【文档说明】12月联考 数学答案(1)(1).pdf，共(7)页，333.645 KB，由envi的店铺上传

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数学试题参考答案第１页共７页２０２５届高三部分重点中学１２月联合测评数学试题参考答案及多维细目表题号１２３４５６答案CDBDCA题号７８９１０１１答案ABADABCBCD１．【答案】C【解析】∵A＝{x|ln(x－１)≤０}＝{x

|１＜x≤２},B＝{x|０≤２x－１≤２}＝x１２≤x≤３２{},∴A∪B＝x１２≤x≤２{}．２．【答案】D【解析】由z＝４＋i１－i可得z＝(４＋i)(１＋i)(１－i)(１＋i)＝３＋５i２,z＝３－５

i２,故对应的点为３２,－５２æèçöø÷,位于第四象限．３．【答案】B【解析】∵∑８i＝１xi＝９８×８＝９,∴增加两个样本点后x的平均数为９－１＋２１０＝１;∵^y＝２×９８－１４＝２,∴∑８i＝１yi＝２×８＝１６,∴增加两个样本点后y的平均数为１６＋５＋９１０＝３,∴３＝３

×１＋^b,解得^b＝０,∴新的经验回归方程为^y＝３x,则当x＝４时,^y＝１２,∴样本点(４,１０)的残差为１０－１２＝－２．４．【答案】D【解析】∵２０２３２０２５＝(２０２４－１)２０２５＝C０２０２５２０２４２０２５－C１２０２５２０２

４２０２４＋􀆺＋C２０２４２０２５２０２４－C２０２５２０２５＝２０２４(C０２０２５２０２４２０２４－C１２０２５２０２４２０２３＋􀆺＋C２０２４２０２５－１)＋２０２４－C２０２５２０２５,∴b＝２０２４－C２０２５２０２５＝２０２３．５．【答案】C【解析】∵cosθ＝１,则a�

�b＝|a|􀅰|b|,∴a,b同向,但当|a|－|b|＜０时显然不满足|a－b|＝|a|－|b|,因此充分性不成立．∵|a－b|＝|a|－|b|,∴(|a－b|)２＝(|a|－|b|)２,即|a|２＋|b|２－２a􀅰b＝|a|２＋

|b|２－２|a|􀅰|b|,即a􀅰b＝|a|􀅰|b|,从而a,b同向,cosθ＝１,由此可知必要性成立．６．【答案】A【解析】设等比数列{an}的公比为q,q≠０,依题意,１a１＋１a２＋１a３

＝１４,a２＝１４,即１a２q＋１a２＋１a２q＝qa２＋１a２＋１a２􀅰１q＝１４,∴２q＋２＋２q＝７,２q２－５q＋２＝０,解得q＝２或q＝１２,∴a１＝１８,a２＝１４,a３＝１２或a１＝１２,a２＝１４

,a３＝１８,∴S３＝１８＋１４＋１２＝７８．７．【答案】A【解析】由题知F(１,０),直线l的斜率不为０,设直线l的方程为x＝my＋１,A(x１,y１),Bx２,y２(),联立x＝my＋１,y２＝４x,{整理得y２－４my－４＝０,则y１＋

y２＝４m,y１y２＝－４．∴x１＋x２＝m(y１＋y２)＋２＝４m２＋２．∵OP→＝OA→＋OB→,∴四边形OAPB为平行四边形．∵点P的横坐标为３,∴３＝x１＋x２＝４m２＋２,解得m２＝１４．∴|AB|＝１＋m２􀅰(y１＋y２)２－４y１y２＝１＋m

２􀅰１６m２－４×(－４)＝５．点O到直线AB的距离为１１＋m２＝２５５,∴平{#{QQABZQAUogAgQgAAABgCAwFgCAIQkgCAASgORBAAoAAAiANABAA=}#}数学试题参考答案第２页共７页行四边形

OAPB的面积为５×２５５＝２５．８．【答案】B【解析】如图,取AB中点M,连接PM,CM．由题可知AB⊥PM,AB⊥CM．∵PM∩CM＝M,PM⊂平面PMC,CM⊂平面PMC,∴AB⊥平面PMC．作PH⊥MC,垂足为H

．∵PH⊂平面PMC,∴AB⊥PH．又CM∩AB＝M,CM⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,∴PH⊥平面ABC．过点H作HN⊥BC,垂足为N,连接PN,易知BC⊥PN．设小球半径为r,∴PH２r＝PBFB＝３２,∴PH＝３r

．根据题意,V三棱锥PＧABC＝１３S△ABC􀅰PH＝１３(S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＋S△ABC)􀅰r,∵S△PAB＝S△ABC＝２,S△PAC＝S△PBC,∴６＝４＋２S△PAC,∴S△PAC＝S△PBC＝１．由１２BC􀅰PN＝１,得PN＝１,∴sin∠PBC＝PNPB＝１

２,∴cos∠PBN＝３２．∴PC＝PB２＋CB２－２PB􀅰CBcos∠PBC＝６－２．９．【答案】AD【解析】对于选项A,当x＞０时,２xx２＋１＝２x＋１x．∵x＋１x≥２,当且仅当x＝１时,取等号,∴２xx２＋１＝２x＋１x≤１,故正确．对于选项B,∵x＞y＞０且z

＞０,由糖水原理可知y＋zx＋z＞yx,故错误;对于选项C,当x＜０＜y时,结论不成立,故错误;对于选项D,x＋１yæèçöø÷－y＋１xæèçöø÷＝xy＋１y－xy＋１x＝xy＋１()１y－１xæèçöø÷＞０,即x＋１y＞y＋１x,故正确．１

０．【答案】ABC【解析】由图可知A＝２,０＋φ＝２kπ＋π６,５ωπ１２＋φ＝２kπ＋π,ìîíïïïïïk∈Z,解得ω＝２,φ＝２kπ＋π６,k∈Z,∴f(x)＝２sin２x＋π６æèçöø÷．对于选项A,当x∈－π３,π６éëêêù

ûúú时,２x＋π６∈－π２,π２éëêêùûúú,∴f(x)在区间－π３,π６éëêêùûúú上单调递增,故正确;对于选项B,f２π３æèçöø÷＝２sin４π３＋π６æèçöø÷＝２sin３π２＝－２为其最小值,∴x＝２π３为f(x)图象的一条对称轴,故正确;对

于选项C,f１１π１２æèçöø÷＝２sin１１π６＋π６æèçöø÷＝２sin２π＝０,∴点１１π１２,０æèçöø÷为f(x)图象的一个对称中心,故正确;对于选项D,当x∈０,π４éëêêùûúú时,２x＋π６∈π６,２π３éëêêùûúú,当

２x＋π６＝π６即x＝０时,f(x)min＝１,当２x＋π６＝π２即x＝π６时,f(x)max＝２,即f(x)在区间０,π４éëêêùûúú上的值域为[１,２],故错误．１１．【答案】BCD{#{QQABZQAUogA

gQgAAABgCAwFgCAIQkgCAASgORBAAoAAAiANABAA=}#}数学试题参考答案第３页共７页【解析】对于选项A,沿C１→B１→A１→A→B→C→C１等路线即可,故错误;对于选项B,若存在重复路线,两次移

动回到点C１可以第一次移动到达点A１,B１,C,第三次移动再从这些移动方式中选,共有９种走法,另外可以先移动两次再原路返回,第一次移动可能到达点A１,B１,C,每个点在第二次移动时都有两种移动方式,故有６种方式;若不存在重复路线,经过点C由四条棱组成的闭合回路只有C

１A１ACC１和C１B１BCC１两种,每条路都有两种经过方式,共有４种方式,∴概率为１３æèçöø÷４􀅰１９＝１９８１,故正确;对于选项C,列举法:C１→A１→A→B→B１→C１,C１→A１→A→B→C→C１,C１→A１→B１→B→C→C１,C１→B１→A１→A→

C→C１,C１→C→A→B→B１→C１,故共有５条不同笔记,故正确;对于选项D,先考虑重复路线:前两条路线重复,第一次移动到达点A１,B１,C共３条路径;后两条路径重复(即第一次移动到点A１)同理有３条路径,其中C１→A１→C１→A１重复,故共只有５条路径;再考虑不重复路径:只有C１

→C→A→A１,１条路径,∴三次移动后到达点A有６条路径．记事件A１:从点C１出发,三次移动后到达点A１;事件C:从点C１出发,三次移动时经过点C,故P(A１)＝１３æèçöø÷３􀅰６,P(A１C)＝１３æèçöø÷３􀅰２,故

P(C|A１)＝P(A１C)P(A１)＝１３,故正确．(也可以直接列举路径来判断)１２．【答案】８【解析】根据点F到其中一条渐近线的距离为２,可得b＝２,且满足α＋β＝π．又α＝１５β,∴β＝π６,∴ba＝tanβ＝３３,故a＝

２３,∴c＝４,∴焦距为２c＝８．１３．【答案】４５【解析】由正态分布的性质得质量指标在区间(９６,１００)的概率为１－２×０．０５＝０．９,即１件产品的质量指标位于区间(９６,１００)的概率为０．９,∴Y~B(５００,０．９),故D(Y

)＝５００×０．９×０．１＝４５．１４．【答案】[e－e,１)【解析】f(x)＝ax－１－loga(x－１)＝axa－ln(x－１)lna＝１alna[axlna－aln(x－１)],记h(x)＝axlna

－aln(x－１),f(x)在定义域上单调,可得h(x)必为单调函数．若h(x)单调递增,则h′(x)＝ax(lna)２－ax－１≥０恒成立,即(x－１)ax－１≥１(lna)２,∴tat≥１(lna)２．又函数G(t)＝ta

t在t→０时值趋近于０,不满足．若h(x)单调递减,则h′(x)＝ax(lna)２－ax－１≤０恒成立,即(x－１)ax－１≤１(lna)２,即tat≤１(lna)２,∴(tat)max≤１(lna)２,设G(t)＝

tat,G′(t)＝(１＋tlna)at＝０,则t＝－１lna,当a＞１时,t＜０不成立;当０＜a＜１时,t＝－１lna＞０,∴G(t)在区间０,－１lnaæèçöø÷上单调递增,在区间－１lna,＋∞æèçöø÷上单调递减,∴－１lna􀅰a－１lna

≤１(lna)２,即a－１lna≤－１lna,∴－１lnaæèçöø÷lna≤ln－１lnaæèçöø÷,即－１≤ln－１lnaæèçöø÷,解得e－e≤a＜１．１５．解:(１)由二倍角公式得sinA２＋cosA

２æèçöø÷２cos２A２－sin２A２＝{#{QQABZQAUogAgQgAAABgCAwFgCAIQkgCAASgORBAAoAAAiANABAA=}#}数学试题参考答案第４页共７页sinB２＋cos

B２æèçöø÷２cos２B２－sin２B２,２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴sinA２＋cosA２cosA２－sinA２＝sinB２＋cosB２cosB２－sinB２,整理得sinA２cosB２－cos

A２sinB２＝０,即sinA２－B２æèçöø÷＝０．５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∵A,B∈(０,π),∴A２－B２＝０,即A＝B,即△ABC为等腰三角形．６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(其他方法酌情给分)(２)由(１)及题设,有AC

＝BC＝２CD,∴cos∠CAD＝AC２＋AD２－CD２２AC􀅰AD＝AC２＋AD２－AC２４２AC􀅰AD＝３AC２４＋AD２２AC􀅰AD＝３AC８AD＋AD２AC≥２３AC８AD􀅰AD２AC＝３２,１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴∠CAD≤π６,当

且仅当ADAC＝３２时,等号成立．即∠CAD的最大值为π６,此时由ADAC＝３２可得△ACD为直角三角形,∠ACD＝π３．１２分􀆺又由(１)可得△ABC为正三角形,∴△ABC的面积S＝３４×２２＝３．１３分􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺１６．解:(１)在Rt△ABC和Rt△ABD中,tan∠BAC＝BCAB＝１２,tan∠ABD＝ADAB＝２,∴∠BAC与∠ABD互余,即AC⊥BD．４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺又PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD

．又AC,PA⊂平面PAC,AC∩PA＝A,∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面PBD,∴平面PAC⊥平面PBD．７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)∵AB,AD,AP两两互相垂直,∴分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立空间

直角坐标系．不妨设BC＝１,则A(０,０,０),C(２,１,０),D(０,４,０),P(０,０,４),∴PC→＝(２,１,－４),PD→＝(０,４,－４)．∵点M在平面PCD内,∴设PM→＝xPC→＋yPD→,则AM→＝AP→＋xPC→

＋yPD→＝(０,０,４)＋x(２,１,－４)＋y(０,４,－４)＝(２x,x＋４y,４－４x－４y),９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∵AM⊥平面PCD,∴AM⊥PC,AM⊥PD

,∴AM→􀅰PC→＝４x＋x＋４y－１６＋１６x＋１６y＝２１x＋２０y－１６＝０,AM→􀅰PD→＝４x＋１６y－１６＋１６x＋１６y＝２０x＋３２y－１６＝０,ìîíïïïïïï解得x＝１２１７,y＝１１７,ìîíïïïïï∴AM→＝２４１７,１６１７,１６

１７æèçöø÷,即M２４１７,１６１７,１６１７æèçöø÷,１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴点M到平面PAD的距离d１＝２４１７,点M到棱AD的距离d２＝２４１７

æèçöø÷２＋１６１７æèçöø÷２＝８１３１７,{#{QQABZQAUogAgQgAAABgCAwFgCAIQkgCAASgORBAAoAAAiANABAA=}#}数学试题参考答案第５页共７页设二面角MＧADＧP大小为θ,则sinθ＝d１d２＝２４８１３＝３１３１３,∴cosθ＝１－

sin２θ＝２１３１３,即二面角MＧADＧP的余弦值为２１３１３．１５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺１７．解:(１)f′(x)＝cosx－x－π２æèçöø÷sinx,且f′π２æèçöø÷＝０．２分

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺当０＜x＜π２时,cosx＞０,x－π２æèçöø÷sinx＜０,从而f′(x)＝cosx－x－π２æèçöø÷sinx＞０,即此时函数f(x)在区间０,π２éëêêùûúú上单调递增

;４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺当π２＜x≤π时,cosx＜０,x－π２æèçöø÷sinx≥０,从而f′(x)＝cosx－x－π２æèçöø÷sinx＜０,即此时函数f(x)在区间π

２,πéëêêùûúú上单调递减．∴综上所述,函数f(x)在区间０,π２éëêêùûúú上单调递增,在区间π２,πéëêêùûúú上单调递减．７分􀆺􀆺􀆺(２)fπ２æèçöø÷＝１＞０,又f(π)＝－π２＋１＜０,且函数f(x)在区间π２,πéëêêùûúú上单调递减,∴函数f(x)在区

间π２,πéëêêùûúú上存在唯一的零点．９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺当x∈π,３π２éëêêùûúú时,记g(x)＝f′(x)＝cosx－x－π２æèçöø÷sinx,从而g′(x)＝－２sinx－x－π２æèçöø÷cosx,且此时sinx＜０

,x－π２æèçöø÷cosx＜０,∴g′(x)＞０,g(x)＝f′(x)在区间π,３π２éëêêùûúú上单调递增．g(π)＝－１＜０,g３π２æèçöø÷＝π＞０,∴存在x０∈π,３π２æèçöø÷,使得g(x０)＝０,１１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺且x∈(π,x０)时,g(x)＝

f′(x)＜０,即此时f(x)在区间(π,x０)上单调递减;x∈x０,３π２æèçöø÷时,g(x)＝f′(x)＞０,即此时f(x)在区间x０,３π２æèçöø÷上单调递增．１３分􀆺􀆺∴由f(π)＝－π２＋１＜０,得f(x０)＜０,即函数f(x)在区间(π,x０)上

无零点;而由f(x０)＜０,f３π２æèçöø÷＝１＞０,即函数f(x)在区间x０,３π２æèçöø÷上有唯一的零点．∴函数f(x)在区间π２,３π２éëêêùûúú上有２个零点．１５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺１８．解:(１)由

题意知抛物线的焦点P到两定点A,B的距离之和等于点A,B到抛物线的准线的距离之和,等于AB的中点O到准线的距离的２倍,即等于圆x２＋y２＝９的半径的２倍,∴|PA|＋|PB|＝６＞|AB|＝２,∴点P在以A,B为焦点的椭圆E上,３分􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺设椭圆E的标准方程为x２a２＋y２b２＝１(a＞b＞０),则２a＝６,２c＝２,∴a＝３,c＝１,∴b２＝a２－c２＝８,∴曲线E的标准方程为x２９＋y２８＝１．８分􀆺􀆺(２)设直线MN:x＝my＋２(m≠０),由x＝my＋２,８x２＋９y２＝７２,{∴(８m２＋９)y２＋３２my－

４０＝０．设M(x１,y１),N(x２,y２),则y１＋y２＝－３２m８m２＋９,y１y２＝－４０８m２＋９,{#{QQABZQAUogAgQgAAABgCAwFgCAIQkgCAASgORBAAoAAAiANABAA=}#}数学试题参

考答案第６页共７页CM的中点坐标为x１－３２,y１２æèçöø÷,kCM＝y１x１＋３,９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺CM的垂直平分线的斜率为－x１＋３y１．１０分􀆺∴CM的垂直平分线方程为y＝－x１＋

３y１􀅰x－x１－３２æèçöø÷＋y１２,即y＝－my１＋５y１x＋x２１－９２y１＋y１２,由x２１９＋y２１８＝１得x２１－９２y１＝－９１６y１,∴CM的垂直平分线方程为y＝－my１＋５y１x－１１６y１．１１

分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺同理CN的垂直平分线方程为y＝－my２＋５y２x－１１６y２．１３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺设点Q(x０,y０),则y１,y２是方程y０＝－my＋５yx０－１１６y,即y２＋(１６mx０＋１６y０)y＋８０x０

＝０的两根,∴y１＋y２＝－１６mx０－１６y０＝－３２m８m２＋９,y１y２＝８０x０＝－４０８m２＋９,ìîíïïïïï两式相除得－mx０－y０５x０＝４m５,∴y０x０＝－５m．１６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴kOQ􀅰kMN＝－５m􀅰１m＝－５,即直线OQ与MN的斜率之积为定值－５．１７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(其他方法酌情给分)１９．解:(１)对

数列S０依次做A３,A４,A５变换即可．４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)首先,若对数列S０:a１,a２,a３,a４,a５依次做Ai＋１,Ai＋２,􀆺,A５(i∈{１,２,３,４})变换,得到的数列ai加１,ai

＋１减１,其余项不变;若对数列中S０:a１,a２,a３,a４,a５依次做Ai,Ai－１,􀆺,A１(i∈{１,２,３,４})变换,得到的数列中ai减１,ai＋１加１,其余项不变．７分􀆺􀆺􀆺∴可以通过若干次变换使得相邻两数

一个加１,另一个减１,∴可以通过若干次变换使得第一项变为０,第二项变为a１＋a２．同样的可以通过若干次变换分别使得a２,a３,a４均变为０,此时即为０,０,０,０,０．１０分􀆺􀆺(３)记此时的变换①为B１,变换③为B１０．首先,记T１＝a

１＋a３＋a５＋a７＋a９,T２＝a２＋a４＋a６＋a８＋a１０,每次变换使得T１的值加２或减２或不变,故可以经过若干次变换使得T１＝０,此时T２＝０;其次,对任意数列S０:a１,a２,􀆺,a１０依次做Aj－１,Aj,Aj,Aj＋１变换,其中j∈{３,４,􀆺,８},得到的数列中aj减２,aj－

２,aj＋２均加１,其余项不变,记此变换为Bj,依次做A８,A９,A１０变换,得到的数列中a９减１,a７加１,其余项不变,记此变换为B９,此时B１,B３,B５,B７,B９只变换a１,a３,a５,a７,a９,且对a１,a３,a５,a７,a９规则同第(２)问,且T１＝０,１５分􀆺􀆺􀆺􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴由(２)知可以对S０做若干次变换,得到的数列中a１＝a３＝a５＝a７＝a９＝０．同理可以再对S０做若干次变换,得到的数列中a２＝a４＝a６＝a８＝a１０＝０,则此时得到数列０,０,􀆺,０􀮩􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁１０个．１７分􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(其他方法酌情给分){#{QQABZQAUogAgQgAAABgCAwFgCAIQkgCAASgORBAAoAAAiANABAA=}#}数学试题参考答案第７页共７页多维细目表题型题号分值必备知识学科素养预估难度

数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析易中难选择题１５集合与简易逻辑√√选择题２５复数√√选择题３５统计与概率√√选择题４５二项式定理√√√选择题５５平面向量√√√选择题６５等比数列√√√选择题７５抛物线方程及其性质√√选择题８５立体几何√√√选择题９６不等式的性质√√√选择题１０６三角

函数的图象及其性质√√选择题１１６排列组合与概率√√√填空题１２５双曲线方程及其性质√√√填空题１３５概率分布√√√填空题１４５导数及其应用√√√解答题１５１３解三角形√√√解答题１６１５立体几何√√√解答题１７１５导数及其应用√√√√解答题１８１７椭圆

方程及其性质√√√解答题１９１７数列与新定义综合√√√√{#{QQABZQAUogAgQgAAABgCAwFgCAIQkgCAASgORBAAoAAAiANABAA=}#}