【文档说明】四川省内江市资中县第二中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学（理）试题 含解析.docx，共(25)页，3.653 MB，由小赞的店铺上传

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资中二中高2024届2022-2023学年下学期开学考试数学（理科）一、选择题1.已知三维数组(2,1,0)a=−，(1,,7)bk=，且ab⊥，则实数k的值为（）A.-2B.2C.27D.-9【答案】B【解析】【分析】根据两个向量垂直可得其数量积为0，然后解方程

即可【详解】根据ab⊥，可得：0ab=则有：20k−=解得：2k=故选：B2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个黑球与都是红球B.至少有一个红球与都是红球C.至少

有一个红球与至少有1个黑球D.恰有1个红球与恰有2个红球【答案】D【解析】【分析】A.至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A不符合要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，含

有同时发生的情况，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.【详解】A.至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；B.至少有一个红球包括两球都是

红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同

时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.故选：D3.设、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，且m，n，下列命题正确的是（）A.如果//m，那么//B.如果//，那么//mnC.如果m⊥，那么⊥D.如果

⊥，那么m⊥【答案】C【解析】【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系，可判断ABD选项的正误，利用面面垂直的判定定理可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，因为m，n，//m，则、平行或相交，A错；对于B选项，因为m，n，//，则m、n平行或异面

，B错；对于C选项，因为m，n，m⊥，由面面垂直的判定定理可知⊥，C对；对于D选项，因为m，n，⊥，则//m或m或m与相交，D错.故选：C.4.设aR，若直线1:280laxy+−=与直线2:(1)50lx

ay+++=平行，则a的值为（）A.1B.2−C.1或2−D.23−【答案】C【解析】【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】10a+=时，容易验证两直线不平行，当10a+时，根据两直线平行的条件可知：2

8115aa−=+，解得1a=或2a=−.故选：C.5.过点(1,1)P可以向圆222420xyxyk++−+−=引两条切线，则k的范围是（）A.2kB.07kC7k<D.27k【答案】D【解析】.【分析】过点(1,

1)P可以向圆222420xyxyk++−+−=引两条切线，即点(1,1)P在圆外，即P到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点(1,1)P到圆心的距离

，由dr>且70k−，即可求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得()()22127xxk++−=−，即圆心坐标为()1,2-，半径为7rk=−，点(1,1)P到圆心的距离为()()221+1+125d=−=，∵P在圆外时，过点P可以向圆222420x

yxyk++−+−=引两条切线，∴dr>，即57k−,且70k−，解得27k，故选：D.6.如图所示，在三棱柱111ABCABC-中，ABC是等边三角形，1AA⊥平面ABC，12AAAB==，D，E，F分别是1BB，1AA，11AC的中点，则直线EF与CD所成角的余弦值

为（）A.12B.22C.12−D.0【答案】D【解析】【分析】方法一：根据异面直线夹角的定义，延长11,ACAC，使111,CMACCNAC==，连接111,,,,,ACCMDMBMBFMN，分析图形结合余弦定理可求直线EF与CD所成角的

余弦值；方法二：将三棱柱补成四棱柱，结合异面直线夹角的定义确定夹角，根据余弦定理与勾股定理可求得直线EF与CD所成角的余弦值；方法三：根据三棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，按照空间坐标运算求解直线EF与CD所成角的余弦值即可.【详解】解：方法一：延长11,ACAC，使111

,CMACCNAC==，连接111,,,,,ACCMDMBMBFMN，如图所示．在三棱柱111ABCABC-中，ABC是等边三角形，1AA⊥平面ABC，12AAAB==，易知1////,5,22EFACCMCDCM==，22222222111113313DMBDBMBDBF

FM=+=++=++=．设直线EF与CD所成角为，易知()22222252213coscos022522DCCMDMDCMDCCM+−+−====，∴直线EF与CD所成角的余弦值为0．故选：D．方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全

等．取PB中点Q，连接DQ，由棱柱性质易知//EFDQ，∴CDQ为EF与CD所成角或其补角．连接CQ，由题知2,1,1BCBQBD===，∴5,2CDDQ==，又120CBQ=，∴在CBQ△中由余弦定理可得2222212cos1221272CQBQBCBQBCCBQ=

+−=+−−=∴7CQ=在CDQ中，2227CQCDDQ=+=，∴90CDQ=∴直线EF与CD所成角的余弦值为0．故选：D．方法三：如图，取AC中点为O，连接,OBOF，在三棱柱111ABCABC-中，ABC是等边三角形，1AA⊥平面ABC，12AAAB==，易

得FO⊥平面ABC，则,FOOBFOAC⊥⊥，又2ABBC==，O为AC中点，所以OBAC⊥，则以O为原点，以,,OBOCOF为,,xyz轴建立空间直角坐标系．所以()()()()()0,0,0,0,1,0,3,0,1,0,0,2,0,1,1OCDFE−，则()

()0,1,1,31,1EFCD==−，，所以011cos,025EFCDEFCDEFCD−+===∴直线EF与CD所成角的余弦值为0．故选：D．7.甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（）A.从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较

稳定B.从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C.从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D.从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好【答案】D【解析】【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中

位数，结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为24687789910710甲+++++++++==v，甲的方差为()()()()()()()22222222

2747672772872971075.410甲−+−+−+−+−+−+−==s乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为9578768677710乙+++++++++==v，

乙的方差为()()()()()22222297572674772871.210乙−+−+−+−+−==s，所以22乙甲ss，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A正确；从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半

部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B正确；甲打靶的成绩为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次

，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D错误.故选：D.8.图

1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点

之间的距离为20，则其侧面积为（）A.100πB.600C.200πD.300π【答案】C【解析】【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求

得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为π32020π3=，故其侧面积为200π．故选：C.9.已知三棱锥SABC−所有顶点都在球O的球面上，且SA⊥平面ABC，若1SAABACBC====，则球O的表面积为（

）A.52B.5C.53D.73【答案】D【解析】【分析】设O为ABC的外接圆的圆心，取SA的中点E，求得ABC的外接圆的半径33r=，且12OA=，得到三棱锥SABC−外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设O为ABC的外接圆的圆心，取SA的中点

E，分别连接OO和OE，则OO⊥平面ABC，OE⊥SA，因为SA⊥平面ABC，若1SAABACBC====，可得ABC的外接圆的半径33rOA==，且12OOAE==，在直角OOA△中，可得22222317()()3212OAOOOA=+=+=，即三棱锥SAB

C−外接球的半径为2712R=，所以球O的表面积为2743SR==.故选：D.10.若直线ykx=与圆22(2)(1)1xy++−=的两个交点关于直线20xyb−+=对称，则k，b的值分别为（）A.12k=−，5b=B.12k=

，3b=−C.12k=−，4b=−D.2k=，5b=【答案】A【解析】【分析】由题意分析得知直线20xyb−+=经过圆心求出b；由直线ykx=与直线20xyb−+=垂直求出k即可.【详解】因为直线ykx=与圆

22(2)(1)1xy++−=的两个交点关于直线20xyb−+=对称，所以直线20xyb−+=经过圆心()21，−，且直线ykx=与直线20xyb−+=垂直，所以()221021−−+==−bk解得：512==−bk，故选：A.11.已知直线:10l

xy−+=，点(),0Aa−、()(),00Baa，若直线l上存在点P满足90APB=，则实数a的取值范围为（）A.2,2+B.2,2+C.()1,+D.)1,+【答案】B【解析】【分析】设点(),

Pxy，由勾股定理可得出222xya+=，则直线l与圆222xya+=有公共点，利用点到直线的距离公式可求得实数a的取值范围.【详解】设点(),Pxy，因为90APB=，则222PAPBAB+=，即

()()222224xayxaya+++−+=，整理可得222xya+=，所以，点P既在直线l上，又在圆222xya+=上，所以，直线l与圆222xya+=有公共点，因为0a，且圆222xya+=的圆心为原点，半径为a

，所以，()22111a+−，可得22a，故实数a的取值范围为2,2+.故选：B.12.在正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1AB上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（）①直线1DP与AC所成角的取值范围是ππ,62

②存在P点，使得平面1APD∥平面1CBD③三棱锥1DCDP−的体积为16④平面1APD截正方体所得的截面可能是直角三角形A.①③B.②④C.③④D.②③【答案】D【解析】【分析】①建立平面直角坐

标系，利用异面直线所称角的向量坐标法，即可求解；②当点P为中点时，即可判断面面平行；③结合等体积转化11DCDPPCDDVV−−=，即可求解；④讨论点P的位置，作出截面，即可判断.【详解】①如图，连结1

,ACDP，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A，()1,1,0B，()11,0,1A，()0,0,0D，()10,0,1D，()0,1,0C，则有()1,1,0AC=−，设11APAB=，()()()11111,0,00,

1,11,,DPDAAB=+=+−=−，()01，，所以()212211cos,42221ACDP−−+==++，令()()22142f−=+，()0,1，则()()()()()22222421184404242f+−−−==++

，所以()()22142f−=+在()0,1上单调递减，因为()102f=，()10f=，设直线1DP与AC所成角为，所以120coscos,2ACDP=，又π0,2,故直线1DP与AC

所成角的取值范围是ππ,42，故①错误；②当点P为1AB中点时，有1//APCD，AP平面1CBD，1CD平面1CBD，所以//AP平面1CBD，同理，1//AD平面1CBD，且1ADAPA=，1,ADAP平面1APD，所以平面11/

/APDCBD，故②正确；③三棱锥1DCDP−的体积11111111113326DCDPPCDDCDDVVSAD−−====，故③正确；④设1AB的中点为O，连结11,,APADDP，当点P在线段OB（不包括端

点）上时，此时平面1APD截正方体所得的截面为梯形1AEFD，如图，当点P在O点时，此时平面1APD截正方体所得的截面为正三角形11ABD,如图，当点P在线段1OA（不包括端点）时，此时平面1APD截正方体所得的截面为等腰三角形1AD

G，如图，12AD=，11DGAG=，所以22211DGAGAD+，1AGD为锐角，该等腰三角形不可能为直角三角形，的综上，可得④错误.故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为0

1，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.【答案】73【解析】【分析】以系统抽样抽取样本

规则解之即可.【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.则样

本中的最后一个个体编号是73.故答案为：7314.若实数x、y满足约束条件131xyxyx−+，则31zxy=++的最小值是______．【答案】４【解析】【分析】按照简单的线性规划步骤逐步进行即可.对于

可行域为封闭三角形，目标函数为截距型时，可用交点代入法求解.【详解】作出可行域，令Z=0，作直线l0：310xy++=，易知，将直线l0平移过点A时Z取得最小值，将A点坐标(1,0)代入目标函数得min4Z=.故答案为：415.如图所示，在棱长为3的正方体1111AB

CDABCD−中，E在棱1DD上，12DEED=，F是侧面11CDDC上的动点，且1//BF平面1ABE，则F在侧面11CDDC上的轨迹的长度为__________．【答案】2【解析】【分析】设H在棱1CC上，且12CHHC=，I在棱11CD上，且112DIIC=，G

在棱CD上，且2DGGC=，根据面面平行的判定定理，可得平面1//ABGE平面1BHI，结合已知中1//BF平面1ABE，可得F落在线段HI上，则答案可求.【详解】解：设H在棱1CC上，且12CHHC=，I在棱11CD上，且112DIIC=，G在棱CD上，且2DGGC

=连接1BI，1BH，IH，1CD，EG，BG，则11////ABCDGE，所以1A，B，E，G四点共面，由11//BHAE，1AE平面1BHI，1BH平面1BHI，所以1//AE平面1BHI，同理1//AB平面1BHI，又111ABAEA=，11,ABAE平面1ABGE，所以平面1/

/ABGE平面1BHI，又因为1//BF平面1ABE，所以F落在线段HI上，因为正方体1111ABCDABCD−的棱长为3，所以1132233HICD===，即F在侧面11CDDC上的轨迹的长度是2．故答案为：2.16.若,AB是圆()()()22:240C

xymm−+−=上两点，且23AB=，若存在Ra，使得直线1:0laxy−=与2:240lxaya++−=的交点P恰为AB的中点，则实数m的取值范围为______.【答案】52,5−【解析】【

分析】由直线与圆相交以及弦长23AB=，可得M点的轨迹方程，又直线1:0laxy−=与2:240lxaya++−=相交，可得交点P的轨迹方程，由已知可得圆M与圆P有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数m的取值范围．【详解】圆()()()22:240Cxymm−+−=的半径2

r=，M为AB的中点，且22223ABrMC=−=，解得1MC=，M点的轨迹方程为()()()22210xymm−+−=，又直线1:0laxy−=过定点()0,0Q，2:240lxaya++−=即()420xay−++=过定点()4

,2S−，且12ll⊥，则P点是两垂线的交点，所以P点在以QS为直径的圆上，圆心为()2,1-，半径为11164522QS=+=，P的轨迹方程为()()22215xy−++=，由于1l的斜率存在，所以点P的轨迹要去掉点()0,2−，由已知可得：圆M与圆P有公共点，5

151MP−+，即51151m−++，又0m，所以51151m−++，解得525m−，故答案为：52,5−三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线()():231370laxaya+−−++=，Ra.（1）证明直线

l过定点A，并求出点A的坐标；（2）在（1）的条件下，若直线l过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12，求直线l的方程.【答案】（1）定点A的坐标为()2,1−−（2）12yx=或122yx=−−【解析】【

分析】（1）整理方程为()23370xyaxy−++++=，然后解方程组230370xyxy−+=++=可得答案；（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.【小问1详解】直线()():231370laxaya+−−++=可化为()23370xyaxy−+

+++=，则230370xyxy−+=++=，解得21xy=−=−，直线l过定点，且定点A的坐标为()2,1−−；【小问2详解】直线l过点()2,1−−，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12，则当直线l过坐标原

点时，符合题意，此时直线方程为12yx=，即20xy−=；当直线l的横纵截距均不为零时，设直线l的方程为112xyaa+=，代入点()2,1−−，得21112aa−−+=，解得4a=−，此时直线l的方程为142xy+=−−，即240xy++=，综上，直线l的方程为20

xy−=或240xy++=.18.某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.x（万元）357911y（万元）810131722（1）求y关于x的线性回

归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率=−收入成本收入100%）？相关公式：()()()1122211ˆ=nniiiiiinniiiixxyyx

ynxybxxxnx====−−−=−−，ˆˆaybx=−.【答案】（1）ˆ1.751.75yx=+；（2）12万元的毛利率更大【解析】【分析】（1）根据题意代入数值分别算出ˆb与ˆa即可得解；（2）分别把12x=与15x=代入线性回归方程算出ˆy再算出毛利率即可得解.

【详解】（1）由题意7x=，14y=.()()()()()()()()5137814571014771314iiixxyy=−−=−−+−−+−−()()971714+−−()117+−()221470−=，()()()(

)()()522222213757779711740iixx=−=−+−−+−+−=+，()()()51521ˆ1.75iiiiixxyybxx==−−==−，ˆ1471.751.75a=−=故y关于x的线性回归方程为ˆ1.751.75yx=+.（2）当12x=时，ˆ22

.75y=，对应的毛利率为22.7512100%47.3%22.75−，当15x=时，ˆ28y=，对应毛利率为2815100%46.4%28−，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线

性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PC⊥底面,ABCDABCD是直角梯形，,//ADDCABDC⊥，222ABADCD===，点E在线段PB上且12PEEB=.（1）证明直线//PD平面AEC;（

2）证明直线BC⊥平面PAC【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）作辅助线，即连接BD交AC于点O，连接OE,利用△DOC∽△BOA及12PEEB=，证明//PDOE，利用线面

平行的判定定理证明即可；（2）通过计算证明ACBC⊥，由PC⊥平面ABCD得到PCBC⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.【小问1详解】证明：连接BD交AC于点O，连接OE∵//ABDC，2ABCD=,的.,∴△DOC∽△BOA,即12DODCOBAB==，又∵12PEEB=，∴

12DOPEOBEB==∴//PDOE又∵OEAEC面、PDAEC面∴//PDAEC面【小问2详解】∵PC⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PCBC⊥，又∵2,1,ABADCDADDC===⊥，且ABCD是直角梯形，∴2ACBC==，即222ACBCAB+=，∴A

CBC⊥，又∵PCACC=，且,PCAC平面PAC，∴BC⊥平面PAC.20.某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（1）求样本容量n、

抽取样本成绩的中位数及分数在)80,90内的人数；（2）若从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在[50,60)内的概率．【答案】（1）25n=，中位数为73，4人（2）35【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可知组

的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为1，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；（2）总的事件总数是从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人，待求的是至少有一人分数在[50,6

0)内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在[50,60)内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.【小问1详解】分数在)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在90,100内同样有2人.由2100.008n=解得：25n=根据茎叶图可知：抽测

成绩的中位数为73分数在[80,90)之间的人数为：()25271024−+++=综上可得：样本容量25n=，中位数为73，分数在[80,90)内的人数为4人【小问2详解】设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在[50,60)内”为事件

M.将[80,90)内的4人编号为abcd,,,；[50,60)内的2人编号为,AB则在[50,60)和[80,90)内的任取两人的基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,abacadaAaBbcbdbAbBcdcAcBdAdBAB

，共15个其中，至少有一人分数在[50,60)内的基本事件：,,,,,,,,aAaBbAbBcAcBdAdBAB，共9个.故所求的概率得：93M=155P=()21.如图，直三棱柱111ABCABC-的体积为4，1ABC的面积为22.（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D

为1AC的中点，1AAAB=，平面1ABC⊥平面11ABBA，求二面角1AACB−−的大小.【答案】（1）2（2）π3【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC⊥平面11ABBA，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在

直三棱柱111ABCABC-中，设点A到平面1ABC的距离为h，则111111112211433333AABCAAABCAABCABBCCCBVShhVSAAV−−−======，解得2h=，所以点A到平面1ABC

的距离为2；【小问2详解】取1AB的中点E,连接AE，如图，因为1AAAB=，所以1AEAB⊥,又平面1ABC⊥平面11ABBA，平面1ABC平面111ABBAAB=，且AE平面11ABBA，所以⊥A

E平面1ABC，在直三棱柱111ABCABC-中，1BB⊥平面ABC，由BC平面1ABC，BC平面ABC可得AEBC⊥，1BBBC⊥，又1,AEBB平面11ABBA且相交，所以BC⊥平面11ABBA，所以1,,BCBABB两两垂直，以B为原点，建立空间

直角坐标系，如图，由（1）得2AE=，所以12AAAB==，122AB=，所以2BC=，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0AABC，则1AB的中点()0,1,1E，所以()0,1,1AE=−,()10,0,2AA=，()

2,2,0AC=−，设平面1AAC的法向量为(),,nxyz=，则120220nAAznACxy===−=，解得0xyz==，取1xy==，则平面1AAC的一个法向量为()1,1,0n=r，由⊥AE平面1ABC可知，AE为平面1A

BC的一个法向量，设二面角1AACB−−为，则11coscos,222nAEnAEnAE====，且观察图可知，二面角1AACB−−为锐二面角，所以1cos2=，则π3=，所以二面角1AACB−−的大小为π3.22.已知点()0,2P，设直线l：y=kx+b（b，Rk）与圆2

2:4Cxy+=相交于异于点P的A，B两点.（1）若PAPB⊥，求b的值；（2）若||23AB=，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l的斜率k的值；（3）当||||4PAPB=时，是否存在一定圆M，使得直线

l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）0（2）3k=或33k=（3）存在，定圆22:(2)1Mxy+−=.【解析】【分析】（1）根据PAPB⊥可知直线l过圆224xy+=的圆心

(0,0)，可得0b=；（2）由||23AB=得原点(0,0)O到直线l的距离为1，得221bk=+，再根据面积得243||3bk=，联立消去2b可得k的值；（3）联立直线与圆224xy+=，化为关于x的一元二次方程，设11(,)Ax

y，22(,)Bxy，根据韦达定理可得12yy+和12yy，利用12yy+和12yy，将||||4PAPB=化为2243kbb=−+，利用2243kbb=−+求出点(0,2)P到直线ykxb=+的距离为1，由此可

得结果.【小问1详解】因为PAPB⊥，又(0,2)P在圆224xy+=上，所以直线l过圆224xy+=的圆心(0,0)，所以0b=.【小问2详解】因为||23AB=，圆224xy+=的半径为2，所以圆心(0,0)到直线l的距离24(3)1d=−=，

由点到直线的距离公式可得2||11bdk==+，得221bk=+，当0k=时，直线l与坐标轴不能围成三角形，故0k，在ykxb=+中，令0x=，得yb=；令0y=，得bxk=−，所以123||||23bbk−=，得243||3bk=，所以2431||3kk+=，解得||3

k=或3||3k=，所以3k=或33k=.【小问3详解】联立224xyykxb+==+，消去y并整理得222(1)240kxkbxb+++−=，222244(1)(4)0kbkb=−+−，即2244bk+，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则12221kbxxk+=−+，212

241bxxk−=+，所以2121222()221kbyykxxbbk+=++=−++221bk=+，2212121212()()()yykxbkxbkxxkbxxb=++=+++2222222(4)211kbkbbkk−=−+++22241bkk−=+，

所以||||PAPB22221122(2)(2)4xyxy=+−+−=，所以222211224(2)4(2)16yyyy−+−−+−=，所以12(84)(84)16yy−−=，所以12

(2)(2)1yy−−=，所以12122()30yyyy−++=，所以2222443011bkbkk−−+=++，即2243kbb=−+，所以点(0,2)P到直线ykxb=+的距离为2|2|1bk−++2|2|431bbb−=−++2|2|1(2)bb−==−，所以直线ykxb=+

与以(0,2)P为圆心，1为半径的圆相切，所以存在一个定圆22:(2)1Mxy+−=，使得直线l与圆22:(2)1Mxy+−=相切.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com