北京市房山区2023-2024学年高二下学期学业水平调研(二)数学试卷 Word版含解析

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【文档说明】北京市房山区2023-2024学年高二下学期学业水平调研(二)数学试卷 Word版含解析.docx,共(19)页,1019.228 KB,由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

房山区2023-2024学年度第二学期学业水平调研(二)高二数学本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共5

0分)一、选择题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知数列{}na满足12nnaa+=−,且11a=,则3a=()A.14B.4C.3−D.8−【答案】B【解析】【分析】利用等比数列概念及通项可得结果.【详解】由12nnaa+

=−可得12nnaa+=−为定值,又11a=,所以{}na是以11a=为首项,公比2q=−的等比数列,∴231aaq==4,故选:B2.函数()yfx=的图象如图所示,则()A.(1)(3)ffB.(1)(3)ff=C.()()13ffD.(1)

(3)0ff+【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象结合导数的几何意义判断即可【详解】根据函数的图象,应用导数的几何意义是函数的切线斜率,在1处的切线斜率小于在3处的切线斜率,所以()()13ff,A,B选

项错误;又因为()()130ff,所以()()130ff+,D选项错误.故选:C.3.如图①、②、③、④分别为不同样本数据的散点图,其对应的线性相关系数分别为1234,,,rrrr,则1234,,,rrrr中最大的是()A.1

rB.2rC.3rD.4r【答案】A【解析】【分析】由散点图图形趋势可判断1234,,,rrrr大小关系.【详解】因③图形比较分散,则30r;因①②④相较③接近于一条直线附近,则1240rrr,,,又②为下降趋势,则20r,①比④更接近一条直线,且呈上升趋势,则140rr

.综上,1r最大故选:A4.设等差数列na的前n项和为nS,若23a=−,510S=−,使nS最小的n的值为()A.4B.5C.6D.4或5【答案】D.【解析】【分析】设公差为d,依题意得到方程组,

求出1a、d,即可求出通项公式,再根据数列的单调性判断即可.【详解】设公差为d,由23a=−,510S=−,所以11351010adad+=−+=−,解得141ad=−=,所以5nan=−,令0na,解得5n,则数列na单调递增,且50a=,所以当4n=或5n=时nS取得最小

值.故选:D5.要安排5位同学表演文艺节目的顺序,要求甲同学既不能第一个出场,也不能最后一个出场,则不同的安排方法共有()A.72种B.120种C.96种D.60种【答案】A【解析】【分析】先将甲同学排列在中间3个位置,再将其余

节目全排列即可.【详解】第一步:先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置,共有13C种排法,第二步:将剩余得4个节目全排列,共有44A种排法,所以共有1434CA72=种,故选:A6.在62xx+的展开式中,2x的系数是()A.15B.60

C.6D.12【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式的通项,利用赋值法可得特定项系数.【详解】由已知可得62xx+展开式的通项6662162CC2rrrrrrrTxxx−−+==,令622r−=,解得2r=,所以222236C260T

xx==,系数为60,故选:B.7.某地区气象台统计,夏季里,每天下雨的概率是415,刮风的概率为215,既刮风又下雨的概率为110.则夏季的某一天里,已知刮风的条件下,也下雨的概率为()A.8225B.110C.38D.34【答案】D【解析】【分析】根据条件概率公式直接可得

解.【详解】设事件A为当天下雨,事件B为当天刮风,则()215PB=,()110PAB=,则已知刮风的条件下,也下雨的概率()()()34PABPABPB==,故选:D.8.为了研究儿子身高与父亲身高的关系,某机

构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高(单位:cm),得到的数据如表所示.编号1234567891011121314父亲身高x174170173169182172180172168166182173164180儿子身高y176176170170185176178174

170168178172165182父亲身高的平均数记为x,儿子身高的平均数记为y,根据调查数据,得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为0.83928.957yx=+.则下列结论中正确的是()A.y与x正相关,且相关系数为0.839B.点

(,)xy不在回归直线上C.x每增大一个单位,y增大0.839个单位D.当176x=时,177y.所以如果一位父亲的身高为176cm,他儿子长大成人后的身高一定是177cm【答案】C【解析】【分析】由回归方程意义及性质可判断选项正误.【详解】A选项,因0.8390,则y与x正相关,但

相关系数不是0.839,故A错误;B选项,回归方程过定点(,)xy,故B错误;C选项,由回归方程可知x每增大一个单位,y增大0.839个单位,故C正确;D选项,回归方程得到的y为预测值,不一定满足实际情况,故D错误.故选:C9.设随机变量X的分布列如下表所示

,则下列说法中错误的是()X123456P1p2p3p4p5p6pA.(4)1(3)PXPX=−≥≤B.随机变量X的数学期望()EX可以等于3.5C.当()11,2,3,4,52nnpn==时,6512p=D.数列np的通项公式可以为()11,2,3,4,5,6(

1)npnnn==+【答案】D【解析】【分析】根据概率和为1可判断A选项;当12345616pppppp======时,期望为3.5,可判断B选项;根据等比数列求和公式化简可判断C选项;D选项,利用裂项相消法可得np的前n项和,进而可判断D选项.【详解】A选项:由已知1234561ppp

ppp+++++=,则()456123(4)11(3)PXppppppPX=++=+=−−+,A选项正确;B选项:当12345616pppppp======时,期望为()1111111234563

.5666666Ex=+++++=,B选项正确;C选项:由()11,2,3,4,52nnpn==,则()561252551112211111111222212pppp−=−+++=−+++=−=−,C选项正确;D选项:由()1111,

2,3,4,5,6(1)1npnnnnn==−=++,则其前6项和为11111611223677−+−++−=,D选项错误;故选:D.10.已知数列A:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是02,接下来的两项是012,2,再接下来的三项是

0122,2,2,依此类推.nS是数列A的前n项和,若()*=2NtnSt,则n的值可以等于()A.16B.95C.189D.330【答案】B【解析】【分析】将数列分组,使每组第一项均为1,第一组:02,第二组:012,2,第三组:01

22,2,2,……,第k组:01212,2,22k−,根据等比例数列前n项和公式对选项逐一验证即可.【详解】将数列分组,使每组第一项均为1,即:第一组:02第二组:012,2第三组:0122,2,2……第k组:01212,2,2,,2k−根据等比例数列前n项公式,得每组和分别为:122

1,21,,21k−−−,每组含有的项数分别为()11232kkNk+=+++++.所以()()1211212=212121222212kkkkNSkkk++−−+−++−=−=−−=−+−若()*=2NtnSt,即()()1*222Nktkt+−+=,将选项A代入,若16n=,则5

k=,即16S为前5组与第6组的第1个数的和,此时()61625212tS=−++=,*Nt无解;同理若95n=,则13k=,此时()141495213212482S=−+++++=,即*14Nt=,符合题意;同理若189n=,则18k

=,此时()181918181891902219222222tSS=−=−+−=−=,*Nt无解;同理若330n=,则25k=,此时()26263302252124816242tS=−++++++=+=,*Nt无解;综上可知,95n=,故选:B

【点睛】关键点点睛:本题关键在于找出数列的规律,对该数列进行分组,利用等比数列前n项和公式构造方程,即可求解.第二部分(非选择题共100分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.若()fxx=,则()4f=____.【答案】14##0.25【解析】【分析】求导代入4x=计算可得结

果.【详解】由()fxx=可得1()2fxx=,∴11(4)424f==,故答案为:1412.若()4234012341xaaxaxaxax−=++++,则0a=____;13aa+=____.【答案】①.1②.-8【解析】【分析】利用赋值法,令0x=可得01a=,由通

项分别求出13,aa可得结果.【详解】由题意知,令0x=可得()4001a−=,即01a=,由二项展开式的通项可得,()333441C1C4xxxax−=−=−=,即14a=−,()131333443C1C4xxxax−=−=−=,即

34a=−,即138aa+=−,故答案为:1,8−13.为了提高学生的科学素养,某市定期举办中学生科技知识竞赛.某次科技知识竞赛中,需回答20个问题,记分规则是:每答对一题得5分,答错一题扣3分.从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取1名,设其答对的问题数量为X,最后得分为Y分

.当10X=时,Y的值为____;若(60)0.7PY=≥,则(15)PX=____.【答案】①.20②.0.3##310【解析】【分析】易知当10X=时,答错10道题,因此得分为20;根据题意得出随机变量

X与Y的关系式,再由对立事件概率可求结果.【详解】由题意知,说明答对10道题,答错10道题,又答对得5分,答错得3−分,所以最后得分()()5320860020YXXXX=−−=−,即当10X=时,20Y=;若60Y≥,即86060X−≥,可得15X≥,∴(60)(15)1(15)0.7PYP

XPX==−=,∴(15)0.3PX=<,故答案为:20;0.314.设无穷数列{}na的通项公式为23(2)nann=−++.若{}na是单调递减数列,则的一个取值为____.【答案】52λ=(答案不唯一,(2,3)即可)【解析】【分析】根据数列的函数特性,可得

1nnaa+<,解不等式可得的取值范围.【详解】由23nann=−++可得()()21113nann+=−++++,又{}na是单调递减数列,可得1nnaa+<,即()()221133nnnn−++++−++<,整理得210n−−+<恒成立

,即()*min21,Nnn+<恒成立,∴3<,又因为2>,所以23<<,即取值范围为(2,3),故答案为:52λ=(答案不唯一,(2,3)即可)15.已知函数()()21,0ln21,0xaxxfx

xaxx−−−=−−+,给出下列四个结论:①当0a=时,()fx在定义域上单调递增;②对任意0a,()fx存在极值;③对任意2a,()fx存在最值;④设()fx有n个零点,则n的取值构成的集合是{1,2,3,4}.其中所有正确结论的序号是____.【答案】②③④【解析】【分

析】取值计算判断①;函数20(,)1fxxaxx−−−=的极值点情况判断②,分别求出两段的最大值判断③;分段探讨零点个数判断④即得答案.【详解】对于①,当0a=时,𝑓(𝑥)={−𝑥2−1,𝑥≤0ln𝑥+2𝑥+1,𝑥>0,

332(e)21(0)eff−=−−=,①错误;对于②,当0a时,函数20(,)1fxxaxx−−−=在(,)2a−−上单调递增,在(,0)2a−上单调递减,函数()fx在2ax=−处取得极大值,因此对任意0a,()fx存

在极值,②正确;对于③,当2a时,(,0]−x,02a−,2()()124aafxf−=−,当0x时,1()(2)fxax−−=,由()0fx,得102xa−,由()0fx,得12−xa,即函数()fx在1(0,)2a−上

单调递增,在1(,)2a+−上单调递减,此时1()()2fxfa−,因此xR,max1()max{(),()}22afxffa=−−,③正确;对于④,当0a时,函数()fx在(,0]−上单调递增,()(0)1fxf=−,在(,0−上无零点,()ln(2)1fxxa

x=−−+在(0,)+上单调递增,(1)30fa=−,33(e)3(2)e12(2)0aafaaaa−−=−+−+−+−=,在()0,+有一个零点,1n=;当02a时,2()1024aaf−=−,()ln(2)1

fxxax=−−+在(0,)+上单调递增,同理得1n=,当2a=时,2()1024aaf−=−=,()ln1fxx=+在(0,)+上单调递增,1(e)0f−=,2n=;当23a时,2()1024aaf−=−,()fx在(,0]−

上有两个零点,当0x时,11()ln022faa=−−,11(e)(2)e0fa−−=−−,当x趋近于正无穷大时,()fx趋近于负无穷大,即()fx在(0,)+上有两个零点,4n=;当3a=时,2

()1024aaf−=−,()fx在(,0]−上有两个零点,1()02fa=−,3n=;当3a时,2()1024aaf−=−,()fx在(,0]−上有两个零点,11()ln022faa=−−,2n=,因此n的取

值构成的集合是{1,2,3,4},④正确,所以所有正确结论的序号是②③④.故答案为:②③④【点睛】方法点睛:函数零点个数判断方法:(1)直接法:直接求出f(x)=0的解;(2)图象法:作出函数f(x)的图象,观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数,作出这两个函数

的图象,观察它们的公共点个数.三、解答题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知na是等差数列,nb是等比数列,且23a=,35a=,11ab=,144ab=.(

1)求na和nb的通项公式;(2)设nnncab=+,求数列nc的前n项和nS.【答案】(1)21nan=−,13nnb−=(2)nS2312nn−=+【解析】【分析】(1)由na是等差数列求出()21123nan

n=−=,,,,即可求出nb;(2)找出1213nnnncabn−=+=−+,由分组求和得解.【小问1详解】设等差数列na的公差为d,23a=,35a=所以()21123nann=−=,,,因为111ab==,14427ab==所以327q=,即等比数列nb的

公比3q=.所以211bbq==,4327bbq==.所以13nnb−=.【小问2详解】由(Ⅰ)知,21nan=−,13nnb−=,因此1213nnnncabn−=+=−+从而数列nc的前n项和()11321133nnSn

−=+++−++++()12113213nnn+−−=+−2312nn−=+.17.已知函数32()39fxxxxa=−+++(1)求函数()fx的极值点;(2)若()fx的极小值为10−,求函数()fx在[2,2]−上的最大值.【答案】(1)=1x−是函数()fx的极小值点;3x=是函数()

fx的极大值点.(2)最大值17.【解析】【分析】(1)先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值;(2)先根据极小值求出a,再根据极值及边界值求最大值即可.【小问1详解】22()3693(23)3(1)(3)fx

xxxxxx=−++=−−−=−+−,令()0fx=,得=1x−或3x=.()fx,()fx的情况如下:x(,1)−−1−(1,3)−3(3,)+()fx−0+0−()fx递减a递增27a+递减所以=1x−是函数()fx的极小值点;3x=是函数(

)fx的极大值点.【小问2详解】因为()fx的极小值为10−,即(1)13910fa−=+−+=−解得5a=−,又(2)3f−=−,(2)17f=.所以当2x=时,()fx取得最大值17.18.袋子中有5个大小和质地相同的小球,其中3个白球

,2个黑球.从袋中随机摸出一个小球,观察颜色后放回,同时放入一个与其颜色大小相同的小球,然后再从袋中随机摸出一个小球.(1)求第一次摸到白球的概率;(2)求第二次摸到白球概率;(3)求两次摸到的小球颜色不同的概率.【答案】(

1)35(2)35(3)25.【解析】【分析】(1)由古典概型计算可得结果;(2)由全概率公式计算可得;(3)根据条件概率公式计算可得.【小问1详解】设第一次摸到白球的事件为A,则3()5PA=,即第一次摸到白球的概率为35.【小问2详解】设

第二次摸到白球的事件为B,则()()((|+)|)PBPBABAPAPBAPAPBA=+=))((3423356565=+=,即第二次摸到白球的概率35.【小问3详解】设两次摸到的小球颜色不同的事件为C,则C=ABAB+()()((|+()|)PCPABAB

PAPBAPAPBA=+=))(32232+=56565=,即两次摸到的小球颜色不同的概率为25.19.人工智能(简称AI)的相关技术首先在互联网开始应用,然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能:“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区

大学生对这款AI软件的使用情况,从该地区随机抽取了120名大学生,统计他们最喜爱使用的AI软件功能(每人只能选一项),统计结果如下:的软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计大学生人数40204020假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响.(1)从该地区的大学生中随机抽

取1人,试估计此人最喜爱“视频创作”的概率;(2)采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,其中最喜爱“视频创作”的人数为X,求X的分布列和数学期望;(3)从该地区的大学生中随机抽取2人,其中最喜爱“视频创作”的人数为Y,Y的方差记作()DY,(2)中X的方

差记作()DX,比较()DX与()DY的大小.(结论不要求证明)【答案】(1)13(2)分布列见解析,()23EX=(3)()()DYDX【解析】【分析】(1)有古典概型计算可得结果;(2)利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”,求得X的所有可能取值及其

对应概率可得分布列和期望值(或利用超几何分布计算可得结果);(3)由(2)可得()DX,由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13,因此12,3YB,可得()DY.【小问1详解】设从该地区的大学

生随机抽取1人,此人选择“视频创作”的事件为A,则401()1203PA==【小问2详解】因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为4062120=,所以X的所有可能取值为0,1,2,()2426C20,C5PX===()114226CC81,C15P

X===()2226C12,C15PX===所以X的分布列为:X012P25815115()681102012151515153EX=++==(或(,,),XBNnM则()22263nMEXN===)【小问3详解】由(2

)可得2222228211()012353153153DX=−+−+−=;由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13,因此12,3YB,可得124()2339DY==

.因此()()DYDX.20.已知函数()()()2122exfxxaxaxa=−−+R.(1)当0a=时,求曲线()yfx=在0x=处的切线方程;(2)当0a时,求函数()fx的单调区间;(3)若对于任意的)2,x+,有()0fx,求a的取值范围.【答

案】(1)20xy++=(2)当0ea时,()fx在(),lna−和()1,+上递减,在()ln,1a上递增;当ea=时,()fx在(),−+上递增;当ea时,()fx在(),1−和()ln,a+上递减,在()1,l

na上递增.(3)(2,e−【解析】【分析】(1)直接计算导数,并利用导数的定义即可;(2)对a分情况判断()fx的正负,即可得到()fx的单调区间;(3)对2ea和2ea两种情况分类讨论,即可得到a的取值范围.小问1详解】由()

()212e2xfxxaxax=−−+,知()()()()()()21e1e11exxxfxxaxaxaxxa=−+−+=−−−=−−.所以当0a=时,有()()0002e2f=−=−,()()()0001e01f=−−=−.故曲线()yfx=在0x=处的切

线经过()0,2−,且斜率为1−,所以其方程为2yx=−−,即20xy++=.【小问2详解】当0ea时,对()(),ln1,xa−+有()()()1e0xfxxa=−−,对()ln,1xa有()()()1e0xfxxa=−−

,故()fx在(),lna−和()1,+上递减,在()ln,1a上递增;当ea=时,对()(),11,x−+有()()()1e0xfxxa=−−,故()fx在(),−+上递增;当ea时,对()(),1ln,xa

−+有()()()1e0xfxxa=−−,对()1,lnxa有()()()1e0xfxxa=−−,故()fx在(),1−和()ln,a+上递减,在()1,lna上递增.综上,当0ea

时,()fx在(),lna−和()1,+上递减,在()ln,1a上递增;当ea=时,()fx在(),−+上递增;当ea时,()fx在(),1−和()ln,a+上递减,在()1,lna上递增.【小问3详解】我们有()()()2112e2e22xxfxxaxa

xxax=−−+=−−.当2ea时,由于ln2a,12,故根据(2)的结果知()fx在)2,+上递增.故对任意的)2,x+,都有()()20fxf=,满足条件;当2ea时,由于ln2a,故()()()211lnln2lnln2022faaaaaaa

=−−=−−.所以原结论对)ln2,xa=+不成立,不满足条件.综上,a的取值范围是(2,e−.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于对a进行恰当的分类讨论,方可得到所求的结果.【21.若数列{}na满足:对任意

*nN,都有11nnaa+−,则称{}na是“P数列”.(1)若21nan=−,12nnb−=,判断{}na,{}nb是否是“P数列”;(2)已知{}na是等差数列,12a=,其前n项和记为nS,若{}na是“P数列”,且232nSnn+恒成立

,求公差d的取值范围;(3)已知{}na是各项均为正整数的等比数列,11a=,记1,3nnnnaabcn+==,若{}na是“P数列”,{}nb不是“P数列”,{}nc是“P数列”,求数列{}na的通项公式.【答案】(1)数列na是“

P数列”;数列nb不是“P数列”;(2)(1,6(3)13nna−=或14nna−=【解析】【分析】(1)直接根据“P数列”的定义进行判断即可;(2)由{}na是等差数列结合{}na是“P数列”可知公差1d,结合等差数列

求和公式用含d式子表示nS,进一步结合232nSnn+恒成立即可求解;(3)由“P数列”na的每一项(1nnaq−=)均为正整数,可得1q且*qN,进一步可得1nnaa+−单调递增,故将任意性问题转换为2121,aabb−−与1比较大小关系可得q的范围,结

合*qN,3q=或4q=,注意此时我们还要分情况验证{}nc是否是“P数列”,从而即可得解.【小问1详解】对于数列na而言,若21nan=−,则()1212121nnanna+=+−−=−,所以数列na是“P数列”;对于数列nb而言,若12nnb−=,则21211bb

−=−=,则数列nb不是“P数列”;【小问2详解】因为等差数列na是“P数列”,所以其公差1d.因为12a=,所以()122nnnSnd−=+,的由题意,得()212322nnndnn−++对任意的*nN恒成立,即()16ndn−对任意

的*nN恒成立.当1n=时,()16ndn−恒成立,故1d;当2n时,()16ndn−对任意的*nN恒成立,即61ndn−对任意的*nN恒成立,因为666611nnn=+−−,所以6d.所以d的取值范围是(1,6].【小问3详解】设等比数列na的公比

为q,因为11a=,所以1nnaq−=,因为“P数列”na的每一项均为正整数,由11nnaa+−得1nnaa+,所以1q且*qN,因为11(1)0nnnaaqq−+−=−,所以2111nnnnaaaqa+++=−−,所以1n

naa+−单调递增,所以在数列1nnaa+−中,“21aa−”为最小项,而3nnab=,从而在数列1nnbb+−中,“212133aabb−=−”为最小项.因为na是“P数列”,则只需211aa−,

所以2q,因为数列{}nb不是“P数列”,则2121133aabb−=−≤,所以4q,因为数列na的每一项均为正整数,即*qN,所以3q=或4q=,(1)当3q=时,13nna−=,则3nncn=,令()113321311nnnnnnnDccnnnn++−=−=−=++

,又()()()()211212134233.012112nnnnnnnnDDnnnnnnn+++−+−=−=+++++,所以nD为递增数列,又121933122Dcc=−=−=,所以对于任意的*Nn,都有1nD,即1

1nncc+−,所以数列nc为“P数列”,符合题意.(2)同理可知,当4q=时,14nna−=,则4nncn=,令()113141144nnnnnnnDccnnnn++−=−=−=++,又()()()()113144023291124nnnn

nnDDnnnnnnn++−−=−=+++++,所以nD为递增数列,又1218441Dcc=−=−=,所以对于任意的*Nn,都有1nD,即11nncc+−,所以数列nc为“P数列”,符

合题意.综上,13nna−=或14nna−=.【点睛】关键点点睛:第三问关键是首先将恒成立任意性问题转换为2121,aabb−−与1比较大小得出q的值,回过头去检验nc是否满足题意即可顺利得解.的

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