【文档说明】《（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》三年专题19 坐标系与参数方程（教师版）【高考】.docx，共(11)页，414.053 KB，由小赞的店铺上传

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三年专题19坐标系与参数方程1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=2+𝑡6𝑦=√𝑡（t为参数），曲线𝐶2的参数方程为{𝑥=−2+𝑠6𝑦=−√𝑠（s为参数）．(1)写出𝐶1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线𝐶3的极坐标方程为2cos𝜃−sin𝜃=0，求𝐶3与𝐶1交点的直角坐标，及𝐶3与𝐶2交点的直角坐标．【答案】(1)𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)；(2)𝐶3,𝐶1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，𝐶3,𝐶2的交点坐标为(

−12,−1)，(−1,−2)．【解析】【分析】(1)消去𝑡，即可得到𝐶1的普通方程；(2)将曲线𝐶2,𝐶3的方程化成普通方程，联立求解即解出．(1)因为𝑥=2+𝑡6，𝑦=√𝑡，所以𝑥=2+𝑦26，即𝐶1的普通方程为𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0

)．(2)因为𝑥=−2+𝑠6,𝑦=−√𝑠，所以6𝑥=−2−𝑦2，即𝐶2的普通方程为𝑦2=−6𝑥−2(𝑦≤0)，由2cos𝜃−sin𝜃=0⇒2𝜌cos𝜃−𝜌sin𝜃=0，即𝐶3的普通方程为2𝑥−𝑦=0．联立{𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)2𝑥−𝑦=0，解

得：{𝑥=12𝑦=1或{𝑥=1𝑦=2，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{𝑦2=−6𝑥−2(𝑦≤0)2𝑥−𝑦=0，解得：{𝑥=−12𝑦=−1或{𝑥=−1𝑦=−2，即交点坐标为

(−12,−1)，(−1,−2)．2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线C的参数方程为{𝑥=√3cos2𝑡𝑦=2sin𝑡，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为𝜌sin(𝜃+𝜋3)+𝑚=

0．(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．【答案】(1)√3𝑥+𝑦+2𝑚=0(2)−1912≤𝑚≤52【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值

范围求解m的范围即可.(1)因为l：𝜌sin(𝜃+𝜋3)+𝑚=0，所以12𝜌⋅sin𝜃+√32𝜌⋅cos𝜃+𝑚=0，又因为𝜌⋅sin𝜃=𝑦,𝜌⋅cos𝜃=𝑥，所以化简为12𝑦+√32𝑥+𝑚=0，整理得l的直角坐标方程：√3𝑥+𝑦+2𝑚=0(

2)联立l与C的方程，即将𝑥=√3cos2𝑡，𝑦=2sin𝑡代入√3𝑥+𝑦+2𝑚=0中，可得3cos2𝑡+2sin𝑡+2𝑚=0，所以3(1−2sin2𝑡)+2sin𝑡+2𝑚=0，化简为−6sin2𝑡+2sin𝑡+3+2𝑚=0，要使l与

C有公共点，则2𝑚=6sin2𝑡−2sin𝑡−3有解，令sin𝑡=𝑎，则𝑎∈[−1,1]，令𝑓(𝑎)=6𝑎2−2𝑎−3，(−1≤𝑎≤1)，对称轴为𝑎=16，开口向上，所以𝑓(𝑎)𝑚𝑎𝑥=𝑓(−1)=6+2−3=5，𝑓(𝑎)min=𝑓(16)=

16−26−3=−196，所以−196≤2𝑚≤5m的取值范围为−1912≤𝑚≤52.3．【2021年甲卷文科】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos=．（1）将C的

极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为()1,0，M为C上的动点，点P满足2APAM=，写出Р的轨迹1C的参数方程，并判断C与1C是否有公共点．【答案】（1）()2222xy−+=；（2）P的轨迹1C的参数方程为3

22cos2sinxy=−+=（为参数），C与1C没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为222cos=，将cos,sinxy==代入可得；（2）方法一：

设(),Pxy，设()22cos,2sinM+，根据向量关系即可求得P的轨迹1C的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程22cos=可得222cos=，将cos,sinxy==代入可得22

22xyx+=，即()2222xy−+=，即曲线C的直角坐标方程为()2222xy−+=；（2）[方法一]【最优解】设(),Pxy，设()22cos,2sinM+2APAM=，()()()1,222cos1,2sin22co

s2,2sinxy−=+−=+−，则122cos22sinxy−=+−=，即322cos2sinxy=−+=，故P的轨迹1C的参数方程为322cos2sinxy

=−+=（为参数）曲线C的圆心为()2,0，半径为2，曲线1C的圆心为()32,0−，半径为2，则圆心距为322−，32222−−，两圆内含，故曲线C与1C没有公共点.[方法二]：设点P的直角坐标为(,)xy，1(Mx，1)y，因为

(1,0)A，所以(1,)APxy=−，1(1AMx=−，1)y，由2APAM=，即1112(1)2xxyy−=−=，解得112(1)1222xxyy=−+=，所以2((1)12Mx−+，2)2y，代入C的方

程得2222[(1)12]()222xy−+−+=，化简得点P的轨迹方程是22(32)4xy−++=，表示圆心为1(32C−，0)，半径为2的圆；化为参数方程是322cos2sinxy=−+=，为参数；计算1|||(32)2|32222CC=−−=−−，所以圆C与圆1C

内含，没有公共点．【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，方法一：利用参数方程的方法，设出M的参数坐标，再利用向量关系解出求解点P的参数坐标，得到参数方程.方法二：利用代数方法，设出点P的坐标，再利用向量关系将M的坐

标用点P的坐标表示，代入曲线C的直角坐标方程，得到点P的轨迹方程，最后化为参数方程.4．【2021年乙卷文科】在直角坐标系xOy中，C的圆心为()2,1C，半径为1．（1）写出C的一个参数方程;（2）过点()4,1F作C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1）2cos1sinxy=+=+，（为参数）；（2）53sin262+=−和3sin262+=+．【解析】【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得

过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，C的普通方程为22(2)(1)1xy−+−=，所以C的参数方程为2cos1sinxy=+=+，（为参数）（2）[方法一]：直角坐标系方法①当直线的斜率不存在时，直线方程为

4x=，此时圆心到直线的距离为2r，故舍去．②当切线斜率存在时，设其方程为(4)1ykx=−+，即410kxyk−−+=．故2|2141|11−−+=+kkk，即222|2|1,41=+=+kkkk，解得33k=．所以切线方程为

3(4)13=−+yx或3(4)13=−−+yx．两条切线的极坐标方程分别为343sincos133=−+和343sincos133=−++．即53sin262+=−和3sin2

62+=+．[方法二]【最优解】：定义求斜率法如图所示，过点F作C的两条切线，切点分别为A，B．在ACF中，3tan3==ACAFCAF，又∥CFx轴，所以两条切线,FAFB的斜率分别33和33−．故切线的

方程为3(4)13=−+yx，3(4)13=−−+yx，这两条切线的极坐标方程为34sincos3133=−+和34sincos3133=−++．即53sin262+=−和3sin262+=+．

【整体点评】（2）方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，

为最优解.5．【2020年新课标1卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sinkkxtyt==(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30−+=．（1）当1k=时，1C是什么曲线

？（2）当4k=时，求1C与2C的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.【解析】【分析】（1）利用22sincos1tt+=消去参数t，求出曲线1C的普通方程，即可得出结

论；（2）当4k=时，0,0xy，曲线1C的参数方程化为22cos(sinxttyt==为参数），两式相加消去参数t，得1C普通方程，由cos,sinxy==，将曲线2C化为直角

坐标方程，联立12,CC方程，即可求解.【详解】（1）当1k=时，曲线1C的参数方程为cos(sinxttyt==为参数），两式平方相加得221xy+=，所以曲线1C表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k=时

，曲线1C的参数方程为44cos(sinxttyt==为参数），所以0,0xy，曲线1C的参数方程化为22cos(sinxttyt==为参数），两式相加得曲线1C方程为1xy+=，得1yx=−，平方得21,01,01yxxxy=−

+，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30−+=，曲线2C直角坐标方程为41630xy−+=，联立12,CC方程2141630yxxxy=−+−+=，整理得1232130xx−+

=，解得12x=或136x=（舍去），11,44xy==，12,CC公共点的直角坐标为11(,)44.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.6．【2020年新课标2卷理科】已知曲线C1

，C2的参数方程分别为C1：224cos4sinxy==，（θ为参数），C2：1,1xttytt=+=−（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和

P的圆的极坐标方程.【答案】（1）()1:404Cxyx+=；222:4Cxy−=；（2）17cos5=.【解析】【分析】（1）分别消去参数和t即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】(

1)[方法一]：消元法由22cossin1+=得1C的普通方程为4(04)xyx+=．由参数方程可得22,+=−=xytxyt，两式相乘得普通方程为224xy−=．[方法二]【最优解】：代入消元法由22cossin1+=得1C的普通方程为4

(04)xyx+=，由参数方程可得2+=xyt，代入1xtt=+中并化简得普通方程为224xy−=．(2)[方法一]：几何意义+极坐标将1,1xttytt=+=−代入4xy+=中解得2t=，故P点的

直角坐标为53,22P．设P点的极坐标为()00,P，由222tanxyyx=+=得0342=，03tan5=，0534cos34=．故所求圆的直径为172cos5==r，所求圆的极坐标

方程为2cosr=，即17cos5=．[方法二]：由224,4xyxy+=−=得5,23,2xy==所以P点的直角坐标为53,22P．因为225334||222=+=OP．设圆C的极坐标方程为2cosa=，所以5

5cos2||34==OP，从而3452234=a，解得1725=a．故所求圆的极坐标方程为17cos5=．[方法三]：利用几何意义由224,4xyxy+=−=得5,23,2xy==所以P点的直角坐标为53,22P，化

为极坐标为34,2P，其中5cos34=．如图，设所求圆与极轴交于E点，则90OPE=，所以17cos5==OPOE，所以所求圆的极坐标方程为17cos5=．[方法四]【最优解】：由题意设所求

圆的圆心直角坐标为(,0)a，则圆的极坐标方程为2cosa=．联立2240,4xyxy+−=−=得5,23,2xy==解得53,22P．设Q为圆与x轴的交点，其直角坐标为(2,0)Qa，O为坐标原点．又因为点,(0,0)

,(2,0)POQa都在所求圆上且OQ为圆的直径，所以0OPPQ=，解得1710a=．所以所求圆的极坐标方程为17cos5=．[方法五]利用几何意义求圆心由题意设所求圆的圆心直角坐标为(,0)a，则圆的极坐标方程为2cosa=．联立22404

xyxy+−=−=得5232xy==，即P点的直角坐标为53,22P．所以弦OP的中垂线所在的直线方程为106170+−=xy，将圆心坐标代入得1060170+−=a，解得1710a=．所以所求圆的极

坐标方程为17cos5=．【整体点评】(1)[方法一]利用乘积消元充分利用了所给式子的特征，体现了解题的灵活性，并不是所有的问题都可以这样解决；[方法二]代入消元是最常规的消元方法之一，消元的过程充分体现了参数方程与普通方程之间的联系.(2)[方法一]利

用几何意义加极坐标求解极坐标方程是充分利用几何思想的提现，能提现思维的；[方法二]首先确定交点坐标，然后抓住问题的本质，求得2a的值即可确定极坐标方程；[方法三]首先求得交点坐标，然后充分利用几何性质求得圆的直径即可确定极坐标方程；[方法四]

直径所对的圆周角为2是圆最重要的性质之一，将其与平面向量垂直的充分必要条件想联系进行解题时一种常见的方法；[方法五]圆心和半径是刻画圆的最根本数据，利用几何性质求得圆心的坐标即可确定圆的方程.7．【2020年新课标3卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2222

3xttytt=−−=−+，(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求|AB|：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.【答案】（1）410（2）3cossin120

−+=【解析】【分析】（1）由参数方程得出,AB的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB的值；（2）由,AB的坐标得出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x=，则220tt+−=，解得2t=−或1

t=（舍），则26412y=++=，即(0,12)A.令0y=，则2320tt−+=，解得2t=或1t=（舍），则2244x=−−=−，即(4,0)B−.22(04)(120)410AB=++−=；（2）由（1）

可知12030(4)ABk−==−−，则直线AB的方程为3(4)yx=+，即3120xy−+=.由cos,sinxy==可得，直线AB的极坐标方程为3cossin120−+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方

程化极坐标方程，属于中档题.