【文档说明】重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高一下学期3月第一次月考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.764 MB，由小赞的店铺上传

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万州二中教育集团高一（下）三月质量检测数学试题（120分钟150分命题人：张权汤洁审题人：屈玉洁）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足1iiz−=（i为虚数单位），则复数z在复平面上的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再判定象限.【

详解】因为()21ii1i1iii−−===−−z，所以复数z在复平面上的对应点为()1,1−−，在第三象限.故选：C.2.已知平面向量(1,2),(2,)abm==−，且//ab，则23ab+=A.(5,10)−

−B.()4,8−−C.()3,6−−D.()2,4−−【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为(1,2)a=，(2,)bm=−，且//ab，所以40,4mm+==−，()()2321,232,4ab+=+−−=(4,8)−−，故选B.考点：1、平面向量坐

标运算；2、平行向量的性质.3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=32，则B的大小为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【答案】A【解析】【分析】先由正弦

定理求出sinB=12，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.【详解】由正弦定理得sinsinbaBA=，即326sinsin45B=，解得sinB=12，又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，又因为a>b，所以

A>B，即B=30°.故选：A.4.在ABC中，若0ABCA，则ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上说法都不对【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积的定义及三角形内角性质得π02A，但B、C的大小不定，即可得答案.【详解】由cos(

π)cos0ABCAABCAAABCAA=−=−，即cos0A，又0πA，则π02A，即A为锐角，但不能确定B、C的大小，它们中可能存在钝角或直角或都为锐角.故选：D5若π02，02，3cos()5+=，π5sin413−

=，则πcos4+=（）A.22B.32C.5665D.3665【答案】C【解析】【分析】由已知，结合角的范围，即可得出4sin()5+=，π12cos413−=.然后根据两角差余弦公.式，即可得出答案.【详解】因为π02，02，所以0π

+，所以，24sin()1cos()5+=−+=.又πππ444−−，所以2ππ12cos1sin4413−=−−=.所以，()ππcoscos44+=+−−()()ππcosc

ossinsin44=+−++−312455651351365=+=.故选：C.6.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为()1531−m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，

教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.20mB.30mC.203mD.303m【答案】D【解析】【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.【详解】()232162sin15sin4530sin45cos30cos45

sin3022224−=−=−=−=，由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝sinABAMB＝()1531302624−=−，在△AC

M中，由正弦定理得sinAMACM＝sinCMCAM，所以CM＝·sinsinAMCAMACM＝230226012=，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝3602＝303.故选：D7.已知平面向量PA，PB满足1PAPB==，PA，PB的夹角为2

π3，若1BC=，则AC的最小值为（）A.21−B.21+C.31−D.31+【答案】C【解析】【分析】不妨设()0,0P，()1,0A，()00,Bxy，(),Cxy，利用数量积和模长的坐标表示求得C点的轨迹即可求解.【详解】因为

1PAPB==，PA，PB夹角为2π3，所以1cos,2PAPBPAPBPAPB==−，不妨设()0,0P，()1,0A，()00,Bxy，则()1,0PA=，()00,PBxy=，则02200121PAPBxPBxy==−=+=，解得13,22−

B或13,22B−−，设(),Cxy，由1BC=得C在以B为圆心，1为半径的圆上，或所以AC的最小值为221311013122AB−=−−+−−=−.故选：C.的8.若平面向量a，b，c满足1c=，1a

c=，3bc=，2ab?，则a，b夹角的取值范围是（）A.ππ,62B.π,π6C.ππ,32D.π,π3【答案】C【解析】【分析】利用1ac=，3bc=与1c=即可确定a在c上的投影与b在c上的投影，c方向为x轴正方向建立平面直角坐

标系，即可确定a，b的横坐标，设出坐标由2ab?得到两向量纵坐标的关系后，列出a，b夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定a，b夹角的范围，注意20ab=即a，b的夹角为锐角.【详解】设OAa=，OBb=，OCc=，以O为原点，c方向为x轴正方向建立

平面直角坐标系，10ac=，30bc=，20ab=，a，b，c三者直接各自的夹角都为锐角，1c=，cos,1acacac==，cs3o,bcbcbc==，cos,1aac=，,3cosbbc=，即a在c上的投影为1，b在c上的投影为3，()1,

Am，()3,Bn，如图()1,am=，()3,bn=32amnb=+=即1mn=−，且222cos,19abababmn==++则2222222222244cos,9910919abnmmnnmmn===++++++

+，由基本不等式得222292966nmnmmn+==，21cos,4ab，a与b的夹角为锐角，10cos,2ab，由余弦函数可得：a与b夹角的取值范围是ππ,32，故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5

分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数1iz=+，则下列说法正确的是（）A.z的共轭复数是1i−B.z的虚部是iC.izz=D.若复数0z满足01zz−=，则0z的最大值是2

1+【答案】AD【解析】【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的除法可判断C选项；利用复数模几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为1iz=+，则1iz=−，A对；对于B选项，复数z的虚部为1，

B错；对于C选项，()()()21i1i2ii1i1i1i2zz−−−====−++−，C错；对于D选项，令0i,(,R)zxyxy=+，则2022(1)(1)1zxyz=+−−−=，即0z在圆心为(1,1)

半径为1的圆上，而0z表示圆上点到原点的距离，由圆心(1,1)到原点的距离为2，结合圆上点到定点距离范围易知：0z的最大值为21+，D对.故选：AD.10.下列说法错误的是（）A.若向量2tab+与向量23ab+共线，则43t=B.

在平行四边形ABCD中，有向线段AB与有向线段CD相等C.21,ee为平面中两个不共线的单位向量，若11122122,axeyebxeye=+=+，则1212abxxyy=+D.一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功就是力与位移所对应的向量的

内积【答案】ABC【解析】【分析】根据向量的共线，考虑a与b共线情况，可判断A；根据向量和有向线段的概念判断B；根据数量积的运算判断C；根据力做功的含义结合数量积（内积）定义判断D.【详解】A.向量2tab+

与向量23ab+共线，若a与b共线，则Rt，A错误；B.有向线段与向量是不相同的概念，有向线段具有三要素：起点､方向､长度，向量完全由模和方向确定，并且有向线段AB与有向线段CD的方向相反，二者不相等，B错误C.当

12ee⊥时，120ee=，此时111221221212()()xeyexeyeabxxyy+=+=+，C错误；D.一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为||||cos,WFs=为F和s的夹角，则||||cosW

Fs=就是力与位移所对应的向量的内积，D正确，故选：ABC11.在ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2ABAC=，2a=，则（）A.228bc+=B.向量BA，AC夹角的最小值为3C

.内角A的最大值为3D.ABC面积的最小值为3【答案】AC【解析】【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到228bc+=，根据均值不等式得到4bc，计算1cos2A≥，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到()2432

ABCbcS−=△，得到答案.【详解】224cos22bcABACbcA+−===，228bc+=，故A对；2282bcbc+=，4bc，当且仅当bc=时取等，cos2bcA=，21cos2Abc=，即max3A=，故B错，C对；()()22241114sin1cos132222

ABCbcSbcAbcAbcbc−==−=−=△，故D错.故选：AC12.已知,OG分别为ABC的外心和重心，N为平面内ABC一点，且满足ONOAOBOC=++，则下列说法正确的是（）A.0GAGBGC++=B.N为ABC内心C.12OGGN=D.对于ABC平面内任

意一点P，总有()13PGPAPBPC=++【答案】ACD【解析】【分析】根据三角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项的正误.【详解】A：由G为ABC的重心，则31()22AGABAC=+，31(

)22CGCACB=+，31()22BGBABC=+，所以31()()022AGCGBGABACCACBBABC++=+++++=，即0GAGBGC++=，正确；B：ONOAOBOCANOBOC−=+=+，由O为外心，所以()OBOCBC+⊥，即ANBC⊥，同理,BNACCNA

B⊥⊥，故N为垂心，错误.C：OGOAAGOBBGOCCG=+=+=+，所以3OGOAOBOCAGBGCG=+++++，因0AGBGCG++=，故()13OGOAOBOC=++，而ONOAOBOC=++，所以

()1133OGONOGGN==+，即12OGGN=，正确.D：PGPAAGPBBGPCCG=+=+=+，所以3PGPAPBPCAGBGCG=+++++，因为0AGBGCG++=，故()13PGPAPBPC=++，正确.故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分.13.已知点()1,5A−−和向量()2,3a=r，若3ABa=，则点B的坐标为________．【答案】()5,4【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OAABOB=+求向量OB的坐标，由此可

得点B的坐标.【详解】设O为坐标原点，因为()1,5OA=−−，()36,9ABa==，故()5,4OABOAB=+=，故点B的坐标为()5,4．故答案为：()5,4.14.小明在整理笔记时发现一题部分字迹

模糊不清，只能看到：在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知22b=，45A=，求边c.显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，则a的取值范围为________.【答案】{2}[22,)+【解析】【分析】根据题意,由正弦定理可得2sinBa=，如图所示,因为c

只有一解,以C为圆心,a为半径的圆与射线AB有且仅有一个交点,观察可得a的取值范围.为【详解】由正弦定理,sinsinabAB=可得222sinsin22aBBa==,45A=，则344B−=，因为c只有一解,所以22s

in{1}0,2Ba=,即{2}[22,)a+;故答案为：{2}[22,)+.15.已知,ab为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于120，若存在mR使得2abmb+=，则实数m的取值范围为_____

______.【答案】)3,+【解析】【分析】由平面向量数量积的运算结合已知得出222224aabbmb−+=，参变分离根据二次函数值域得到23m，通过题意得出0m，即可得出答案.【详解】,a

b为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于120，1cos1202ababab==−，2abmb+=，则2222abmb+=，222244aabbmb++=，222224aabbmb−+=，2224aambb

=−+，22133amb=−+，20ab+，0b，0m，)3,m+，故答案为：)3,+.16.1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车

的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知O为ABC内一点，OBC△，OAC，OAB的面积分别为AS，BS，CS，则有0ABCSOASOBSOC++=，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知ABC的内角,,

ABC的对边分别为,,abc，且7cos8A=，O为ABC内的一点且为内心.若AOxAByAC=+，则xy+的最大值为___________.【答案】45##0.8.【解析】【分析】根据内心特点可知0aOAbOBcOC++=，利用向量线性运算进行转化可求得b

xabc=++，cyabc=++，则11xyabc+=++；利用余弦定理和基本不等式可求得14abc+，由此可得xy+的最大值.【详解】O为ABC的内心，::::ABCSSSabc=，0aOAbOBcOC++=，()()()aAObOBcOCbABAOcACAObABcACbcAO=+=

−+−=+−+，()abcAObABcAC++=+，bcAOABACabcabc=+++++，即bxabc=++，cyabc=++，11bcxyaabcbc++==++++；()()2222222

2715152cos4442bcabcbcAbcbcbcbcbc+=+−=+−=+−+−()2116bc=+（当且仅当bc=时取等号），()22116abc+，14abc+，141514xy+=+（当且仅当bc

=时取等号），xy+的最大值为45.故答案为：45.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知向量()3,4OA=−，()6,3OB=−，()5,3OCmm=

−−−.（1）若//ABBC，求实数m的值；（2）若ABAC⊥，求实数m的值.【答案】（1）12m=；（2）74m=.【解析】【分析】（1）计算出AB和BC的坐标，利用//ABBCuuuruuur得出关于实数m的等式，解出即可；（2）求出AC坐标，由ABAC⊥，可得出0ABAC=，利

用向量数量积的坐标运算可得出关于实数m的等式，解出即可.【详解】()()()6,33,43,1ABOBOA=−=−−−=，()()()5,36,31,BCOCOBmmmm=−=−−−−−=−−−，//AB

BC，31mm−=−−，解得12m=；（2）()()()5,33,42,1ACOCOAmmmm=−=−−−−−=−−，ABAC⊥uuuruuurQ，()()3211740ABACmmm=−+−=−=，解得74m=.【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参

数，同时也考查了平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.的18.O是平面直角坐标系的原点，()()1,2,1,1AB−，记,OAaOBb==.（1）求a在b上的投影向量坐标；（2）若向量()1,c=，满足条件：,carr与,ab互补，求【答案】（1）1

1,22（2）17=【解析】【分析】（1）结合向量的投影公式，即可求解.（2）结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】由题意可得，()1,2OAa==−，()1,1OBb==，则a在b上的投影向量坐标为()2111cos1,1,222abb

abaeababbb====.【小问2详解】10cos<,>10ababab==，又,ca与,ab互补，10cos<,>cos<,>10acab=−=−，22110cos<,>1051accaac−===−+，化

简整理可得，27810−+=，解得17=或1=，显然1=时，()1,1cb==，不符合题意，故17=.19.某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距256海里.现有一艘轮船在D点

发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45，B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时.（1）求B点到D点的距离BD；（2）若命令C处的救援船立即前往D点

营救，求该救援船到达D点需要的时间.【答案】（1）50海里；（2）2小时【解析】【分析】（1）根据已知条件求出ADB，在ABD△中利用正弦定理即可求解；（2）求出CBD，在BCD△中由余弦定理求出CD，再根据速度即可得所需

要的的时间.【详解】（1）由题意知：256AB=，907515DBA=−=，904545DAB=−=，所以1804515120ADB=−−=，在ABD△中，由正弦定理可得：sinsinBDABDABADB=

即256sin45sin120BD=，所以2256256sin45250sin12032BD===海里，（2）在BCD△中，180754560CBD=−−=，80BC=，50BD=，由余弦定理可得：2222cos

CDBCBDBCBDCBD=+−1640025002805049002=+−=，所以70CD=海里，所以需要的时间为70235=小时，所以B点到D点的距离50BD=海里，救援船到达D点需要的时间为2小时.20.在锐角ABC中，,,abc分别是角,,ABC所对的边，sinsin2BCcC

+=，且1a=.（1）求A；（2）若ABC周长的范围【答案】（1）π3（2）(13,3+【解析】【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式和二倍角正弦公式化简已知等式可求得sin2A，由此可得A；（2）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式和辅助角公

式可得π12sin6acBb++++=，利用正弦型函数值域的求法可求得abc++的范围.【小问1详解】由sinsin2BCcC+=得：πsincossin222AAccC−==，由正弦定理知：sinsinacAC=，又1a=，sinsinC

cA=，sincossinsin2CACA=，又π0,2C，sin0C，cossin2sincos222AAAA==，π0,2A，π0,24A，cos02A，则1sin22A=，π26A=，解得：π3A=.【小问

2详解】由正弦定理得：123πsinsinsin3sin3abcABC====，23sin3bB=，23sin3cC=，232323π1sinsin1sinsin3333abcBCBB++=++=+++

2333π1sincos12sin3226BBB=++=++；ABC为锐角三角形，π022ππ032BCB=−，解得：ππ62B，ππ2π363B+，3πsin126

+B，133abc+++，即ABC周长的取值范围为(13,3+.21.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）已知△ABC的面积为23sinaA，求sinsinBC；（2）若G为三角形的重心，且GAGB⊥，求sinC的取值范围．【答案】（1）23（2）

20,3【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理将其转化为角的形式，化简可得答案（2）将,CACB作为基底，然后根据题意，把,AGBG用基底表示，再利用AGBG⊥可得0AGBG=，从而可得到cos,,Cab的关系，利用基本不

等到式可求出cosC的范围，再利用三角函数的关系可求得sinC的范围【小问1详解】因为ABC的面积为23sinaA，所以21sin23sinabcAA=所以221sin23abcA=，所以由正弦定理得221sinsinsinsin23ABCA=，因为2sin

0A，所以2sinsin3BC=，【小问2详解】延长AG交BC于D，延长BG交AC于E，因为G为ABC的重心，所以22111()()(2)33233AGADABACACCBACCBCA==+=++=−，22111()()(2)33233BGBEBABCBCCABCCACB==+=++

=−，因为AGBG⊥，所以0AGBG=，所以(2)(2)0CBCACACB−−=，化简得22522CBCACBCA=+，所以225cos22abCab=+，所以222222224cos2555555abababCabba

ba+==+=，当且仅当2255abba=，即ab=时取等号，所以216cos125C，所以2161cos25C−−−，所以2901cos25C−，所以290sin25C，所以30sin5C

，即sinC的取值范围30,522.如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），AOB=（为锐角），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M（点M异于点O、B）（1）求OAAB（结果用表示）；（2）若60=①求CACB的取

值范围；②设()01OMtOBt=，记()AMftAC=，求()ft的最小值.【答案】（1）cos1−（2）①()0,3；②233−【解析】【分析】（1）由ABOBOA=−，再结合平面向量的数量

积，得解；（2）①设AOC=，π,π3，化简可得3π3sin23CACB=−+，再根据正弦函数的图象与性质，得解；②设(01)AMAC=，由OMtOB=，结合1OC=，推出21()2ttftt−+==−，再利用

分离常数法和基本不等式，得解．【小问1详解】解：()2cos1OAABOAOBOAOAOBOA=−=−=−；【小问2详解】解：①设AOC=，π,π3，则π3BOC=−，()()CACBOAOCOBOC=−

−2OAOBOAOCOCOBOC=−−+ππcoscoscos133=−−−+3π3sin23=−+，π,π3，又π2π4π,333+，则()0,3CACB.②设(01)AMAC=，则()ft=，因为O

MtOB=，所以()(1)OMOAAMOAACOAOCOAOAOCtOB=+=+=+−=−+=，所以1tOCOBOA−=−，因为1OC=，所以11tOBOA−−=，即221π1()2cos()1

3tt−−−+=，化简得，212ttt−+=−，所以221(2)3(2)33()(2)3233222ttttfttttt−+−−−+====−+−−−−−，当且仅当322tt−=−−，即23t=−时，等号成立，故()ft的最小值为233−．