【文档说明】吉林省长春市希望高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.doc，共(14)页，1011.500 KB，由小赞的店铺上传

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长春市希望高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，

并将准考证号准确的填涂在答题卡上。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.保持卡面

清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知复数111izi−=++，则其共轭复数z=（

）A．1i−B．1i+C．2i−D．2i+2．已知向量(1,2)a→=，(2,2)b→=，则||ab→→+=A．4B．5C．6D．73．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论

过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若BA=λBE+μAC，则λ+μ的值为（）A．925−B．725C．1625D．14．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“

三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为222222

142acbSac+−=−.若ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sinsincAC=，cos45B=，abc，则用“三斜求积术”求得ABC的面积为（）A．53B．1C．35D．3105．三棱柱111ABCA

BC−中，点M在AB上，且AMAB=，若1//BC平面1AMC，则=（）A．12B．13C．14D．236．已知ABC是边长为4的等边三角形，且2,BDDCE=为AD中点，则BEAC=（）A．2−B．43−C．23

D．837．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（）A．3B．4C．5D．68．已知直线l，两个不同的平面,，下列命题正确的是（）A．若//l，l⊥，则

⊥B．若//l，l//，则//C．若⊥，l⊥，则l//D．若⊥，//l，则l⊥9．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的

组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为7:8，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（）A．32B．23C．34D．1210．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一

．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影,,ABC满足45ACB=，60ABC=．由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C

两点到水平面ABC的高度差AACC−约为（31.732）（）A．346B．373C．446D．47311（多选）．ABC的内角、、ABC的对边分别为abc、、，下列结论一定成立的有（）A．cos()c

os+=ABCB．若AB，则sinsinABC．若coscosaBbAa+=，则ABC是等腰三角形D．若sin2sin2AB=，则ABC是等腰三角形12（多选）．如图，在长方体1111ABCDABCD−中，14AAAB==，2BC=，M，N分别

为棱11CD，1CC的中点，则下列说法正确的是（）A．AMNB、、、四点共面B．平面ADM⊥平面11CDDCC．直线BN与1BM所成角的为60D．//BN平面ADM第Π卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13．已知复数,,zabiabR=+（i为虚数单位）且321zii=

+−，则||z=_____．14．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为__________________.15．在四面体ABCD中，BCD△是边长为2的等边三角形，ABD△是以BD为斜边的等腰直角三

角形，平面ABD⊥平面ABC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．16．在ABC中，3BC=，4AC=，90ACB=，D在边AB上（不与端点重合）.延长CD到P，使得9CP=.当D为AB中点时，PD的长度为_______；若32

PCmPAmPB=+−（m为常数0m且32m），则BD的长度是____.三、解答题17．已知向量(2,1),(3,1)ab==−．（1）求向量a与b的夹角；（2）若(3,)()cmmR=，且(2)cab−⊥，求m的值．18．如图，在直三棱柱ABC-A1

B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.19．如图，在四棱锥EABCD−中，底面ABCD为

矩形，平面ABCD⊥平面ABE，90AEB=，BEBC=，F为CE的中点，求证：（1）//AE平面BDF；（2）平面⊥BDF平面BCE．20．已知ABC的外接圆．．．的半径为2，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又向量()sinsin,mACba=−

−，2sinsin,sin4nACB=+，且⊥.（1）求角C；（2）求三角形ABC的面积S的最大值并求此时ABC的周长.21．如图，在直角梯形AEFB中，,//AEEFAEBF⊥，且2BFEFAE==，

直角梯形11DEFC可以通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转得到．（1）求证：平面11CDEF⊥平面1BCF；（2）若二面角1CEFB−−的大小为3，求直线1DF与平面1ABC所成角的正弦值．22．某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的

直径为300米，A为直径延长线上的点OA=300米，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角ABC，其中BC为斜边．（1）若23AOB=，求四边形OACB的面积；（2）现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将ABC区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将

OAB区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当AOB为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？参考答案1．B2．B3．B4．D5．A6．B7．C8．A9．D10．B11．BC12．BC13．2614．3315．616．132.185.【详解】解：由

勾股定理可知，2222ABACBC345=+=+=，当D为AB中点时，1522CDAB==，所以513922PDPCCD=−=−=;∵C、D、P三点共线，∴可设PCPD=（0），∵32PCmPAmPB=+−，∴32PDmPAmPB

=+−，即32mmPDPAPB−=+，若0m且32m，则A、B、D三点共线，∴321mm−+=，即32=，∵9CP=，∴6PD=，3CD=，设ADx=，ADC=，则5BDx=−，BDC

=−，∴根据余弦定理可得22227cos26ADCDACxADCDx+−−==，()()()22225cos265xCDBDBCCDBDx−+−−==−，∵()coscos0+−=，∴()()22570665xxxx−−+=−，解得75x=或5x=（舍去

），∴BD的长度为857155−=.故答案为:132;185.17．（1）4（2）4m=【详解】解：（1）由()2,1a=r，()3,1b=−，则()23115ab=+−=，由题得2215a=+=，()223110b=+−=，设向量a与b的夹角为，则52cos2

510abab===，由0,，所以4=.即向量a与b的夹角为4.（2）由()2,1a=r，()3,1b=−，所以()24,3ab−=−，又()2−⊥abc，所以()20abc−=，又()3

,cm=，所以()4330m−+=，解得4m=.18．（1）证明见解析；（2）63【详解】（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1

，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.（2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1.∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.

在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝12B1C1＝22.在Rt△A1DA中，AD＝221162ADAA+=.∴sin∠A1DA＝163AAAD=，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为63.19．（1）证明见解析；（

2）证明见解析【详解】（1）设AC与BD交于点O，连接FO，如图所示：因为O，F分别为AC，EC的中点，所以//AEOF.又因为OF平面BDF，AE平面BDF，所以//AE平面BDF.（2）因为平面ABCD⊥平面AB

EAB=，CBAB⊥，所以CB⊥平面ABE.又因为AE平面ABE，所以CBAE⊥.又因为90AEB=，所以AEEB⊥.所以AEEBAECBAEEBCBB⊥⊥⊥=平面BCE.又因为//AEOF，所以FO⊥平面BCE，又因为FO平面BDF，所以平面⊥BDF平面BCE.2

0．(1)3C=.(2)max332S=，周长为36.【详解】（1）∵0mnmn⊥=urrurr，∴()()()2sinsinsinsinsin04ACACbaB−++−=，且222R=，由正弦定理得：()22202242acbbaRRR−+−=，化简得：

222cabab=+−.由余弦定理：2222coscababC=+−，∴12cos1cos2CC==，∵0C，∴3C=.（2）∵()22222sin6ababcRC+−===，∴2262ababababab=+−−=（当且仅当ab=时取“=”）133sin32

42SabCab==，所以，max332S=，此时，ABC为正三角形，此时三角形的周长为36.21．（1）证明见解析；（2）428595．【详解】解：（1）证明：在直角梯形AEFB中，AEEF⊥，且直角梯形11DEFC

是通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转而得，所以1DEEF⊥，又//AEBF，所以1,BFEFCFEF⊥⊥，因为1BFCFF=，所以EF⊥平面1BCF，因为EF平面11CDEF，所以平面11CDEF⊥

平面1BCF．（2）由（1）可知1,BFEFCFEF⊥⊥，因为二面角1CEFB−−为3，所以13CFB=，过点F作平面AEFB的垂线，如图，建立空间直角坐标系Fxyz−．设24BFEFAE===

，则11(4,0,0),(0,2,23),(4,1,3),(0,4,0),(4,2,0)ECDBA．所以1(4,2,0),(0,2,23)ABCB=−=−，1(4,1,3)FD=．设平面1ABC的法向量为(,,)nxyz=，则10,0nABnCB=

=即420,2230.xyyz−+=−=令1z=，则33,2yx==，于是3,3,12n=．所以直线1DF与平面1ABC所成角的正弦值为114342859|5|19252nFDnFD==．22．（1）11250378750(+平方

米)；（2）34．【详解】（1）当23AOB=时，113300150112503(222AOBSOAOBAOB===平方米)；在OAB中，由余弦定理得，2222cos157500ABOAOBOAOBAOB=+−=；2178750(2ABCSAB==

平方米)，四边形OABC的面积为11250378750(AOBABCOACBSSS=+=+四边形平方米)；（2）设AOB=，则()0,，所以11sin300150sin22500sin22AOBSOAOBAOB===，在OAB中，由余弦

定理得，2222cos11250090000cosABOAOBOAOBAOB=+−=−；215625045000cos2ABCSAB==−，不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，则有2010AOBABCySS=

+；化简得450000sin562500450000cos4500002sin5625004y=+−=−+；因为()0,，所以当34=时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大．