【文档说明】四川省内江市资中县第二中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学(理)试题 含解析.docx,共(25)页,3.653 MB,由管理员店铺上传
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资中二中高2024届2022-2023学年下学期开学考试数学(理科)一、选择题1.已知三维数组(2,1,0)a=−,(1,,7)bk=,且ab⊥,则实数k的值为()A.-2B.2C.27D.-9【答案】B
【解析】【分析】根据两个向量垂直可得其数量积为0,然后解方程即可【详解】根据ab⊥,可得:0ab=则有:20k−=解得:2k=故选:B2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.
至少有一个黑球与都是红球B.至少有一个红球与都是红球C.至少有一个红球与至少有1个黑球D.恰有1个红球与恰有2个红球【答案】D【解析】【分析】A.至少有一个黑球与都是红球,是对立关系,因此能判断A不符合要求;B.至少有一个红球包括两球都是红球,二者不互斥
,不符合要求;C.至少有一个红球与至少有1个黑球,含有同时发生的情况,不符合要求;D.恰有1个红球与恰有2个红球,二者符合题目要求.【详解】A.至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生,是互斥关系,任取2个球时,这两个事件又一定会有一个发生,因此二者又是对立事件,不符合题目要求;B.至
少有一个红球包括两球都是红球,因此二者会同时发生,不是互斥关系,不符合要求;C.至少有一个红球与至少有1个黑球,二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况,会有同时发生的可能,不是互斥关系,不符合要求;D.恰有1
个红球与恰有2个红球,二者不会同时发生,是互斥事件,但二者有可能都不会发生,比如取到的两球都是黑球,故二者不是对立事件,符合题目要求.故选:D3.设、是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,且m,n,下列命题正确的是()A.如果
//m,那么//B.如果//,那么//mnC.如果m⊥,那么⊥D.如果⊥,那么m⊥【答案】C【解析】【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系,可判断ABD选项的正误,利用面面垂直的判定定理可判断C
选项的正误.【详解】对于A选项,因为m,n,//m,则、平行或相交,A错;对于B选项,因为m,n,//,则m、n平行或异面,B错;对于C选项,因为m,n,m⊥,由面面垂直的判定定理可知⊥,C对;对于D选项,因为m,n
,⊥,则//m或m或m与相交,D错.故选:C.4.设aR,若直线1:280laxy+−=与直线2:(1)50lxay+++=平行,则a的值为()A.1B.2−C.1或2−D.23−【答案】C【解析】【分析】根据直线的一般
式判断平行的条件进行计算.【详解】10a+=时,容易验证两直线不平行,当10a+时,根据两直线平行的条件可知:28115aa−=+,解得1a=或2a=−.故选:C.5.过点(1,1)P可以向圆222420xyxyk++−+−=引两条切线,则k的
范围是()A.2kB.07kC7k<D.27k【答案】D【解析】.【分析】过点(1,1)P可以向圆222420xyxyk++−+−=引两条切线,即点(1,1)P在圆外,即P到圆心的距离大于圆的半径,则把圆的方程化为
标准方程后,找出圆的圆心和半径,利用两点间的距离公式求出点(1,1)P到圆心的距离,由dr>且70k−,即可求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得()()22127xxk++−=−,即圆心坐标为()1,2-,半径为7rk=−,点
(1,1)P到圆心的距离为()()221+1+125d=−=,∵P在圆外时,过点P可以向圆222420xyxyk++−+−=引两条切线,∴dr>,即57k−,且70k−,解得27k,故选:D.6.如图
所示,在三棱柱111ABCABC-中,ABC是等边三角形,1AA⊥平面ABC,12AAAB==,D,E,F分别是1BB,1AA,11AC的中点,则直线EF与CD所成角的余弦值为()A.12B.22C.12−D.0【答案】D【解析】【分析】方法一:根据异面直线夹角的定义,延长11,ACAC,
使111,CMACCNAC==,连接111,,,,,ACCMDMBMBFMN,分析图形结合余弦定理可求直线EF与CD所成角的余弦值;方法二:将三棱柱补成四棱柱,结合异面直线夹角的定义确定夹角,根据余弦
定理与勾股定理可求得直线EF与CD所成角的余弦值;方法三:根据三棱柱的几何性质,建立空间直角坐标系,按照空间坐标运算求解直线EF与CD所成角的余弦值即可.【详解】解:方法一:延长11,ACAC,使111,CM
ACCNAC==,连接111,,,,,ACCMDMBMBFMN,如图所示.在三棱柱111ABCABC-中,ABC是等边三角形,1AA⊥平面ABC,12AAAB==,易知1////,5,22EFACCMCDCM==,2222222211111331
3DMBDBMBDBFFM=+=++=++=.设直线EF与CD所成角为,易知()22222252213coscos022522DCCMDMDCMDCCM+−+−====,∴直线EF与CD所成角的余弦值为0.故选:D.方法二:如图,将三棱柱补成
四棱柱,其中两个三棱柱全等.取PB中点Q,连接DQ,由棱柱性质易知//EFDQ,∴CDQ为EF与CD所成角或其补角.连接CQ,由题知2,1,1BCBQBD===,∴5,2CDDQ==,又120CBQ=,
∴在CBQ△中由余弦定理可得2222212cos1221272CQBQBCBQBCCBQ=+−=+−−=∴7CQ=在CDQ中,2227CQCDDQ=+=,∴90CDQ=∴直线EF与CD所成角的余弦值为0.故选:D.方法三:如图
,取AC中点为O,连接,OBOF,在三棱柱111ABCABC-中,ABC是等边三角形,1AA⊥平面ABC,12AAAB==,易得FO⊥平面ABC,则,FOOBFOAC⊥⊥,又2ABBC==,O为AC中点,所以OBAC⊥,则以O为原点,以,,OBOCOF为
,,xyz轴建立空间直角坐标系.所以()()()()()0,0,0,0,1,0,3,0,1,0,0,2,0,1,1OCDFE−,则()()0,1,1,31,1EFCD==−,,所以011cos,025EFCDEFCDEFCD−+===
∴直线EF与CD所成角的余弦值为0.故选:D.7.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示:下列说法错误的是()A.从平均数和方差相结合看,甲波动比较大,乙相对比较稳定B.从折线统计图上两人射击命中环数走势看,甲更有潜力C.从平均数和命中9环及9环以上
的次数相结合看,甲成绩较好D.从平均数和中位数相结合看,乙成绩较好【答案】D【解析】【分析】由图找出甲乙打靶的成绩,分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数,结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知,甲打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10
,甲的平均数为24687789910710甲+++++++++==v,甲的方差为()()()()()()()222222222747672772872971075.410甲−+−+−+−+−+−+−==s乙打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7
,乙的平均数为9578768677710乙+++++++++==v,乙的方差为()()()()()22222297572674772871.210乙−+−+−+−+−==s,所以22乙甲ss,
从平均数和方差相结合看,甲波动比较大,乙相对比较稳定,故A正确;从两人射击命中环数折线统计图走势看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈下降趋势,甲更有潜力,故B正确;甲打靶的成绩为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,中位数为7.5,乙打靶的成绩为5,6,6,7
,7,7,7,8,8,9,中位数为7,甲9环及9环以上的次数3次,甲9环及9环以上的次数1次,甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同,故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看,甲成绩较好,故C正确;甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同,甲的中位数7.5大于乙的中位数7,从平均数和中
位数相结合看,甲成绩较好,故D错误.故选:D.8.图1中的机械设备叫做“转子发动机”,其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”,图2是一个曲侧面三棱柱,它的侧棱垂直于底面,底面是“莱洛三角形”,莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心,正三角形的
边长为半径画圆弧得到的,如图3.若曲侧面三棱柱的高为10,底面任意两顶点之间的距离为20,则其侧面积为()A.100πB.600C.200πD.300π【答案】C【解析】【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆
心,正三角形的边长为半径画圆弧得到的,结合已知可得半径为20,由弧长公式求得底面周长,进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20,圆心角为π3的圆弧构成,所以该零件底面周长为π32020π3=,故其侧面积为200π.故选:C.9.已知三棱锥SABC−所有顶点都在球O的球面上,且SA⊥
平面ABC,若1SAABACBC====,则球O的表面积为()A.52B.5C.53D.73【答案】D【解析】【分析】设O为ABC的外接圆的圆心,取SA的中点E,求得ABC的外接圆的半径33r=,且12OA=,得到三棱锥SABC−外接球的
半径,结合球的表面积公式,即可求解.【详解】如图所示,设O为ABC的外接圆的圆心,取SA的中点E,分别连接OO和OE,则OO⊥平面ABC,OE⊥SA,因为SA⊥平面ABC,若1SAABACBC====,可得ABC的外接圆的半径33rOA==
,且12OOAE==,在直角OOA△中,可得22222317()()3212OAOOOA=+=+=,即三棱锥SABC−外接球的半径为2712R=,所以球O的表面积为2743SR==.故选:D.10.若直线ykx=与圆22(2)(1)1xy++−=的两个交点关于直线20
xyb−+=对称,则k,b的值分别为()A.12k=−,5b=B.12k=,3b=−C.12k=−,4b=−D.2k=,5b=【答案】A【解析】【分析】由题意分析得知直线20xyb−+=经过圆心求出b;由直线ykx=与直线20xyb−+=垂直求出k
即可.【详解】因为直线ykx=与圆22(2)(1)1xy++−=的两个交点关于直线20xyb−+=对称,所以直线20xyb−+=经过圆心()21,−,且直线ykx=与直线20xyb−+=垂直,所以()221021−−+==−
bk解得:512==−bk,故选:A.11.已知直线:10lxy−+=,点(),0Aa−、()(),00Baa,若直线l上存在点P满足90APB=,则实数a的取值范围为()A.2,2+B.2,
2+C.()1,+D.)1,+【答案】B【解析】【分析】设点(),Pxy,由勾股定理可得出222xya+=,则直线l与圆222xya+=有公共点,利用点到直线的距离公式可求得实数a的取值范围.【详解】设点()
,Pxy,因为90APB=,则222PAPBAB+=,即()()222224xayxaya+++−+=,整理可得222xya+=,所以,点P既在直线l上,又在圆222xya+=上,所以,直线l与圆222xya+=有公共点,因为0a,且圆222xya+=的
圆心为原点,半径为a,所以,()22111a+−,可得22a,故实数a的取值范围为2,2+.故选:B.12.在正方体1111ABCDABCD−中,P为线段1AB上的动点(不包含端点),若正方体棱长为1,则下
列结论正确的有()①直线1DP与AC所成角的取值范围是ππ,62②存在P点,使得平面1APD∥平面1CBD③三棱锥1DCDP−的体积为16④平面1APD截正方体所得的截面可能是直角三角形A.①③B.②④C.③④D.②③【答案】D
【解析】【分析】①建立平面直角坐标系,利用异面直线所称角的向量坐标法,即可求解;②当点P为中点时,即可判断面面平行;③结合等体积转化11DCDPPCDDVV−−=,即可求解;④讨论点P的位置,作出截面,即可判断.【详解】①如图,连结1,ACDP,以点D为原点,建立
空间直角坐标系,则()1,0,0A,()1,1,0B,()11,0,1A,()0,0,0D,()10,0,1D,()0,1,0C,则有()1,1,0AC=−,设11APAB=,()()()11111,0,00,1,11,,DPDAAB
=+=+−=−,()01,,所以()212211cos,42221ACDP−−+==++,令()()22142f−=+,()0,1,则()()()()()222224211844042
42f+−−−==++,所以()()22142f−=+在()0,1上单调递减,因为()102f=,()10f=,设直线1DP与AC所成角为,所以120coscos,2ACDP=,又π0,2,故直
线1DP与AC所成角的取值范围是ππ,42,故①错误;②当点P为1AB中点时,有1//APCD,AP平面1CBD,1CD平面1CBD,所以//AP平面1CBD,同理,1//AD平面1CBD,且1ADAPA=,1,ADAP平面1APD,所以
平面11//APDCBD,故②正确;③三棱锥1DCDP−的体积11111111113326DCDPPCDDCDDVVSAD−−====,故③正确;④设1AB的中点为O,连结11,,APADDP,当点P在线段OB(不
包括端点)上时,此时平面1APD截正方体所得的截面为梯形1AEFD,如图,当点P在O点时,此时平面1APD截正方体所得的截面为正三角形11ABD,如图,当点P在线段1OA(不包括端点)时,此时平面1APD截正方体所得的截面为等腰三角形1ADG,如图,12AD=,11DGAG=,所以2
2211DGAGAD+,1AGD为锐角,该等腰三角形不可能为直角三角形,的综上,可得④错误.故选:D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况,从编号为01,
02,…,80的80个专卖店销售数据中,采用系统抽样的方法抽取一个样本,若样本中的个体编号依次为03,13,…则样本中的最后一个个体编号是_______.【答案】73【解析】【分析】以系统抽样抽取样本规则解之
即可.【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03,13,…,可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组,被分成了8组.抽出的编号依次为:3,13,23,33,43,53,63,73.则样本中的最后一个个体编号是73.故答案为:7314
.若实数x、y满足约束条件131xyxyx−+,则31zxy=++的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】按照简单的线性规划步骤逐步进行即可.对于可行域为封闭三角形,目标函数为截距型时,可用交点代入法求解.【详解】作出可行域,令Z=0,作直线l0:3
10xy++=,易知,将直线l0平移过点A时Z取得最小值,将A点坐标(1,0)代入目标函数得min4Z=.故答案为:415.如图所示,在棱长为3的正方体1111ABCDABCD−中,E在棱1DD上,12DEED=,F是侧面11CDDC上的动点,且1//BF平面1
ABE,则F在侧面11CDDC上的轨迹的长度为__________.【答案】2【解析】【分析】设H在棱1CC上,且12CHHC=,I在棱11CD上,且112DIIC=,G在棱CD上,且2DGGC=,根据面面平行的判
定定理,可得平面1//ABGE平面1BHI,结合已知中1//BF平面1ABE,可得F落在线段HI上,则答案可求.【详解】解:设H在棱1CC上,且12CHHC=,I在棱11CD上,且112DIIC=,G在棱CD上,且2DGGC=连接1BI,1BH,IH,1CD,EG,BG,则11////
ABCDGE,所以1A,B,E,G四点共面,由11//BHAE,1AE平面1BHI,1BH平面1BHI,所以1//AE平面1BHI,同理1//AB平面1BHI,又111ABAEA=,11,ABAE平面1ABGE,所以平面1//ABG
E平面1BHI,又因为1//BF平面1ABE,所以F落在线段HI上,因为正方体1111ABCDABCD−的棱长为3,所以1132233HICD===,即F在侧面11CDDC上的轨迹的长度是2.故答案为:2.16.若,AB是圆()()()22:240Cxymm−+−=上两点,
且23AB=,若存在Ra,使得直线1:0laxy−=与2:240lxaya++−=的交点P恰为AB的中点,则实数m的取值范围为______.【答案】52,5−【解析】【分析】由直线与圆相交以及弦长23AB=,可得M点的轨迹方程
,又直线1:0laxy−=与2:240lxaya++−=相交,可得交点P的轨迹方程,由已知可得圆M与圆P有公共点,根据圆与圆的位置关系列出不等式,解出实数m的取值范围.【详解】圆()()()22:240Cxymm−+−=的半径2r=,M为AB
的中点,且22223ABrMC=−=,解得1MC=,M点的轨迹方程为()()()22210xymm−+−=,又直线1:0laxy−=过定点()0,0Q,2:240lxaya++−=即()420xay−++=过定点()4,2S−,且12ll⊥,则P点是两垂线的交
点,所以P点在以QS为直径的圆上,圆心为()2,1-,半径为11164522QS=+=,P的轨迹方程为()()22215xy−++=,由于1l的斜率存在,所以点P的轨迹要去掉点()0,2−,由已知可得:圆M与圆P有公共点,5151MP−+,即51151m−
++,又0m,所以51151m−++,解得525m−,故答案为:52,5−三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线()():231370laxaya+−−++=,Ra.(1)证明直线
l过定点A,并求出点A的坐标;(2)在(1)的条件下,若直线l过点A,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12,求直线l的方程.【答案】(1)定点A的坐标为()2,1−−(2)12yx=或122yx=−−【解析】【分析】(1)整理方程
为()23370xyaxy−++++=,然后解方程组230370xyxy−+=++=可得答案;(2)设出直线方程,求出截距,利用截距之间的关系列方程求解.【小问1详解】直线()():231370laxaya+−−++=可化为()23
370xyaxy−++++=,则230370xyxy−+=++=,解得21xy=−=−,直线l过定点,且定点A的坐标为()2,1−−;【小问2详解】直线l过点()2,1−−,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12,则当直线
l过坐标原点时,符合题意,此时直线方程为12yx=,即20xy−=;当直线l的横纵截距均不为零时,设直线l的方程为112xyaa+=,代入点()2,1−−,得21112aa−−+=,解得4a=−,此时直线l的方程为142xy+=−−,即240xy++=
,综上,直线l的方程为20xy−=或240xy++=.18.某小型企业甲产品生产的投入成本x(单位:万元)与产品销售收入y(单位:万元)存在较好的线性关系,下表记录了最近5次该产品的相关数据.x(万元)357911y(万元)810131722(1)求y关于x的线性回归方程;(2)根据
(1)中的回归方程,判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大(毛利率=−收入成本收入100%)?相关公式:()()()1122211ˆ=nniiiiiinniiiixxyyxynxyb
xxxnx====−−−=−−,ˆˆaybx=−.【答案】(1)ˆ1.751.75yx=+;(2)12万元的毛利率更大【解析】【分析】(1)根据题意代入数值分别算出ˆb与ˆa即可得解;(2)分别把12x=与15x=代入线性回
归方程算出ˆy再算出毛利率即可得解.【详解】(1)由题意7x=,14y=.()()()()()()()()5137814571014771314iiixxyy=−−=−−+−−+−−()()97171
4+−−()117+−()221470−=,()()()()()()522222213757779711740iixx=−=−+−−+−+−=+,()()()51521ˆ1.75iiiiixxyybxx==−−==−,ˆ1471.751.75a=−=故y关于x的线性回归方程为ˆ
1.751.75yx=+.(2)当12x=时,ˆ22.75y=,对应的毛利率为22.7512100%47.3%22.75−,当15x=时,ˆ28y=,对应毛利率为2815100%46.4%28−,故投入成本12万元的毛利率更大.
【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用,考查了计算能力,属于基础题.19.如图,在四棱锥PABCD−中,PC⊥底面,ABCDABCD是直角梯形,,//ADDCABDC⊥,222ABADCD===,点E在线段PB上且12PEEB=
.(1)证明直线//PD平面AEC;(2)证明直线BC⊥平面PAC【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)作辅助线,即连接BD交AC于点O,连接OE,利用△DOC∽△BOA及12PEEB=
,证明//PDOE,利用线面平行的判定定理证明即可;(2)通过计算证明ACBC⊥,由PC⊥平面ABCD得到PCBC⊥,利用线面垂直的判定定理证明即可.【小问1详解】证明:连接BD交AC于点O,连接OE∵//ABDC,2ABCD=,的.,∴△DOC∽△BOA,即12DO
DCOBAB==,又∵12PEEB=,∴12DOPEOBEB==∴//PDOE又∵OEAEC面、PDAEC面∴//PDAEC面【小问2详解】∵PC⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴PCBC⊥,又∵2,1,ABADCDADDC===⊥,且ABCD是直角梯形,∴2ACBC==,即222ACBC
AB+=,∴ACBC⊥,又∵PCACC=,且,PCAC平面PAC,∴BC⊥平面PAC.20.某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后,从中抽取了部分选手的成绩(百分制)作为样本进行统计,作出了茎叶图和频率分布直方图
均受到不同程度的破坏,但可见部分信息如下,据此解答如下问题:(1)求样本容量n、抽取样本成绩的中位数及分数在)80,90内的人数;(2)若从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人进行调研谈话,求至少有一人分数在[50,60)内的概率.【答案】(1)25n=,
中位数为73,4人(2)35【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量,各个组的频率之和为1,根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置;(2)总的事件总数是从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人,待求的是至少有一人分数在[50,6
0)内,则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在[50,60)内的基本事件个数即可,然后根据概率的定义求出即可.【小问1详解】分数在)50,60内的频数为2,由频率分布直方图可以看出,分数在90,100内同样有2人.由2100.008n=解得:25n=根据茎叶图可知:抽测成绩的
中位数为73分数在[80,90)之间的人数为:()25271024−+++=综上可得:样本容量25n=,中位数为73,分数在[80,90)内的人数为4人【小问2详解】设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话,至少有一人分数在
[50,60)内”为事件M.将[80,90)内的4人编号为abcd,,,;[50,60)内的2人编号为,AB则在[50,60)和[80,90)内的任取两人的基本事件为:,,,,,,,,,,,,,,abacadaAaBbcbdbAbBcdcAcBdAdBAB,共
15个其中,至少有一人分数在[50,60)内的基本事件:,,,,,,,,aAaBbAbBcAcBdAdBAB,共9个.故所求的概率得:93M=155P=()21.如图,直三棱柱111ABCABC-的体积为4,1ABC的面积为22.(1)求A到平面1ABC
的距离;(2)设D为1AC的中点,1AAAB=,平面1ABC⊥平面11ABBA,求二面角1AACB−−的大小.【答案】(1)2(2)π3【解析】【分析】(1)由等体积法运算即可得解;(2)由面面垂直的性质及判定可得
BC⊥平面11ABBA,建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱111ABCABC-中,设点A到平面1ABC的距离为h,则111111112211433333AABCAAABCAABCABBCCCBVShhVSAAV−−−======,解得2h=
,所以点A到平面1ABC的距离为2;【小问2详解】取1AB的中点E,连接AE,如图,因为1AAAB=,所以1AEAB⊥,又平面1ABC⊥平面11ABBA,平面1ABC平面111ABBAAB=,且AE平面11ABBA,所以⊥AE平面1ABC,在直三棱柱111ABCABC-中
,1BB⊥平面ABC,由BC平面1ABC,BC平面ABC可得AEBC⊥,1BBBC⊥,又1,AEBB平面11ABBA且相交,所以BC⊥平面11ABBA,所以1,,BCBABB两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图,
由(1)得2AE=,所以12AAAB==,122AB=,所以2BC=,则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0AABC,则1AB的中点()0,1,1E,所以()0,1,1AE=−,()10,0,2AA=,()2
,2,0AC=−,设平面1AAC的法向量为(),,nxyz=,则120220nAAznACxy===−=,解得0xyz==,取1xy==,则平面1AAC的一个法向量为()1,1,0n=r,由⊥AE平面1ABC可知,AE为平面1ABC的一个法向量
,设二面角1AACB−−为,则11coscos,222nAEnAEnAE====,且观察图可知,二面角1AACB−−为锐二面角,所以1cos2=,则π3=,所以二面角1AACB−−的大小为π3.22.已知点()0,2P,设直线l
:y=kx+b(b,Rk)与圆22:4Cxy+=相交于异于点P的A,B两点.(1)若PAPB⊥,求b的值;(2)若||23AB=,且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为233,求直线l的斜率k的值;(3)当||||4PAPB=时,是否存在一定
圆M,使得直线l与圆M相切?若存在,求出该圆的标准方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)0(2)3k=或33k=(3)存在,定圆22:(2)1Mxy+−=.【解析】【分析】(1)根据PAPB⊥可知直线l过圆224xy+=的圆心(0,0),可得0b=;
(2)由||23AB=得原点(0,0)O到直线l的距离为1,得221bk=+,再根据面积得243||3bk=,联立消去2b可得k的值;(3)联立直线与圆224xy+=,化为关于x的一元二次方程,设11(,)Axy,22(,)Bxy,根据韦达定理可得12yy+和12yy,利用12yy+和12y
y,将||||4PAPB=化为2243kbb=−+,利用2243kbb=−+求出点(0,2)P到直线ykxb=+的距离为1,由此可得结果.【小问1详解】因为PAPB⊥,又(0,2)P在圆224xy+=上,所以直线l过圆224xy+=的圆心(0,0),所以0b=.【小问2详解】因为||
23AB=,圆224xy+=的半径为2,所以圆心(0,0)到直线l的距离24(3)1d=−=,由点到直线的距离公式可得2||11bdk==+,得221bk=+,当0k=时,直线l与坐标轴不能围成三角形,故0k,在ykxb=+中,令0x=,得yb=;令0y=,得bxk=−,
所以123||||23bbk−=,得243||3bk=,所以2431||3kk+=,解得||3k=或3||3k=,所以3k=或33k=.【小问3详解】联立224xyykxb+==+,消去y并整理得222(
1)240kxkbxb+++−=,222244(1)(4)0kbkb=−+−,即2244bk+,设11(,)Axy,22(,)Bxy,则12221kbxxk+=−+,212241bxxk−=+,所以2121222()221kbyykxxbbk+=++=−++221
bk=+,2212121212()()()yykxbkxbkxxkbxxb=++=+++2222222(4)211kbkbbkk−=−+++22241bkk−=+,所以||||PAPB22221122(2)(2)4xyxy=+−+−=,所以22
2211224(2)4(2)16yyyy−+−−+−=,所以12(84)(84)16yy−−=,所以12(2)(2)1yy−−=,所以12122()30yyyy−++=,所以2222443011bkbkk−−+=++,即2243kbb
=−+,所以点(0,2)P到直线ykxb=+的距离为2|2|1bk−++2|2|431bbb−=−++2|2|1(2)bb−==−,所以直线ykxb=+与以(0,2)P为圆心,1为半径的圆相切,所以存在一个定圆22:(2)1Mxy+−=,使得直线l与圆22:(2)1Mx
y+−=相切.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com