【文档说明】北京市房山区2023-2024学年高二下学期学业水平调研（二）数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.010 MB，由小赞的店铺上传

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房山区2023-2024学年度第二学期学业水平调研（二）高二数学本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选

项中，选出符合题目要求的一项.1.已知数列{}na满足12nnaa+=−，且11a=，则3a=（）A.14B.4C.3−D.8−【答案】B【解析】【分析】利用等比数列概念及通项可得结果.【详解】由12nna

a+=−可得12nnaa+=−为定值，又11a=，所以{}na是以11a=为首项，公比2q=−的等比数列，∴231aaq==4，故选：B2.函数()yfx=的图象如图所示，则（）A.(1)(3)ffB.(1)(3)ff=C.()()13ffD.(1)(3)0f

f+【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象结合导数的几何意义判断即可【详解】根据函数的图象，应用导数的几何意义是函数的切线斜率，在1处的切线斜率小于在3处的切线斜率，所以()()13ff，A,B选项错误；又因为()()130ff，所以()()130ff+，

D选项错误.故选：C.3.如图①、②、③、④分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为1234,,,rrrr，则1234,,,rrrr中最大的是（）A.1rB.2rC.3rD.4r【答案】A【解析】【分析】由散点图图形趋势可判断1234,,,rrrr大小关系.【详

解】因③图形比较分散，则30r；因①②④相较③接近于一条直线附近，则1240rrr，，，又②为下降趋势，则20r，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，则140rr.综上，1r最大故选：A4.设等差数列na的前n项和为nS，若23a=−，510S=−，使n

S最小的n的值为（）A.4B.5C.6D.4或5【答案】D.【解析】【分析】设公差为d，依题意得到方程组，求出1a、d，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.【详解】设公差为d，由23a=−，510S=−，所以11351010adad+=

−+=−，解得141ad=−=，所以5nan=−，令0na，解得5n，则数列na单调递增，且50a=，所以当4n=或5n=时nS取得最小值.故选：D5.要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方

法共有（）A.72种B.120种C.96种D.60种【答案】A【解析】【分析】先将甲同学排列在中间3个位置，再将其余节目全排列即可.【详解】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有13C种排法，第二步：将剩余得4个节目全排列，共有44A种排法，所以共有1434CA72=种

，故选：A6.在62xx+的展开式中，2x的系数是（）A.15B.60C.6D.12【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式的通项，利用赋值法可得特定项系数.【详解】由已知可得62xx+展开式的通项6

662162CC2rrrrrrrTxxx−−+==，令622r−=，解得2r=，所以222236C260Txx==，系数为60，故选：B.7.某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110.

则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（）A.8225B.110C.38D.34【答案】D【解析】【分析】根据条件概率公式直接可得解.【详解】设事件A为当天下雨，事件B为当天刮风，则()215PB=，()110PAB=，则已知刮风的条件下，也下雨的概率()(

)()34PABPABPB==，故选：D.8.为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示.编号1234567891011121314父亲身高x174170173169

182172180172168166182173164180儿子身高y176176170170185176178174170168178172165182父亲身高的平均数记为x，儿子身高的平均数记为y，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直

线方程为0.83928.957yx=+.则下列结论中正确的是（）A.y与x正相关，且相关系数为0.839B.点(,)xy不在回归直线上C.x每增大一个单位，y增大0.839个单位D.当176x=时，177y.所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人

后的身高一定是177cm【答案】C【解析】【分析】由回归方程意义及性质可判断选项正误.【详解】A选项，因0.8390，则y与x正相关，但相关系数不是0.839，故A错误；B选项，回归方程过定点(,)xy，故B错误；C选项，由回

归方程可知x每增大一个单位，y增大0.839个单位，故C正确；D选项，回归方程得到的y为预测值，不一定满足实际情况，故D错误.故选：C9.设随机变量X的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（）X123456P1p2p3

p4p5p6pA.(4)1(3)PXPX=−≥≤B.随机变量X的数学期望()EX可以等于3.5C.当()11,2,3,4,52nnpn==时，6512p=D.数列np的通项公式可以为()11,2,3,4,5,6(1)npnnn==+【答案

】D【解析】【分析】根据概率和为1可判断A选项；当12345616pppppp======时，期望为3.5，可判断B选项；根据等比数列求和公式化简可判断C选项；D选项，利用裂项相消法可得np的前n项和，进而可判断D选项.

【详解】A选项：由已知1234561pppppp+++++=，则()456123(4)11(3)PXppppppPX=++=+=−−+，A选项正确；B选项：当12345616pppppp======时，期望为()111111

1234563.5666666Ex=+++++=，B选项正确；C选项：由()11,2,3,4,52nnpn==，则()561252551112211111111222212pppp−=−+++=−+++=−=

−，C选项正确；D选项：由()1111,2,3,4,5,6(1)1npnnnnn==−=++，则其前6项和为11111611223677−+−++−=，D选项错误；故选：D.10.已知数列A：1,1,2,1,2,4,1

,2,4,8,1,2,4,8,16,，其中第一项是02，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是0122,2,2，依此类推.nS是数列A的前n项和，若()*=2NtnSt，则n的值可以等于（）A.16B.95C.189D.33

0【答案】B【解析】【分析】将数列分组，使每组第一项均为1，第一组：02，第二组：012,2，第三组：0122,2,2，……，第k组：01212,2,22k−，根据等比例数列前n项和公式对选项逐一验证即可.【详解】将数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组

：02第二组：012,2第三组：0122,2,2……第k组：01212,2,2,,2k−根据等比例数列前n项公式，得每组和分别为：1221,21,,21k−−−，每组含有的项数分别为()11232kkNk+=+++++.所以()()1211212=212121222212kkkkNSkk

k++−−+−++−=−=−−=−+−若()*=2NtnSt，即()()1*222Nktkt+−+=，将选项A代入，若16n=，则5k=，即16S为前5组与第6组的第1个数的和，此时()61625212tS=−++=，*Nt无解；同理若95n=

，则13k=，此时()141495213212482S=−+++++=，即*14Nt=，符合题意；同理若189n=，则18k=，此时()181918181891902219222222tSS=−=−+−=−=，*Nt无解；同理若330n=，则25k=，此时()26263302

252124816242tS=−++++++=+=，*Nt无解；综上可知，95n=，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出数列的规律，对该数列进行分组，利用等比数列前n项和公式构造方程，即可求解.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()fxx=

，则()4f=____.【答案】14##0.25【解析】【分析】求导代入4x=计算可得结果.【详解】由()fxx=可得1()2fxx=，∴11(4)424f==，故答案为：1412.若()4234012341xaaxaxaxax−=++++，则0

a=____；13aa+=____.【答案】①.1②.-8【解析】【分析】利用赋值法，令0x=可得01a=，由通项分别求出13,aa可得结果.【详解】由题意知，令0x=可得()4001a−=，即01a=，由二项展开式的通项可得，()333441C1C4xxxax−=−=−=，即14a=−，

()131333443C1C4xxxax−=−=−=，即34a=−，即138aa+=−，故答案为：1,8−13.为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答20个问题，记分规则是：每答对一题得5分，答错一题扣3分．从参加这次科技知识竞赛的学生中

任意抽取1名，设其答对的问题数量为X，最后得分为Y分．当10X=时，Y的值为____；若(60)0.7PY=≥，则(15)PX=____.【答案】①.20②.0.3##310【解析】【分析】易知当10X=时，答错10道题，因此得分为20；根据题意得

出随机变量X与Y的关系式，再由对立事件概率可求结果.【详解】由题意知，说明答对10道题，答错10道题，又答对得5分，答错得3−分，所以最后得分()()5320860020YXXXX=−−=−,即当10X=时，20Y=

;若60Y≥，即86060X−≥,可得15X≥,∴(60)(15)1(15)0.7PYPXPX==−=，∴(15)0.3PX=＜，故答案为：20；0.314.设无穷数列{}na的通项公式为23(2)nann=−++.若{}na是单调递减数列，则的一个取值为____.【答案

】52λ=（答案不唯一，(2,3)即可）【解析】【分析】根据数列的函数特性，可得1nnaa+＜，解不等式可得的取值范围.【详解】由23nann=−++可得()()21113nann+=−++++，又{}na是单调递减数列，可得1nnaa+＜，即()

()221133nnnn−++++−++＜，整理得210n−−+＜恒成立，即()*min21,Nnn+＜恒成立，∴3＜，又因为2＞，所以23＜＜，即取值范围为(2,3)，故答案为：52λ=（答案不唯一，(2,3)

即可）15.已知函数()()21,0ln21,0xaxxfxxaxx−−−=−−+，给出下列四个结论：①当0a=时，()fx在定义域上单调递增；②对任意0a，()fx存在极值；③对任意

2a，()fx存在最值；④设()fx有n个零点，则n的取值构成的集合是{1,2,3,4}.其中所有正确结论的序号是____.【答案】②③④【解析】【分析】取值计算判断①；函数20(,)1fxxaxx−−−=的极值点

情况判断②，分别求出两段的最大值判断③；分段探讨零点个数判断④即得答案.【详解】对于①，当0a=时，𝑓(𝑥)={−𝑥2−1,𝑥≤0ln𝑥+2𝑥+1,𝑥>0，332(e)21(0)eff−=−−=，①错误；对于②，当0a时，函数20(,)1fxxaxx−−−=在(,)2a−−上

单调递增，在(,0)2a−上单调递减，函数()fx在2ax=−处取得极大值，因此对任意0a，()fx存在极值，②正确；对于③，当2a时，(,0]−x，02a−，2()()124aafxf−=−，当0x时，1()

(2)fxax−−=，由()0fx，得102xa−，由()0fx，得12−xa，即函数()fx在1(0,)2a−上单调递增，在1(,)2a+−上单调递减，此时1()()2fxfa−，因此xR，max1()max{(),()}22afxffa

=−−，③正确；对于④，当0a时，函数()fx在(,0]−上单调递增，()(0)1fxf=−，在(,0−上无零点，()ln(2)1fxxax=−−+在(0,)+上单调递增，(1)30fa=−，33(e)3(2)e12(2)0aafaaaa−

−=−+−+−+−=，在()0,+有一个零点，1n=；当02a时，2()1024aaf−=−，()ln(2)1fxxax=−−+在(0,)+上单调递增，同理得1n=，当2a=时，2()1024aaf−=−=，()ln1

fxx=+在(0,)+上单调递增，1(e)0f−=，2n=；当23a时，2()1024aaf−=−，()fx在(,0]−上有两个零点，当0x时，11()ln022faa=−−，11(e)(2)e0fa−−=−−，当x趋近于正无穷大时，()fx趋近

于负无穷大，即()fx在(0,)+上有两个零点，4n=；当3a=时，2()1024aaf−=−，()fx在(,0]−上有两个零点，1()02fa=−，3n=；当3a时，2()1024aaf−=−，()fx在(,0]−上有两个零点，11()ln022fa

a=−−，2n=，因此n的取值构成的集合是{1,2,3,4}，④正确，所以所有正确结论的序号是②③④.故答案为：②③④【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将

函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知na是等差数列，nb是等比数列，且23a=，35a=，11ab=，144ab=.（1）求na和nb的通项公式；（2）

设nnncab=+，求数列nc的前n项和nS.【答案】（1）21nan=−，13nnb−=（2）nS2312nn−=+【解析】【分析】（1）由na是等差数列求出()21123nann=−=，，，，即

可求出nb；（2）找出1213nnnncabn−=+=−+，由分组求和得解.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，23a=，35a=所以()21123nann=−=，，，因为111ab==，14427ab==所以327q=，即等比数列nb

的公比3q=.所以211bbq==，4327bbq==.所以13nnb−=.【小问2详解】由（Ⅰ）知，21nan=−，13nnb−=，因此1213nnnncabn−=+=−+从而数列nc的前n项和()113

21133nnSn−=+++−++++()12113213nnn+−−=+−2312nn−=+.17.已知函数32()39fxxxxa=−+++（1）求函数()fx的极值点；（2）若()fx的极小值为10−，求函数()fx在

[2,2]−上的最大值．【答案】（1）=1x−是函数()fx的极小值点；3x=是函数()fx的极大值点.（2）最大值17.【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值；（2）先根据极小值求出a，再根据极

值及边界值求最大值即可.【小问1详解】22()3693(23)3(1)(3)fxxxxxxx=−++=−−−=−+−，令()0fx=，得=1x−或3x=.()fx，()fx的情况如下：x(,1)−−1−(1,3)−3(3,)+()fx−0+0−()fx递减a递增27a+递减所

以=1x−是函数()fx的极小值点；3x=是函数()fx的极大值点.【小问2详解】因为()fx的极小值为10−，即(1)13910fa−=+−+=−解得5a=−，又(2)3f−=−，(2)17f=.所以当2x=时，()fx取得最大值17.18.袋子中有5个大小和质地相同的小球，其

中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球.（1）求第一次摸到白球的概率；（2）求第二次摸到白球概率；（3）求两次摸到的小球颜色不同的概率.【答案】（1

）35（2）35（3）25.【解析】【分析】（1）由古典概型计算可得结果；（2）由全概率公式计算可得；（3）根据条件概率公式计算可得.【小问1详解】设第一次摸到白球的事件为A，则3()5PA=，即第一次摸到白球

的概率为35.【小问2详解】设第二次摸到白球的事件为B，则()()((|+)|)PBPBABAPAPBAPAPBA=+=））（（3423356565=+=，即第二次摸到白球的概率35.【小问3详解】设两次摸到的

小球颜色不同的事件为C，则C=ABAB+()()((|+()|)PCPABABPAPBAPAPBA=+=））（32232+=56565=，即两次摸到的小球颜色不同的概率为25.19.人工智能（简称AI）的相关技术首先在互联网开始

应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他

们最喜爱使用的AI软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：的软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计大学生人数40204020假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响.（1）从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从120名大学生

中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）从该地区的大学生中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为Y，Y的方差记作()DY，（2）中X的方差记作

()DX，比较()DX与()DY的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）13（2）分布列见解析，()23EX=（3）()()DYDX【解析】【分析】（1）有古典概型计算可得结果；（2）利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得X的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值（或利用

超几何分布计算可得结果）；（3）由（2）可得()DX，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此12,3YB，可得()DY.【小问1详解】设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，则401()1203PA==【小问2详解】

因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为4062120=，所以X的所有可能取值为0,1,2，()2426C20,C5PX===()114226CC81,C15PX===()2226C12,C15PX===所以X的分布列为：X0

12P25815115()681102012151515153EX=++==（或(,,),XBNnM则()22263nMEXN===）【小问3详解】由（2）可得2222228211()01235315315

3DX=−+−+−=；由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此12,3YB，可得124()2339DY==.因此()()DYDX.20.已知函数()()

()2122exfxxaxaxa=−−+R.（1）当0a=时，求曲线()yfx=在0x=处的切线方程；（2）当0a时，求函数()fx的单调区间；（3）若对于任意的)2,x+，有()0fx，求a的取值范围.【答案】（1）20xy++=（2）当0ea时，()fx在(),

lna−和()1,+上递减，在()ln,1a上递增；当ea=时，()fx在(),−+上递增；当ea时，()fx在(),1−和()ln,a+上递减，在()1,lna上递增.（3）(2,e−【解析】【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的

定义即可；（2）对a分情况判断()fx的正负，即可得到()fx的单调区间；（3）对2ea和2ea两种情况分类讨论，即可得到a的取值范围.小问1详解】由()()212e2xfxxaxax=−−+，知()()()()()()21e1e11e

xxxfxxaxaxaxxa=−+−+=−−−=−−.所以当0a=时，有()()0002e2f=−=−，()()()0001e01f=−−=−.故曲线()yfx=在0x=处的切线经过()0,2−，

且斜率为1−，所以其方程为2yx=−−，即20xy++=.【小问2详解】当0ea时，对()(),ln1,xa−+有()()()1e0xfxxa=−−，对()ln,1xa有()()()1e0xfxxa=−−，故()fx在(),lna−和()1

,+上递减，在()ln,1a上递增；当ea=时，对()(),11,x−+有()()()1e0xfxxa=−−，故()fx在(),−+上递增；当ea时，对()(),1ln,xa−+有()()()1e0xfxxa

=−−，对()1,lnxa有()()()1e0xfxxa=−−，故()fx在(),1−和()ln,a+上递减，在()1,lna上递增.综上，当0ea时，()fx在(),lna−和()1,+上递减，在()ln,1a上递增；当ea=时，()fx在(),−+上递增；当ea

时，()fx在(),1−和()ln,a+上递减，在()1,lna上递增.【小问3详解】我们有()()()2112e2e22xxfxxaxaxxax=−−+=−−.当2ea时，由于ln2a，12，故根据（2）的结果知()fx

在)2,+上递增.故对任意的)2,x+，都有()()20fxf=，满足条件；当2ea时，由于ln2a，故()()()211lnln2lnln2022faaaaaaa=−−=−−.所以原结论对)ln2,xa=+不成立，不满足条件.综

上，a的取值范围是(2,e−.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对a进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果.【21.若数列{}na满足：对任意*nN，都有11nnaa+−，则称{}na是“P数列”．（1）若21nan=−，12nnb−=，判断{}na，{}

nb是否是“P数列”；（2）已知{}na是等差数列，12a=，其前n项和记为nS，若{}na是“P数列”，且232nSnn+恒成立，求公差d的取值范围；（3）已知{}na是各项均为正整数的等比数列，11a=，记1,3nnnnaabcn+==，若{}na是“P数列”，{}nb不是“P数列”，{}n

c是“P数列”，求数列{}na的通项公式．【答案】（1）数列na是“P数列”；数列nb不是“P数列”；（2）(1,6（3）13nna−=或14nna−=【解析】【分析】（1）直接根据“P数列”的定义进行判断即可；（2）由{}na是等差数列结合{}na是“P数列

”可知公差1d，结合等差数列求和公式用含d式子表示nS，进一步结合232nSnn+恒成立即可求解；（3）由“P数列”na的每一项（1nnaq−=）均为正整数，可得1q且*qN，进一步可得1nnaa+−单调

递增，故将任意性问题转换为2121,aabb−−与1比较大小关系可得q的范围，结合*qN，3q=或4q=，注意此时我们还要分情况验证{}nc是否是“P数列”，从而即可得解.【小问1详解】对于数列na而言，若21nan=−，则(

)1212121nnanna+=+−−=−,所以数列na是“P数列”；对于数列nb而言，若12nnb−=，则21211bb−=−=，则数列nb不是“P数列”；【小问2详解】因为等差数列na是“P数列”，所以其公差

1d．因为12a=，所以()122nnnSnd−=+，的由题意，得()212322nnndnn−++对任意的*nN恒成立，即()16ndn−对任意的*nN恒成立．当1n=时，()16ndn−恒成立，故1d；当2n时，()16nd

n−对任意的*nN恒成立，即61ndn−对任意的*nN恒成立，因为666611nnn=+−−，所以6d．所以d的取值范围是(1,6].【小问3详解】设等比数列na的公比为q，因为11a=，所以1nnaq−=，因为“P数列”na的每

一项均为正整数，由11nnaa+−得1nnaa+，所以1q且*qN，因为11(1)0nnnaaqq−+−=−，所以2111nnnnaaaqa+++=−−，所以1nnaa+−单调递增，所以在数列1nnaa+−中，

“21aa−”为最小项，而3nnab=，从而在数列1nnbb+−中，“212133aabb−=−”为最小项．因为na是“P数列”，则只需211aa−，所以2q，因为数列{}nb不是“P数列”，则2121133aabb−=−≤，所

以4q，因为数列na的每一项均为正整数，即*qN，所以3q=或4q=，（1）当3q=时，13nna−=，则3nncn=，令()113321311nnnnnnnDccnnnn++−=−=−=++，又()()()

()211212134233.012112nnnnnnnnDDnnnnnnn+++−+−=−=+++++，所以nD为递增数列，又121933122Dcc=−=−=，所以对于任意的*Nn，都有1nD，即11nncc+−

，所以数列nc为“P数列”，符合题意．（2）同理可知，当4q=时，14nna−=，则4nncn=，令()113141144nnnnnnnDccnnnn++−=−=−=++，又()()()()113144023291124nnnnnn

DDnnnnnnn++−−=−=+++++，所以nD为递增数列，又1218441Dcc=−=−=，所以对于任意的*Nn，都有1nD，即11nncc+−，所以数列nc为“P数列”，符合题意．综上，13nna−=或14nna−=.【点睛】关键点点睛：第三问关键是首先

将恒成立任意性问题转换为2121,aabb−−与1比较大小得出q的值，回过头去检验nc是否满足题意即可顺利得解.的