【文档说明】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案.docx，共(12)页，848.308 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d1945b3e42494584947fdce0dacf9968.html

以下为本文档部分文字说明：

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题命题学校：黄石二中命题教师：万莲艳张雪范志军审题学校：武穴中学审题教师：范超考试时间：2024年11月14日下午1

5:00-17:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数()2024(1i)1iz=++，则z的虚部为（）A.

2iB.2i−C.2D.-22.已知三点(2,1),(1,2),(1,1)ABC−−，则过点C的直线l与线段AB有公共点时，直线l斜率的取值范围为（）A.3,22−B.3,[2,)2−−+C.3,22−D.3,(

2,)2−−+3.已知(2,1,3),(1,3,4),(4,1,3)ABC−，则AB在AC方向上的投影向量的坐标为（）A.(2,2,0)−B.33,,022−C.(1,2,1)−D.33,,022−4.

圆224xy+=与圆224440xyxy+−−+=的公共弦长为()A.2B.3C.22D.235.已知平面向量,ab满足(3,1)||4,|2|43abab==+=.则向量a与向量b的夹角为（）A.π3

B.π4C.π6D.π126.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A=“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件2A=“摸出的两个球的编号都大于3”，事件3A=“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（）A.事件1A与事件2A

是相互独立事件B.事件1A与事件3A是对立事件C.事件12AA与事件3A是互斥事件D.事件13AA与事件23AA是互斥事件7.如图，在正四棱台1111ABCDABCD−中，11122,,,23ABABAEAB

DFDA===1114AGAA=.直线1AC与平面EFG交于点M，则1AMAC=（）A.623B.316C.319D.12178.阅读材料：空间直角坐标系-Oxyz中，过点()000,,Pxyz且一个法向量为(,,)nabc=的平面的方程为()()()0000axx

byyczz−+−+−=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为430xyz++−=，直线l是平面:230xy+−=与平面:210yz++=的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（）A.12B.22C.33D.32二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每

小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.若直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为B.不与坐标轴平行或重合的直线，其方程

一定可以写成两点式C.1a=是直线(1)20axay+−−=与直线(1)20axay−++=垂直的充要条件D.12a=是直线(1)20axay+−−=与直线(1)20axay−++=平行的充要条件10.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1DD的中点，F为正

方形11CCDD内的一个动点（包括边界），且1//BF平面1ABE，则下列说法正确的有（）A.1||BFDF+的最小值为32B.当1BF与1AB垂直时，直线1AF与平面ABCD所成的角的正切值为15C.三棱锥1FBDE−体积的最小值为

13D.当三棱锥11BDDF−的体积最大时，其外接球的表面积为25π11.已知曲线()222:248Cxyxy+−=−，点()00,Pxy为曲线C上任意一点，则（）A.曲线C的图象表示两个圆B.22001x

y++的最大值是942+C.0042yx+−的取值范围是(,1][7,)−−+D.直线20xy++=与曲线C有且仅有2个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过点(1,2)

P，且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线方程为______.13.在平面直角坐标系Oxy中，圆222:220Cxyaxya+−−+=上存在点P到点(2,0)的距离为2，则实数a的取值范围为______.1

4.已知实数1212,,,xxyy满足2222112212124,4,2xyxyxxyy+=+=+=，则112222xyxy+−++−的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC中，已知点(4,5),CAC边上的

高线所在的直线方程为110xy+−=，角A的平分线所在的直线方程为330xy−+=.（1）求直线AC的方程；（2）求直线AB的方程.16.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21s

in1cos2ABAB=++，()(sinsin)()sinbcCBabA+−=+.（1）求B；（2）若ABC的面积为334，求BC边上中线的长.17.黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解

本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组[50，60），第二组[60，70）．第三组[70,80)，第四组[8090)，，第五组[90，100]绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.（1）求出频率分布直方

图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；（3）甲、

乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为23，乙能解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都能解出该题的概率为12，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的

概率.18.如图，在四棱锥PABCD−中，PAB为等边三角形，ABBCBD==，2,120,6,ADCDADCPDF====为AD的中点.（1）求证：平面AB⊥平面ABCD；（2）若点E在线段PC上运动（不包括端点），设平面PAB平面PCDl=，当直线l与平面BEF所成角取最大值

时，求平面BEF与平面CEF夹角的余弦值.19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数(0且1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知(1,0),(0,2)RQ

−直线1:230ltxyt−++=，直线2:320lxtyt+++=，点P为1l和2l的交点.（1）求点P的轨迹方程C；（2）点M为曲线C与x轴正半轴的交点，直线l交曲线C于A，B两点，M与A，B两点不重合，直线MA、M

B的斜率分别为12kk、，且1212kk=−，证明直线l过定点，并求出该定点；（3）当点P在曲线C上运动时，求31||||22PRPQ+的最小值.2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学参考答案1234567891011

CBDCADABACDABCACD12.20xy−=或240xy+−=13.[222,222]−+14.426+部分小题详解：7.依题意，113,34AFADAGAA==，在四棱台中，111111111111432232AC

AAACAAABADAAABADAGAEAF=+=++=++=++，设1AMAC=，则43,,,32AMAGAEAFMGEF=++四点共面，4361,3223++==.8.依题意，平面的法向量为(1,1,4)m=，平面的法向量为(1,2,0)a=，平面

的法向量为(0,2,1)b=，设直线l的方向向量为(,,),,,nxyzlll==，则有020200naxyyznb=+=+==，令22,(2,1,2),sin|cos

,|2xnmn==−==.10.对A，将平面1BMN和平面DMN展开到一个平面内，1||BFDF+的最小值即1B点和D点连线的距离，132BD=，故选项A正确；对B，如图，令1CC中点为1,MCD中点为N，连接MN，又正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1DD的中点，

可得1111//,////BMAEMNCDBA，1//BM平面1,//BAEMN平面1BAE，又1BMMNM=，且1,BMMN平面1,BMN平面1//BMN平面1BAE，又1//BF平面1ABE，且1B平面11,BMNBF平面1BMN，又F为正方形1

1CCDD内一个动点（包括边界），F平面1BMN平面11CCDD，而MN=平面1BMN平面11,CCDDFMN，即F的轨迹为线段1.MNAF与平面ABCD所成的角即1AF与平面1111ABCD所成的角，F点到平面1111ABCD的距离为1,2F点在平面11

11ABCD的射影P在11CD上靠近1C点的四等分点，152AP=，故直线1AF与平面ABCD所成的角的正切值为15，故选项B正确；对C，由正方体侧棱11BC⊥底面11CCDD，所以三棱锥1FBDE−体积为11111233DFEDFEV

BCSS==，所以1DFE面积1DFES最小时，体积最小，如图，FMN，易得F在N处时1DFES最小，此时1111122DFESNDDE==，所以体积最小值为13，故选项C正确；对D，如图，当F在M处时，三棱锥11BDDF−的体积最大时，由已知得此时115F

DFDFB===，所以F在底面11BDD的射影为底面外心，11112,22,23DDBDDB===，所以底面11BDD为直角三角形，所以F在底面11BDD的射影为1BD中点，设为1O，如图，设外接球半径为R，

由22221111113,2ROOOBOOROOFO=+=++==，可得外接球半径524R=，其外接球的表面积为25π2，故选项D错误．11.对于A，由()222248xyxy+−=−得()22224()0xyxy+−−=，即()()22

2222220xyxyxyxy++−+−+=，所以22220xyxy++−=或22220xyxy+−+=，所以曲线C表示以(1,1),(1,1)MN−−为圆心，2为半径的两个圆．对于2200B,1xy++表示到原点距离的平方

再加1，故最大值为2(2)19NO++=.对于004C,2yx+−表示点P与点(2,4)Q−连线的斜率.设过点Q且与圆N相切的直线为4(2)ykx+=−，则由直线与圆相切可得1k=−或0047.(,1][7,);2ykx+=−−+−对于D，由C知直线20xy++=与圆M

，N都相切，故直线与曲线C有且仅有两个交点.13.圆C的标准方程为22()(1)1Cxay−+−=，故圆C是以(,1)Ca为圆心，1为半径的圆，P的轨迹是以(2,0)D为圆心，2为半径的圆.依题意，两圆有交点，则221||21,1(2)19,222

222CDaa−+−+−+14.设()()11221212,,,2,||||2AxyBxyOAOBxxyyOAOB=+===，1πcos,,23||||OAOBAOBAOBAOBOAOB===为正三角形.112222xyxy+−++−表示点A和点B到直线:20

lxy+−=的距离之和的2倍.设点M是线段AB的中点，则||3OM=，故点M在圆223xy+=上.112222(23),222(26)426ABMdddxyxy+=++−++−+=+.15.解：（1）AC边上的高线所在的直线方程为110xy+

−=，AC边可设为0xym−+=.…………………………………………………………………………2分又点(4,5)C在AC边上，450m−+=，求得1m=……………………………………………4分直线AC的方程为10xy−+=……………………………………………………………………5分（2）

由10330xyxy−+=−+=，解得1,(1,0)0xAy=−−=…………………………………………………7分设C点关于直线330xy−+=对称的点()00,Cxy000053144533022yxxy−=−−++−+=

，解得002,(2,7)7xCy=−−=……………………………………………10分又点C在直线AB上，7ABk=−……………………………………………………………………12分求得直线AB的方程为：770xy++=…………………………………………………………

……13分16.解：（1）由题设得2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB===++于是coscossinsinsinABBBA=+故cos()sinABB+=……………………………………3分由正弦定理得2222221

,cos222abcababcabCabab+−−+−=−===−………………………………5分又2π(0,π),3CC=……………………………………………………………………………………6分π1sincos()cos(π)cos32BABC

=+=−==…………………………………………………………7分故π6B=………………………………………………………………………………………………………8分（2）由（1）知2ππππ366A=−−=所以ABC是顶角为2π3，底角为π6的等腰三角形，即ab=2212π

3sin,3234saaa===.………………………………………………………………………11分设BC边上中线的长为d，则有222331212cos323224224aadaaC=+−=+−−=.…

……………………………14分212d=……………………………………………………………………………………………………15分17.（1）由题意可知：10100.310(0.0450.020)0.7aba+=++=，解得0.005,0.025ab=

=………………………………2分可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数等于550.05650.25750.45850.2950.0574.5++++=，………………………4分（2）设第二组、第四组的平均数与方差

分别为221212,,,xxss，且两组频率之比为0.2550.204=，成绩在第二组、第四组的平均数655834739x+==……………6分成绩在第二组、第四组的方差()()22222112254400993ssxxsxx=+−++−=

故估计成绩在第二组、第四组的方差是4003．…………………………………………………………9分（3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件C，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件

D，由题意得221(),()()()()332PAPACPAPCPC====，所以331(),()()()()(1())()1448PCPBCPBPCPBPCPB===−=−=，所以1()2PB

=，所以乙、丙各自解出该题的概率为1234，.…………………………………………11分则DABC=，因为213(),(),()324PAPBPC===，所以111(),(),()324PAPBPC===，因为ABC、、相互独立，所以11123()1()1()1()()()132424PDPDP

ABCPAPBPC=−=−=−=−=.所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为2324.……………………………………………15分18.（1）证明：连,BDBABDBC==，又2,ADCDABDCBD=

=即1602ADBCDBADC===,BADBCD均为等边三角形，2BABDBCADDC=====所以四边形ABCD为菱形．……………………………………………………………………………2分取AB中点O，连OP，OD,ABD

PAB为等边三角形，2,3,ABPOODPOAB===⊥又2226PDPOODPD=+=，即POOD⊥又,,ABODOABOD=平面ABCDPO⊥平面ABCD又PO平面PAB平面PAB⊥平面ABCD.……………………………………………………7分（2）解：//

,ABCDAB平面,PCDCD平面//PCDAB平面PCD又平面PAB平面//PCDllAB=，建立如图的空间直角坐标系，易得(1,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(0,0,3),(0,

3,0)ABCPD−−13,,022F令(2,3,3)(2,3,3),01PEPC==−−=−−(2,3,33)E−−，令平面BEF法向量为(,,)nxyz=33(21,3,33),,,0,(2,0,0)22BEBFBA=−+−==

(12)33(1)033022xyzxy−++−=+=解得(3(1),3(1),51)n=−−−…………………………………………………………………10分222||23(1)sin|cos,|||||23(1)9(1)(51)BAnBAnBAn−=

==−+−+−，………………………11分令1,1,(0,1)ttt=−=−2222223(1)(1)1333373413374016401637341337ttttt−−====−+−+−+−+234512t=−+当4415,1,55t

t===−=max31(sin)122==…………………………………………………………………………………13分所以平面BEF的法向量(1,3,0)n=−234313,,,,,055522EF−，9334353,,,,,01010522EF

FC=−=−设平面EFC的法向量(,,)mxyz=53022933430,10105xyxyz−+=+−=解得(3,5,3)=……………………………………………………15分设二面角

BEFC−−的夹角为2111cos|cos,|.37nm==…………………………………………………………………………17分19.（1）当0t=时，12:30,:20lylx−=+=，此时12ll⊥，交点为(2,3)P−当0t时，由1:230ltxyt−++=，斜率为t，

由2:320lxtyt+++=，斜率为121,llt−⊥，综上，12ll⊥.直线1l恒过(2,3)E−，直线2l恒过(2,3)F−−，若P为12,ll的交点，则PEPF⊥，设点(,)Pxy，所以点P的轨迹是以EF为直径的圆，除去F点，则圆心为EF的中

点(2,0)C−，圆的半径为||32ABr==，故P的轨迹方程为22(2)9(3)xyy++=−……………………………………5分（没有3y−扣1分）（2）(1,0)M，设()()1122,,,AxyBxy，当斜率

存在时，直线L的方程为ykxm=+，故()()()()()()22121212121212112121212121212,1111kxmkxmkxxkmxxmyyyykkxxxxxxxxxxxxxx−+++++====−−++−++−++……6分将直线方程与圆的方程进行联立，()22222,1(2

4)50(2)9ykxmkxkmxmxy=+++++−=++=得：212122242km5,11mxxxxkk+−+=−=++.……………………………………………………………………8分将其带入12kk中可得：22221222541,3690,322mkkmkkmkmkmkmkmk−−==−

−−==++或mk=−，由于M与A，B不重合，则直线L的方程为3(3)ykxkkx=+=+恒过定点（3,0−）………………………10分当直线L的斜率不存在时，设()()111112121,,,,,2AxyBxykkkk−=−=−，则1222,22k

k==−，故可得(3,22),(3,22)AB−−−，即则直线L仍恒过定点()3,0−，综上可得，则直线L恒过定点()3,0−…………………………………………11分（3）(1,0),(0,2)RQ−，易知R、Q在该圆内，又由题

意可知圆C上一点(1,0)P满足||2PR=，取(7,0)D，则||6PD=，满足113PDPR=.下面证明任意一点1(,)pxy，都满足||3||PDPR=，即||3||PDPR=，22223||3(1)3(1)9(2)326PRxyxxx=++

=++−+=−+2222||(7)(7)9(2)1854326PDxyxxxx=−+=−+−+=−+=−+即3||||PRPD=,所以3||||||||,||||||PRPQPDPQDQPDPQ+=++…………………………

15分22||(07)(20)51DQ=−+−=，即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立.即31||||22PRPQ+的最小值为51.2…………………………………………………………………17分