【文档说明】四川省宜宾市第四中学校2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.346 MB，由小赞的店铺上传

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宜宾市四中高2021级高三上学期开学考试文科数学第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,3,Am=，

1,Bm=，若ABA=，则m=（）A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3【答案】B【解析】【详解】因为ABA=,所以BA,所以3m=或mm=.若3m=，则{1,3,3},{1,3}AB==,满足ABA=.若mm=，解得0m=或1m=.若0m=，则

1,3,0,1,0AB==，满足ABA=.若1m=，{1,3,1},{1,1}AB==显然不成立，综上0m=或3m=，选B.2.命题“xR，3210xx−+=”的否定是A.xR，3210xx−+B.xR,3210xx−+C.xR,3210xx−+=D.不

存在xR，3210xx−+【答案】B【解析】【详解】由题意得，根据全称命题与存在性存在性命题的关系，可知命题“3,210xRxx−+=”的否定是为“3,210xRxx−+”，故选B．3.已知函数()sincos6fxx=+，则()3f=（）A.32B.

12C.132+D.132−【答案】B【解析】【分析】直接求导数即可.【详解】因为()cosfxx=，则1cos332f==.故选：B4.已知20241i2z−=（i是虚数单位），则z=

（）A.1−B.1C.0D.i【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘方运算结合虚数单位i的性质，即可求得答案.【详解】由题意2024210121012101242531i1i2ii(i)1222z−−−======,故

选：B5.工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为（）①该车间工人上月产量极差恰好为50件；②车间约有120名工人上月产量低于65件；③该车间工人上月产量的

平均数低于64件；④该车间工人上月产量的中位数低于63件．A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】D【解析】【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率的计算，以及平均数、方差和中位数的计算方法，逐项判定，即可求解.的【详解】①中，根据频率分布直方图，可得该车间工人上月产量的极差大约为50件，

所以①不正确；②中，根据频率分布直方图，可得低于65件的频率为(0.0200.040)100.6+=，所以月产量低于65件的人数为2000.6120=，所以②正确；③中，根据频率分布直方图，可得平均数为：(500.02

0600.040700.025800.010900.005)1064++++=，所以③不正确；④中，根据频率分布直方图，设中位数为x，可得0.030551062.50.040x=+=，所以④正确.故选：D.6.已知m，n是两条不重合的直线

，是一个平面，则下列命题中正确的是（）A.若//m，//n，则//mnB.若//m，n，则//mnC.若mn⊥，m⊥，则//nD.若m⊥，//n，则mn⊥【答案】D【解析】【分析】利用空间位置关系的

判断及性质定理进行判断.【详解】解：选项A中直线m，n还可能相交或异面，选项B中m，n还可能异面，选项C，由条件可得//n或n．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属

于基础题.7.已知,Rab，则“02021a且02021b”是“02021ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合充分

条件、必要条件的定义，利用举例说明即可判断命题.【详解】若“02021a且02021b”，则“02021ab”成立；若“02021ab”，当20212021ab=−=−，时，不满足“02021a且0202

1b”，所以“02021a且02021b”是“02021ab”成立的充分不必要条件.故选：A8.直线()10xaya+−=R与圆2240xyx+−=的交点个数是()A.0B.1C.2D.无数个【答案】C【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，进

而可得结果.【详解】圆2240xyx+−=的圆心()2,0O，半径为2，圆心O到直线()10xaya+−=R的距离为211da=+，因为211a+，可得12d，即圆心到直线的距离小于半径，所以直线()10xaya+−=R与圆2240xyx+−=相交，即交点个数是

2.故选：C.9.过圆224xy+=外一点(4,1)M−引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．A.440xy−−=B.440xy+−=C.440xy++=D.440xy−+=【答案】A【解析】【详解】过圆224Oxy+=：外一点(4,1)M

−引圆的两条切线，则两个切点在以OM为直径的圆上，圆的方程为()22117224xy−++=，则由两圆作差可得经过两切点的直线方程为440xy−−=.故选：A．10.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一

个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为2s，则（）A.236,48sx=B.236,48sx=C236,48sxD.236,48sx【答案】B【解析】【分析】根据数据总和不变，则平均数不变

，根据方差的定义得()()()2221248148363636850xxx=−+−++−+，而()()()4221222813628843668035sxxx+−=−+−+.【详解】设收集的48个

准确数据为1248,,xxx，所以124834383650xxx+++++=，所以12481728xxx+++=，所以124824483650xxxx+++++==，又()()()222221248148363636(3436)(3836)50xxx=−+−++−+−+

−()()()22212481363636850xxx=−+−++−+，()()()42222222183636(2436)(48136536)0sxxx=−+−++−+−+−()()()222281413628848365360xxx=+−

+−+−，故选：B.11.已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为26，则球O的表面积为（）A.4πB.8πC.12πD.16π【答案

】A【解析】【分析】设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，利用体积计算得到d的值，进而求得R2＝1，然后计算可得.【详解】依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点

得，点P到平面ABC的距离等于2d，所以VP－ABC＝2VO－ABC＝2×13S△ABC×d＝23×34×12×d＝26，解得d＝23，.又ABC外接圆的半径为3231233=，故R2＝d2＋233＝1，所以球O的表面

积等于4πR2＝4π，故选：A.【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，涉及棱锥的体积和球的表面积，属中档题，关键是利用体积转化求得球心O到平面ABC的距离为d.12.若关于x的不等式2lneln0xxxaax+−对()0,1x恒成立，则实数a的取值范围为（）A.1,

e−B.10,eC.1,1eD.1,e+【答案】D【解析】【分析】由题设有()lnelnexxaxax，构造ln()xfxx=，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为exax在()0,1上恒成立，再构造()exxg

x=结合导数求参数范围.【详解】由2lneln0xxxaax+−，可得()lneeln0xxxaax−，即()lnelnexxaxax，令ln()xfxx=，则(e)()xfafx在()0,1上恒成立，所以21ln()xf

xx−=，由()0fx可得()0,ex，由()0fx可得()e,x+，所以()fx在()0,e上递增，在()e,+上递减，且(1)0f=，在()0,1上()0fx，(1,)+上()0fx，而0a，所

以，必须且只需exax在()0,1上恒成立，即exxa恒成立，令()exxgx=，则1()0exxgx−=，即()gx在()0,1上递增，故1(1)eag=，故a的取值范围为1,e+.故选：D.【点睛】方法点睛：恒（能

）成立问题的解法：若()fx区间D上有最值，则（1）恒成立：()()min,00xDfxfx；()()max,00xDfxfx；（2）能成立：()()max,00xDfxfx；()()min,00xDfxfx.若能分离常数，即将问题

转化为：()afx（或()afx），则（1）恒成立：()()maxafxafx；()()minafxafx；（2）能成立：()()minafxafx；()()maxafxafx.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数2lnyxx=的极小值为___________;【答案】12e−【解析】【分析】求导，通过导函数的符号变化判定函数的单调性与极小值点，进而求出极小值．【详解】因为()2lnyfxxx==的定义域为()0,+

，所以()()2ln2ln1fxxxxxx=+=+，令()0fx，得2ln10x+>，即12ex−；令()0fx时，2ln10x+<，即120ex−；所以当12ex−=时，()2lnyfxxx==取到极小

值，且极小值为()121e2ef-=-．故答案为：12e−.14.函数()3tan2fxaxbxx=−−+，若()1fm=，则()fm−=________．【答案】3【解析】在【分析】根据题意可得3tan1ambmm−−=−，结合()()3tan2fma

mbmm−=−−−+计算即可求解.【详解】由题得()3tan21fmambmm=−−+=，∴3tan1ambmm−−=−，所以()()33tan2tan2123fmambmmambmm−=−+++=−−−+=+=．故答案为：3.15.设直线:1lyx=−与抛物线()220ypxp=相

交于,AB两点，若弦AB的中点的横坐标为2,则p的值为___________．【答案】1【解析】【分析】联立直线与抛物线方程消x，得2220ypyp−−=，再利用韦达定理即可解决.【详解】联立直线:1lyx=−与抛物线22

ypx=，得2220ypyp−−=，则122yyp+=，又12122422yyxx+=+−=−=，故22p=，1p=.故答案为：1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到中点弦问题，当然本题也可以用点差法求解.16.双曲线2222:1(0,0)xyCa

bab−=的焦点到其渐近线的距离为2，且C的焦距与椭圆2212520yx+=的焦距相等，则双曲线C的渐近线方程是______________.【答案】2yx=【解析】【分析】双曲线的焦点到其渐近线的距离为b,由双曲线焦距与椭圆焦距相同可得225205c=−=,进而求的a,即可得到双曲线的渐近

线方程.【详解】因为双曲线C的焦点到其渐近线的距离为2,所以2b=,因为椭圆2212520yx+=的焦距与C的焦距相等,所以2225205ab+=−=,则1a=,所以双曲线C的渐近线方程是2yx=,故答案为:2yx=【点睛】本题考查双曲线的性质的应用,考查双曲线的渐近线方程.三

、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民

基本生活的改善，也加重了北方地区冬季的雾霾天气．推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度

增加．图1所示的条形图反映了某省2018年1~7月份煤改气、煤改电的用户数量．（1）在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量．参

考数据：719.24iiy==，7139.75iiity==，()7210.53iiyy=−．【答案】（1）答案见解析（2）ˆ0.920.10yt=+，2.02万户【解析】【分析】（1）首先根据题意画出散点图，再求相关系数即可.（2）首先求出回归直线得到ˆ

0.920.10yt=+，再代入11t=求解即可.【小问1详解】作出散点图如图所示．由条形图数据和参考数据得，4t=，()72128iitt=−=，()7210.53iiyy=−，()()77711139.75

49.242.79iiiiiiiittyytyty===−−=−=−=，所以2.790.990.5322.646r．y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．【小问2

详解】由9.241.327y==，又由（1）得()()()717212.78ˆ0.1028iiiiittyybtt==−−==−，ˆˆ1.320.1040.92aybt=−−=，所以y关于t的回归方程为ˆ0.920.1

0yt=+．将11t=代入回归方程得0.920.10112.02y=+=．所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．18.已知函数f(x)=323xaxx−−.（1）若f(x)在[1,)x+上是

增函数，求实数a的取值范围;（2）若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在1,xa上的最小值和最大值．【答案】(1)a≤0(2)f(x)max＝－6，f(x)min＝－18.【解析】【分析】【详解】解：（1）对f(x)求导，得2()323fxxax

=−−．由()0?(1)fxx，得31()2axx−．记31()()2txxx=−，当1x时，()tx是增函数，∴min3()(11)02tx=−=∴a<0．又a=0也符合题意，故0a．（2）由题意，得(3)0f=，即27630a−−=,∴4a=∴32()43fxxxx=−

−,2()383fxxx=−−．令()0fx=,得121,33xx=−=．当x变化时，()fx、f(x)的变化情况如下表：x1(,)3−−13−1(,3)3−3(3,)+()fx+0--0+()fx极大值极小值当1(,]3x−−与[3,)+时，f

(x)是增函数；当1[,3]3x−时，f(x)是减函数．于是，当[1,4]x时，min()(3)18fxf==−；而f(1)=-6，f(4)=-12，∴max()(1)6fxf==−．19.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD中，ABD△为等边三角形，BCD

△是等腰三角形，且顶角120BCD=，PCBD⊥，平面PBD⊥平面ABCD，M为PA中点．（1）求证：DM//平面PBC；（2）若23AB=，PDPB⊥，求三棱锥PBDM−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】(1)设AB中点为N,连接MN、DN,再证明平面//DMN

平面PBC,进而得到DM//平面PBC即可.(2)设BD中点为O,连接AO、CO,根据12PBDMPABDVV−−=,再计算底面ABD△的面积,并证明三棱锥PABD−的高为PO计算即可.【详解】（1）证明：设AB中点为N,连接MN、DNABD为等边三

角形DNAB⊥DCCB=,120DCB=30CBD=603090ABC=+=即CBAB⊥DNAB⊥//DNBCBC平面PBC,DN平面PBC//DN平面PBCMN为PAB的中位线//MNPBPB平面PBC,

MN平面PBC//MN平面PBCMN、DN为平面DMN内二相交直线平面//DMN平面PBCDM平面DMN//DM∴平面PBC．（2）解：设BD中点为O,连接AO、CO与POABD为等边三角形,BCD△

是等腰三角形,且顶角120BCD=AOBD⊥,COBD⊥A、C、O共线PCBD⊥,BDCO⊥,PCCOC=,PC,CO平面PCOBD⊥平面PCO．PO平面PCOBDPO⊥平面PBD⊥平面ABCD,交线为BD,P

O平面PBDPO⊥平面ABCD．设23AB=,3AO=PDPB⊥,O为BD中点132POBD==111113223622PBDMPABDABDVVSPOAOBDPO−−====△．【点睛】本题主要考查了根据面

面平行证明线面平行的方法与三棱锥体积的求法,需要根据题意证明线面垂直得到三棱锥的高,再根据平面几何的关系求解面积等.属于中档题.20.已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点为F，点()2,1A是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得

AEEF+有最小值3．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：240xy−+=，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线1l，过点A的动直线2l与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线1l于点M，N，证明：AMAN=．【答案】（1）24yx=（2）证明见解析【解析

】【分析】（1）利用抛物线定义可得EFED=，其中点D为点E在准线上的射影，再根据抛物线的定义可得AEED+的最小值的表达式，从而求出p的值，即可得出答案．（2）由已知条件可求出直线1l的方程，再设出直线2l的方程并代入抛物线C中化简求出P，Q两点纵坐标之间的

关系，从而设出直线BP，并与直线1l的方程联立求出Mx，同理可得Nx，从而可得MNxx+的表达式，化简可得2MNAxxx+=，即可得出结论．【小问1详解】过点E作抛物线C的准线的垂线，垂足为点D，根据抛物线的定义可得EFED=，于是AEEFAEE

D+=+，当A，E，D三点共线时，AEED+有最小值22p+，所以232p+=，解得2p=，所以抛物线C得方程为24yx=．【小问2详解】证明：直线l：240xy−+=，令0x=得4y=，所以点()0,4B，因为直线1l平行于直线l：240xy−+=，且过点()2,1A，的所以直线1l

：230xy−−=，设直线2l：()21xty−=−，联立()2214xtyyx−=−=，得24480ytyt−+−=，所以()21620tt=−+，设点()11,Pxy，()22,Qxy，由韦达定理可得124yyt+=，1248yyt=−，所以直线PB

的方程为1144yyxx−=+，直线QB的方程为2244yyxx−=+，联立1144230yyxxxy−=+−−=，解得()()11111727242182Mtytxxxytyt+−==−+−+−，同理可

得()()22722182Ntytxtyt+−=−+−，所以()()()()1212727221822182MNtyttytxxtyttyt+−+−+=+−+−−+−()()()()()()()()()()12122212122218221222827(21)2182(82)t

tyyttttyytttyyttyyt−+−+−−++−−=−+−−++−2244842tttt−+==−+，因为2Ax=，所以2MNAxxx+=，即A是线段MN的中点．所以AMAN=．21.已知函数e()lnxafxaxx−=−（aR），其中

2.71828e=是自然对数的底数.（1）若()0fx=的两个根分别为12,xx，且满足122xx=，求a的值；（2）当0a时，讨论()fx的单调性.【答案】（1）2ae=（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，令导函数等于0，求出方程的根即可；（2

）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可.【小问1详解】()fx的定义域为()0,+，()()2eexxxaafxxx−−=−()221exxaaxxx−+=−()()211exxax=−−，由已知方程()0fx=有两个根，解得11x=

，2lnxa=，于是12ln2xxa==，解得2ea=.【小问2详解】当01a时，exa，当()0,1x，()0fx；当()1,x+，()0fx¢>；所以()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增.②当

1ea时，令exa=，得()ln0,1xa=，由()0fx得ln1ax，由()0fx¢>得0lnxa或lnxa，所以()fx在()0,lna，()1,+上单调递增，在()ln,1a上单调递减；③当ea=时，此时()0fx，故()fx在()0,+上递增；④当ea时，

令exa=，得()ln1,xa=+，由()0fx得1lnxa，由()0fx¢>得01x或lnxa，所以()fx在()0,1，()ln,a+上单调递增，在()1,lna上单调递减；综上，当01a时，()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增.当1e

a时，()fx在()0,lna，()1,+上单调递增，在()ln,1a上单调递减.当ea=时，()fx在()0,+上递增.当ea时，()fx在()0,1，()ln,a+上单调递增，在()1,lna上单调递减.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任

选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（选修4-4极坐标与参数方程）22.已知直线l的参数方程为：112312xtyt=+=−+（1）若()1,1P−，l上一点Q对应的参数值2t=−，求Q的坐标和PQ的值；（2）l与圆224xy+=交于MN、，求MN的值

.【答案】（1）()0,13Q−−，2PQ=（2）1223−【解析】【分析】（1）代入得()0,13Q−−，再利用两点距离公式即可得到答案；（2）将参数方程代入圆方程中，再利用韦达定理即可得到弦长.【小问1详解】把2t=

−代入参数方程得013xy==−−，则()0,13Q−−，()()22101132PQ=−+−++=.【小问2详解】把参数方程代入圆方程有：221311422tt++−+=，整

理得：()21320tt+−−=，()213812230=−+=−，于是121231,2tttt+=−=−，所以12MNtt=−，代入得()21212||41223MNtttt=+−=−.（选修4-5不等式选讲

）23.函数()2221fxxx=−++.（1）求不等式()31fxx+解集；（2）若()fx的最小值为k，且实数a，b，c满足24abck++=.求证：2221222aabbc+++.【答案】（1）)2,2,3−+（2）证明见解析【

解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法即可求解；（2）由绝对值三角不等式可得()fx的最小值3k=，进而有243abc++=，又()()()()22222222222222114114aabbcabbc+++++=+++++，从而利用柯西不等式即可证明.【小问1详解】解：当1x时，()

41fxx=−，所以原不等式即为4131xx−+，解得2x；当112x−时，()3fx=，原不等式即为331x+，解得1322x−；当12x−时，()14fxx=−，原不等式即为1431xx−+，解得12x−.综上，原不等式的解集为)2,2,3−+

.【小问2详解】解：因为()()()222122213fxxxxx=−++−−+=，当且仅当112x−时取等号，所以243abc++=，由柯西不等式可知()()()()22222222222222114114aabbcabbc+++++=+++++()()22114

249abbcabc+++=++=，的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com