【文档说明】湖北省宜昌市长阳土家族自治县第一高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.900 MB，由小赞的店铺上传

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长阳一中2023-2024学年高二上学期九月月考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{|2}Mzz==C，则（）A.1iM+

B.13iM+C.12iM+D.2iM+【答案】B【解析】【分析】根据复数的模逐一验证即可.【详解】因为1i2+=，所以1iM+，A错误；因为13i2+=，所以13iM+，B正确；因为12i5

+=，所以12iM+，C错误；因为2i5+=，所以2iM+，D错误.故选：B2.为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，

则第40百分位数是（）A.62B.63C.64D.65【答案】C【解析】【分析】根据求百分位数的定义求解可得结果.【详解】因为1040%4=为整数，所以第40百分位数是6365642+=.故选：C3.在正三棱柱111ABCABC-

中，12ABAA==，E为棱AC的中点，则异面直线1AE与BC所成角的余弦值为（）A.510B.510−C.55D.55−【答案】A【解析】【分析】先利用线线平行确定异面直线1AE与BC所成角的角，再利用勾股定理求得11,AEAF，从而利用余弦定理即可得解.【详解】记AB的中点为F，连接1

,EFAF，如图，因为E为棱AC的中点，F为AB的中点，所以//EFBC，所以1AEF为异面直线1AE与BC的所成角（或补角），因为在正三棱柱111ABCABC-中，12ABAA==，所以22115AEAAAE=+=，15AF=，

112EFBC==，所以在1AEF中，22211115155cos210251AEEFAFAEFAEEF+−+−===，所以异面直线1AE与BC所成角的余弦值为510.故选：A.4.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种

添加剂芳香度之和为5的概率为（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式即可得解.【详解】从芳香度为1，2，3，4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂，其可能

结果有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共6个，其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有()1,4，()2,3共2个，则所求概率为2163P==.故选：B.5.已知12i,1i,zaza=+=+R，若12zz是纯虚数，则2320

2311112222zzzzzzzz++++=（）A.1B.-1C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】由复数的运算法则和12zz是纯虚数，求得12izz=，结合虚数单位in的计算规律，即可求解.【详解】由复数12i,1i,Rzaza=+=+，可得()()(

)()12i1ii(1)(1)i1i1i1i2azaaaz+−+++−===++−，因为12zz是纯虚数，可得10a+=且10a−，解得1a=−，所以12izz=，因为41424344iiii0nnnn+++++++=，所以232023234202311112222iiii

izzzzzzzz++++=+++++235050iiii1i1=+++=−−=−.故选：B.6.已知直线,lm和平面,满足,lm⊥，下列命题：①l⊥∥m；②∥lm⊥；③lm⊥∥；④l∥m

⊥正确命题的序号是（）A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】D【解析】【分析】对于命题①和③可以通过作图举反例判断它们错误，命题②可用面面平行的性质和线面垂直的性质证明，命题④可用线面垂直的性质和面面垂直的判定定理证明.【详解】由图可知，命题①

不正确；//，m，n，且//mn，又l⊥，ln⊥，则lm⊥，故命题②正确；若=m由图可知，命题③不正确；//lm，l⊥，m⊥又m，⊥，故命题④正确.故选：D.【点睛】本题考查了线面垂直的性质、面面垂直的判定，属于基础题.7.若圆锥的底面半径为

3，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（）A.2B.3C.2πD.23π【答案】A【解析】【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.【详解】依题意，设圆锥的母线长为l，则312l=+=，设圆锥的轴截面

的两母线夹角为，则()22222231cos2222+−==−，因为0π，所以2π3=，则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为2π,0,3，故截面的面积为122sin22S=，当且仅当π2

=时，等号成立，故截面的面积的最大值为2.故选：A.8.在ABC中，ABAC=，边BC上一点P满足sin2sinPABPAC=，若APxAByAC=+，则xy=()A.3B.2C.12D.13【答案】C【解析】【分析】在PAB、PAC△中，分别利用正弦定

理可得出2BPPC=，即可得出2BPPC=，利用平面向量的减法可得出AP关于AB、AC的表达式，可得出x、y的值，即可得解.【详解】在PAB中，由正弦定理可得sinsinBPABPABAPB=．①在PAC△中，由正弦定理可得si

nsinPCACPACAPC=．②因为ABAC=，sin2sinPABPAC=，sinsinAPBAPC=，由①②可得2BPPC=，则2BPPC=，即()2APABACAP−=−，解得1233APABAC=+，又因为APxAByAC=+，且AB、AC不共线

，所以13x=，23y=，所以12xy=．故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.若1z，2z是关于x的方程2220xx+=−的两个虚根，则（）

A.12zz=B.22120zz+C.()2120zz+D.22120zz【答案】ACD【解析】【分析】解方程可得241i2x−==，不妨令121i,1i=+=−zz，分别计算各选项即可判断.【详解】因为2220xx+=−，所以()224124=−−=−

，根据求根公式可得241i2x−==，又1z，2z是关于x的方程2220xx+=−的两个虚根，不妨令121i,1i=+=−zz.对于A，12zz=，A正确；对于B，()()2222121i1i2i2i0zz+=++−=−=，B错误；对于C，()212202

4zz=+=，C正确；对于D，()()()2222121i1i2i2i40zz=+−=−=，D正确.故选：ACD10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180

的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是（）A.男生样本容量为100B.抽取的样本的方差为43C.抽取的样本的均值为166D.抽取的

样本的均值为165.5【答案】ABC【解析】【分析】（1）男生样本量=男生人数全体学生数总样本量，代入数据即可；（2）样本均值计算公式为：=+++mnxymnmn，代入数据即可求得；（3）样本方差公式为：22222121

{[()][()]}smsxnsymn=+−++−+，代入数据计算即可.【详解】∵男生样本量=男生人数全体学生数总样本量500180100900==.故A正确；样本均值100801701611661008010080mnxymnmn=+=

+=++++.故C正确D错误；样本方差：22222121{[()][()]}smsxnsymn=+−++−+221{100[19(170166)]80[28(161166)]}43180=+−++−=.故B正确.故选：ABC.11.

在ABC中，若()()()::9:10:11abacbc+++=，下列结论中正确的有（）A.sin:sin:sin4:5:6ABC=B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若6c=

，则ABC外接圆的半径为877【答案】ACD【解析】【分析】由()()()::9:10:11abacbc+++=，解得4at=，5bt=，6ct=，结合正弦定理和余弦定理，逐一求解四个选项可得答案.【详解】由()()()::9:10:11abacbc+++=，不妨设9abt+=，10act+=

，11bct+=，解得4at=，5bt=，6ct=.对于A选项，由正弦定理可得sin:sin:sin::4:5:6ABCabc==，故A正确.对于B选项，由4at=，5bt=，6ct=，知C最大，又222222(4)(5)(6)1cos22458abctttCabtt+−+

−===，cos0C，所以C为锐角，最大角为锐角，故B错误.对于C选项，由4at=，5bt=，6ct=，知A最小，C最大，又222222(5)(6)(4)3cos22564bcatttAbctt+−+−===，1cos8C=，2231cos22cos12()1cos48AA

C=−=−==，cos0A，cos0C，可得2CA=，故C正确.对于D选项，当6c=时，4a=，5b=，2222225643cos22564bcaAbc+−+−===，在ABC中，27sin1

cos4AA=−=，ABC外接圆的半径为4872sin7724aRA===，故D正确.故选:ACD.12.在长方体1111ABCDABCD−中，AB＝3，14ADAA==，P是线段1BC上的一动点，则下列说法正确的是（）A.1//AP平面1ADCB.1AP与平面11BCCB所成角的正切值的最大

值是223C.1APPC+的最小值为1722+D.以A为球心，5为半径的球面与侧面11BCCB的交线长是2π【答案】ACD【解析】【分析】由平面与平面平行，可得直线与平面平行即可判断A，根据线面角定义找出线面角，当BP最短时，可求线面角的正切的最大值判断B，根据展开图，转化为求2AC，利用余弦定理

求解即可判断C，根据球面与侧面交线为圆弧的四分之一即可求解即可判断D.【详解】对于A，如图，长方体中，11//ACAC，11AC平面1ADC，AC平面1ADC，所以11//AC平面1ADC，同理可得1//AB平面1ADC，

又1111=ABACA，所以平面11//ABC平面1ADC，1AP平面11ABC，所以1//AP平面1ADC，所以A正确；对于B，因为11AB⊥平面11BCCB，所以1AP与平面11BCCB所成角为11APB，如图

，当11BPBC⊥时，1BP最小，11APB的正切值最大，11111332tan422ABAPBBP===，所以B错误；对于C，将11ACB△沿1BC翻折与1BCC在同一个平面，且点2A，C在直线1BC的异侧，如图，此时2215ABAC==，14CBCC==，142BC=,145BCC=,

所以222215(42)522cos52542ACB+−==，所以2117sin5ACB=，在故2222212154434coscos(45)10254ACACCACB+−−=+==，解得21722AC=+，所以1A

PPC+的最小值为1722+，所以C正确；对于D，如图，由于AB⊥平面11BCCB，所以交线为以B为圆心，半径为4的四分之一圆周，所以交线长为2π，所以D正确，故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若(

)1,1,1a=−，()2,2,1b=−，则a在b上的投影向量的坐标为______.【答案】221,,333−−【解析】【分析】由a在b上的投影向量()cosabbbabbb=，坐标运算可得.【详解】()1,1,1a=−，()2,2,1b

=−，2213ab=−−+=−，且()2222213b=−++=，则与b方向相同的单位向量为1221(2,2,13333bb=−=−）,,，设a与b的夹角为，则a在b上的投影向量为()3221221cos3333333abbbbabbbb

−===−−=−−,,,,.故答案为：221,,333−−.14.化简：4sin20tan20+=___________.【答案】3【解析】【分析】将原式切化弦，进而通分并结合倍角公式化简，然后再利用两角和与差的正

弦公式化简，最后求得答案.【详解】原式sin204sin20cos20sin202sin40sin204sin20cos20cos20cos20++=+==()2sin6020sin20cos20−

+=2sin60cos202cos60sin20sin20cos20−+=3cos20sin20sin203cos20−+==.故答案为：3.15.如图，由X到Y的电路中有4个元件，分别为A，B，C，D，若A，B，C，D能正常工作的概率都是12，记N=

“X到Y的电路是通路”，求()PN______.【答案】1116【解析】【分析】由相互独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设1N=“D正常工作”，2N=“D没有正常工作，A正常工作，且,BC中至少有一个正常工作”由于“X到

Y的电路是通路”等价于“D正常工作”或“D没有正常工作，A正常工作，且,BC中至少有一个正常工作”，即12NNN=()112PN=，()21111311222216PN=−−=由于事件12,

NN互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得()()121311.21616PNPNN==+=故答案为：111616.已知正四棱锥SABCD−的底面边长为2，侧棱长为2，则该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的余弦值为______；该正四棱锥的外接球的体积为______.【答案】①.1

7−②.323π27【解析】【分析】设底面中心为F，连接SF，过A作AESB⊥于点E，连接CE，设正四棱锥的外接球的球心为O，连接OB，则由正四棱锥的性质可得AEC为二面角ASBC−−的平面角，然后在AEC△中利用余弦定理求解，在RtOBF△中，利用勾股定理可求出外接球的半径，从而可求出

外接球的体积.【详解】设底面中心为F，连接SF，过A作AESB⊥于点E，连接CE，设正四棱锥的外接球的球心为O，连接OB，因为四棱锥SABCD−为正棱锥，底面边长为2，侧棱长为2，所以SF⊥平面ABCD，2SASBSCSD====，2ABBCC

DAD====，因为AESB⊥，所以CESB⊥，22112427222ABSBABAESB−−===，所以AEC为二面角ASBC−−的平面角，且为纯角，在AEC△中，72CEAE==，22ACAB==，所以由余弦定理得222774144cos2777222AEC

EACAECAECE+−+−===−，所以该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角余弦值为17−，在RtSBF中，12,12SBBFBD===，则223SFSBBF=−=，设正四棱锥SABCD−的外接球的半径为R，则SOOBR==，3OFSFR

R=−=−，在RtOBF△中，222OBOFBF=+，则()2231RR=−+，解得233R=，的所以该正四棱锥的外接球的体积为334423323πππ33327R==，故答案为：17−，323π27【点睛】

关键点睛：此题考查二面角的求法，考查棱锥外接球问题，求二面角时解题的关键是根据二面角的定义正确作出二面角的平面角，然后放三角形中利用余弦定理求解即可.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()sin23sin

cossinsin44fxxxxxx=+++−.（1）求()fx的最小正周期;（2）若[0,]x，求出()fx的单调递减区间.【答案】（1）（2）5,36【解析】【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简函数为sin()yAx=+的形

式,再利用周期公式求函数的最小正周期,(2)根据0,x,令26tx=−，则可求出t的范围,从而得出()fx的单调递减区间.【小问1详解】2()sin23sincossinsin44fxxxxx

x=+++−1cos2223sin2(sincos)(sincos)222xxxxxx−=+++−()221cos213sin2cossin22xxxx−=+−−1cos213sin2cos222xxx−=+−13sin2

cos22xx=−+12sin262x=−+.()fx的最小正周期为22=.【小问2详解】[0,],x令26tx=−，则11,66t−，又函数12sin2yt=+在3,22t上单调递减，即32,622x−

时，()fx的单调递减，当[0,]x时，()fx的单调减区间为5,36.18.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按

议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得100位居民某年的月平均用水量（单位：t），将数据按照)0,0.5，)0.5,1，…，)4,4.5，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知该市有80万居民，请估计全市居民中月平均

用水量不低于3t的人数；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过xt，估计x的值，并说明理由.【答案】（1）0.30a=（2）9.6万人（3）2.9x=，理由见解析【解析】【分析】（1）利用直方图中，小长方形的面积之和等于1来列方程求解；（

2）利用样本估计总体的思想，计算这里的100人的用水量不低于3t的人数然后估计全市的数据；（3）根据题意计算85%分位数即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质：小长方形的面积之和等于1，可得：()0.080.160.400.520.120.080

.040.51aa++++++++=，解得0.30a=【小问2详解】由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3t的频率为：()0.120.080.040.50.12++=由此可估计全市

80万居民中月均用水量不低于3t的人数为8000000.1296000=.估计全市居民月平均用水量不低于3t的人数为9.6万人【小问3详解】由题意只需求样本数据中的85%分位数，记该85%分位数为x，因为前6组频率之和为()0.080.160.300.400.520.300.

50.880.85+++++=，而前5组的频率之和为()0.080.160.300.400.520.50.730.85++++=，所以2.53x，由()0.32.50.850.73x−=−

，解得2.9x=，因此，估计月用水量标准为2.9t时，85%的居民每月的用水量不超过标准19.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin3cos0aBbA+=，4c=，27a=．（1）求A、b；（2）设D为BC边上一点，且ADA

C⊥，求ABD△的面积．【答案】（1）2π3A=，2b=（2）3ABDS=【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得tanA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值，利用余弦定理可得出关于b的二次方程，可

求得b的值；（2）利用正弦定理求得sinB、sinADB以及BD的长，再利用三角形的面积公式可求得ABD△的面积．【小问1详解】∵sin3cos0aBbA+=，由正弦定理得sinsin3cossin0ABAB+=，∵()0,πB，则sin0B，故sinAcosA+=30，可得tan

3A=−，∵()0,πA，则2π3A=，由余弦定理可得2222282cos164abcbcAbb==+−=++，整理得24120bb+−=，∵0b，因此，2b=；【小问2详解】如下图所示：由正弦定理可得sinsinsin

bacBBACC==，可得2πsin213sin14bBa==，2πsin213sin7cCa==，∵2π3BAC=，故C为锐角，则227cos1sin7CC=−=，∵ADAC⊥，则π27sinsincos27ADBCC=+

==，在ABD△中，2πππ326BAD=−=，由正弦定理πsinsin6ABBDADB=，可得π4sin67277BD==，因此，1121sin4732214ABDSABBDB===△．20.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，2AB=，14AA=，

点2A，2B，2C，2D分别在棱1AA，1BB，1CC，1DD上，21AA=，222BBDD==，23CC=.（1）证明：2222//BCAD；（2）求D到平面222ACD的距离；（3）点P在棱1BB上，当二面角222PACD−−为15

0时，求2BP.【答案】（1）证明见解析（2）263（3）21BP=【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，先证明2222//BCAD可以得出线线平行；（2）空间向量法求出点到平面距离；（3）先设点的坐标，在应用空间向量法求二面角余弦值求出参

数即可.【小问1详解】以C坐标原点，CD，CB，1CC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C，()20,0,3C，()20,2,2B，()22,0,2D，()22,2,1A，∴()220,2,1BC=−，()220,2,1AD=−

，∴2222//BCAD，为又22BC，22AD不在同一条直线上，∴2222//BCAD.【小问2详解】设平面222ACD的法向量(),,mabc=，则2222222020mACabcmDCac=−−+==−+=，令1a=，得1b=，2c=∴()

1,1,2m=，()20,0,2DD=，D到平面222ACD的距离2263DDmdm==【小问3详解】设平面222ACD法向量(),,mabc=，∴()1,1,2m=设()()0,2,04P，则()222,2,2AC=−−，()20,2,3PC=−−，()222,0,1DC=−

，设平面22PAC的法向量(),,nxyz=，则()2222220230nACxyznPCyz=−−+==−+−=，令2z=，得3y=−，1x=−∴()1,3,2n=−−，∴()()2263cos,cos15026413nmnmnm====+−+

−化简可得，2430−+=，解得1=或3=∴()0,2,1P或()0,2,3P∴21BP=.21.某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，

每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.（1）求乙在

第一轮比赛中得20分的概率；（2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛?【答案】（1）0.6（2）甲更容易晋级复赛【解析】的【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：,,,,abcde，设乙能答对的4个

问题的编号为abcd,,,.利用列举法，根据古典概型概率公式即可求解；（2）按第一轮得20分且第二轮至少得20分和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立乘法公式和对立事件概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.【小问1详解】对

A类的5个问题进行编号：,,,,abcde，设乙能答对4个问题的编号为abcd,,,.第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，可用()12,xx表示选题结果，其中1x，2x为所选题目的编号，样本空间为{(,

),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)abacadaebcbdbecd=,(,),(,)}cede共10个样本点.设“乙在第一轮得20分”事件为E，则{(,),(,),(,),(,),(,),

(,)}Eabacadbcbdcd=共6个样本点.则乙在第一轮得20分的概率为60.610P==.【小问2详解】甲晋级复赛分两种情况:①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：()220.610.40.3024−=，②甲第一轮得0分且第二轮得40分

的概率为：()2210.60.60.2304.−=所以甲晋级的概率10.30240.23040.5328P=+=.乙晋级复赛分两种情况:①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：()20.610.60.384−=，②乙第一轮

得0分且第二轮得40分的概率为：()210.60.40.064.−=所以乙晋级复赛的概率为20.3840.0640.448P=+=.因为12PP，所以甲更容易晋级复赛.22.如图1，四边形ABCD是梯形，//ABCD，142ADDCCBAB====，M是AB

的中点，将ADM△沿DM折起至ADM，如图2，点N在线段AC上.的（1）若N是AC的中点，求证：平面DNM⊥平面ABC；（2）若26AC=，平面DNM与平面CDM夹角的余弦值为255，求直线DN与平面ABM所成角的余弦值

.【答案】（1）证明见解析（2）31010【解析】【分析】（1）取DM中点O，证得DM⊥平面ACO¢，得到DMAC⊥，再由DCDA=，得到DNAC⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AC⊥平面DMN，即可证得平面ABC⊥平

面DMN.（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz−，设()01ANAC=，分别求得平面DMN和平面DMC的一个法向量()10,1,n=−和()20,0,1n=，利用向量的夹角公式，列出方程求得23=，再求得平面ABM的一个

法向量()33,1,1n=−和向量DN，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取DM中点O，连接,AOCO，四边形ABCD是梯形，//ABCD，M是AB的中点，且12ADCBAB==，可得ADAM=，所以AOMD⊥，又由12A

DCDCBAB===，且M是AB的中点，可得CMCD=，所以COMD⊥，因为COAOO=，且,COAO平面ACO¢，所以DM⊥平面ACO¢，又因为AC平面ACO¢，所以DMAC⊥，因为DCDA=，

且N为CA的中点，所以DNAC⊥，又因为DNDMD=，且,DNDM平面DMN，所以AC⊥平面DMN，因为AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面DMN.【小问2详解】解：在CDMV中，由4CDDMCM=

==，且O为DM的中点，可得23OC=，在ADM中，由4ADAMDM===，且O为DM的中点，可得23OA=，因为26AC=，所以222OCOAAC=+，可得OCOA⊥，又因为AOOD⊥，COOD⊥，以O为坐标原

点，分别以OD，OC，OA所在直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，如图所示，则()2,0,0D，()2,0,0M−，()0,23,0C，()0,0,23A，(4,23,0)B−，设()01ANAC=，则()0,23,23AN−=，可得()0,

23,2323N−，所以()2,23,2323DN=−−，()4,0,0MD=，设平面DMN的法向量为()1,,nxyz=，则1140223(2323)0nMDxnDNxy===−++−=，令1y=−，可得0,xz==，所以()10,1,n=−，因为OA

⊥平面DMC，所以平面DMC的一个法向量为()20,0,1n=，设平面DMN与平面DMC的夹角为，则121225cos5nnnn==，即()222551=−+，解得23=或2=（舍去），所以2ANNC=，且43232,,33DN=−

，且()2,0,23AM=−−，()2,23,0MB=−，设平面ABM的法向量为3(,,)nabc=，则3322302230nAMacnDNab=−−==−+=，取3a=，可得1,1bc==−，所以()33,1,1n=

−，设直线DN与平面ABM所成角为π,(0)2，可得310sincos,10DNn==，则2310cos1sin10=−=，直线DN与平面ABM所成角的余弦值为31010.