【文档说明】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（一）数学（理）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.841 MB，由小赞的店铺上传

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理科数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合21Mxyx==+，2(,)1Nxyyx=

=−+，则MN=（）A.1B.()0,1C.D.(0,1)【答案】C【解析】【分析】根据集合中元素的特征，直接得出结果.【详解】因为集合21Mxyx==+为数集，2(,)1Nxyyx==−+为点集，所以两集合没有共同元素，则MN

=.故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型.2.在复平面内，复数21ii−+(i为复数单位)对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C第三象限.D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先根据复数除法运算化简出21ii−+，即可得出对应点象限.【详解】()()

()()22122313111222iiiiiiiii−−−−+===−++−,对应的点13,22−在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.3.若随机变量(1,4),(0)0.2XNPX=，则(02)

PX=（）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.8【答案】A【解析】【分析】由随机变量(1,4)XN，得到正态曲线的对称轴1x=，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.【详解】由题意，随机变量(1,4)XN，可得正

态曲线的对称轴1x=，所以()(02)1200.6PXPX=−=.故选:A．【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性是解答的关键，属于基础题.4.已知tan2=，则sin22+=（）A.35B.45C

.35-D.45−【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化为221tan1tasinn22+=−+，即可得出结果.【详解】因为tan2=，所以222222cossin1tsin22an3cos2sincos1tan5

−−===−+=++，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记同角三角函数基本关系以及诱导公式即可，涉及二倍角的余弦公式，属于基础题型.5.电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事

女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5，将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21，其特点是从第3个数字起，

任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1，1，2，3，5，8，13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD中，任取一点，则该点

落在阴影部分的概率是（）A.731092B.891092C.1621092D.161092【答案】A【解析】【分析】根据图甲，分别求出阴影部分的面积，以及整个长方形的面积，面积比即为所求概率.【详解】由题意，阴影部分包括半径为8和半径为3的两个圆，面积分别为64π和

9，而整个长方形的宽为161026+=，长为261642+=，所以该点落在阴影部分的概率是64973π42261092P+==.故选：A．【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，属于基础题型.6.双曲线:C22221(0,0)

xyabab−=的右焦点为()3,0F，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为（）A.2B.324C.233D.23【答案】B【解析】【分析】先由题意，得到3c=，渐近线方程为0bxay=，根据点到直线距离公式，求出1b=，得出a，即

可求出离心率.【详解】因为双曲线的右焦点为()3,0F，即3c=，双曲线22221xyab−=的渐近线方程为0bxay=；又点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，所以2231bba=+，即31bc=，所以1b=，则2222acb=−=，因此324c

ea==.故选：B．【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.7.如图，在ABC中，3AC=，2AB=，60CAB=，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD=（）A.373B.979C.439D.

433【答案】A【解析】【分析】根据平面向量基本定理，由题意，得到2133ADABAC=+uuuruuuruuur，再由向量模的计算公式，即可求出结果.【详解】由题意，1121()3333ADABBCABACABABAC=+=+−=+．所以2222214141641371233

39999929ADABACABACABAC=+=++=++=，373AD=，故选：A．【点睛】本题主要考查求平面向量的模，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.8.在正项等比数列na中，11

a=，前三项的和为7，若存在,mnN使得14mnaaa=，则19mn+的最小值为（）A.23B.43C.83D.114【答案】D【解析】【分析】先求出数列na的公比，再由14mnaaa=可得6mn+=，再利用基本不等式可求解.【详解】设等比数列na的公比为q

，前三项的和为7，则1237aaa++=，即260qq+−=，解得2q=或3q=−(舍去)，又由14mnaaa=，得11211116mnaqaqa−−=，即2422nm+−=，得6mn+=，所以19mn+=1198()63mnmn++≥，当且仅当32m=，92n=时，

等号成立，但是m，*nN，故2m=，4n=时，最小值为114.故选:D．【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式的综合应用，属于基础题.9.如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A.56B.8

3C.1D.163【答案】D【解析】【分析】先由三视图还原几何体，得到该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，进而可求出结果.【详解】由题意三视图对应的几何体如图所示，所以该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积

，即3111622222323V=−=，故选：D．【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，熟记几何体的结构特征即可，属于基础题型.10.已知函数2212cos42cos2xxxxexefxx−+−++=+，

则122019202020202020fff+++=L（）A.2019B.2020C.4038D.4040【答案】C【解析】【分析】先由题意，得到21(ee)22cos2xxxfxx−−

+=++，令2(ee)()cos2xxxhxx−−=+，得到其为奇函数，推出()fx关于122，成中心对称，进而可得出结果.【详解】22212cosee4(ee)22cos2cos2xxxxxxxxfxxx−−+−+−+==+++，令2(ee

)()cos2xxxhxx−−=+，则2(ee)()()cos2xxxhxhxx−−−==−+，所以()hx为奇函数，所以()hx关于坐标原点对称，则()fx关于122，成中心对称，则有()(1)4fxfx+−=，所以122019112019+++2019=4038202020202

020220202020fffff=+…故选：C．【点睛】本题主要考查通过构造奇函数求函数值，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.11.设动直线x=t与曲线xye=以及曲线lny

x=分别交于P，Q两点，minPQ表示PQ的最小值，则下列描述正确的是（）A.min2PQ=B.min32522PQC.min3222PQD.min3PQ【答案】B【解析】【分析】根据条件将PQ表示为函数的形

式，然后利用导数研究对应函数的单调性并分析minPQ的取值范围.【详解】根据条件可知()(),,,lntPteQtt，所以lntPQet=−，不妨令()()eln0xFxxx=−，则1()exFxx=−，又因为2212320,20222FeFee=−=−−

，所以存在01222x，，使得0001()e0xFxx=−=，所以()Fx在()00,x上递减，在()0+x，上递增，所以()Fx在0x处取得最小值，且000001()elnxFxxxx=−=+，根据对勾函数的单调性可知：1yxx=+在1222

，上单调递减，所以00321522xx+，所以有min325||22PQ，故选：B．【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归能力要求较高，其中对于极值点范围的分析是一个重点，难度较难.12.过抛物线22(0)ypxp=的焦点F作抛物线的弦

，与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，∆PAB又常被称作阿基米德三角形.下面关于∆PAB的描述:①P点必在抛物线的准线上②AP⊥PB;③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则∆PAB的面积S的最小值为22p④PF⊥AB;⑤PM平行于x轴.其中正确的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】求出过A，B的切线方程，再求交点坐标、斜率、PAB的面积逐项验证可排除答案.【详解】设11()Axy，，22()

Bxy，，则过A，B的切线方程分别为11yypxpx=+，22yypxpx=+，联立解得1222yypP+−，，所以P点必在抛物线的准线上，121222xxyyM++，且PM平行于x轴，所以①⑤正确；两条切线的斜率1212

1ppkkyy==−，所以APPB⊥，②正确；设AB的中点M，则PM平行于x轴，则2212121211||||||2242PAByypSPMyyyyp+=−=+−△2121212122||1||||||2422yyppyyyyp

yypp+−=−=≥当ABx⊥轴时，取等号，所以③错误；1212212PFAByypkkpyy+==−−+，所以PFAB⊥，④正确，故选C．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，均值不等式及阿基米德三角形的性质，属于中档题

.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.设实数x，y满足0210210xyyxxy−−−+−，则zxy=+的最小值为_________【答案】23【解析】【分析】画出不等式所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.【详解】

画出0210210xyyxxy−−−+−所表示的平面区域如下，由zxy=+得yxz=−+，则z表示直线yxz=−+在y轴上的截距；由图像可得，当直线yxz=−+过点M时，在y轴上的截距最小；由210xyyx+−==得11,33M，因此min2

3z=.故答案为：23.【点睛】本题主要考查求线性规划的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.14.在93()xx+的展开式中，则3x的系数为_____________【答案】10206【解析】【分析】先

求出93xx+的展开式的通项公式，令x的指数为3，即可求出系数.【详解】93xx+的展开式的通项公式39219C3rrrrTx−+=，令3932r−=，解得4r=，所以3x的系数

为449C3=10206．故答案为：10206.【点睛】本题考查二项式展开式指定项的系数的求法，属于基础题.15.已知P是直线l:260xy++=上一动点，过点P作圆C:22230xyx++−=的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积

的最小值为___________.【答案】2【解析】【分析】由圆的方程为求得圆心(1,0)C−、半径r为2，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最

小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【详解】由题意得：圆的方程为：22(1)4xy++=∴圆心为(10)−，，半径r为2，又∵四边形PACB的面积SPAAC==22224PCACACPC−=−，所以当PC最小时，四边形PACB面积

最小．将(10)−，代入点到直线的距离公式，min22|16|||521PC−+==+，22||||521PAPB==−=||222PACBPArS==故四边形PACB面积的最小值为2．故答案为：

2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．此题属中档题．16.已知有两个半径为2的球记为1O、2O，两个半径为3的球记为3O、4O这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球1O、2O、3O、4O都相内切，则球O的半径为____

__.【答案】6【解析】【分析】设12OO的中点为M，34OO的中点为N，推导出球心O在MN上，设球O的半径为R，根据勾股定理列方程解出R即可.【详解】由题意可得124OO=，131423245OOOOOOOO====，346OO=，取12OO的中点M，34OO的中点N，连

接MN、1ON、2ON、3OM、4OM，则123OOOM⊥，124OOOM⊥，又34OMOMM=，12OO⊥平面34OOM，同理可证34OO⊥平面12OON，又因为平面12OON平面34OOMMN=，所以

，球心O在线段MN上，设球O的半径为R，则12OOR=−，43OOR=−，245OO=，43ON=，24ON=，222223MNONOM=−=，()2221124OMOOOMR=−=−−，()2224439ONOOONR=−=−−，MNOMON=+，即()()22243923

RR−−+−−=，解得6R=.故答案为：6.【点睛】本题考查球的半径的求解，确定球心O的位置是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分

别为a，b，c，已知(sinsin)(sinsin)(sinsin)sinACACABB+−=−（1）求角C；（2）若5c=，且sinsin(2)sin2CCAA++=，求△ABC的面积.【答案】（1）π3C=；（2）536或534.【解析】【分析】（1）由正弦定

理将角化为边，再根据余弦定理可求出1cos2C=，继而得出角C；（2）根据条件可得sincossincosBAAA=，分cos0A=和cos0A两种情况讨论可求出面积.【详解】（1）已知(sinsin)(si

nsin)(sinsin)sinACACABB+−=−，由正弦定理，()()()acacabb+−=−，整理得222ababc=+−，由余弦定理：1cos2C=，又0πC，所以π3C=．（2）已知sinsin(2)sin2CCAA++=，整理得si

n()sin(π)sin2ABBAA++−+=，sin()sin()sin2ABBAA++−=，即2sincos2sincosBAAA=．①当cos0A=时，ABC为直角三角形，155,,3tan3ccCbC====,115535236ABCS==△；②当cos0A时，sinsinBA

=，所以ab=，ABC为等边三角形，534ABCS=△,ABC的面积为536或534．【点睛】本题考查正余弦定理的应用以及三角恒等变换解三角形，考查三角形面积的求解，属于中档题.18.某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情况，从全市高二学生中随机抽取了20名学生，对他们的某次市统测数学成

绩进行统计，统计结果如图（1）求x的值和数学成绩在90分以上的人数；（2）用样本估计总体，把频率作为概率，从该市所有的中学生(人数很多)中随机选取4人，用ξ表示所选4人中成绩在110以上的人数，试写出ξ的

分布列，并求出ξ的数学期望【答案】（1）0.02；12；（2）分布列见解析，0.8.【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，由频率分布直方图列出方程，即可求出x，进而可求出数学成绩在90分以上的人数；（2）先得

出从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率0.2P=，由题意，可得(40.2)B，，进而可求出分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，x的值为10.050.10.150.30.0220x−−−−==，数学成绩在90分以

上的人数：20(0.40.150.05)12++=．（2）把频率作为概率，从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率0.150.050.2P=+=，所以从该市所有的中学生（人数很多）中随机选取4人，所选4人中成绩在11

0以上的人数(40.2)B，，随机变量的取值可能为0，1，2，3，4，4(0)0.80.4096P===，134(1)C0.20.80.4096P===，2224(2)C0.20.80.1536P

===，334(3)C0.20.80.0256P===，4(4)0.20.0016P===，随机变量的分布列01234P0.40960.40960.15360.02560.0016随机变量数学期望()40.20.8E==．【点睛】本题主要考查由频率

分布直方图求参数，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，ABAC⊥，1AB⊥平面ABC，1ABAC==，12AA=()1证明:平面1AAB⊥平面11AA

CC；()2求二面角1BACC−−的正弦值.【答案】()1证明见解析；()2154.【解析】【分析】()1利用面面垂直的判定定理证明即可；()2建立空间直角坐标系，利用二面角的正弦值的求法及向量积的知识点得出结果.【详解】解：()1证明：如图，1

AB⊥平面ABC，AC平面ABC，1ABAC⊥．又ABAC⊥，1ABABB=，AC⊥平面1AAB．又AC平面11AACC，平面1AAB⊥平面11AACC．()2过点A作平面ABC的垂线作为z轴，AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000A，，，()100B，，，

()010C，，，()1103A，，，()1113C，，，()0,1,0AC=，()11,1,3AC=，()1,0,0AB=，设平面1ACC的法向量()1111nxyz=，，，则有11100ACnACn=

=，即1111030yxyz=++=，令11z=，()1301n=−，，，设平面1ABC的法向量()2222nxyz=，，，则有11100ABnACn==，即2222030xxyz=++=，令21z=，()20

31n=−，，，向量1nur，2nuur所成角的余弦值：12121cos4nnnn==．215sin1cos4=−=，二面角1BACC−−的正弦值为154．【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查二

面角正弦值的求法，考查分析问题能力，空间想象能力，属于中档题.20.已知点P3(1,)2−是椭圆C:22221(0)xyabab+=上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，124PFPF+=（1）求椭

圆C的标准方程;（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论【答案】（1）22143xy+=；（2）直线l过定点(40)−，．证明见解析

.【解析】【分析】（1）由椭圆定义可知2a=，再代入P3(1,)2−即可求出b，写出椭圆方程；（2）设直线l的方程ykxm=+，联立椭圆方程，求出k和m之间的关系，即可求出定点.【详解】（1）由12||||4PFPF+=，得2a=，又312P−

，在椭圆上，代入椭圆方程有221914ab+=，解得3b=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=．（2）证明：当直线l的斜率不存在时，11()Axy，，11()Bxy−，，11121332211yykkx−−−+==+，解得14x=−，

不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程ykxm=+，11()Axy，，22()Bxy，，由2234120ykxmxy=++−=，整理得222(34)84120kxkmxm+++−=，122834kmxxk−+=+

，212241234mxxk−=+，22430km=−+．由121kk+=，整理得12125(21)()2402kxxkmxxm−++−++−=，即(4)(223)0mkmk−−−=．当32mk=+时，此时，直线l过P点，不符合题意；当

4mk=时，22430km=−+有解，此时直线l：(4)ykx=+过定点(40)−，．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.21.已知函数2()(12)lnfxxaxax=+−−(Ra且0)a.（1）讨论函

数()fx的单调性;（2）当2a时，若函数()yfx=的图象与x轴交于A，B两点，设线段AB中点的横坐标为0x，证明:0()0fx.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到(21)()()xxafxx

+−=，分别讨论0a和0a两种情况，进而可得出函数单调性；（2）先由（1）得到()2(12)afxxax=+−−，()0,x+，对其求导，判定2a时，()fx单调递增；将0()0fx转化为0xa，设()1,

0Ax，()2,0Bx，且120xx，将问题转化为证明122xxa+；根据题意，得到()212121lnln21axxxxaxx−+=−+−，证明212121lnln2xxxxxx−−+，令211xtx=，()4ln21thtt=+−+，根据导数的方法判定其单调性，即可得出

()21ln1ttt−+，进而可得结论成立.【详解】（1）函数()fx的定义域为{|0}xx，22(12)(21)()()0xaxaxxafxxx+−−+−===，解得112x=−(舍去)，2xa=．当0a

时，()0fx在(0+)，上恒成立，所以函数()fx单调递增；当0a时，在(0)a，上()0fx，函数()fx单调递减，在()a+，上()0fx，函数()fx单调递增．综上，0a时，函数()fx单调递增；0a时，()fx在(

0)a，上单调递减；在()a+，上单调递增；（2）由（1）知，()2(12)afxxax=+−−，()0,x+，令()2(12)agxxax=+−−，()0,x+，则2()2agxx=+，当2a时，2()20agxx=+恒成立，所以()

gx单调递增，即()fx单调递增；又()0fa=，故要证0()0()fxfa=，即证0xa；设()1,0Ax，()2,0Bx，且120xx，由题设条件知，1202xxx+=，因此只需证122xxa+；由题意

，21112222(12)ln0(12)ln0xaxaxxaxax+−−=+−−=，两式作差可得，()()()2221212112lnln0xxaxxaxx−+−−−−=，即()()()2221212121lnlnxxaxxaxx−=−−+−，即()212121lnln2

1axxxxaxx−+=−+−，下面先证明212121lnln2xxxxxx−−+，即证21221212112122ln1xxxxxxxxxx−−=++，令211xtx=，()()()212144lnlnln2111tthttttttt−+−=−=−=+−+++，则

()()()()()()22222141140111ttthttttttt+−−=−==+++显然成立，所以()ht在()1,+上单调递增，则()()10hth=，所以()21ln1ttt−+，即

21221121ln1xxxxxx−+，所以212121lnln2xxxxxx−−+，因此()21212121lnln22121axxaxxaaxxxx−+=−+−+−+，即()21212122axxxxaxx−++−+，()()212121220xxaxxaxx+−+−++

，即()21211210xxaxx+−++因此122xxa+，所以原命题得证.【点睛】本题主要考查判定函数的单调性，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用

2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程:1cossinxy=+=（为参数），曲

线C2的普通方程:y2=8x，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系（1）分别求曲线C1、曲线C2的极坐标方程;（2）射线=3与曲线C1、曲线C2的交点分别为P，Q(均异于O点)，C

，(1，0)，求∆PQC的面积【答案】（1）22(1)1xy−+=，2sin8cos=；（2）13312.【解析】【分析】（1）按照公式转化即可.（2）求出PQ的长度按照三角形面积公式计算即可.【详解】解：（1）由曲线

1C的参数方程1cos,sin,xy=+=(为参数)，消参得曲线1C的直角坐标方程为22(1)1xy−+=，由cos,sin,xy==得曲线1C的极坐标方程为2cos=．曲线2C的极坐标方程为2sin8

cos=（2）1228cos13||||2cossin3PQ=−=−=，点1C到直线||PQ的距离32d=，所以11133||212PQCSPQd==△．【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的综合问题.[选修4-5:不等式

选讲]23.（1）求函数()2123fxxx=−−+的最大值m;（2）若a>1，b>1，c>1，a+b+c=m，求111111abc++−−−的最小值.【答案】（1）4；（2）9.【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式即可求

出最大值；（2）利用柯西不等式可以求出.【详解】（1）由绝对值不等式()|21||23||2123|4fxxxxx=−−+−−−=≤，所以4m=．（2）由（1）知：4m=，即4abc++=，所以1111abc−+−+−=，由柯西不等式：2111111(111)(111)9111111abcabc

abc++=++−+−+−++=−−−−−−≥，当且仅当43abc===，等号成立，111111abc++−−−的最小值为9．【点睛】本题考查绝对值不等式和柯西不等式的应用，属于基础题.