【文档说明】四川省内江市资中县第二中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，992.052 KB，由小赞的店铺上传

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资中二中高2024届5月月考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“若2a，则22aa”的逆否命题是（）A.若22aa，则2aB.若22aa，则2aC.若22aa，则2aD.

若22aa，则2a【答案】D【解析】【分析】根据四种命题之间的关系，“若p则q”的逆否命题是“若q则p”即可解决【详解】由题知若2a，则22aa的逆否命题是：若22aa，则2a．故选：D.2.若复数z满足i1iz=+，则z

=（）A.2B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】根据复数模的性质计算．【详解】因为i1iz=+，所以i1iz=+，即22i112z=+=，所以2z=．故选：A．3.已知(1,2,1)A−，B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于

y轴的对称点，则BC=（）A.(2,0,2)−−B.(2,0,2)C.(1,0,1)−−D.(0,2,2)−−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系对称的特点求出点,BC坐标作答.【详解】点(1,2,1)A−，则A关于平面xOy的对称点(1,2,1)B

，点B关于y轴的对称点(1,2,1)C−−，所以(2,0,2)BC=−−.故选：A4.已知随机变量X服从正态分布()22,N，若(13)0.4PX=，则(1)PX=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【答案】B【解析】【

分析】根据正态分布的定义和正态曲线的对称性即可得到答案.【详解】()11310.4(1)0.322PXPX−−===.故选：B.5.中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为2022年的重点任务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方

式转变．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）．A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB.甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗约10L汽油C以相同速

度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D.某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合图象，逐项分析，即可判断.【详解】对于A：当乙车速度大于40kmh时，乙车车每消耗1L汽

油行驶的里程都超过了5km，所以A错误；对于B：甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为10kmL，则行驶1h消耗约8L汽油，所以B错误；对于C：以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，所以C错.误；对于D：机动车

最高限速80km/h相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确.故选：D.6.已知某运动员每次射击击中目标的概率是p，假设每次射击击中目标与否互不影响，设为该运动员n次射击练习中击中目标的次数，且()8E=，()1.6=D，则p值为（）A.0.6B.0

.8C.0.9D.0.92【答案】B【解析】【分析】由服从(,)Bnp，根据二项分布的均值和方差公式列式求解．【详解】由题意(,)Bnp，所以()8()(1)1.6EnpDnpp===−=，解得0.810pn==．故选：B．7.已知1F，2F是椭圆C：22194xy+=的两个焦

点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa+==，借助基本不等式212122MFMFMFMF+即可得到答案．【详解】由题，229,

4ab==，则1226MFMFa+==，所以2121292MFMFMFMF+=（当且仅当123MFMF==时，等号成立）．故选：C．【点睛】8.甲、乙、丙三位同学中，一人是班长，一人是学习委员，一人是团支书.已知丙比团支书高，乙的

身高和学习委员不同，学习委员比甲矮，则甲是（）A.班长B.学习委员C.团支书D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据所给信息进行推理即可．【详解】由学习委员比甲矮知甲不是学习委员，只能是班长或团支书，又乙的身高和学习委员不同，乙也不是学习委员，因此丙是学习委员，又由丙比团支书高，学习委员比甲矮，

知甲是班长，乙是团支书．故选：A．9.“0a”是“函数ln,0()2,0xxxfxax=+有且只有一个零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】

A【解析】【分析】求出()fx有且只有一个零点的条件，再根据充分必要条件的定义判断．【详解】首先()ln(0)fxxx=已经有一个零点1，因此()fx只有一个零点，则()2(0)xfxax=+无零点，即2xa=−（

0x）无解，0x时，120x−−，所以1a−或0a，因此0a是()fx有且只有一个零点”的充分而不必要条件．故选：A．10.已知一个盒子中装有10个小球，其中红色、黄色小球各4个，白色小球2个，从中随机摸出2个小球，

则这2个小球颜色不相同的概率是（）A.1345B.1645C.2945D.3245【答案】D【解析】【分析】易知从10个小球中随机抽取2个的基本事件总数为21045C=;其中所抽取的2个小球颜色不同所包含的基本事件

个数为111111444242···CCCCCC++,利用古典概型概率计算公式即可求出所求概率.【详解】从10个小球中随机抽取2个的基本事件总数为21045C=,其中所抽取的2个小球颜色不同所包含的基本事件个数为111111444242···32CCCCCC++=，所以

所求概率111111444242210···3245CCCCCCPC++==.故选：D.11.设抛物线的顶点为坐标原点O，焦点()1,0F，若该抛物线上两点A，B的横坐标之和为6，当弦AB的长度最大时，OAB的面积为（）．

A.42B.4C.22D.2【答案】C【解析】【分析】由题可得24yx=，进而可得AB的最大值，可设():1ABykx=−，利用韦达定理可得1k=，再利用面积公式即得.【详解】由于抛物线焦点为()1,0F，故抛物线

的标准方程为24yx=.设()()1122,,,AxyBxy，则126xx+=，1228AFBFxx+=++=，而AFBFAB+，即8AB，故AB的最大值为8，此时可设直线():1ABykx=−，由()241yxykx==−，可得()222224

0kxkxk−++=，∴2122246kxxk++==，即1k=，又原点到直线直线():1ABykx=−的距离2121kdk==+，∴OAB的面积为111822222OABSABd===.故选：C.为12.设()fx是定义在R上的连续奇

函数()fx的导函数，当0x时，()()1lnxfxfxx−，则使得()()220xxfx−成立的x的取值范围是（）．A.(),02,−+B.(,2−C.0,2D.)2,+【答案】B【解析

】【分析】令()()()ln,0gxxfxx=.利用导数判断出()gx在()0,+上单调递减，进而求出当()0,x+时都有()0fx；()00f=；当(),0x−时，()0fx.直接解不等式即可.【详解】令

()()()ln,0gxxfxx=.则()()()1ln0gxxfxfxx=+，所以()gx在()0,+上单调递减.又()10g=，所以当()0,1x时，()0gx，而ln0x，所以()0fx；所以当()1,x+

时，()0gx，而ln0x，所以()0fx.在()()1lnxfxfxx−中，令x=1可得：()10f.所以当()0,x+时都要()0fx.又()fx是定义在R上的连续奇函数，所以()00f=，当(),0x−时，()0fx.所以()()220xxfx−可化为

：2020xxx−或0x=或2020xxx−，解得：02x或0x=或0x.综上所述：2x.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分．13.双曲线22145xy−=的右焦点到直线280xy+−=的距离为________．【答案】5【解析】【分析】先求

出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，22543cab=+=+=，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280xy+−=的距离为22|3208|55512+−==+.故答案为：514.已知()12nx−展开式中各项的二项式系数之和为3

2，则展开式中含3x项的系数为______．【答案】-80【解析】【分析】先求出5n=，再利用二项展开式的通项公式即可求解.【详解】因为()12nx−展开式中各项的二项式系数之和为32，所以232n=，解得：5n=.所以()()512

12nxx−−=展开式的通项公式为()152rrrTCx+=−.要求展开式中含3x项的系数，只需3r=，解得：()33345280TCxx=−=−.故答案为：-80.15.已知甲、乙、丙、丁四名专家因疫情防控需要被随机分配到A，

B，C三个学校去指导疫情防控工作，要求每名专家去一个学校，每个学校至少去一名专家，则恰好有两名专家去A校的概率为________.【答案】13【解析】【分析】由题意有且只有2名专家去同一个学校，由排列组合知识求得方法数后可计算概

率．【详解】由题意分配方案共有234336CA=种，恰好有两名专家去A校的方法数为224212CA，所求概率为121363P==．故答案为：13．16.已知直线()0ykxk=与双曲线()2222:10,0xyCabab−=交于A，B两点，以AB为直径的

圆恰好经过双曲线C的右焦点F，若OAF△的面积为24a，则双曲线C的离心率为______．【答案】3【解析】【分析】先根据题意求出以AB为直径的圆的方程，利用正比例函数图象和双曲线的对称性，根据双曲线的定义，三角形的面积公式、勾股定理可以求出双

曲线的离心率.【详解】因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为222xyc+=，圆也过左焦点1F，因为AB与1FF相等且平分，所以四边形1AFBF为矩形，所以1AFBF=，设,AFmBFn==，则12AFBFBFBFmna−=−=−

=，∵OAF△的面积为24a，∴ABF△的面积21282OAFABFSSmna===△，且22224mnABc+==，联立三式：22222164mnamnamnc−==+=，得2224432caa=+，∴229ca=，即3e=.故答案为：3.三、解答

题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()(1)xfxaxe=+在点(0,1)处的切线的斜率为2.（1）求a的值；（2）求函数()fx的单调区间和极值.【答案】（1）1a=；（2）当(,

2)x−−时，()fx递减；当(2,)x−+时，()fx递增；极小值为21e−，无极大值.【解析】【分析】（1）求出()fx，利用导数的几何意义，列出方程，求解a即可；（2）利用（1）中结论，求出()fx，令()0fx=，求出x的值，确定函数的单调性，由极值的定

义求解即可．【详解】解：（1）∵()(1)xfxaxe=+，∴()(1)xfxaxae++=∵函数()(1)xfxaxe=+在点(0,1)处的切线的斜率为2，∴(0)2f=∴0(1)2ae+=∴1a=；（2

）由（1）得()(1)xfxxe=+，()(2)xfxxe=+∴令()0fx=即(2)0xxe+=，解得2x=−∴当(,2)x−−时，()0fx，()fx递减；当(2,)x−+时，()0fx，()fx递增.极小值为21(2)fe−=−，无极大值.18.已知F是抛物线(

)2:20Cypxp=的焦点，()()1,0Ptt是抛物线上一点，且2PF=．（1）求抛物线C的方程；（2）斜率为1的且过焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，求△PAB的面积．【答案】（1）24yx=（2）42【解析】【分析】（1）由题可得212p

=+，即可求出p值，即可得到抛物线C的方程；（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出AB，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，最后利用面积公式即可.【小问1详解】由抛物线的定义得212pPF==+，解得2p=，∴24y

x=，即抛物线的标准方程是24yx=.【小问2详解】由题意得，抛物线的焦点为()1,0F，令1x=，解得2t=（负舍），则()1,2P，∴斜率为1的直线l的方程为1yx=−，即10xy−−=，设()11,Axy，()22,Bxy，2246101yxxx

yx=−+==−，26411320=−=，所以126xx+=，121=xx，∴()222121212112426418ABxxxxxx=+−=+−=−=.点P到直线l的距离为121211d−−==+，所以PA

B的面积182422PABS=创=.19.如图，四棱锥SABCD−中，底面ABCD为矩形，平面SAB⊥平面ABCD，2SASB==，E、F分别为AD、SC的中点，且EF⊥平面SBC．（1）求AB；（2）若3ADAB=，求直线EF与平面SCD所成角的正弦值．【答

案】（1）2（2）55【解析】【分析】（1）取SB的中点G，连接AG、FG，即可得到//FGAE且FGAE=，从而得到//AGEF，即可得到AG⊥平面SBC，则AGSB⊥，即可得到SBA是等边三角形，从而得解；（2）取AB的

中点O，连接SO，作//OyCB，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【小问1详解】解：取SB的中点G，连接AG、FG，因为F为SC的中点，所以//FGBC且12FGBC=，又E为AD的中点，底面ABCD是矩形，所以//AEBC且12

AEBC=，所以//FGAE且FGAE=，所以四边形AGFE是平行四边形，所以//AGEF，因为EF⊥平面SBC，所以AG⊥平面SBC，SB平面SBC，所以AGSB⊥，又SBSA=，所以SBA是等边三角形，所以2ABSA==【小问2详解】解：因为平面SAB⊥平面

ABCD，2SBSA==，取AB的中点O，连接SO，作//OyCB，如图建立空间直角坐标系，因为323ADAB==，所以()0,0,3S，()1,23,0C，()1,23,0D−，()1,3,0E−，13,3,2

2F，所以33,0,22EF=，()1,23,3SC=−，()2,0,0CD=−，设平面SCD的法向量为(),,nxyz=，则202330nCDxnSCxyz=−==+−=，令1y=，则()0,1,2n=，设直线E

F与平面SCD所成角为，则35sin535EFnEFn===，即直线EF与平面SCD所成角的正弦值为55；20.2022年2月4日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天

有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在2小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：冰雪运动爱好

者非冰雪运动爱好者合计女性2050男性15合计100（1）将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？（2）将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，

记被抽取的3人中“冰雪运动爱好者”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望()EX和方差()DX．附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．()20PKk0.050.0250.01000

050.0010k3.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）直接完成列联表，套公式求出2K，对着参数下结论；.（2）由题意分析出235XB,，求出对

应的概率，写出分布列，求出数学期望()EX和方差()DX．【小问1详解】由题意进行数据分析，可得列联表如下：冰雪运动爱好者非冰雪运动爱好者合计女性203050男性351550合计5545100所以()()()()()()222100

201530359.0917.87950505545nadbcKabcdacbd−−==++++，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与“冰雪运动爱好者”有关.【小问2详解】由题意可得：23

5XB,，X的所有可能取值为：0，1，2，3.所以()03032327055125PXC===；()12132354155125PXC===；()21232336255125PXC===

；()3033238355125PXC===.所以X的分布列为：X0123P2712554125361258125从而()26355EXnp===，()()2318135525DXnpp=−==21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=

的长轴长等于4，且过点31,2P．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作直线1l，2l与圆()2223:102Exyrr−+=相切且分别交椭圆C于M、N两点．判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22

143xy+=；（2）直线MN的斜率为定值12.【解析】【分析】（1）由题可得2a=，进而可得23b=，即得；（2）由题可知直线1l，2l的斜率存在且互为相反数，设直线1l的方程为()1312ykx−=−，联立椭圆方

程，利用韦达定理法可得()11121812143kkxk−+=+，()11221812143kkxk++=+，进而可得直线MN的斜率，即得.【小问1详解】由题可知24,2aa==，因为椭圆()2222:10xyCabab+=过点

31,2P，∴2231214b+=，解得23b=，∴椭圆C的方程为22143xy+=；【小问2详解】由题可知直线1l，2l的斜率存在，设为12,kk，()()1122,,,MxyNxy，由于直线1l，2l与圆()2223:102Exyrr−+=

相切，故有12kk=−，设直线1l的方程为()1312ykx−=−，由112232143ykxkxy=−++=，可得()()()22211114312832120xkkkxk++−+−−=，∴()

11121812143kkxk−+=+，同理可得，()11221812143kkxk++=+，∴112212443kxxk−−=+，又()11211212112243kyykxxkk−−=+−=+，∴直线MN的斜率为121212yyxx−=−，故直线MN的斜率为定值12.2

2.已知函数()()()2eRxfxxmm=−在()()0,0f处的切线斜率为3−（e为自然对数的底数）．（1）求函数()fx的最值；（2）设()fx为()fx的导函数，函数()()ln3haxxfxx=−+仅有一个零点，求实数a的

取值范围．【答案】（1）()min2efx=−，无最大值；（2）0a或ea=.【解析】分析】（1）由题可得3m=，然后利用导数即得；（2）当0a时，可得适合题意，当0a时，利用导数可求函数()()()0000min1elnxhxhxxax==−−，构造函数()()()21ee

ln0xxxxxxx=−−，进而可得()()10x=，即得.小问1详解】∵()()()2eRxfxxmm=−，∴()()22exfxxxm=+−，由()()00e3fm=−=−，得3m=，∴()()23exfxx=−，∴()()

()()223e13exxfxxxxx=+−=−+，由()0fx¢>，可得3x−或1x，由()0fx，可得31x−，【【∴函数()fx在(),3−−单调递增，在()3,1−上单调递减，在()1,+上单调递增，当

3x−时，()0fx，又()12e0f=−，当3x时，()0fx，且()fx→+，∴()()min12efxf==−，无最大值；【小问2详解】由上可知()()1elnxhxxax=−−，又()10h=，∴()2eexxaxahxxxx−=−=，当0a时，()0hx，函数

()hx单调递增，()10h=，所以满足题意，当0a时，令()()2e0xgxxax=−，函数在()0,+单调递增，又()00ga=−，所以存在()00,x+，使得020exxa=，此时当()00

,xx时，()0hx，函数()hx单调递增，当()0,xx+时，()0hx，函数()hx单调递增，∴()()()0000min1elnxhxhxxax==−−，当0x→时，()hx→+，当x→+时，()hx→+，所以需要()()00001eln0xhxxax=−−

，将020exax=代入，()()()002000001eeln0xxhxxxxx=−−，构造函数()()()21eeln0xxxxxxx=−−，∴()()22elnxxxxx=−+，则()x在()0,1

上单调递增，在()1,+上单调递减，则()()10x=，所以01x=，得到ea=.综上，实数a的取值范围为0a或ea=.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办

法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构

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