整体与戊排成一排有22A2=种，排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有23A6=种，综上，共有22624=种排法.故答案为：2415.已知角的大小如图所示，则1sin2cos2+的值为_____

___【答案】4−【解析】【分析】先根据图像求出正切值，然后分子分母同除cos构造正切结构，最后代入即可.【详解】由图可知π4tan441+==−−，所以()222sincos1sin2cossincos2cossincoss

in+++==−−1tanπtan41tan4+==+=−−，故答案为：4−16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，1

0，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列na，正方形数构成数列nb，则10a=______；101111iiiba=++=−______.【答案】①.55②.2011【解析

】【分析】依题意可得()12nnaann−−=，利用累计法求出na，即可求出10a，根据正方形数可知()2*Nnbnn=，即可得到当2n时，11121nnbann=−−−，利用裂项相消法求和即可.【详解】根据三角形数可知，

()12nnaann−−=，则212aa−=，323aa−=，…，1nnaan−−=，累加得1234naan−=++++L，所以()11232nnnan+=++++=，经检验11a=也满足上式，故()12nnna+=，则101011552a==；

根据正方形数可知()2*Nnbnn=，当2n时，()()2211221121112nnnnbannnnnnn====−+−−−−−，则22334411111011111111iiibababababa=++=++++−−−−−11

1111221231311111=−+−++−−−−120211111=−=.故答案为：55；2011四、解答题：17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，27b=，2c=，π3B=．（1

）求a的值；（2）求sinA的值；（3）求()sin2BA−的值．【答案】（1）6a=（2）321sin14A=（3）5314−【解析】【分析】（1）由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理计算可得；（3）由余弦定理求出cosA，即可求出cos2A、sin2A，再由两角差的正弦公式计算可得.【小问

1详解】由余弦定理知，2222cosbacacB=+−，所以21284222aa=+−，即22240aa−−=，解得6a=或4−（舍负），所以6a=．【小问2详解】由正弦定理知，sinsinabAB=，所以627sin32A=，所以321sin14A=．【小问

3详解】由余弦定理知，222284367cos2142272bcaAbc+−+−===−，所以213cos22cos114AA=−=−，33sin22sincos14AAA==−，所以sin(2)sincos2cossin2BABABA−=−3131335321421414=−−

−=−.18.已知等差数列na的前n项和为nS，25221aa+=，999S=.（1）求na的通项公式；（2）证明：1223111116nnaaaaaa++++.【答案】（1）21nan=+（2）证

明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得1,ad，由此可得na；（2）利用裂项相消法可求得1223111111646nnaaaaaan++++=−+，由1046n+

可证得结论.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，则2519123621989992aaadSad+=+==+=，解得：132ad==，()32121nann=+−=+.【小问2详解】由（1）得：()()111111212322123nnaa

nnnn+==−++++，122311111111111235572123nnaaaaaann++++=−+−++−++111112323646nn=−=−++，1046n+，1223111116nnaaaaaa++

++.19.小家电指除大功率，大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.年份代码x12345市

场规模y（单位：千亿元）1.301.401.621.681.80（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明（若0.75r，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；（2）建立y

关于x的经验回归方程.参考公式和数据：样本相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，()()511.28iiixxyy=−−=，()5210.17iiyy=−，1.71.3，()()1221ni

iiniixxyybxnx==−−=−，aybx=−$$.【答案】（1）答案见解析（2）0.1281.176yx=+【解析】【分析】（1）由题中数据求出样本相关系数r，可得答案；（2）由题中数据求出b，a，可得y关于x的经验回归方

程.【小问1详解】由表知x的平均数为1234535x++++==，所以()()()()()()52222221132333435310iixx=−=−+−+−+−+−=，()()()()515522111.281.28

1.280.981.3100.171.7iiiiiiixxyyrxxyy===−−===−−，因为y与x的相关系数近似为0.98，说明y与x的线性相关程度较高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系.【小问2详解】522222211234555

iix==++++=，()()51522211.280.12855535iiiiixxyybxx==−−===−−，1.301.401.621.681.801.565y++++==，1.560.12831.176aybx=−=−=，所以0.1281.176yx=+，所以y关于x

的经验回归方程为0.1281.176yx=+.20.设正项数列na的前n项和为nS，且22nnnSaa=+.（1）求数列na的通项公式；（2）记2nna的前n项和为nT，求证：2nT.【答案】（1）nan=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用na、nS的关系，结合已知

条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得nT，即可证明.【小问1详解】因为22nnnSaa=+，当1n=时，2111122Saaa==+，又0na，则11a=；当2n时，22nnnSaa=+，21112nnnSaa−−−=+，两式相减，整理

可得()()1110nnnnaaaa−−+−−=，又na为正项数列，即10nnaa−+，所以11nnaa−−=，所以数列na是以11a=为首项，1d=为公差的等差数列，所以nan=.【小问2详解】由（1）可得22=nnnan，所以231232222nnnT=++++，所以2311

12122222nnnnnT+−=++++L，所以23111111221111111122222222212nnnnnnnnnnT+++−=++++−=−=−−−，所以122222222nnnnnnT+=−−=−.21.哈六中举

行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是23，12，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率

分别是34，23，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望.（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入,AB两个纸箱中，A箱中有3道选择题和2道填空题，B箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位

参赛同学在,AB两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率.【答案】（1）分布列见解析，5()6E

X=（2）514【解析】【分析】（1）根据求分布列的步骤求出分布列，根据数学期望公式求出数学期望；（2）根据贝叶斯公式可求出结果.【小问1详解】依题意得甲获得决赛资格概率为211323=，乙获得决赛资格的概率为321432=，X的所有可能取值为0,1,2，(0)PX==111(

1)(1)323−−=，11111(1)(1)(1)32322PX==−+−=，的111(2)326PX===，所以X的分布列为：X012P131216所以1115()0123266EX=++=.【小问2详解】记=iA“甲从A箱中抽出的是i(0,1,2)i=道选择题”，B=“乙从

B箱中抽取的第一题是选择题”，则22025C1()C10PA==，1132125CC3()C5PA==，23225C3()C10PA==，13018C3(|)C8PBA==，14118C1(|)C2PBA==，15218C5(|)C8P

BA==，所以222()(|)(|)()PAPBAPABPB=22001122()(|)()(|)()(|)()(|)PAPBAPAPBAPAPBAPAPBA=++3510813313510852108=+

+514=.甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率为514.22.已知函数()sinxfxekx=−，其中k为常数．（1）当1k=时，判断()fx在区间()0,+内的单调性；（2）若对任意()0,x，都有()1fx，求k的取值范围．【答

案】（1）判断见解析（2）(,1]k−【解析】【分析】小问1：当1k=时，求出导数，判断导数在()0,+上正负，即可确定()fx在()0,+上的单调性；小问2：由()1fx得sin10xekx−−，令()sin1xgxekx=−−，

将参数k区分为0k，01k，的1k三种情况，分别讨论()gx的单调性，求出最值，即可得到k的取值范围.【小问1详解】当1k=时，得()sinxfxex=−，故()cosxfxex=−，当()0,+时，()0fx

恒成立，故()fx在区间()0,+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x时，sin(0,1]x，故()1fx，即sin1xekx−，即sin10xekx−−.令()sin1xgxekx=−−①当0k时，因为()

0,x，故sin(0,1]x，即sin0kx−，又10xe−，故()0fx在()0,x上恒成立，故0k；②当01k时，()cosxgxekx=−，()sinxgxekx=+，故()0

gx在()0,x上恒成立，()gx在()0,x上单调递增，故0()(0)0gxgek=−，即()gx在()0,x上单调递增，故0()(0)10gxge=−=，故01k；③当1k时，由②可知()gx在()

0,x上单调递增，设()0gx=时的根为0x，则()gx在0(0,)xx时为单调递减；在0(,)xx时为单调递增又0(0)10ge=−=，故0()0gx<，舍去；综上：(,1]k−【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，及利用恒成立问题，求参

数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com