【文档说明】《八年级数学下册期末突破易错挑战满分（浙教版）》易错04 二次根式运算中分母有理化易错（解析版）.docx，共(20)页，549.508 KB，由管理员店铺上传

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12020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（浙教版）易错04二次根式运算中分母有理化易错【典型例题】1．（2020·忠县乌杨初级中学校八年级月考）阅读下面的问题：()()()121121122121−==−+

+−；()()()132132323232−==−++−；试求：(1)176+；(2)13217+【答案】（1）原式=()()()1767676−+−=7676−−=76−；（2）原式=()()()1321732173217−+−=32171817−−=3217−【点睛】本题考查了分母有理

化，二次根式的乘除，平方差公式，关键是掌握平方差运算法则．【专题训练】2一、解答题1．（2020·广东揭阳市·八年级期中）我们已经知道()()1331334+−=，因此将8133−分子、分母同时乘以“

13+3”，分母就变成了4．请仿照这种方法化简：365+．【答案】解：365+＝()()()3656565−+−＝321565−−＝3215−．【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解好题意是解题关键．2．

（2021·全国八年级）已知152a=+，152b=−．（1）求a+b的值；（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式2244mmnn++的值．【答案】解：（1）11(52)5252(52)(52)a−===−++−，11(52)5252(52

)(52)b+===+−−+．∴525225ab+=−++=，（2）253Q，0521−，4525+，352=−m，4n=，∴4m2+4mn+n2=（2m+n）2=（25-4+4）2=20．【点睛】本题考查无理数的估算，正确地求出m、n的值是正确解答的关键．3．

（2021·全国八年级）已知a＝132−，b＝132+．（1）求a2﹣b2的值；（2）求a2﹣ab+b2．【答案】解：（1）∵a＝1=3+232−，b＝1=3232−+，∴a+b＝23，a﹣b＝22，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝23×22＝46；（

2））∵a＝1=3+232−，b＝1=3232−+，∴a﹣b＝22，ab＝1，∴a2﹣ab+b24＝（a﹣b）2+ab＝（22）2+1＝8+1＝9．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．4．（2020·重庆涪陵区

·八年级期末）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（5+3）（5﹣3）＝﹣4，

像（5+3）和（5﹣3）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如（3+2）与（3-2）也互为有理化因式．于是，下面二次根式除法可以这样运算

：2323+−＝(23)(23)(23)(23)++−+＝7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化．解决问题：（1）23+32的一个有理化因式是，435−分母有理化结果是；（2）计算：11+2132+++123+．【答案】解：（1）由题意可知：23

-32，()4354359535+==+−−．（2）原式＝2-13-22-3++2-13-24-3，＝2-1+3-2+2-3，5＝1．故答案为：（1）23﹣32，3+5．【点睛】本题主要考查了二次根式的知识点，二次根式的运算是解题的关键．5．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中

）小明在解决问题：已知123a=+，求2281aa−+的值，他是这样分析与解答的：()()12323232323a−===−++−Q23a−=−()2223,443aaa−=−+=即241aa−=−请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）计算：121=+（2）计

算：111213243++++++…120202019++（3）若152a=−，求2281aa−+的值【答案】（1）()()12121212121−==−++−6故答案为：21−；（2）111213243+++

+++…120202019++=21−+32−+43−+…+20202019−=20201−=25051−（3）∵152a=−=()()52525252+=+−+，∴a-2=5，∴（a-2）2=5∴24aa−+4=5∴24aa−=1∴2281aa−+=2（24aa−）+1=3

．【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知二次根式的性质、完全平方公式的应用．6．（2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考）阅读下列简化过程：2121212121(21)(21)(

2)1−−===−++−−；1323232(32)(32)−==−++−；71434343(43)(43)−==−++−；……解答下列问题：（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律________；（2）计算111112233220152016+++

+++++；（3）设132a=−，123b=−，152c=−，比较a，b，c的大小关系．【答案】（1）1(1)11(1)(1)nnnnnnnnnn+−==+−+++++−．（2）111112233120152016++++++++21324

320162015=−+−+−++−20161=−12141=−．（3）13232a==+−，12323b==+−，15252c==+−，22Q，ab，又53Q，8bc，cba．【得解】此题考查代数式计算规律探究

，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键．7．（2020·山东济南市·八年级期中）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘

以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．例如：化简132+．解：132+＝1(32)(32)(32)−+−＝3﹣2．[理解应用]（1）化简：253+；（2）若a是2的小数部分，化简3a；（3）化简：11+3153+++175++…+1

20212019+．【答案】（1）253+＝2(53)(53)(53)−+−＝2(53)2−＝5﹣3；（2）∵a是2的小数部分，∴a＝2﹣1，9∴3a＝321−＝3(21)(21)(21)+−+＝32+3；（3）113153++++175++…+

120212019+＝315322−−++752−+…+202120192−＝133557201920212−+−+−++−+L＝120212−+＝202112−．【点睛】本题考查二次根式的化简，无理数的估算，以及数字的变化规律等知识，掌握分母有

理化的方法是解决问题的关键．8．（2020·河南洛阳市·九年级月考）阅读下面的材料，并解决问题．121221(21)(21)−==++−﹣1；1323232(32)(32)−==−++−；…（1）观察上式并填空：143+＝．（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，11nn=++．（用含n的式

子表示，不用说明理由）10（3）请利用（2）的结论计算：①1111()(51)12233454++++++++＝；②1111()(20211)12232020201920212020+++++++++L．【答案】（1）143+＝434343−+−()()＝2﹣3；（2）1

1nn++＝1(1)(1)nnnnnn+−+++−＝1n+﹣n；（3）①（112132++++114354+++）×（5+1）＝（2132(21)(21)(32)(32)−−++−+−+…+54(54)(54)−+−）（5+1）＝（

2﹣1+32−+…+5﹣2）（5+1）＝（5﹣1）（51+）＝4；②（112132++++…112020201920212020+++）×（2021+1）＝（2﹣1+32−+…+20212020−）×（2021+1）＝（2021﹣1）×（2021+1）＝2020，11【

点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．9．（2021·全国八年级）阅读下列解题过程：121+＝21(21)(21)−+−＝21−；132+＝32(32)(32)−+−＝32−；143+＝434343−+−()()＝43−＝2﹣3；…则：

（1）1109+＝；110099+＝；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子11nn+−＝；（3）利用上面的规律：比较12﹣11与13﹣12的大小．【答案】解：（1）1109103109=−=−+；11009

91031110099=−=−+；（2）由题意可知：111nnnn=−−+−．12（3）由于112111211−=+，113121312−=+，∵1311，∴13121211++，∴1113121211++，∴13121211−

−．故答案为：（1）103−，10311−．（2）1nn−−．【点睛】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、实数大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．10．（2021·全国八年级）把二次根式17

6+的分母中的根号去掉，叫做二次根式的分母有理化．例如：()()()()221636363363636363−−−===++−−．（1）请仿照例题将176+分母有理化；（2）直接写出1n3n1=+++________．（3）化简111

222668++++++……120182020+=+________（写出解答过程）．【答案】13解：()()()176176767676−==−++−．()12n3n1+++()()n3n1n3n1n3n1+−+=++++

−+n3n12+−+=．答案为：n3n12+−+．()1111322266820182020++++++++L，()()()()()()226-286862222622866−−=+++−+−+−()()202020182020201820202018−

+++−L，26862020201811222222=−+−+−++−L，2202022=−+，25052=−+．答案为：25052−+．【点睛】本题考查二次根式化简问题，掌握有理化因式的确定方法：单项二次根式：利用aaa=来确定；利用平方差公式确定：如

()()ababab+−=−，则互为有理化因式．会利用有理化因式进行化简计算是解题关键．1411．（2021·全国八年级）观察下列运算过程：()()()22112121211221212121−−====−+++−

−，()()()()22113232322332323232−−====−+++−−．（1）请运用上面的运算方法计算：111133557+++++；（2）利用上面的规律，比较1110−与1211−的大小．【答案】解：()1111133557+++++315375222−−−=++712−=

；()2111101110−=+，112111211−=+．∵11101211++，∴1111101211++，即11101211−−．【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要是利用了平方差公式，有理化

因式是符合平方差公式的特点的式子，即一项符号和绝对值相等，另一项符号相反绝对值相等．1512．（2021·全国八年级）先阅读，后解答：()()()()()223323363632323232++===+−−+−，像上述解题过程中，32−与32+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理

化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1）7的有理化因式是________；52+的有理化因式是________．（2）将下列式子进行分母有理化：①15=________；②121=+________．（3）计算：111121324320132012++++++++L．【答案

】（1）∵777=，()()52521+−=，∴7的一个有理化因式是7；52+的一个有理化因式是52−，故答案为：752−；．（2）①1555555==，②()121212121)(21−==−++−．故

答案为：①55；②21−．（3）原式()()()()21324320132012=−+−+−++−L2132432013201220131=−+−+−++−=−L【点睛】16本题主要考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．13．

（2020·渠县第四中学八年级月考）阅读下面的例题：化简11nn++解：11nn++=1(1)(1)(1)nnnnnn+−+++−221(1)()nnnn+−=+−11nnnn+−=+−11nn+−=1nn=+−请参照例题的结论化简：1

111009999989897++++++……11+3221+++【答案】1111009999989897++++++……11+3221+++＝()()()()()()()()()1009999989897100991009

99998999898979897−−−++++−+−+−……+()()()()()()322132322121−−++−+−＝1009999989897...3221−+−+−++−+−17=101−=9．【点睛】主要考查了二次

根式的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行二次根式的运算时要先化简再计算，可使计算简便．14．（2020·重庆市第一一〇中学校八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：化简：2121212121121(21)(21)(

2)1−−−====−++−−，则13232=−+，14343=−+，15454=−+L（1）请直接写出下列式子的值：165=+；110099=+．（2）请利用材料给出的结论，计算：111121324310099++++++++L的值；（

3）请利用材料提供的方法，计算111131537510199++++++++L的值．【答案】解：（1）2216565;65(6)(5)−==−+−22100991009910099101()()099−==−+−

（2）原式=(21)(32)(43)(10099)=100-1=9−+−+−++−L18（3）原式=31537510199(31)(31)(53)(53)(75)(75)(10199)(10199)−−−−+++++−+−+−+−L=315375101992222−−−−++++

L=10112−【点睛】本题考查了分母有理化和平方差公式的运用，找规律是解决此题的关键，注意有理化因式的确定．15．（2020·遵化市第三中学八年级月考）观察下列等式：1212121(21)(21)−==−

++−1323232(32)(32)−==−++−1434343(43)(43)−==−++−解答下列问题：（1）写出一个无理数，使它与32−的积为有理数；（2）利用你观察的规律，化简12311+；（3）计算：1111223310++

++++．【答案】解：（1）∵(32)(32)927−+=−=，19∴这个无理数为：32+；（2）11(2311)2311(2311)(2311)−=++−=23111211−−=2311−；（3）1111223310++++++=2132109−+−+−…+=101−．

【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，分母有理化，平方差运算，熟练掌握运算法则，正确的发现题目中的规律是解题关键．16．（2021·湖北十堰市·八年级期末）（1）观察探究：①122222221212121222(22)

(22)−−===−=−++−；②132233223322323323232233223(3223)(3223)−−===−=−++−；③143344334433431434343324334(4334)(4334)−−===−=−++−．（2）尝试练习：（仿照上面

化简过程，写出①的化简过程，直接写出②化简结果）①17667+，②19889+；（3）拓展应用：①化简：1(1)1nnnn+++；20②计算1111...22322343341009999100++++++++的值．【答案】（2）①()()1766

7766776766776677667−−===++−6767−；②()()19889988998988998899889−−===++−2143−；（3）①()()()1(1)1(1)11(1)1(1)1(1)1+−++−+===++++++

++−+nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn11nnnn+−+；②原式=2233199191...22332991010−+−+−++−=．【点睛】本题主要考查了与实数有关规律题型，准确分析计算是解题的关键．