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1绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学参考答案一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)DBDAABBC二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.)9.AD10.BC11.ACD三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.2𝑛−

113.114.126四、解答题(本题共5小题,共77分.)15.(1)应在A组抽取3215020240=人,应在B组抽取329012240=人.(2)零假设为H0：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,根据列联表中的数据,经计算可得22400(1501109050)37.57.879200200

240160−==,根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立,即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.16.(1)由题意知𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑=

𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3),展开得:𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑=𝑎𝑥3−𝑎(𝑥1+𝑥2+𝑥3)𝑥2+𝑎(𝑥1𝑥2+𝑥2𝑥3+𝑥3𝑥1)𝑥−𝑎𝑥1𝑥2𝑥3,比较系数得𝑑=−𝑎𝑥1𝑥2𝑥3,即𝑥1𝑥2

𝑥3=−𝑑𝑎.(2)令𝑓(𝑚)=𝑓(𝑛)=𝑓(𝑡)=𝑠,则𝑚,𝑛,𝑡是方程𝑓(𝑥)−𝑠=0的三根,即为𝑥3−6𝑥2+9𝑥+1−𝑠=0的三个不等根,由上知𝑚𝑛𝑡=𝑠−1.𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12𝑥+9=3(𝑥−3)(𝑥

−1),于是𝑓(𝑥)在(−∞,1)上递增,在(1,3)上递减,在(3,+∞)上递增,且𝑓(0)=𝑓(3)=1,𝑓(1)=𝑓(4)=5,函数𝑓(𝑥)的大致图象如下:为使得𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑠有三个不同的交点,则𝑠∈(1,5),故𝑚𝑛𝑡=𝑠−

1∈(0,4).17.如下图所示,过𝐶作𝐶𝐷⊥𝑙1,过𝐵作𝐵𝐸⊥𝑙1,垂足分别为𝐷、𝐸.因∠𝐶𝐴𝐹=𝛼,且∠𝐶𝐴𝐵=𝜋3,所以0<𝛼<2𝜋3,∠𝐵𝐴𝐸=2𝜋3−𝛼.y5s143

1xOEDαBCAl2l3l1F2在△𝐴𝐶𝐷中,𝐴𝐶=3sin𝛼,在△𝐴𝐵𝐸中,𝐴𝐵=2sin(2𝜋3−𝛼).(1)由△𝐴𝐵𝐶是正三角形,则𝐴𝐶=𝐴𝐵,即3sin𝛼=2sin(2𝜋3−𝛼),3sin(2𝜋3−𝛼)=2sin𝛼,3√3

2cos𝛼=12sin𝛼,得tanα=3√3,于是sinα=3√32√7,所以边长𝐴𝐶=3sin𝛼=2√213.(2)由上知,𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵∙𝐴𝐶∙sin𝜋3=3√32∙1sin𝛼sin(2𝜋3−

𝛼)=3√32∙1√32sin𝛼cos𝛼+12sin2𝛼.而√32sin𝛼cos𝛼+12sin2𝛼=√34sin2𝛼−14cos2𝛼+14=12sin(2𝛼−𝜋6)+14.因为0<𝛼<2𝜋3,所以−𝜋6<2𝛼−𝜋6<7𝜋6,所以当2𝛼−𝜋6=�

�2,即𝛼=𝜋3时,√32sin𝛼cos𝛼+12sin2𝛼取最大值34.从而𝛼=𝜋3时,𝑆△𝐴𝐵𝐶取最小值3√32∙43=2√3,故𝑆△𝐴𝐵𝐶的最小值为2√3.18.(1)𝑓′(𝑥)=24𝑎

𝑥+4−1𝑥=24𝑎𝑥2+4𝑥−1𝑥,由条件知𝑓′(𝑥)≤0(𝑥>0)恒成立,即24𝑎𝑥2+4𝑥−1≤0⇒24𝑎≤(1𝑥)2−4×1𝑥=(1𝑥−2)2−4,因为=(1𝑥−2)2−4≥−4,所以24𝑎≤−4,则�

�≤−16.(2)上述解答不正确.由条件知,𝑔(𝑥)=24𝑎𝑥2+4𝑥−1在(0,1)上只有一个变号零点.当𝑎=0时,𝑔(𝑥)=0得𝑥=14∈(0,1),且𝑓(𝑥)在(0,14)上是减函数,在(14,1)上是增函数,符合题意;当𝑎>0

时,为使𝑔(𝑥)在(0,1)上只有一个变号零点,则{𝑎>0𝑔(1)≥0,解得𝑎>0;当𝑎<0时,为使𝑔(𝑥)在(0,1)上只有一个变号零点,则{𝑎<0𝑔(1)≥0,解得−18≤𝑎<0.综上,实数𝑎取值的集合是[−18,+∞).(3)因

为函数𝑓(𝑥)有两个极值点𝑥1,𝑥2,所以𝑔(𝑥)=24𝑎𝑥2+4𝑥−1=0在(0,+∞)上的两个不等实根为𝑥1,𝑥2,于是{△=16+96𝑎>0−112𝑎>0⇒−16<𝑎<0,且𝑥1+𝑥2=−16𝑎,�

�1𝑥2=−124𝑎.所以𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=12𝑎𝑥12+4𝑥1−ln𝑥1+12𝑎𝑥22+4𝑥2−ln𝑥2=12𝑎(𝑥12+𝑥22)+4(𝑥1+𝑥2)−ln(𝑥1𝑥2)=12𝑎[(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2]+4(�

�1+𝑥2)−𝑙𝑛𝑥1𝑥2=12𝑎[136𝑎2+112𝑎]−23𝑎−ln(−124𝑎)=1−13𝑎−ln(−124𝑎).令−124𝑎=𝑡,则𝑡>14,于是𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=1+8𝑡−ln𝑡.令ℎ(𝑡)=1+8𝑡

−ln𝑡(𝑡>14),ℎ′(𝑡)=8−1𝑡=8𝑡−1𝑡>0,所以ℎ(𝑡)=1+8𝑡−ln𝑡在(14,+∞)上是增函数,3所以ℎ(𝑡)>ℎ(14)=3+2ln2,即𝑓(𝑥1)+𝑓(�

�2)>3+2ln2.19.(1)𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥−1,则𝑔′(𝑥)=e𝑥−𝑎。①若𝑎≤0,则𝑔′(𝑥)>0,𝑔(𝑥)在(−∞,+∞)上单调递增;②若𝑎>0,令𝑔′(𝑥)=0,解得𝑥=𝑙𝑛𝑎当𝑥∈(−∞ln𝑎)时,𝑔′

(𝑥)<0,𝑔(𝑥)单调递减,当𝑥∈(ln𝑎,+∞)时,𝑔′(𝑥)>0,𝑔(𝑥)单调递增.综上,当𝑎≤0时,𝑔(𝑥)的单调递增区间为(−∞,+∞);当𝑎>0时,𝑔(𝑥)的单调递减区间为(−∞,ln𝑎),单调递增区间为(ln𝑎,+∞).(2)由题意

易得曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑛,𝑓(𝑛))处的切线方程为𝑦−e𝑛=e𝑛(𝑥−𝑛).设切线与x轴、y轴相交所得的横截距与纵截距分别为𝑎𝑛,𝑏𝑛.则令𝑦=0,解得𝑎𝑛=𝑛−1,令𝑥=0,解得𝑏𝑛=−

e𝑛(𝑛−1).则所围成三角形的面积𝑆𝑛=12|𝑎𝑛𝑏𝑛|=12(𝑛−1)2e𝑛则𝑐𝑛=𝑆𝑛𝑛2=(𝑛−1)2e𝑛2𝑛2,ln𝑐𝑛=ln(𝑛−1)2e𝑛2𝑛2=ln12+ln(𝑛−1)2

𝑛2+ln𝑒𝑛=2ln𝑛−1𝑛+𝑛−ln2,∑ln𝑐𝑛𝑛𝑖=2=∑(2ln𝑛−1𝑛+𝑛−ln2)𝑛𝑖=2=∑2ln𝑛−1𝑛𝑛𝑖=2+∑𝑛𝑛𝑖=2−∑ln2𝑛𝑖=2=2ln1𝑛+(2+𝑛)(𝑛−1)2−(𝑛−1)ln2=�

�2+𝑛−22−2ln𝑛−(𝑛−1)ln2.(3)𝑓(𝑎𝑥)≥sin𝑥−cos𝑥+2即esincos2axxx−+,令()esincos2axhxxx=−+−,则()ecossinaxhxaxx=−−,①当1a

时,因为0x,所以eeaxx,()ecossinxhxxx−−,令()sinuxxx=−,则()1cos0uxx=−,则函数()ux单调递增,且()(0)0uxu=,即sinxx;由(1)可知当𝑎=1时,𝑔(𝑥)≥𝑔(0)=0,即𝑓(𝑥)

≥𝑥+1,所以e1sin1xxx++,则()ecossin1cos0xhxxxx−−−,所以函数()hx在[0,)+上单调递增,且()(0)0hxh=,即esincos2axxx−+恒成立.②当1a时,(0)10ha=−,存在实数00x,使

得0(0,)xx均有()0hx,则函数()hx在0(0,)x上单调递减,且()(0)0hxh=,不符合题意,所以当1a时,不符合题意.综上,a的取值范围为[1,)+.