【文档说明】北京市房山区2023-2024学年高二下学期学业水平调研（一）数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，897.491 KB，由小赞的店铺上传

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房山区2023-2024学年度第二学期学业水平调研（一）高二数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟.第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若1，x，2成等差数列，则x=（）A.2B.32C.32D.3

【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合等差数列的定义，列出方程，即可求解.【详解】由1，x，2成等差数列，可得12xx−=−，解得32x=.故选：C.2.已知等比数列na的通项公式23nna=−，则数列na的公比为（）A3B.2C.3−D.6−【答案】A【解析】【分

析】根据已知及等比数列的定义可得结果.【详解】因为na为等比数列且通项公式为23nna=−，所以公比1123323nnnnaqa−−−===−，故选：A.3.下列结论中正确的是（）A.若sin2yx=，

则cos2yx=B.若sin2yx=，则2cos2yx=C.若cos2yx=，则sin2yx=D.若cos2yx=，则2sin2yx=【答案】B【解析】【分析】借助复合函数的求导法则计算即可得..【详解】对A、B：若sin2yx=，则cos222cos2

yxx==，故B正确，A错误；对C、D：若cos2yx=，则sin222sin2yxx=−=−，故C、D错误.故选：B.4.设某质点的位移mx与时间st的关系是21xtt=−+，则质点在第3s时的瞬时速度等于（）A.5m/sB.6

m/sC.7m/sD.8m/s【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，计算3t=时，x的值即可．【详解】21xtt=−+Q，21xt=−，则3t=时，32315tx==−=，所以质点在第3s时的瞬时速度等于5m/s.故选：A.5.函数()fx的图象如图所示，设()2af

=，()3bf=，()()32cff=−，则（）A.abcB.c<a<bC.bacD.b<c<a【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义结合函数图象即可得解.【详解】由函数图象可知函数()fx为增函数，且增加的速度越来越慢，所以()()()(

)322332ffff−−，即b<c<a.故选：D.6.已知等比数列na的前n项和为nS，若36a=，318S=，则公比q=（）A.12−B.1C.12−或1D.3【答案】C【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，利用基本量代

换列方程组即可求出q.【详解】设等比数列na的公比为q，根据题意可得，212111618aqaaqaq=++=，解得1q=或12−.故选：C.7.已知函数()fx的定义域为R，()fx的导函数()fx的图象大致如图所示，则下

列结论中错误的是（）A.()fx在()1,3−上单调递增B.0x=是()fx的极小值点C.3x=是()fx的极大值点D.曲线()yfx=在2x=处的切线斜率为2【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用函数()fx的图象，结合函数()fx和()fx的关系，逐项判定，即可求解

.【详解】对于A中，根据函数()fx的图象得，当()1,3x−时，()0fx，所以函数()fx在()1,3−上单调递增，所以A正确；对于B中，根据函数()fx的图象知，在0x=的左右两侧附近，可得()0fx，所以()fx单调递增，则0x=不

是函数的极值点，所以B错误；对于C中，根据函数()fx的图象知，当()0,3x时，()0fx，()fx单调递增，；当()3,x+时，()0fx，()fx单调递减，所以3x=是函数的一个极大值点，所以C正确；对于D中

，根据函数()fx的图象知，()22f=，即曲线()yfx=在2x=处的切线斜率为2，所以D正确.故选：B.8.世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较

大的两份之和的12是较小的三份之和，则最小的1份为（）A.34磅B.53磅C.49磅D.43磅【答案】D【解析】【分析】结合题意，利用等差数列的性质计算即可得.【详解】设五个人从小到大所得面包为1a、2a、3a、4a、5a，设其公差为d，则由题意可得()4512312aaaaa+

=++，即()11127332adad+=+，整理可得14da=，又1234560aaaaa++++=，即151060ad+=，即有11812aa+=，即143a=，即最小的1份为43磅.故选：D.9.已知数列na的通项公式

321534nannm=−+，且最小项为2−，则实数m的值为（）A.14B.13C.13−D.1312−【答案】B【解析】【分析】设函数321534yxxm=−+，利用导数判断单调性，从而得到数列na的单调性，求出最小项得解.【详解】设函

数321534yxxm=−+，则25522yxxxx=−=−，所以当50,2x时，0y，当,25x+时，0y，即函数321534yxxm=−+在50,2上单调递减，在5,2+上单调递增.因为321534

nannm=−+，*Nn，所以12aa，345aaa，又273am=−，394am=−，23aa，723m−=−，解得13m=.故选：B.10.已知函数()3e,1,xxxkfxxxxk−=−+，则下列结论中错误的是（）A.当1k=时，函数()fx无零点B.当

0k=时，不等式()1fx的解集为()0,1C.若函数()()1gxfx=−恰有两个零点，则实数k取值范围为)0,1D.存在实数k，使得函数()fx在()0,+上单调递增【答案】C【解析】【分析】1k=时，利用导数求出函数得单调区间和极值，进而可判断A；0k=时，借助导数

工具判断e10xx−−，结合三次函数的零点情况，分段求解不等式，即可判断B；结合B选项e10xx−−，分别求出函数3e1,xyxyxx=−−=−的零点，在分类讨论即可判断C；举出例子，结合A选项即可判断D.【详解

】对于A，当1k=时，()3e,11,1xxxfxxxx−=−+，当1x时，()exfxx=−，()e1xfx=−，当0x时，()0fx，当01x时，()0fx¢>，所以函数()fx在(),0−上单调递减，在()0,1上单调递增，所以

()()010fxf=，的所以函数()fx在(,1−上没有零点，当1x时，()31fxxx=−+，()2310fxx=−，所以函数()fx在()1,+上单调递增，所以当1x时，()()11fxf=，所以函数()fx在()1,+上没有零点，综上所述，当1k=时

，函数()fx没有个零点，故A正确；对于B，0k=时，()3e,01,0xxxfxxxx−=−+，则()3e1,01,0xxxfxxxx−−−=−，令300xxx−，即(1)(

1)00xxxx+−，解得(0,1)x，令()e1(0)xhxxx=−−，()e10(0)xhxx=−，即()hx在(,0x−上单调递减，于是()(0)0hxh=，即e10xx−−，即e10xx−−无解，综上可知，()1fx的解集为(

)0,1，故B正确；对于C，()3e1,()1,xxxkgxfxxxxk−−=−=−，由B选项分析可知，函数e1xyx=−−在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，所以e10xx−−，0x=取得等号，故0k时，e10xx−−=无解，30(1)(1)0xxxxx−=−+=

，解得1x=或0，30−=xx在xk时有2个根，即=1x−这个根需排除在外，则1k−，于是10k−，当0k时，e10xx−−=有唯一解0x=，于30−=xx在xk时有1个根，即1x=这个根需恰好被包含在内，故1k，即01k，综上所述，)1,1k−，故C错

误；是对于D，由A选项得函数exyx=−在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，函数31yxx=−+在33,,,33−−+上单调递增，在33,33−

上单调递减，当2k=时，()fx在()2,+上单调递增，在()0,2上单调递增，又()232e2221e90−−−+=−，即23e2221−−+，所以当2k=时，函数()fx在()0,+上单调递增，故D正确.故选：C.【点睛】方法

点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函

数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()2fxxx

=+，则()0(im11)lxfxfx→+−=______．【答案】3【解析】【分析】根据导数的定义和导数的求导法则计算即可．【详解】()()01(11)limxfxffx→+=−，又()21fxx=+，故()13f=.故答案为：3.12.设nS为数列na

的前n项和，且2nSnn=−，则5a=_________；数列na的通项公式na=_________.【答案】①8②.22n−【解析】.【分析】根据11,1,2nnnSnaSSn−==−求解即可.【详解】由2n

Snn=−，当1n=时，110aS==，当2n时，()()2211122nnnaSSnnnnn−=−=−−−+−=−，当1n=时，上式成立，所以22nan=−，58a=.故答案为：8；22n−.13.已知函数()32123=+−f

xxx，则()fx的极小值等于__________；若()fx在区间(),2mm+上存在最小值，则m的取值范围是________.【答案】①.2−②.()2,0−【解析】【分析】求得可得()22fxxx=+，得出

函数()fx的单调性，求得函数的极小值，结合题意，列出不等式组，求得实数m的取值范围，得到答案.【详解】由函数()32123fxxx=+−，可得()22(2)fxxxxx==++，令()0fx，可得<2x−或0x；令()0fx，可得20x−，所以()fx

在(,2),(0,)−−+单调递增，在(2,0)−单调递减，当0x=时，函数()fx取得极小值，极小值为()2fx=−，令()2fx=−，即321223xx+−=−，即3x=−或0x=，要使得()fx在区间(),2mm+上存在最小值，则满足3020

mm−+，解得20m−，所以实数m的取值范围是()2,0−.故答案为：2−；()2,0−.14.无穷数列{}na的前n项和记为nS．若{}na是递增数列，而{}nS是递减数列，则数列{}na的通项公式可以为____．【答案】1nan=−

（答案不唯一）.【解析】【分析】根据nS是递减数列，可以考虑该数列各项均为负数，再根据na是递增数列，可以联想到在(0,)+上是递增的函数，进而构造出数列.【详解】因为nS是递减数列，可以考虑0na，而na是递增数列，可以构造1nan=−.故答案为

：1nan=−（答案不唯一）.15.已知数列na的前n项和为nS（0nS），数列nS的前n项积为nT，且满足nnnnSTST+=（*nN），给出下列四个结论：①12a=；②()41nann=+；③202420252024S=；④nT是等差

数列.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】根据关系式()*NnnnnSTSTn+=，当1n=时，即可求得1a的值，可判断①；由()*NnnnnSTSTn+=

，可得1nnnSTS=−，当2n时，1111nnnSTS−−−=−，两式相比可得11nS−是等差数列，求得nS可判断③；由nS利用项与和的关系求得通项na可判断②；由1nnnSTS=−，可求得nT可判断④.【详解】因为()*NnnnnSTST

n+=，所以当1n=时，1111STST+=，即2112aa=，解得12a=或0，又0nS，则10a，所以12a=，故①正确；由()*NnnnnSTSTn+=，则1nS，所以1nnnSTS=−，当2n

时，1111nnnSTS−−−=−，所以11111nnnnnnTSSTSS−−−−=−，即1111nnnnnSSSSS−−−=−，整理得111111nnSS−−=−−，所以数列11nS−是以1111S=−为

首项，1为公差的等差数列，所以()11111nnnS=+−=−，则1nnSn+=，所以202420252024S=，故③正确；当2n时，()11111nnnnnaSSnnnn−+=−=−=−−−，又12a=不符合上式，所以()2,11,21nna

nnn==−−，*Nn，故②错误；又11111nnnnSnTnnSn+===++−−，所以111nnTTnn−−=+−=，*2,Nnn，所以nT为等差数列；故④正确.所以正确的序号有

①③④.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()321313fxxxx=−−+.（1）求函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在区间2,3−上的最值.【答案】（1）递增区间为(,1),(3,)−−+，递减区间为(1,3

)−（2）最大值为83，最小值为8−【解析】【分析】（1）求得()223fxxx=−−，分别求得()0fx和()0fx的解集，即可求解；（2）由（1）求得函数的最大值，以及()2f−，()3f的值，进而求得函数的最值.【小问1详解】解：由函数()321313fxxxx=−−+，可得()2

23(3)(1)fxxxxx=−−=−+，令()0fx，解得1x−或3x；令()0fx，解得13x−，所以函数()fx递增区间为(,1),(3,)−−+，递减区间为(1,3)−.【小问2详解】解：由函数()fx在(,1),(3,)−−+上单调递增，在(1,3)−上单调

递减，知()fx在2,1−−上单调递增，在1,3−上单调递减，所以，当=1x−时，函数取得最大值，最大值为()813f−=，又()123f−=，()38f=−，所以最小值为()38f=−，所以函数()fx的最大值为83，最

小值为8−.17.已知数列na是等比数列，11a=，48a=.（1）求数列na的通项公式；（2）若nb为等差数列，且满足22ba=，76ba=，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）12nna−=（2）237nSnn=−【解析】【分析】（1）根据题意求出公比，即可得解；（

2）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列前n项和公式即可得解.【小问1详解】设公比为q，由11a=，48a=，得3418aqa==，所以2q=，所以12nna−=；【小问2详解】由（1）得72262,32bbaa====，设公差为d，则112632b

dbd+=+=，解得146bd=−=，所以610nbn=−，所以()24610372nnnSnn−+−==−.18.已知数列na中，10a=且112nnaa+=−.（1）求数列na的第2，3，4项；（2）根据（1）的计算结果，猜想数列na的通项公式，并用数学归纳法证明.

【答案】（1）212a=，323a=，434a=（2）猜想1nnan−=，证明见解析【解析】【分析】（1）由题意逐个计算即可得；（2）由（1）的计算结果可猜想出数列na的通项公式，利用数学归纳法证明即可得.【小问1详解】由10a=且112nnaa+=−，则211122aa==−

，3212221123aa−−===，4321132432aa−−===；【小问2详解】由（1）的计算结果可猜想1nnan−=，证明如下：当1n=时，10111a−==，等式成立；假设当nk=时等式成立，即有1kkak−=，则当1nk=+

时，有1111212kkkakakk+===−−+−，即当1nk=+时，等式成立；故猜想1nnan−=成立.19.已知等差数列na的前n项和为nS，且48a=，312S=.（1）求数列na的通

项公式；（2）设数列nb的前n项和为nT，且11b=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列nb唯一确定，并解答以下问题：（ⅰ）求nb的通项公式；（ⅱ）若42nnST+，求n的最小值.条件①：13nnbb+=+；条件②：13nnbb+=；

条件③：nnTnb=.注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）2nan=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，根据题意，列

出方程组，求得1,ad的值，进而求得数列na的通项公式；（2）根据题意，分别选择①②③，求得数列nb的通项公式，利用等差、等比数列的求和公式，结合42nnST+，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：设等差数列na的首项为1a，公差为d，因为48

a=，312S=，可得1138323122adad+=+=，解得12,2ad==，所以数列na的通项公式为2nan=.【小问2详解】解：（ⅰ）若选择条件①，由13nnbb+=+，可得13nnbb+−=，又因为11b=，可得数列nb是首项为1，公差为3等差数列，所以数列

nb的通项公式为1(1)32nbbndn=+−=−（ⅰi）由2nan=，可得(22)(1)2nnnSnn+==+，又由32nbn=−，可得(132)(31)22nnnnnT+−−==，因为42nnST+

，可得(31)(1)422nnnn−++，即25840nn+−，又因为Nn，可得4n，所以n的最小值5.的（ⅰ）若选择条件②：由13nnbb+=，可得13nnbb+=，因为11b=，所以数列nb是首

项为1，公比为3的等比数列，所以1113nnnbbq−−==.（ⅰi）由2nan=，可得(22)(1)2nnnSnn+==+，又由13nnb−=，可得1331132nnnT−−==−，因为42nnST+，可得31(1)422nnn−++，即2(1)385nnn++，经验证，当3

n=时，可得3234385+；当4n=时，可得4245385+，所以使得42nnST+成立时，n的最小值4.（ⅰ）若选择条件③：由nnTnb=，当2n时，可得11(1)nnTnb−−=−，两式相减，可得11(1)nn

nnnTTnbnbb−−−−==−，即1nnbb−=，因为11b=，所以1nb=.（ⅰi）由2nan=，可得(22)(1)2nnnSnn+==+，又由1nb=，可得nTn=，因为42nnST+，可得(1)42nnn++，即22420nn+−，解得21721432n−

+=−+或143n−−（舍去），又因为Nn，所以6n=，即使得42nnST+成立时，n的最小值6.20.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为2750m的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m

的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为mx，鲜花种植的总面积为2mS.（1）用含有x的代数式表示a；（2）当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【答案】（1）3753,32502axx=

−（2）25【解析】【分析】（1）设矩形花园的长为my，结合750xy=，进而求得a关于x的关系式；（2）由（1）知37532ax=−，得到15151875(3)2Sxx=−+，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：设矩形花园的长为my，因为矩形花园的总面积为27

50m，所以750xy=，可得750yx=，又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得75023ax+=，可得37532ax=−，即a关于x的关系式为3753,32502axx=−.【小问2详解】解：由（1）知，37532ax=−，则375315151875(2)(3)(25)(25)

()(3)22Sxaxaxaxxxx=−+−=−=−−=−+1515187512152322xx−=，当且仅当18753xx=时，即25x=时，等号成立，所以当25mx=时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为21215m2.21.已知函数()()2

lnfxaxxa=+R.（1）当1a=时，求曲线()yfx=在1x=处的切线方程；（2）求函数()fx的极值点；（3）写出a的一个值，使方程()10fx+=有两个不等的实数根.并证明你的结论.【答案】（1）32yx=−（2）答案见

解析（3）22ea=−，证明见解析【解析】【分析】（1）利用求导及导数的意义，即可求出切线方程；（2）由于原函数含有参数a，所以要对参数a进行分类讨论，从而利用导数思想来判断函数单调性，再判断极值点情况；（3）由（2）得函数最小值值，然后取一个使最小值小于零的a值，然后利用零点

存在定理证明即可.【小问1详解】由()()2lnfxaxxa=+R得：()222aaxfxxxx+=+=，当1a=，1x=得：()112131f=+=，()211ln111f=+=所以曲线()yfx=在1x=处的切线方程为：13(1)yx−=−，即：32yx=−

；【小问2详解】当0a时，由于函数()fx的定义域为R+，所以()2220aaxfxxxx+=+=，此时函数()fx在(0,)+上递增，所以函数()fx无极值点；当0a时，令()2220aaxfxxxx+=+==，(0,)x+，解得2ax=−，则当(0,)2

ax−时，()220axfxx+=，此时函数()fx在(0,)2a−上递减，当(,)2ax−+时，()220axfxx+=，此时函数()fx在(,)2a−+上递增，所以函数()fx存在一个极小值点2ax=−，无极大

值点；【小问3详解】由（2）得()2min222lnln222aaafxfaaaa==+−−−=−+−，当22ea=−时，()222min22e2e2e21ln1e1022fx−−−−+−+=+=−+，故取22ea=−时，方程()10

fx+=有两个不等的实数根，证明：设()()2212eln1hxfxxx+=+=−+，由（2）()hx在在(0,e)上递减，在(e,)+上递增，且()2ln1112e120h=−+=+，()2ee10h=−+，(

)()22224422e2eeel1e2e1e0n1h=−+=−+=−+由零点存在定理得()hx在(1,e)和2(e,e)上各有一个零点，所以当22ea=−时，方程()10fx+=有两个不等的实数根.