【文档说明】湖南省长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高一上学期第一次学情检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，820.055 KB，由小赞的店铺上传

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2024—2025—1学期麓山国际高一第一次学情检测试卷数学出题人：蔡大勇审题人：喻淼时量：120分钟满分：150分第I卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合Axyx==，11Bxyx

==−，则AB=（）A.0xxB.1xxC.01xxD.0xx且1x【答案】D【解析】【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得A、B集合，结合交集定义即可得解.【详解】由Axyx==，可得0Axx=，11Bxyx==

−，则1Bxx=，故0ABxx=且1x.故选：D.2.下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（）A.()2fxx=，()24gxx=B.()2fxx=，()()2gxx=C.()221fxxx=++，()21gxx=+D.()11fxxx=+

−，()21gxx=−【答案】A【解析】【分析】先检验两函数定义域，再检验解析式，根据同一函数的概念，分析即可得答案.【详解】对于A，()2fxx=的定义域为R，()242gxxx==，定义域为R，定义域和解析式都同，是同一个函数

，故A正确；对于B，()2fxxx==，定义域为R，()()2gxx=的定义域为)0,+，定义域和解析式都不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，()()22211fxxxx=++=+，()21gxx=+，解析式不同，不是同一个函数，故C错误；对于D，由1010xx+−

解得1x，故()11fxxx=+−的定义域为)1,+，由210x−解得1x−或1x，故()21gxx=−的定义域为(),11,−−+，定义域不同，不是同一个函数，故D错误.故选

：A3.已知,Rxy，则使xy成立的充分条件为（）A.11xy+B.111yx−C.()221xy+D.()331xy−【答案】D【解析】【分析】根据充分条件的概念，结合不等式的性质或举出反例，逐项判断即可.【详

解】选项A：当10y+时，由11xy+得1xy+，此时xy，当10y+时，由11xy+得1xy+，不一定有xy，所以11xy+不是xy成立充分条件；选项B：当0y，10x−时，满足111yx−，此时不一定有xy，所以1

11yx−不是xy成立的充分条件；选项C：由()221xy+可得1xy+，当0x，10y+，且1xy−+时满足()221xy+，此时不一定有xy，所以()221xy+不是xy成立的充分条件；选项D：由()331xy−可得1

xy−，即1xy+，此时xy，所以()331xy−是xy成立的充分条件；的故选：D4.设集合22Axaxa=+，3Bxx=−或𝑥>5}，若AB=，则实数a的取值范围为（）A3,2−+B.3,2−+C.3,2−−

D.3,2−−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解.【详解】因集合22Axaxa=+，若A=，有22aa+，解得2a，此时AB=，于是得2a，若A，因3Bxx=−或𝑥>5}，则由AB=得：222325aaa

a+−+，解得：322a−，综上得：32a−，所以实数a的取值范围为3,2−+.故选：A5.关于x的不等式20axbxc++的解集为23xxx或，则下列选项正确的是（）A.0aB.不等式20bxaxc−+的解

集为615xx−C.0abc−+D.不等式0cxb+的解集为56xx【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得0a，且5ba−=，6ca=，然

后代入选项，即可判断选项正误.【详解】由题知，0a，且5ba−=，6ca=，.即得5,6baca=−=，故A错；由20bxaxc−+可得2560axaxa−−+，所以2560xx+−，解得1x或65x−，故B错；

对于C，120abca−+=，故C错；由0cxb+可得650axa−，即650x−，所以56x，故D正确.故选：D6.已知命题p：1,3x，230xax−+，则p为真命题的一个必要不充分条件是（）A.5aB.3aC4aD.4a【答案】B【解析】

【分析】通过分离参数，把恒成立问题转化为求解3yxx=+的最值问题，从而求出充要条件，对A，B，C，D再根据必要不充分条件的定义求解即可.【详解】解：1,3x，230xax−+，3axx+在1,3上恒成立，即𝑎>(

𝑥+3𝑥)max，令3yxx=+，根据对勾函数的性质：3yxx=+在1,3上单调递减，在3,3上单调递增，当1x=，3x=时，y的值均为4，3yxx=+在1,3上的最大值为4，4a是命题p为真命题的充要条件，对A，5a得不

到4a，4a得不到5a，故5a是p为真命题的既不充分也不必要条件，故A错；对B，3aQ得不到4a，而4a可以得到3a，故3a是p为真命题的必要不充分条件；故B对；.对C，4a得不到4a，4a得不到4a，故

4a是p为真命题的既不充分也不必要条件，故C错；对D，4a是p为真命题的充要条件；故D错.故选：B.7.已知正数,xy满足()()212xy−−=．若不等式222xymm++恒成立，则实数m的取值范围是（）A.()(),42,−−

+B.()(),24,−−+C.(-4，2)D.()2,4−【答案】C【解析】【分析】因为222xymm++恒成立，所以转化为2min(2)2xymm++，将已知等式改写形式为：211xy+=，再利用“1”的代换后使用基本不等式得到2xy+的最小值为8

，从而转化为解不等式228mm+.【详解】由题意知：2min(2)2xymm++(2)(1)2xy−−=即：2yxxy+=∴211xy+=∴2142(2)()4yxxyxyxyxy+=++=++又∵0x

，0y∴40yx，0xy∴4424yxyxxyxy+=当且仅当4yxxy=即42xy==时等号成立.∴当42xy==时，2xy+取得最小值为8.∴228mm+解得：42m−故选：C.8.若关于x的不等式()221axx−恰有两个整数解，则

实数a的取值范围是（）A.3443,,2332−−B.3443,,2332−−C.3443,,2332−−D.3443,,2332−−【答案】B【解析】【分析】对二次

不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数a的取值范围.【详解】由()221axx−恰有两个整数解，即()()11110axax+−−−恰有两个整数解，所以()()110aa+−，解得1a或1a−

，①当1a时，不等式的解集为11,11aa+−，因为110,12a+，所以两个整数解1,2，则1231a−，即22133aa−−，解得4332a；②当1a−时，不等式的解集为11,11aa+−，因为11,01

2a−−，所以两个整数解1,2−−，则1321a−−+，即22133aa−−−−，解得3423a−−，综上所述，实数a的取值范围为3423a−−或4332a.故选：B.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知集合21,Axxkk==+N，31,Bxxkk==+N，41,Cxxkk==+N，32,Dxxkk==+N，则下面说法正确的是（）A.CAB.BD=NC.

121,BCxxkk==+ND.若,mAnC，则NmnA+ð【答案】ACD【解析】【分析】求得集合,CA的关系判断选项A；求得集合BD判断选项B；求得集合BC判断选项C；利用mn+为偶数判断选项D.【详解】根据题意，可得集合A表

示除以2余数为1的自然数集，集合B表示除以3余数为1的自然数集，集合C表示除以4余数为1的自然数集，集合D表示除以3余数为2的自然数集，21,41,Axxkkxxm==+==+N或43,xmm=+N，则CA，所以选项A正确；32,BDxxk==+或31,xkk=+N

N，选项B不正确；121,BCxxkk==+N，选项C正确；若,mAnC，则mn+为偶数，故NmnA+ð，选项D正确．故选：ACD．10.给出以下四个判断，其中正确的是（）A.已知函数2(1)21xyxx−=+值域为11,32−

B.关于“1,2x的不等式220xxa−−有解”的一个必要不充分条件是0aC.函数()2fxx=，定义域AR，值域4B=，则满足条件的()fx有3个D.若函数2112fxxxx+=+，且()4fm=，则实数m的值为6【答案】AC

【解析】【分析】利用常数分离法求值域，小充分大必要，函数定义，配凑法求解析式等逐一判断各选项即可.的【详解】对于A，()()15212152221212221xxyxxx+−−===−+++在)1,+上单调递增，故其值域为

11,32−，故A正确；对于B，关于“1,2x的不等式220xxa−−有解”等价于()2max2xxa−，即0a，根据小充分大必要，a<0是充分条件不是必要条件，故B错误；对于C，

定义域可以是2,2,2,2−−，故C正确；对于D，2221112fxxxxxx+=+=+−，故()()22,,22,fxxx=−−−+，若()4fm=，即224m−=，则6m=，故D错误.故选：AC11.下列说法正确的有()A.若12x，则12

21xx+−的最大值是1−B.若Rx，则22144xx+++的最小值为2C.若a，b，c均为正实数，且2abc++=，则141abbcac+++++的最小值是4D.已知0a，0b，且121ab+=，则(1)ab−最小值是322+【

答案】AD【解析】【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．【详解】对于A，由12x可得120x−，由基本不等式可得1112[(12)]12(12)11211212yxxxxxx=+=−−++

−−+=−−−−，当且仅当11212xx−=−即0x=时取等号，所以1221yxx=+−的最大值为1−，故A正确；对于B，222212441244xxxx++++=+，当且仅当22144xx+=+时等号成

立，但此时x无解，等号无法取得，则最小值不为2，故B错误；对于C，由2abc++=可得1411141()()4abbcacabbccaabbcca++=+++++++++++++14()4()[6]4bcabacbcacab

abbcbccaabca++++++=++++++++++++14()4()(6222)44bcabacbcacababbcbccaabca+++++++++=++++++，当且仅当2()2()bcabca+=+=+且2abc++=，即0a=，1b=，1c=时

，等号成立，由于a，b，c均为正实数，则等号取不到，故C错误；对于D，由121ab+=可得2abab=+，代入到1222(1)()()332322babaababaababababab−=−=+=++=+++=+，当且仅当2baab=即21,22ab

=+=+时，等号成立，故D正确．故选：AD．第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题Rx，2340xx+−的否定是___________．【答案】2R,340xxx+−【解析】【分析】利用特称命题的

否定形式回答即可.【详解】命题“Rx，2340xx+−”的否定形式是“2R,340xxx+−”.故答案为：2R,340xxx+−.13.函数21yxx=−+的值域为________.【答案】)2,−+【解析】【分析】利用

换元法直接求解函数值域即可.【详解】令()10xtt+=，则21xt=−，所以()()221212,0ytttt=−−=−−，所以2y−，即函数值域为)2,−+.故答案为：)2,−+14.已知函数()26,4,xxafx

xxxa+=−，若函数()fx的值域为R，则实数a的取值范围是____________．【答案】[10,6]−【解析】【分析】先求出xa时，()fx的值域为(),6a−+；再分类讨论，分别求出()fx在),a+上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可.【详解】当xa时，由

于()6fxx=+为(,)a−上的增函数，其值域为(),6a−+；当xa时，22()4(2)4fxxxx=−=−−为顶点在(2,4)−开口向上的抛物线，对称轴=2x.i.若2a，则二次函数的最小

值为4−.要使()fx的值域为R，只需：64a+−，解得：10a−.所以102a−；ii.若2a，则二次函数在),a+上单调递增，所以最小值为24aa−.要使()fx的值域为R，只需：264aaa+−，解得：16a−

.所以26a；综上所述：实数t的取值范围是[10,6]−.故答案为：[10,6]−四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设全集U=R，集合25Axx=−，|212B

xaxa=−+.（1）若3a=，求AB，AB；（2）若ABB=，求实数a的取值范围.【答案】（1）|27ABxx=−，|1x5ABx=−（2）2a【解析】【分析】（1）求出集合B，利用并

集、交集的定义可求得结果；（2）分析可知BA，分B=、B两种情况讨论，即可解得实数a的取值范围.【小问1详解】当3a=时，|17Bxx=−，则|27ABxx=−，|15ABxx=−.【小问2详解】因为ABB

=，则BA，当B=时，212aa−+，解得13a，BA成立；当B时，21222125aaaa−+−−+，解得123a，综上所述，实数a的取值范围为：2a.16.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（

图中阴影部分）和一个小正方形MNPQ构成的面积为2200m的十字形地域，现计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为420元2/m；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元2/m；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元2/m.设总造价为S（单位：元

），AD长为x（单位：m）．（1）将S表示为x的函数；（2）当x为何值时，总造价S最小？并求出这个最小值．【答案】（1）22400004003800,0102Sxxx=++（2）10米，11800元【解析】【分析】（1）设AMy=，求得504xyx=−，结合题意，即可求得S

关于x的函数关系式；（2）由（1）中S关于x的函数关系式，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，正方形MNPQ构成的面积为2200m且ADx=，矩形MNPQ的面积为22mx，则阴影部分的面积为22(200)m

x−，设AMy=，则24200xyx+=，可得22005044xxyxx−==−，且220000xx−，解得0102x，所以22222504202148242021(200)82()4xSxxyyxxx=++=+

−+−22400004003800xx=++，所以S关于x的函数关系式为22400004003800,0102Sxxx=++.【小问2详解】解：由（1）知，22400004003800,0102Sxxx=++

，由2222400004000040038002400380011800Sxxxx=+++=，当且仅当2240000400xx=，即10x=时等号成立，即AD的长为10米时，总造价为S最小，且最小值为11800元.17.已知0,0mn

且15mnmn=++.（1）求mn的最小值（2）求mn+的最小值（3）求23mn+的最小值【答案】（1）25（2）10（3）865+【解析】【分析】（1）利用基本不等式得到152mnmn−，求出25mn；（2）利用基本不等式得到215

mnmn+++，求出10mn+；（3）求出151nmn+=−，1n，从而得到2330231nnmnn−++=−，换元后，利用基本不等式得到最小值.【小问1详解】0,0mn且15mnmn=++，由

于2mnmn+，故152mnmn−，解得5mn或3mn−（舍去），故25mn，当且仅当5mn==时，等号成立，故mn的最小值为25【小问2详解】0,0mn且15mnmn=++，由于2mnmn+，故215mnmn+++，两边平方后

，解得10mn+或6mn+−（舍去），故mn+的最小值为10，当且仅当5mn==时，等号成立；【小问3详解】15mnmn=++，若1n=，此时16mm=+，不成立，舍去，故1n，故151nmn+=−，因为0,0mn，故1n，故2230330

23311nnnmnnnn+−++=+=−−，令10nt−=，()22311303532322335ttttmntttt+−−++++===++，由基本不等式得32322335235865mntttt+=+++=+，当且仅当

323tt=，即463t=时，等号成立，此时4613n=+，261m=+，故23mn+的最小值为865+.18.已知函数2()fxxaxa=−−，2()(1)(12)1(R)gxaxaxaa=+−+−+.（1）若()fx在区间[0,2]上最大值为2，求实数a的值

；（2）当0a时，求不等式()()fxgx的解集.【答案】（1）23；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得.（2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得.【小问1详解】函数2

()fxxaxa=−−图象的对称轴为2ax=，当12a，即2a时，()()max2432fxfa==−=，解得23a=，则23a=；当12a，即2a时，()()max02fxfa==−=，解得2a=

−，矛盾，所以23a=.【小问2详解】显然2()()(1)1(1)(1)0gxfxaxaxaxx−=−++=−−，而0a，因此不等式为1()(1)0xxa−−，当11a，即1a时，不等式解集为1(,1

)a；当11a=，即1a=时，不等式解集为；当11a，即01a时，不等式解集1(1,)a，所以当1a时，不等式解集为1(,1)a；当1a=时，不等式解集为；当01a时，不等式解集为1(1,)a.19.已知集合M是满足

下列性质的函数()fx的全体：在定义域(0,+∞)内存在0x，使函数()()()0011fxfxf+成立；（1）请给出一个0x的值，使函数()1fxMx=（2）函数()22fxxx=−−是否是集合M中的元素？若是，请求出

所有0x组成的集合；若不是，请说明理由；为（3）设函数()22afxMx=+,求实数a的取值范围.【答案】（1）0x=2；（2）是，00173173|66xx−+（3）0a或3a【解析】【分析】（

1）利用()()()0011fxfxf+列不等式，由此求得0x的一个取值.（2）假设存在0x符合题意，验证()()()0011fxfxf+，由此判断出0x的所有可能取值.（3）利用()()()0011fxfxf+列不等式，对a分成0,0

,0aaa=三种情况进行分类讨论，由此求得a的取值范围.【详解】（1）当()()10fxxx=时，依题意在定义域(0,+∞)内存在0x，使函数()()()0011fxfxf+成立，而()11f=，即()()001fxfx+，即00111xx+，故可取02x=，此时1132.（2）假

设存在0x符合题意，而()12f=-，即()()0012fxfx+−，即()()()22000011222xxxx+−+−−−−，化简得200360xx−−，解得017317366x−+.所以函数()22fxxx=−−是集合M中的元素

，且00173173|66xx−+.（3）由于函数()22afxMx=+，()13af=，由()()()0011fxfxf+，得()22002312aaaxx+++①，00x.当0a=时，①成立.当0a时

，①的左边为负数，右边为正数，即①成立.当0a时，①可化为()20032360axaxa−++−，也即存在00x，使()20032360axaxa−++−②成立.当30,3aa−时，显然存在00x，使②成立；当30,3aa−==时

，②化为0630x+,显然存在00x，使②成立.当30a−，即0<<3a时，不等式()20032360axaxa−++−对应的一元二次方程()20032360axaxa−++−=，开口向下，且判别式()()244336

aaa=−−−()()4427aa=−−−，由于0<<3a，所以()()44270aa=−−−，所以不存在00x，使②成立.综上所述，实数a的取值范围是0a或3a.【点睛】本小题主要考查新定义函数性质的理解和运用，考查不等式的解法，考查分类讨

论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.